22届华杯赛决赛小学高年级组A卷解析

23占位有 2 种：
33 占位有 1 种：
3 / 10
4. 甲从A 地出发去找乙，走了80 千米后到达B 地，此时，乙已于半小时前离开B 地 去了C 地，甲已离开A 地2 小时，于是，甲以原来速度的2 倍去C 地，又经过了2 小 时后，甲乙两人同时到达C 地，则乙的速度是________千米/小时。 【答案】64 【解析】 对于甲而言，他在 AB 段和 BC 段所话的时间相同，由于在 BC 段速度提高到 2 倍，所以路 程也是 2 倍，即 BC 长度为 80×2=160 千米； 对于乙而言，他在 BC 段所花的时间比甲多了半小时，可求得乙的速度为 60÷205=64 千米 每小时。
8
a 23
7
7
a4
9
9
a 14 14
5
a 24 12
3
a 5 14
5
a 15 13
4
a 25 10
1
a 6 14
5
a 16 9
9
a 26
4
4
a 7 10
1
a 17 13
4
a 27
5
5
a8
6
6
a 18 13
4
a 28
9
9
a9
7
7
a 19 8
8
a 29 14
5
从a具10体数据13来看是从第4 29 个才a开2始0 循环12，但是我们3只对数字和分析，其实从第 25 个就开
________。 【答案】20 【解析】 思路一：定量计算
假设这四个数为 A，B，C，D，先表示出来找到所求结果与 8，12，10 2 和 9 1 之间的关系， 33
据题意有，

A

B 3

C

D



A
B 3

D

C



A

C 3

D

B



B

C 3
如果两数和为整数但本身不为整数，那么取整时有这么个结论a b a b 1 ，据此可
以很简捷地算出答案：

2017 11
3



2017 11
4



2017 5 11


2017 11
6



2017 11
因为 136=17×8，所以有，
1999 178 2017 ，即找到一组解为 a=99，b=8，此时 a b 99 8 107 ，
由于 19 和 17 互质，那么只需要将 a 顺次减少 17，b 顺次增大 19 即可得出其他解；
对于 a+b 的和而言，每次变化都会增大 2；由于99 19 =5 ，所以可以顺次变化 5 次，那
么共可算得 6 个答案，分别为： 107,109,111,113,115,117
12. 使 3n 2 不为最简分数的三位数n之和等于多少。 5n 1
【答案】70950 【解析】
3n 2 不为最简，表明 5n 1，3n 2 =a 1
5n 1
根据辗转相除原理有 1 a | 5n 13- 3n 2 5 即1 a | 7 ，则 a 只能等于 7，
2017 3 1 2017 4 5 2017 5 9 2017 6 2 2017 7 6 2017 8 10
11
11
11
11
11
11
2017 3 4 5 6 7 8 33
= 11
= 2017 33 33 11
始a循11环了，11只不过标准2的循环数a是21到从 114 到 9,但是2我们可以看做是 10 到 12。无论怎样，
2a4 个12的循环6 节是不变的6 。2017a÷2242 余 1，5 表明是第一5 个，即为 10。
a 13 8
8
a 23 7
7
a 14 14
5
a 24 12
3
8杯 最 摆aaa. 赛终 放如111567”结 方右六果法图个是共11，9汉33每有六字个_边分_顶_形别_点_的位_处_494六于_仍种个A各。，顶有B点aaa，一分C222个567别，汉标D字，志1450，E为，每AF，个顶B字点，在处145C开，。始D将，位六E置个，的汉F相。字邻开在顶始顶点的点处时处，候任则“意华不摆罗同放庚的，金
5. 某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小
组人数的 2 ，是只参加朗诵小组人数的 1 ，那么书法小组与朗诵小组的人数比是
7
5
_______。
【答案】3:4
【解析】
根据题意有，书法小组的 2 = 2 等于朗诵小组的 1 = 1 ，即 书 2 =朗 1 ，得到：
72 9
6



2017 11
7



2017 8 11

=550+733+916+1100+1283+1466
=6048
2. 从4 个整数中任意选出3 个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1 个
数的和，这样可以得到4 个数：8，12，10 2 和 9 1 ，则原来给定的4 个整数的和为 33
4
【答案】10
a
【此解题析根】据给定条件找到规律即可a
6 7
14 10
a8
6
5
a 16
9
1
a 17 13
6
a 18 13
9 4 4
a
a9
7
7
a 19
8
8
s
a 10 13
4
a 20 12
3
a 1 2017
10
a 11 11
2
a 21 11
2
a 2 22
4
a 12 6
6
a 22
5
5
a 3 14
5
a 13 8
1

