四川省大竹县文星中学数学人教选修2-2综合能力测试卷(一)
高中数学 学期综合测评(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2C ．2＋3i ＜3＋3iD ．2＋2i ＞2＋i 答案 B解析 本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B解析 本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D解析 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]答案 B解析 n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案 B解析 由题中图象知ef ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析 由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C.3D ．2 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x＋1)d x －⎠⎛021d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 20＝43.故选B .8．设f(x)＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c ) 答案 A解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A.9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)＜x 2＋1，得f (x 2)－x 2＜1，即g (x 2)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)＜g (2)，∴x 2＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )A.92B.322C.32D.94答案 B解析z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝9 4，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.12．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )A．2x>3sin x B．2x<3sin xC．2x＝3sin x D．与x的取值有关答案 D解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．答案2＋i解析∵1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎪⎫S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 6 12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 632.15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．(1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，某某数m 的值． 解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1， 所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ， 所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ， 所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＞0得x ＜－13或x ＞1，令f ′(x )＜0得－13＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积． 解 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，某某数k 的取值X 围． 解 f′(x )＝3ax 2－b . (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.21．(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．解 设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ， 又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，所以r ＝15h ，所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3，所以20t ＝π75h 3，所以h ＝31500πt ，于是h ′＝31500π·13·t － 23.当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5π，所以当h ＝10米时，水面上升速度为5π米/分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2k ＋1＋1－2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。
选修2-2综合测试题(带详细答案)
8、二项式 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A.
B.
C.
D.
9、某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 ，连续两天为优良的概率是 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
14、已知函数 的定义域为R， 为 的导数，函数 的图象如图所示，且 ，则不等式 的解集为__________．
15、设 ，则 __________.
16、已知函数 在区间 内无极值点,则 的取值范围是__________.
三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)
第11题答案
分两种情形讨论：
情形一：A不参加竞赛，其余四人的参赛方法共有 ；
情形二：A参加竞赛，但不参加物理、化学竞赛，共有 种方法：其余四人中选 人参赛方法共有 ，故A参加竞赛的方法数为 ；
所以满足条件的参赛方法总数为 ，故正确答案为D.
第12题答案
设曲线 上的切点为 ，且切线过点 ，
由导数的概念知 在点 处的切线斜率为 ，
17、甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 次，甲射中的概率为 ，乙射中的概率为 ．
（1）求 人都射中目标的概率；
（2）求 人中恰有 人射中目标的概率；
（3）求 人至少有 人射中目标的概率．
18、设函数 ，已知曲线 在点 处的切线方程是 ．
（1）求 的值；并求出函数的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最值．
人教A版选修2-2-高二数学12月月考试题
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）大竹县文星中学2014-2015学年高二数学12月月考试题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．z －是z 的共轭复数．若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i [答案] D[解析] 本题考查复数、共轭复数的运算．设z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i.由题设条件可得a ＝1，b ＝－1.选D.2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)[答案] C[解析] 本题主要考查导数的概念及分式不等式的解法和对数的概念．因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x (x 2－x －2)>0，解得x >2，故选C. 3．下列命题中正确的是( )A ．复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝dB ．任何复数都不能比较大小C ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝z 2[答案] C[解析] A 选项未注明a ，b ，c ，d ∈R .实数是复数，实数能比较大小．z 1与z 2的模相等，符合条件的z 1，z 2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.故选C.4．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…，的前100项的和等于( ) A ．13914B ．131114C ．14114D ．14314 [答案] A[解析] 从数列排列规律看，项1n 有n 个，故1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2≤100.得n (n ＋1)≤200，所以n ≤13，当n ＝13时，n (n ＋1)2＝13×7＝91(个)，故前91项的和为13，从第92项开始到第100项全是114，共9个114，故前100项的和为13914.故选A. 5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞) [答案] C[解析] 用分离参数法可得a ≥－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，则|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2.当x ＝0时，显然成立． 6．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94B ．2e 2C ．e 2D ．e 22[答案] D[解析] y ′＝(e x )′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，则切线与坐标轴交点为A (1,0)，B (0，－e 2)，所以：S △AOB ＝12×1×e 2＝e 22. 7．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1 [答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ， ∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.9．若xy 是正实数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B ．