高等桥梁结构理论课程讲义

2021/3/14
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【解】： （1）截面几何特征
该截面为反对称，其形心在腹板中点 O，故
（2）正应力计算
Ix
2 h
2
h 2 2
h3
12
1 h3
3
Iy
1 h3
12
I xy
1 h3
16
1 h3
16
1 h3
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（注：根据基本定义进行积分运算。）
根据式（2-12）可得，
z
Mx Ix
y My Iy
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图2-6 薄壁杆件微段
图2-7 杆件上任意一微元
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【算例2-2】 如图2-8所示的工字梁断面,试求在竖向剪力Qy 作用下的剪力流分布。
图2-8 工字梁断面在剪力作用下的剪力流分布计算
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（二）闭口薄壁截面弯曲剪应力 （1）单箱单室断面
对于单箱单室断面，在截面上任意一点做一切口，即闭口截面的剪力流为
q q0 qA
（2-27）
其中， q0 为开口截面剪力流，其在开口处为 0； qA 为作用于开口截面处的剪力流，它沿截面外轮廓线为
一常数。
图2-9 闭口截面剪力流
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图2-10 矩形断面在横向剪力 Qy作用下
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（2）单箱多室断面剪力流
对于桥梁工程中应用较多的单箱多室断面，其弯曲剪力流计算方法如下。对于图 2-11 所示具有 n 个 室的单箱多室断面，计算时必须沿母线切开 n 个切口，成为一个完全开口截面，此开口截面在剪力作用下
1
I
2 xy
/(I
x
I
y
)
My
M y M x I xy / I x
1
I
2 xy
/(I
x
I
y
)
即当已知 M x , M y 时，由（2-12）、（2-13）即可计算出其截面上任意点的正应力。
当 ox 、 oy 轴为主轴时， I xy 0 ，则
M x M x
My
M
y
即
z
MxEyx
cosdF
F
Ex 2
sin dF
E cos
I xy
E sin
Iy
（2-9）
注：上式中假定 A 点的正应力 z 为压应力。
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式中： I x 、 I y 及 I xy 分别为截面绕 ox 、 oy 轴的惯性矩和积惯性矩。
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联立（2-8）、（2-9），可得
F dF 0
z
E
y cos
x s in
Ey
cos
Ex sin
由绕 ox 、 oy 轴的力矩平衡方程可得，
M x
F z ydF
Ey 2 cosdF F
F
Exy
sin dF
E cos
Ix
E sin
I xy
（2-4） （2-5） （2-6） （2-7） （2-8）
M y
x
20上21式/3/即14为对称截面薄壁梁在纯弯矩荷载作用下的截面正应力计算公式。
（2-10） （2-11） （2-12）
（2-13）
（2-14） （2-15）
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【算例 2-1】求图 2-4 所示 Z 形截面薄壁杆件在弯矩 M x 作用下的正应力分布。
图 2-4 Z 形截面薄壁杆件
图 2-5 Z 形截面薄壁杆件正应力分布
第二讲 薄壁箱梁弯曲理论
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2.1 简介
工程结构中,薄壁杆件一般是指截面厚度较薄的等截面直杆,其三个尺度 （图2-1）通常满足下列关系:
(s)/b0.1
b/l 0.1~ 0.2
工程应用: 1. 桥梁工程,桥塔、主
梁、桥墩等; 2. 高层建筑结构筒体。
图2-1 薄壁杆件
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ycos xsin
（2-2）
根据平截面假定，A 点处的正应变为
z
1
（2-3）
式中， ——中性层的曲率半径；
——中性轴与 ox 轴的夹角。
图2-3 任意截面的薄壁杆件
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故 A 点的正应力为
z
E z
E
因为沿 z 轴方向无外力作用，故
F
z dF
0
即
将（2-2）代入（2-4），则
x
其中
所以，
Mx
M x M y I xy / I y
1
I
2 xy
/(I x I y
)
2.29M x
My
M y M x I xy / I x
1
I
2 xy
/(I x I
y
)
0.86M x
z
Mx
h3
(6.87 y 10.32x)
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2.2.2 弯曲剪应力
（一）开口薄壁截面弯曲剪应力
的剪力流为 q0 ，在每一切口处有未知剪力流 qi (i 1,2,3) ，且该剪力流沿各单室截面为常数。单箱多室断
面的剪力流为
qb q0 q1 q2 q3
（2-46）
图2-11 单箱多室闭口箱梁剪力流分解示意图
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图2-12 单箱三室闭口箱梁薄壁杆件
解：原结构为三室截面，切开三个切口后（见图 2-12(b)），这个开口薄壁杆件是原结构的基本结构。基 本结构的剪力流可按式（2-26）可知，
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赤石大桥桥塔断面（示意图）
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2.2 薄壁箱梁弯曲(初等梁理论)
2.2.1 弯曲正应力
对于薄壁杆件在纯弯曲作用下的弯曲问题，假设平截面假定仍成立。图 2-3 所示为任意截面的薄壁杆
件（开口或闭口截面）， o 为截面形心， o xyz 为过形心的一组任意直角坐标。设沿 ox 、 oy 轴分别有 弯矩 M x 、 M y 作用，以双箭矢量表示。弯矩以符合右手螺旋法则为正。设中性轴为 oo' ，截面上任意点 A 处微截面 dF 的坐标是 x 、 y ，它到中性轴的距离为 ，则
一般而言，横向荷载使薄壁杆件既发生弯曲，又产生扭转，只有当它们的合力通过杆件截面的某一点 时，该杆件仅发生弯曲而不发生扭转，这一特定的点称为截面的剪切中心或弯曲中心。在过杆件截面剪切
中心的横向力的作用下，杆件截面处将可能产生弯矩 M 和剪力 Q ，其中截面上的正应力由弯矩确定，见 式（2-12、2-13），截面剪应力则由剪力 Q 确定。 图 2-6 所示为一薄壁杆件（开口或闭口）微段 dz ， s 为截面轮廓线的曲线坐标，以逆时针方向为正， A 点 为曲线坐标 s 的起点。假设壁厚 (s) 与坐标 z 无关，只是曲线坐标 s 的函数。
E sin
M x I xy M y I x
IxIy
I
2 xy
E cos
M x I y M y I xy
IxIy
I
2 xy
将（2-10）、（2-11）代入（2-7）中，可得到薄壁杆件截面任意点 A 的正应力为
z
Mx Ix
y My Iy
x
式中， M x 、 M y 分别为
Mx
M x M y I xy / I y