泥沙起动条件的非线性理论

2004年1月SHUILI XUEBAO第1期

文章编号：0559-9350 (2004) 01-0028-05

泥沙起动条件的非线性理论

何文社，曹叔尤，雷孝章，刘兴年

(四川大学高速水力学国家重点实验室，四川成都 610065)

摘要：本文根据突变理论。分析了非均匀沙起动尖点突变模型的状态变量和控制变量，从尖点突变的标准方程出发，通过坐标变换和拓扑变换得出泥沙起动时的水流条件与泥沙因素之间的函数关系式，建立了能反映泥沙起动的尖点突变模型，得到泥沙起动的临界条件方程。并用尖点突变理论对泥沙起动现象进行了解释。关键词：

中图分类号：

关键词：河流动力学；非线性；尖点突变模型；泥沙起动

中图分类号：TV142 文献标识码：A

收稿日期：2002-09-03

基金项目：国家自然科学委员会与水利部联合资助项目(59890200)；长江三峡工程泥沙问题“九五”项目(95-5-4) 作者简介：何文社(1966-)，男，甘肃宁县人，博士，副教授，主要从事水力学及河流动力学研究。

由于水流的脉动，泥沙在床面位置、排列方式及粒径大小等几何条件的随机性，使得研究泥沙起动条件变得比较复杂。关于泥沙起动条件，早在1753年A.Brahms就提出了泥沙起动流速与泥沙重量的六分之一次方成正比的论断。1914年P.Forchheimer在这方面进行了系统的总结和评述。1936年A.Shields提出了众所周知且广为应用的表征均匀沙起动拖曳力临界条件的希尔兹曲线。到目前为止，国内外学者对泥沙起动进行了大量的研究。但有些研究结果认为，较细颗粒比同粒径均匀沙难于起动，而粗颗粒则比同粒径均匀沙更容易起动；有些学者认为中等粒径的颗粒容易起动。由此可见，非均匀沙的起动问题不能简单地用代表粒径按均匀沙规律来描述，而应从其本身所遵循的规律来进行探讨。以往研究的主要途径是采用传统的线性方法。事实上，泥沙由静止到运动是一个非线性的过程。近年来，随着非线性学科的发展，非线性学科的应用领域越来越广泛。针对泥沙起动特征，本文从突变论的角度对泥沙起动加以探讨。

1 突变理论的基本原理和研究方法

突变是指研究系统的状态随外界控制参数连续改变、而从一种稳定态跳跃式的转变到另一种稳定状态，或者说在系统的演化中，某些变量从连续逐渐变化导致系统的突然变化。突变理论的一个显著优点是，即使在不知道系统有那些微分方程，更不用说如何解这些微分方程的条件下，仅在少数几个假设的基础上，用少数几个控制变量便可预测系统的诸多定性或定量性态。突变理论比较重要的原理之一是：拓扑等价与结构稳定性。下面举一个简单例子来理解拓扑等价概念。如果在像皮板上画两种鱼的一种，然后只要拉伸或压缩就可以从一种图案连续地变为另一种图案，这种操作可以理解为拓扑变换。拓扑等价意味着他们的形态结构没有变，只是两个几何对象是拓扑等价的，经拓扑变换后他们的性质会保持不变。目前，在我们所用的初等突变理论，共有7种Thom基本突变类型［1］。王协康［2］等证明了泥沙起动具有尖点突变的性质。本文在此基础上，分析了非均匀沙起动尖点突变模型的状态变量和控制变量。从尖点突变的标准方程出发，通过坐标变换和拓扑变换，得到泥沙起动时的水流条件与泥沙因素之间的函数关系式，建立了能反映泥沙起动的尖点突变模式，并用尖点突变理论对泥沙起动现象进行了解释。

2 控制变量和状态变量的确定

2004年1月SHUILI XUEBAO第1期变量是根据突变理论中部分引理的原理来确定。所谓部分引理，其实质是把所有变量分成与结构不稳定性有关的实质性变量和与之无关的非实质性变量。并忽略后者。由此可见，可能出现的突变类型数目并不取决于状态变量的数目，而只取决于实质性变量的数目。影响泥沙起动的因素较多，但主要有水流，泥沙及起动标准这几个因素。而起动标准应考虑与水流脉动有关的影响因素，泥沙因素应反映床沙组成、床沙颗粒在床面的相对位置和泥沙颗粒大小等方面的影响。为此将希尔兹数Θ作为反映水流方面的影响因素；采用与等效粒径有关的无量纲参数D来反映床沙组成；起动状态S，采

图1〓泥沙起动尖点突变模型

用与窦国仁［3］提出的三个起动状态有关的参数，即反映水流脉动的“3σ”原则来表示。

尖点突变是三维的，它将影响事物质态变化的条件，对泥沙起动来说Ｄ和Θ称为控制变量，共二维。将表征事物质态变化参量的起动状态S称为状态变量，为一维。这三个变量组成三维空间模型如图1所示。其中Ｄ 和Θ二轴形成的平面称控制平面，垂轴S表示泥沙的状态，称行为轴。由他们所形成的曲面，成为行为曲面。行为曲面的特点在于它有一个平滑的折迭，折迭向后收缩，最后消失于折迭三叶会合的奇点Q。突变理论证明折迭的中叶属不稳定状态，其余的曲面都表示稳定的状态。这个折迭区在控制平面上的投影为一个尖点形区域。

3 泥沙起动突变模型

3.1 建立突变模型分析泥沙起动机理可知，泥沙起动属于尖点突变，应用突变论研究方法［4，5］，根据突变理论，泥沙起动的尖点突变模型如图1所示。根据非线性理论，图1中尖点突变曲面的标准方程为［5］

(1)

x　3+xy-z=0(1)

控制平面内的分支曲线标准方程为

(2)

4y　3+27z　2=0(2)

标准方程的坐标Q(x,y,z)经旋转与平移至O(S,D*,Θ)坐标系中，得下列方程组　

x=l　1S+l　2D　*+l　3Θ-ay=m　1S+m　2D　*+m　3Θ-bz=n　1S+n　2D　*+n　3Θ-c(3)

(3)

式中：a、b、c为点Q在O(S，D，Θ)坐标中的位置坐标值；li,mi,ni(i=1，2，3)为原坐标对新坐标的方向余弦。

2004年1月SHUILI XUEBAO第1期由于模型中设S坐标轴与x坐标轴平行，故

(4)

l　1=　cos　０　°　＝1(4)

通过上述坐标变换后，可求得曲面在坐标系O（S,D　*,Θ）内的方程为

(5)

f(Θ,S,D　*)=(S+l　2D　*+l　3Θ-a)　3+(m　1S+m　2D　*+m　3Θ-b)(S

+l　2D　*+l　3Θ-a)-(n　1S+n　2D　*+n　3Θ-c)=0(5)

坐标变换的附加条件为

(6)

l　2　1+m　2　1+n　2　1=1

l　2　2+m　2　2+n　2　2=1l　2　3+m　2　3+n　2　3=1(6)

及

m　1m　2+n　1n　2+l　1l　2=1m　2m　3+n　2n　3+l　2l　3=1m　3m　1+n　3n　1+l　3l　1=1(7)

(7)同为右手系时需满足

(8)

l　1l　2l　3m　1m　2m　3n　1n　2n　3＝1(8)

模型边界条件可以从其物理意义得到，因曲面经过原点，故有

f(0,0,0)=0(9)

(9)