72C ．4D ．92 [答案] C[解析] 因为xy 是正实数，所以 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2≥1＋2＋1＝4，当且仅当x ＝y ＝±22时，等号成立．故选C. 10．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为( ) A ．以(1，－1)为圆心，以4为半径的圆B ．以(1，－1)为圆心，以2为半径的圆C ．以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆D ．以(－1,1)为圆心，以2为半径的圆[答案] C[解析] 原方程可化为|z ＋(1－i)|＝4，即|z －(－1＋i)|＝4，表示以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆．故选C.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0f ′(2)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0， 令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图A ⎝⎛⎭⎫－6，－32是使得z 最大的点， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B. 12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0 D ．极小值为0，极大值为527[答案] A[解析] 由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f (1)＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝01－p －q ＝0 . 所以p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝⎛⎭⎫13是极大值．故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．(2014·四川理，11)复数2－2i 1＋i＝________. [答案] －2i[解析] 本题考查了复数的运算．2－2i 1＋i ＝2(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i. 14．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x 1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x )的表达式为________．[答案] f 2014(x )＝x 1＋2014x[解析] 本题考查了函数的解析式．f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋21＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…， f 2014(x )＝x 1＋2014x. 15．定积分0sin t cos tdt ＝________. [答案] 12[解析]0sin t cos t d t ＝12sin2t d t＝14(－cos2t )＝14×(1＋1)＝12. 16．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．∵k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.求证：对于任意不小于3的正整数n 都有f (n )>n n ＋1成立． [解析] 要证f (n )>n n ＋1(n ∈N *且n ≥3)，只需证2n －12n ＋1>n n ＋1，即证1－22n ＋1>1－1n ＋1，也就是证明2n－1>2n .下面用数学归纳法来证明2n －1>2n (n ∈N *，且n ≥3)．①当n ＝3时，左边＝7，右边＝6，左边>右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥3)时不等式成立，即2k －1>2k ，则当n ＝k ＋1时，2k ＋1－1＝2·2k －1＝2(2k －1)＋1>2·2k ＋1＝2(k ＋1)＋2k －1>2(k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，当n ∈N *且n ≥3时，2n －1>2n 成立．所以f (n )>n n ＋1(n ∈N *且n ≥3)成立． [说明] 对于2n －1>2n ，还可以用二项式定理证明．由2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ，有2n －C 0n ＝C 1n ＋C n －1n ＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n n )，即2n －1＝2n ＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n n )，当n ≥3时，C 2n ＋C 3n ＋…＋C n －2n ＋C n n >0.所以2n －1>2n . 18．(本题满分12分)一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇334km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km ，船速每小时4km ，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？[解析] 如图，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，C 为渔站，D 为海岸上一点，∵AB ＝9，AC ＝334，BC ＝AC 2－AB 2＝15，设CD ＝x ，由A 到C 所需时间为T ，则T ＝15x ＋14(15－x )2＋81(0≤x ≤15)， T ′＝15－15－x 4(15－x )2－81. 令T ′＝0，解得x ＝3.x <3时，T ′<0，x >3时，T ′>0，因此在x ＝3处取得极小值．又T (0)＝3344，T (15)＝214，T (3)＝8720，比较可知T (3)最小．答：在距渔站3km 登岸可使抵达渔站的时间最省．19．(本题满分12分)求同时满足下列条件的所有复数z ：(1)z ＋10z 是实数，且1<z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且a 2＋b 2≠0)．则z ＋10z ＝a ＋b i ＋10a ＋b i ＝a ＋b i ＋10(a －b i )a 2＋b2 ＝a ⎝⎛⎭⎫1＋10a 2＋b 2＋b ⎝⎛⎭⎫1－10a 2＋b 2i. 由(1)知z ＋10z 是实数，且1<z ＋10z≤6，∴b ⎝⎛⎭⎫1－10a 2＋b 2＝0，即b ＝0或a 2＋b 2＝10. 又1<a ⎝⎛⎭⎫1＋10a 2＋b 2≤6，(*) 当b ＝0时，(*)化为1<a ＋10a≤6无解． 当a 2＋b 2＝10时，(*)化为1<2a ≤6，∴12<a ≤3. 由题中条件(2)知a ＝1,2,3.∴相应的b ＝±3，±6(舍)，±1.因此，复数z 为：1±3i 或3±i.20．(本题满分12分)(2014·安徽理，18)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2，令f ′(x )＝0得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2， 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值， 又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值，当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值．当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．[解析](1)由a n＋1＝12－a n，可得a2＝12－a1＝12－a，a3＝12－a2＝12－12－a＝2－a3－2a，a4＝12－a3＝12－2－a3－2a＝3－2a4－3a.(2)猜测a n＝(n－1)－(n－2)an－(n－1)a(n∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝(1－1)－(1－2)a1－(1－1)a＝a，猜测成立．②假设当n＝k(k∈N*)时猜测成立，即a k＝(k－1)－(k－2)ak－(k－1)a.则当n＝k＋1时，a k＋1＝12－a k＝12－(k－1)－(k－2)ak－(k－1)a＝k(k－1)a2[k－(k－1)a]－[(k－1)－(k－2)a]＝k－(k－1)a(k＋1)－ka.故当n＝k＋1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有a n＝(n－1)－(n－2)an－(n－1)a成立．22．(本题满分14分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．[分析]考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析](1)f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′(2)＝0，f(2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a)＝0，8－6a＋b＝8.解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±a.当x∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．。
高二数学 人教版选修2-1习题 本册综合素质检测1 Word版含答案