3
=6048
思路二： 根据五年级学习的位值原理和余数相关知识也可以比较简捷的算出答案。每个取整符号里的 数都是不能整除的，取整则意味着扔掉余数，那么我们可以先计算出余数，最后整体扔掉余 数即可，由于 2017÷11 余 4，那么每个取整符号里的分子部分除以 11 的余数可以快速写出， 分别为：1,5,9,2,6,10，那么原式等于
a 18 13
4
a 28 9
9
a 19 8
8
a 29 14
5
a 20 12
3
a 21 11
2
a 22 5
5
a 23 7
7
a 24 12
3
【【a答解25案析】】410
1
题a中26明确指4出：每个字4 在开始位置的相邻顶点处，这是一个比较大的限制条件，所以符
合a的27情况并5不多，我们5 直接枚举即可。据题分析，要保证相邻，我们最容易想到的有两
11. 箱子里面有两种珠子，一种每个19 克，另一种每个17 克，所有珠子的重量为2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值。 【答案】107,109,111,113,115,117 【解析】 本题通过余数分析，找到一组符合的解即可顺次得出其他结果。
我们假设有等式19a 17b 2017 成立， 由于 2017 19 余 3 或 22 或 41 或 60 或 79 或 98 或 117 或 136
51 6
96
书法小组：朗诵小组= 1 : 2 3 : 4 69
6. 右图中，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米。M为CD边的 中点，∠MHB=90°。已知AB=20厘米。则MH的长度为________厘米。
C M
D
【答案】8.6 【解析】
A E H FB
如上右图，根据给定的条件易求得 DE=7.2cm，CF=10cm，那么 MH= 7.2 10 2=8.6 cm
种a情28形，一9是整体旋转9 ，二是相邻换位。仔细一想其实每种情形都有两种结果，所以一
共a有294 种。14如下给出：5
5 / 10
一、整体旋转 1、整体逆时针旋转一格
赛 A
华B
C 罗
杯 F
E金
D 庚
2、整体顺时针旋转一格
罗来自百度文库
华
AF
庚B
E赛
CD
金
杯
二、相邻换位 1、华和罗交换，其他类似
罗
杯
AF
华B
4 / 10
a
s
a 10 13
4
a 1 2017
10
a 11 11
2
a 2 22
4
a 12
6
6
a 3 14
5
a 13
8
8
7. 一列数a1，a2，…，an，…a，记4 S(ai)为9 ai的所有数9 字之和a，1如4 S(221)4=2+2=4。5若
a1=2017，a2=22，an=S(an-1)+aS(a5n-2)，那14么a2017等于5 ______a__。15 13

D

A
2A 2B 2C 2D
所以，原来给定的 4
个整数的和为

8

12

10
2 3

9
1 3


2=20
思路二：定性分析 由于 4 个数都会均等的出现，我们不必刻意计算即可确定整个过程结束后，每个数都会的得
到两次出现机会，即可直接得出答案

8
12
10
2 3
7



2017 8 11

=

2017 11
3


2017 11
8



2017 11
4



2017 11
7



2017 11
5



2017 11
6

=

2017 11 11
E赛
CD
金
庚
2、华和赛交换，其他类似
赛
华
AF
庚B
E金
CD
罗
杯
二、 解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9. 平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？ 【答案】9 【解析】 5 条直线最少产生的交点是 0 个，即全部平行的时候； 最多产生的交点是 10 个，因为每增加一条线就可以增加已有直线数那么多个交点，即共 1+2+3+4=10 个。 但是从 0 到 10 这 11 个并不都存在，比如 2 和 3 是不存在的，剩下的 11-2=9 个可以画出。 在构造画图的时候关注两点：其一，平行；其二，共点。
我们可以用 5n 1尝试来快速锁定答案，一次尝试可知
5n 1= 1 或 6 或 11 或 16 或 21，因为 21=3×7，所以 5n 1=21时 7 | 5n 1成立，此时 n
即为最小值，且为 4，其他值即可顺次找出，只需要将 4 递加 7 即可， 题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为 102，最大为 998，此后利用等差数 列求和即可：
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决题赛试题 A（小学高年级组）
（时间：2017 年 3 月 11 日 10:00～11:30） 一、 填空题（每小题10 分，共80 分） 1. 用[x]表示不超过x 的最大整数，例如[3.14]=3，则
的值为________。 【答案】6048 【解析】 思路一：
2 / 10
如果不能快速找到其中的快捷计算方法，我们不妨有规律的枚举。我们放入两枚棋子后，棋 子的矩形占位即明确了，有几种不同的矩形占位就会有几种放法，那么我们就按照棋子的矩 形占位来分类枚举。
1 2 （包含 21，即乘数可交换，下同）占位有 3 种：
13 占位有 2 种：
2 2 占位有 2 种：
7 / 10
102 109 116 998
102 998129 2
70950
三、 解答下列各题（每小题15 分，共30 分，要求写出详细过程）
13. 班上共有60 位同学，生日记为某月某号。问每个同学两个同样的问题：班上有几 个人与你生日的月份相同?班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1 月12 日 与12 月12 日的号数是相同的）。结果发现，在所得到的回答中包含了由0 到14 的所 有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 【答案】2 【解析】 题中说回答中包含了由 0 到 14，表明人数而言必然完全包含了 1 到 15 人。由于每个同 学会回答 2 个问题，那么总共就会有 60×2=120 个应答，这 120 个应答恰好是
=6048
思路三：
1 / 10
如果同学们对取整不熟悉，对位值原理和余数的运用也不熟练，那么直接计算也不失为好的 策略，数据量小，计算也不复杂，保持足够耐心，肯定能得分

2017 11
3



2017 11
4



2017 11
5


2017 11
6 / 10
10. 某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加 餐。每名学生至少选择一种，也可以多选。统计结果显示： 70%的学生选择苹果，40%的学生选了香蕉，30%的学生选了 梨。那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之 几？ 【答案】20% 【解析】 便于计算和表示，我们不妨假设共有 100 人，并画出右图所示的 三项容斥图。 70+40+30=140 表示三种共 140 人，但是如图所示这 140 人中， 包含棕色部分算一次，紫色部分算两次，蓝色部分算三次，即多算的 140-100=40 人，包含 紫色部分一次和蓝色部分两次。题目所求的即是蓝色部分的最大值，要使得蓝色最大，那么 就让紫色部分极限化即为 0，那么蓝色部分为 20÷2=20 人，即 20%。

9
1 3


2=20
3. 在3×3 的网格中（每个格子是个1×1 的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最 多放一枚棋子，共有________种不同的摆放方法。(如果两种放法能够由旋转而重合， 则把它们视为同一种摆放方法）。
【答案】10 【解析】 此题需要读懂题意，旋转后重合视为一种很重要，翻折不必考虑！