本册综合素质检测(一)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“∀a 、b ∈R ，如果a ＝b ，则a 2＝ab ”的否命题是( )A ．∀a 、b ∈R ，如果a 2＝ab ，则a ＝bB ．∀a 、b ∈R ，如果a 2＝ab ，则a ≠bC ．∀a 、b ∈R ，如果a 2≠ab ，则a ≠bD ．∀a 、b ∈R ，如果a ≠b ，则a 2≠ab [答案] D[解析] 否命题既否定条件，又否定结论，故原命题的否命题是“∀a 、b ∈R ，如果a ≠b ，则a 2≠ab ”．2．下列说法中正确的是( )A ．“x >5”是“x >3”的必要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”C ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数D ．设p 、q 是简单命题，若p ∨q 是真命题，则p ∧q 也是真命题 [答案] B[解析] 命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”，故选B.3．已知A 、B 、C 三点不共线，对于平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM →＝OA →＋OB →＋OC →B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →[答案] D[解析] 若点M 与点A 、B 、C 一定共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，故选D. 4．已知方程x 21＋k ＋y 24－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <4B ．k <－1或k >4C ．k <－1D ．k >4[答案] B[解析] 由题意，得(1＋k )(4－k )<0，∴(k ＋1)(k －4)>0，∴k >4或k <－1.5．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.6．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)[答案] A[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，¬p 为x <12或x >1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，¬q 为x <a 或x >a ＋1.若¬p 是¬q 的必要不充分条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，所以0≤a ≤12.故选A.7．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12 B ．55 C.13 D ．22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55. 8．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.9．已知a 、b 是两异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a 、b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B.10．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) [答案] C[解析] 由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线x ＝－1，设直线l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4my －4＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1>0>y 2， ∵|AF |＝3|BF |，∴y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－4y 1＝－3y 2，解得y 2＝－23，∴y 1＝2 3.∴m ＝y 1＋y 24＝33，∴直线l 的方程为x ＝33y ＋1. 由对称性知，这样的直线有两条．11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D ．x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 由题意知，焦点在y 轴上，且2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝2.所以双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.12．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B ．833 C.21060D ．21030[答案] D[解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 设AB ＝a ，则A (22a,0,0)、B (0，22a,0)、C (－22a,0,0)． 设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵P A ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝34x ，则此双曲线的离心率为________.[答案] 54[解析] 由题意知b a ＝34，∴b 2a 2＝916，∴c 2－a 2a 2＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a 、OB →＝b 、OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a 、b 、c 表示MN →，则MN →等于________.[答案] －34a ＋12b ＋12c[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a .15．若双曲线x 2m －y 2m ＋2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] ∵抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，∴双曲线x 2m －y 2m ＋2＝1的一个焦点为(2,0)，∴a 2＝m ，b 2＝m ＋2，∴c 2＝2m ＋2＝4，∴m ＝1.16．过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为________.[答案] 120°[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a | ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49， ∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知命题p ：“方程x 2a －1＋y 27－a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2－(a －1)x ＋1<0”.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] (1)若命题p 为真命题，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －1>07－a >07－a >a －1，∴1<a <4.故实数a 的取值范围是(1,4)．(2)若命题p ∧q 为真命题，则p 真、q 真，由(1)知p 真，1<a <4. 若q 真，则不等式x 2－(a －1)x ＋1<0有解，即Δ＝(a －1)2－4>0， ∴a 2－2a －3>0，∴a >3或a <－1. 又∵1<a <4，∴3<a <4. 故实数a 的取值范围是(3,4)．18．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点坐标为(2,0)，短轴长为4 3.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 是椭圆C 上一点，且点P 与椭圆C 的两个焦点F 1、F 2构成一个直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[解析] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.由题意得c ＝2，b ＝23，∴a ＝4.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1，离心率e ＝c a ＝12.(2)当点P 为短轴的一个端点时，∠F 1PO ＝30°， ∴∠F 1PF 2＝60°.故不论点P 在椭圆C 上的任何位置时，∠F 1PF 2≠90°. ∵|PF 1|>|PF 2|，∴∠PF 2F 1＝90°. ∴|PF 2|＝b 2a ＝124＝3.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， ∴|PF 1|＝5，∴|PF 1||PF 2|＝53.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长|AB |＝3 5.(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的点，且△ABP 的面积为9，求点P 的坐标． [思路分析] (1)由弦长公式建立关于m 的方程求解； (2)设出P 点坐标，根据面积S ＝12|AB |·d 求解．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x 得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22(1－m )2－4×m 24＝5(1－2m )，∵|AB |＝35，∴5(1－2m )＝35，解得m ＝－4. (2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，∴2|a －2|5＝2×935，∴|a －2|＝3，∴a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．20．(本小题满分12分)(2015·湖南澧县一中高二期中测试)如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，AB ＝2BF ，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：CF ∥平面ADE ； (2)求二面角C －EF －B 的余弦值． [解析] (1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC .又∵四边形BDEF 是矩形，∴BF ∥DE .又∵BC ∩BF ＝B ，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴平面BCF ∥平面ADE ，又∵CF ⊂平面BCF ，∴CF ∥平面ADE .(2)建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设AB ＝a ，则BF ＝a2，则B (a ，－a,0)、C (a,0,0)、E (0,0，a 2)、F (a ，－a ，a2)．∴CE →＝(－a,0，a 2)、CF →＝(0，－a ，a 2)、BE →＝(－a ，a ，a 2)、BF →＝(0,0，a 2)．设平面CEF 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BEF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CE →＝0n 1·CF →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0n 2·BF →＝0.即⎩⎨⎧－ax 1＋a2z 1＝0－ay 1＋a2z 1＝0，⎩⎨⎧－ax 2＋ay 2＋a2z 2＝0a2z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1y 1＝1z 1＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝1z 2＝0.∴n 1＝(1,1,2)，n 2＝(1,1,0)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝223＝33.∴二面角C －EF －B 的余弦值是33. 21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1，有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，所以a ＝1713.22．(本小题满分14分)(2014·天津理，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．[解析] 解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，由E 为棱PC 的中点， 得E (1,1,1)．(1)BE →＝(0,1,1)、DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)、PB →＝(1,0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0x －2z ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量，于是有 cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)，由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)，解得λ＝34，即BF →＝(－12，12，32)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面F AB 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0n 1·B F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0－12x 1＋12y 1＋32z 1＝0， 不妨令z 1＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量，取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.解法二：(1)证明：如图，取PD 中点M ，连接EM 、AM .由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD . (2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM ，又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝2，故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H ，因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC ，又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH ，在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP ，由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A 、B 、F 、G 四点共面，由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010. 所以，二面角F －AB －P 的余弦值为31010.。
人教版高中数学选修2-2试题四套(带答案)(整理)
2
3 i 分别对应向量
OA 和 OB , 其中 O 为坐标原点 , 则 AB = （
C. （ ）
10
D. 4
8 、函数 f ( x )
1
A．在 (0, 2) 上单调递减 C ．在 (0, 2) 上单调递增 二、填空题（共 9. . 观察下列式子 6 题， 30 分）
1 1 2
2
B．在 ( D ．在 (
x （单位：元， 0≤ x ≤ 30 ）的平方成正比。
（ 2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
17（ 12 分） 、已知二次函数
2x y 0 平行．
2
f ( x)
ax
bx
3在x
1 处取得极值， 且在 (0, xf ( x )
3) 点处的切线与直线 4 x 的单调递增区间及
(1
）求 f ( x ) 的解析式； (2 ）求函数 g ( x )
4
0.8
0.2
（ D） C 5 ）
4
0.8
0.2
7 ,b
4 则 a， b， c 的大小关系为（
B． c>a>b x
3
C． c>b>a P 处切线的斜率的取值范围是（ C. (
3, )
D ． b>c>a ） D. [
3, )
3x
2 上的任意一点 B. (
3 3
,
)
,
)
6. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可 导函 数 f ( x ) ，如果
a 的取值范围是
________．
14. 现有 12 名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业 种。 （只列式） 三、解答题（共 6 题， 70 分）
高中数学人教A版选修2-2习题 综合检测1(能力卷) Word版含答案
第一章综合检测(能力卷)时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)．以正弦曲线＝上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是( )．[，]∪[，π)．[，π)．[，]∪(，]．[，][答案][解析]′＝，∵∈[－]，∴切线的斜率范围是[－]，∴倾斜角的范围是[，]∪[，π)．．若>，>，且函数()＝－－＋在＝处有极值，则的最大值等于( )．．．．[答案][解析]∵′()＝－－，又因为在＝处有极值，∴＋＝，∵>，>，∴≤()＝，当且仅当＝＝时取等号，所以的最大值等于.故选.．(·青岛高二检测)下列函数中，＝是其极值点的函数是( )．()＝－．()＝－．()＝．()＝－[答案][解析]对于，′()＝－≤恒成立，在上单调递减，没有极值点；对于，′()＝，当∈(－π，)时，′()<，当∈(，π)时，′()>，故()＝－在＝的左侧区间(－π，)内单调递减，在其右侧区间(，π)内单调递增，所以＝是()的一个极小值点；对于，′()＝－≤恒成立，在上单调递减，没有极值点；对于，()＝在＝没有定义，所以＝不可能成为极值点，综上可知，答案选.．已知函数()＝－＋－－在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数的取值范围是( )．(－，)．(－∞，－)，∪(，＋∞)．[－，]．(－∞，－]∪[，＋∞)[答案][解析]′()＝－＋－，∵()在(－∞，＋∞)上是单调函数，且′()的图象是开口向下的抛物线，∴′()≤恒成立，∴Δ＝－≤，∴－≤≤，故选.．函数()在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数＝′()的图象可能为( )[答案][解析]由图象知，()在<时，图象增→减→增，>时，单调递增，故′()在<时，其值为＋→－→＋，在>时为＋，故选.．已知函数()的导函数的图象如图所示，若△为锐角三角形，则一定成立的是( )．()>()．()<()．()>()．()<()[答案] [解析]由导函数图象可知，>时，′()>，即()单调递增，又△为锐角三角形，则＋>，即>>－>，故>(－)>，即>>，故()>()，选.．函数()＝＋－＋的图象经过四个象限，则实数的取值范围是( )．－<< ．－<<－．－<<－．<－或>。
人教版高中数学选修1-2综合测评测试卷.doc
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若 z=4+3i,则舌=()z 4—3i 4 3. kl =：77+7=5_5,-答案：D2. 下面几种推理是合情推理的是（）① 由圆的性质类比出球的有关性质;② 由直角三角形.等腰三角形、等边三角形的内角和是180。
, 归纳出所有三角形的内角和都是180。
;③ 张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分;④ 三角形内角和是180。
,四边形内角和是360。
,五边形内角 和是540° ,由此得凸多边形内角和是⑺一2）・180°・A.①②C.①②④ 解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理.所以①.②.④是合情推理.答案：C3. 有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系； 3Tin +- 4- 5 C3m - 4-5 解析: B.①③ D.②④②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系, 其中有相关关系的是（)A.①②③B.①②C・②③ D.①③④解析：曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确.其余均为相关关系.答案:D4.有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线方在平面么外，直线a在平面。
内，直线〃〃平面a,则直线b〃直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析：若直线平行平面a,则该直线与平面内的直线平行或异面, 故大前提错误.答案：A5.通过随机询问no名性别不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列联表:项目男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110n （ad—be）鼻_______ 皆虫（a+〃）（c+〃）（a+c） Q+d）算得110X (40X30-20X20)~7・8・60X50X60X50__附表:P(K2^k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认•为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K2Q7・8>6・635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”・答案:C6・如图所示，在复平面内，OP对应的复数是l-i,将OP向左平移一个单位后得到0。
高中数学(人教B版,选修22)知能基础测试+综合素质测试(2份)选修2-2知能基础测试
选修2－2知能基础测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·陕西理，8)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假[答案] B[解析] 本题考查四种命题的关系，真假判断，复数中共轭复数的概念． 若z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i.∴|z 1|＝|z 2|，故原命题正确、逆否命题正确． 其逆命题为：若|z 1|＝|z 2|，则z 1，z 2互为共轭复数，若z 1＝a ＋b i ，z 2＝－a ＋b i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 1，z 2不为共轭复数． ∴逆命题为假，否命题也为假．2．已平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A ，B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则( )A ．c ≤b ≤aB ．c ≤a ≤bC ．a ≤c ≤bD ．b ≤c ≤a[答案] A3．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →f (x ＋1)－f (1)2x＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32 B ．3 C ．6 D ．无法确定[答案] C [解析] lim x →f (x ＋1)－f (1)2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x＝12f ′(1)＝3，∴f ′(1)＝6.故选C. 4．给出下列命题①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；②⎠⎛－10 x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ⎠⎛ab d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错，而y ＝x 2是偶函数其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②正确，对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错．5．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．过x 2＋y 2＝10x 内一点(5,3)有n 条弦，它们的长度构成等差数列，最短的弦长为数列首项a 1，最长的弦长为数列的末项a n ，若公差d ∈⎣⎡⎦⎤13，12，则n 的取值范围是( )A ．n ＝4B ．5≤n ≤7C ．n >7D ．n ∈R ＋[答案] B[解析] A (5,3)，圆心O (5,0)，最短弦为垂直OA 的弦，a 1＝8，最长弦为直径：a n ＝10，公差d＝2n －1， ∴13≤2n －1≤12，∴5≤n ≤7. 8．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝1－ln xx 2，在(0，e)上f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上为增函数．∴f (a )<f (b )．故选C.9．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0B ．±3C ．0或±3D ．非以上答案 [答案] C[解析] 求出使y ′＝0的值的集合，再逐一检验．y ′＝3x 2＋2ax .令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－23a .由题设x ＝0时，y ＝0，故－43a ＝0，则a ＝0.且知当x ＝2，a ＝－3或x ＝－2，a ＝3时，也成立．故选C.10．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.11．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x)′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.12．设f (x )，g (x )分别是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0.且g (－3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D[解析] 令φ＝(x )＝f (x )g (x )，则φ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0对x <0恒成立， ∴当x <0时，φ(x )单调递增． 又∵g (－3)＝0，∴φ(－3)＝g (－3)·f (－3)＝0.从而当x <－3时，φ(x )<0，当－3<x <0时，φ(x )>0. 又φ(x )为奇函数．∴当0<x <3时，φ(x )<0，当x >3时，φ(x )>0， 综上，当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，φ(x )<0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了复数的运算． 复数1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，故(1＋i 1－i)2＝i 2＝－1. 14.如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负数实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是________．[答案] 4[解析] 据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个．15．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案] F ＋V －E ＝2 [解析] 本题考查归纳推理． 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝________.[答案] 2－3ln3[解析] 由条件知方程1－3x ＋a ＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx＝ |[x －3ln (x ＋1)]20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q . (1)求点P 的轨迹方程；(2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． [解析] 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .19．(本题满分12分)已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0. [解析] 证明：法1：(综合法) ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴(a ＋b ＋c )2＝0.即ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0，∴ab ＋bc ＋ca ≤0.法2：(分析法)因a ＋b ＋c ＝0，则要证ab ＋bc ＋ca ≤0 只需证：ab ＋bc ＋ca ≤(a ＋b ＋c )2， 即证：a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ≥0， 即证：12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]≥0.而这显然成立，因此，原不等式成立． 法3：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＋b ＝－c ，∴ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋(a ＋b )c ＝ab －(a ＋b )2 ＝－a 2－b 2－ab ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2≤0. 因此，ab ＋bc ＋ca ≤0.20．(本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．[解析] (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为： L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]． (2)L ′(x )＝(12－x 2)－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )令L ′＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′(x )的值由正变负．所以(1)当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )． (2)当9<6＋23a ≤283，即92<a ≤5时，L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，所以Q (a )＝⎩⎨⎧9(6－a )，3≤a ≤924⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92<a ≤5 .答：若3≤a ≤92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92<a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)．21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”， 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解⎩⎨⎧a >0Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]，即a 的取值范围为[1,9]．22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2,3，…. 求证：(1)0<a n ＋1<a n <1；(2)a n ＋1<16a 3n.[证明] (1)先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1,2,3，…. ①当n ＝1时，由已知知结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1. 因为0<x <1时，f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )在(0,1)上是增函数．又f (x )在[0,1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin1<1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，0<a n <1对一切正整数都成立． 又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sin a n －a n ＝－sin a n <0，所以a n ＋1<a n . 综上所述0<a n ＋1<a n <1.(2)设函数g (x )＝sin x －x ＋16x 3,0<x <1.由(1)知，当0<x <1时，sin x <x .从而g ′(x )＝cos x －1＋x 22＝－2sin 2x 2＋x 22 >－2⎝⎛⎭⎫x 22＋x22＝0.所以g (x )在(0,1)上是增函数．又g (x )在[0,1]上连续，且g (0)＝0，所以当0<x <1时，g (x )>0成立． 于是g (a n )>0，即sin a n －a n ＋16a 3n >0.故a n ＋1<16a 3n.。
人教版高中数学选修2-2单元测试题全套带答案.doc
最新人教版高中数学选修2-2单元测试题全套带答案阶段质量检测（一）（B 卷能力素养提升）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）已知函数二1,则它的导函数是（）y r2(x-l)心_12(x —l)2.设正弦函数y=sinx 在x=U 和x=号附近的瞬时变化率为灯k 2t 则k {f k 2的大小关系为（A ・ ki>k 2B ・ k\<k 2 C. k {=k 2D.不确定解析：选 A k\=y' |x-o =cosx|x -o =l, A 2 —y' |x=?=cosx|x=j=0, 所以 k\>ki.3. 函数/（x ） = 2x —sinx 在（一8, +8）上（ ）A.有最小值 B.是减函数 C.有最大值 D ・是增函数解析：选 D V/（x ）=2x —sinx, :.f （x ）=2—co$x;因为f （x ）=2—cosx>0 恒成立，所以 fix ）=2x — sin x 在（一8, +8）上是增函数.4. 曲线/（x ）=x 3+x —2在°）处的切线平行于直线y=4x —1,则p （）的坐标为（ ）A. （1,0）B. （2,8）C. （1,0）或（一 1, -4）D. （2,8）或（一1, -4）解析：选C 由y=x^+x-2t 得” =3X 2+1,・.•切线平行于直线j=4x-l, A3x 2+1=4,解之得 x=±l,当x=l 时，j=0;当x= —1时，j=—4./.切点P （）的坐标为（1,0）和（一1, —4）,故选C ・c.2心一 1 x —1 D-解析: 寸X[选B u=x-l f y f f d 书厂戸-2d)・5.求曲线j=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A・S= i(x2—x)dxB.S=几(x—C.5= f i(y2~y)dyD.S= H(y—&dy解析：选B两函数图象的交点坐标是(0,0), (1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0z l]±, x^x2, 故函数y=x2与y=x所围成图形的面积S= i(x—x2)dr.6.A.设/(x)=x2-2x-41nx,则/(x)的单调递增区间为( )(0, +°°)B.C.(-l,0)U(2, +8)(2, +°°)令 A x)=3x 2 _*'・ 则 f (x)=6x-x 2・ 当 f (x)=0 时，6x —x 2=0,Ax=0 或 x=6.D. (-ho)解析：选 C f (x)=2x-2 —g,由 2x — 2—£>0,即 ---- 公——>0,解得一 1 VxV0或X >29又因为x>0,所以x>2,故选C. AT7.己知实数a,b,c,(l 成等比数列，且函数j ；=ln(x+2)-x,当x=b 时取到极大值c,则加等于() A. —1B ・0 C. 1D ・2 二jR-l,令 j ；=0 得 x=-l,当一 2VxV-l 时，丿 >0;当 ％> — 1 时，丿V0.A. 36C- 25解析：选A ・・・x+3j ，=9, B. 18 D. 42解析：选A y •\ad=bc=~\,故选 A.&已知xMO, yMO, x+3y=9,则兀■的最大值为(9—x 1 x^y =x而/(O)=o, /(6)=3X36-亍X216=36, /(9) = 0.・\Ax)辽大值=/(6)=36・9.已知函数/(X )=«X 3-3X 2+1,若金)存在唯一的零点X 。
2020学年高中数学学期综合测评(二)新人教A版选修2-2(2021-2022学年)
学期综合测评（二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分１50分,考试时间12０分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共1２小题,每小题5分，共６0分）1．下列说法正确的是（）A.2＞2ｉﻩB．2>(3ｉ)2Ｃ.２+3i＜3+３i Ｄ．２＋2i＞2＋ｉ答案B解析本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小,故排除A，C,D；而B中（3ｉ）2=－9＜2，故选B。
2.用反证法证明命题“若直线AＢ,ＣD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步:①则Ａ，B，C,D四点共面,所以AB，ＣD共面，这与ＡB,CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AＣ,BD也是异面直线;③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为（)A．①→②→③ ﻩＢ.③→①→②C.①→③→②D.②→③→①答案B解析本题主要考查反证法的步骤.反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.３.a,b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1;②a+b＝2;③a+ｂ>2;④ａ2+b２＞2；⑤ab〉1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）Ａ．②③ B.①②③C.③ D．③④⑤答案C解析若a=错误!，b=错误!,则a+b>1,但a〈１,b<1,故①推不出；若ａ=b＝1，则a+b=2，故②推不出；若a＝-2，ｂ=-3,则a2+b2〉2,故④推不出；若ａ=-2，b=-３,则ab〉1，故⑤推不出；若a＋b>2，则ａ,b中至少有一个大于１.我们可以用反证法进行证明:假设ａ≤1且ｂ≤１，则a+b≤2,与a+ｂ〉2矛盾,因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于１.因此③能推出.故选Ｃ.4．用数学归纳法证明12＋22+…+(n-1)2+ｎ２＋（n－1)２+…＋22+1２＝错误!未定义书签。
时,从ｎ＝ｋ到n=k+１时，等式左边应添加的式子是( )A．(k-1)2+2k2B．(k+1）2＋k２C．(k＋1）2ﻩ D.错误!（k+１）［２(k＋1)２+1］答案B解析n=k时，左边=１2+22+…＋(k－１）2＋ｋ２＋（k－1)2＋…＋２２+１２，n＝k＋1时,左边＝12＋2２+…+(ｋ-1)2＋k2+（k+1)２＋ｋ2+(k-1)2+…＋２2+12,∴从n＝k到n＝k＋１,左边应添加的式子为（k+1）2+k2。
人教版选修2-1综合测试卷及答案
人教版选修2-1综合测试卷及答案已知命题p：“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m>n”，命题q：“存在一个正整数k，使得对于任意正整数m，都有m<k”，则下列说法正确的是（。
）。
A。
命题p是真命题，命题q是假命题B。
命题p是假命题，命题q是真命题C。
命题p和命题q都是真命题D。
命题p和命题q都是假命题答案：A解析：命题p中的“存在”可以换成“对于任意”，即“对于任意正整数n，都有一个正整数m，使得m>n”。
这是显然成立的，因为可以取m=n+1.所以命题p是真命题。
命题q中的“存在”不能换成“对于任意”，因为这样的话就是命题p了。
所以命题q是“存在一个k，使得对于任意m，都有m<k”的形式，即“存在一个正整数k，使得k是正整数中的最小值”。
这是显然不成立的，因为正整数中是没有最小值的。
所以命题q是假命题。
因此选A。
1、双曲线的离心率为$\sqrt{3}$。
2、抛物线方程为$y=ax^2$。
3、直线AE与平面AED所成角的大小为45°。
4、y轴与平面$\alpha$所成的角的大小为$\frac{\pi}{4}$。
5、k的值为$\frac{2}{\sqrt{5}}$。
6、2a-b的最大值为$5$。
7、椭圆的离心率为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。
8、正确命题的序号为①、②、③、④。
9、解：由题意得$$\begin{cases}2x-1\frac{1}{2a}-1.\end{cases}$$ 因为$p\lor q$为真命题，所以$p$和$q$至少有一个为真命题。
若$p$为真命题，则$\frac{1}{2a}-10$。
综上可得，$a\in(0,\frac{1}{4})$。
10、解：由题意得$$\begin{cases}b=k\lambda a,\\ka\cdot b+kb\cdot a=18,\\(ka+b)\cdot(ka-b)=0.\end{cases}$$ 将第一条式子代入第二条式子，得$k\lambda a^2+kb^2=18$，即$k\lambda+k\frac{b^2}{a^2}=18$。
高二数学人教A版选修2-2习题综合检测1(能力卷)Word版含答案
f 1 <0， ∵f (x)＝ 0 在 [0,2] 上有解，∴
f 2 >0，
m－2≤ 0，
∴
∴－ 2≤m≤2.
2＋ m≥ 0，
1 10 若函数 f(x)＝ x－3sin2x＋asinx 在( －∞，＋∞ )单调递增，则 a 的取值范围是 ( )
4．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－ x－1 在 (－∞，＋∞ )上是单调函数， 则实数 a 的取值范围是 (
)
A ． (－∞，－ 3)，∪ ( 3，＋∞ )
B． (－ 3， 3)
C． (－∞，－ 3]∪ [ 3，＋∞ )
D． [ － 3， 3]
[答案 ] D [解析 ] f ′ (x)＝－ 3x2＋ 2ax－ 1，∵ f(x)在 (－∞ ，＋ ∞)上是单调函数，且 f ′ (x)的图象是
A ． [－2,2] B ．[0,2] C．[ － 2,0]
D． (－∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )
[答案 ] A [解析 ] 令 f(x)＝ x3－ 3x＋m，则 f ′ (x)＝ 3x2－3＝ 3(x＋ 1)(x－ 1)，显然当 x<－1 或 x>1 时，
f ′ (x)>0， f(x)单调递增，当－ 1<x<1 时， f ′ (x)<0 ，f(x)单调递减， ∴在 x＝－ 1 时， f(x)取极大值 f( －1)＝ m＋ 2，在 x＝1 时， f(x) 取极小值 f(1)＝ m－ 2.
或
a>67.
故选 D.
8．定义域为
R 的函数
f(x) 满足 f (1)＝ 1，且 f(x)的导函数
f
′
(
x)>
1，则满足 2
2f(x)< x＋1 的 x 的集
高中数学综合能力测试题1新人教B版选修2-1(2)
时间120分钟，满分150分.一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有 且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1." a = b ” 是"直线 y =x + 2 与圆(x — a )2 + (y — b )2=2 相切”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 ［答案］A［解析］圆心(a , b )，半径r = ,2,若a = b ,则圆心(a , b )到直线y = x + 2的距离d分不必要条件，故应选 A.已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么 ( )A. 丙是丁的充分条件，但不是丁的必要条件B. 丙是丁的必要条件，但不是丁的充分条件C. 丙是丁的充要条件D. 丙既不是丁的充分条件，也不是丁的必要条件 ［答案］A［解析］由已知条件，得“乙？甲”，即“点 P 在曲线C 上，则点P 的坐标适合方程 F (x , y ) = 0”，它的逆否命题是：“若点 P 的坐标不适合方程 F (x , y ) = 0，则点P 不在曲 线C 上”，即“丙? 丁”.3. 给出下列关于互不相同的直线m l , n 和平面a ,卩的四个命题：①m ? a , l A a = A ,点A ?m ,则I 与m 不共面;② m l 是异面直线，I // a , m// a ,且 n 丄I , n 丄m ,贝U n 丄a ； ③ 若 I //a , m//卩，a / 3，贝y l // m④ 若 I ? a , n ? a , l A m= A, l // 3 , m// 3，贝U a // 3 . 其中为假命题的是()4个选项，其中有•••直线与圆相切,若直线与圆相切则 |a — b + 2|—2—此时 a = b 或 a — b =— 4,•是充A.①B.②C.③D.④［答案］C［解析］逐一验证①由异面直线的判定定理得I与m为异面直线，故①正确.②由线面垂直的判定定理知②正确.③I可能与m相交或异面，故③错误.④由线面垂直的判定定理得a//®，故④正确，故选 C.24. 设P为双曲线X2—12= 1上的一点，F i, F2是该双曲线的两个焦点，若|PF| ：|PF| =3 : 2,贝U A PF1F2的面积为()A. 6 3B. 12C. 12 3D. 24［答案］B［解析］'/| PF| : | PB| = 3 : 2,又有| PF| —| PF = 2,•••丨PF| = 6, | PH| = 4,又Tl F i F2I = 2c= 2 13,•••(213) 2= 62+ 42,A Z RPR = 90°,1• S A PFF2 = X 6X 4= 12.5. 已知以F1(—2,0) , F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+ 3y+ 4 = 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A. 3 2B. 2 6C. 2 7D. 4 2［答案］C2 2［解析］由题意c = 2,焦点在x轴上，故该椭圆方程为T2 + 2y= 1,与X + ■_ 3y + 4 a a —4 =0联立方程组，令 A = 0，解得a = Y7.6. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线的点P(k,—2)与点F的距离为4,则k等于()A. 4 B . 4 或一4C.—2 D . —2 或22 2 27. 设集合M= {( x, y)| x + y = 1, x € R, y € R}, N= {( x, y)| x —y= 0}，则集合Mn N［答案］B［解析］由题设条件可设抛物线方程为x2=—2py(p>0)，又点P在抛物线上，则k2= 4p,pT|PF = 4「. ；+ 2= 4，即p= 4 ,• k =± 4.中元素的个数为（）A. 1个B . 2个 C. 3个D . 4个 ［答案］B& 若 POL 平面 ABC 0为垂足，/ ABC= 90°, / BAC= 30°, BC= 5, PA= PB= PC= 10, 则PO 的长等于（）A. 5 B . 5 .'3 C. 10 D . 10 '3 ［答案］B 9.已知圆x 2+ y 2= 1,点A （1,0） , △ ABC 内接于圆，且/ BAC= 60°，当BC 在圆上运动 时，BC 中点的轨迹方程是（ ）2 2 2 23A. x + y =尹.x + y = 42 2 1 1 2 2 1 1C. x + y = 2（x <2）D . x + y = 4（x <4） ［答案］D10. 在正方体 ABC B A 1B 1OD 中，下列各式中运算结果为向量 BD 的是（ ）3 n•sin / B 吐2，宀B 吐亍①（AD — AA ） — AB;③（X D- A B — 2DD;A.①②B .②③ C.③④D .①④ ［答案］A②（热 BB ）— DiC ； ④（BD + AA ）+ D D .11.如图所示，在直二面角 a —l —3中，A, B€ l , AC? a , ACLl ,BD> 3, BD L l , |AC = 6, | AB| = 8, | BQ = 24，则线段CD的长是（）A. 25 B . 26C. 27 D . 28［答案］B［解析］••• AC L AB BD L ABAC" AB= 0, BD・ AB= 0, AC・ BD= 0, CD= CAFAB+ BD—X 2 ~X —X —X 2•••I CD = | CA^AB+ BD = 676,12.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点P（2cos x+ 1,2cos2 x + 2,0）和点Qcos x,—1,3），其中x €［0 , n ］，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为（）ABGD 和平面ABCD 勺一个法向量，并证明这两个平面互相垂直.［解析］设D 为原点，分别以 DA DC DD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系贝V D (0,0,0) ，A (1,0,0) ，B (1,1,0) ，Q0,1,0) ，D (0,0,1)，A (1 ,0,1 ) ，B ( 1 , 1 , 1 )，C (0,1, 1).则A B= (0,1,0) , BC = ( - 1,0,1).设平面ABCD 的一个法向量为 n 1 = (x , y , z )，贝Un 1 • AB= y = 0, n 1 • BC = — x + z = 0,不妨令 x = 1,贝U z = 1.故m= (1,0,1)，设平面 ABCD 的一个法向量为 n 2,同理，可求 ( — 1,0,1),［答案］C［解析］ 由题意得 OPL 0Q 得 cos x (2cos x + 1) — (2cos2 x + 2) = 0，利用 cos2 x = 2cos 1 2x2 1—1，化简后得 2cos x — cos x = 0,于是 cos x = 0 或 cos x = 2，因为 x € ［0 , n ］，所以二、填空题（本大题共4个小题，每空4分,13.命题“若a >b ,贝U 3a >3b — 1”的否命题为 ［答案］若 a w b ,则 3a <3b — 1共16分，把正确答案填在题中横线上>3b — 1”的［解析］“a >b ”的否命题是“ a < b ”，“3•••原命题的否命题是“若 a w b ,则3a w3b — 1”. A （ a, 0）和耳0 , a ）的直线与抛物线 y =x 2 — 2x — 3没有交点，那么实数a 14.如果过两点 的取值范围是［答案］（ -7)［解析］过AB 两点的直线为：x + y = a 与抛物线y = x 2— 2x — 3联立得x 2 — x — a — 3=0，因为直线x 与抛物线没有交点，则方程无解.即A = 1 + 4（a + 3）<0，解之13a < —215.在正三棱柱 ABC-ABC 中，侧棱长为｛2,底面三角形的边长为 1，则BG 与侧面ACCA 1所成的［答［解取AC 中点E,连接BE 则BE ±平面ACG 1,：/ BCE 为线面角. 由已知得BE =¥，BC =G ，•5 -n2 = (1,0,1) • ( —1,0,1) =—1 + 0 + 1= 0,n1丄n2. 平面ABCD丄平面ABCD118. (本小题满分12分)已知条件p：|5x —1|> a和条件q： 2 >0,请选取适当2X —3x 十1的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A, B构造命题：若A则B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题.1—a 1 + a［解析］已知条件p即5x—1<—a或5x—1>a,. x< 或x> .5 52 1已知条件q 即2x —3x 十1>0,. x<2或x>1.3令a= 4,则p即x< —匚或x>1，此时必有p? q成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a= 4, A为p, B为q,对应的命题是“若A则B'.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.2 119. (本小题满分12分)设命题p：函数f(x) = lg( ax2—x十16旬的定义域为R;命题q：不等式，2x十1<1十ax对一切正实数均成立.如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.2 1 2 1［解析］命题p为真命题？f (x) = lg( ax —x十^a)的定义域为R? ax —x十^^a>0对任意实数x均成立？a>2,所以命题p为真命题？a>2.命题q为真命题？2十1 —1<ax对一切正实数"2x十1 - 1 = 一——= 一对一切正实数x均成立，由于均成立？a>x x(p2x+ 1十1) p2x 十1十1____ _____________ 2x>0,所以2x+ 1>1,所以2x十1十1>2，所以-------------- <1,所以命题q为真命题？a》1.yj2x十1十1由题意知p与q有且只有一个是真命题.当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a€ ［1,2］.综上知a€ ［1,2］.2x 220.（本小题满分12分）设F i, F2分别是椭圆-+ y = 1的左、右焦点.⑴若P是第一象限内该椭圆上的一点，且P F•陸=—5，求点P的坐标；（2）设过定点M0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A, B,且/ AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线I的斜率k的取值范围.［解析］⑴由题意得a= 2, b= 1, c=〈：;'3 ,••• F i（—■ 3, 0）, R（3, 0）.设P（x, y）（x>0, y>0）,^U PF • PF>=（—羽一x, —y）•（羽一x,—y）= x2+ y2—3=—4,联立7x+ y = 4,x2= 1, 解得23y=4,(2)显然k = 0不满足题设条件.可设直线2x+ y= 1,y2).联立4y= kx + 2,2 2•x + 4( kx + 2) = 4,2 2•••(1 + 4k )x + 16kx+ 12= 0,12 16k•X1X2=，2, X1+ X2= —- 7J-2,1 + 4k 1 + 4k l 的方程为y= kx + 2,设A(X1, yj , B(X2,32 2 2 2 2 2 xj由A = (16 k) —4 • (1 + 4k) • 12>0,16 k —3(1 + 4k )>0,4 k —3>0 ,得k >4①.又/ AOB为锐角，二cos / AOB0 , •OA O肾0 ,• OA- OB= X1X2+ y1y2>0.2又yy = ( kx1+ 2)( kx2 + 2) = k X1X2+ 2k( X1 + X2)+ 4 ,2 2 • X1X2 + y1y2 = (1 + k ) X1X2 + 2k(X1 + X2) + 4 = (1 +12 16k 1+k2 + 2k ( —1+忑2) + 4=2 212(1 + k) 2k • 16k 4(4 —k) 2—牙 + 4 = $>0 , • 0<k<4②.1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k综合①②可知4<k2<4 ,• k的取值范围是（一2,—于）U（-f , 2）.21.（本小题满分12分）（2010 •天津理，20）已知椭圆2 2X yg+ b^= 1(a>b>0)的离心率e =£，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线I 与椭圆相交于不同的两点 A, B.已知点A 的坐标为(一a, 0)，点QO , y 。
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一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a <2”是“a 2<2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由a 2<2a ，得0<a <2.a <2⇒/ 0<a <2，而0<a <2⇒a <2，故选B.2．下列四个命题中正确命题的个数为( ) ①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0 ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0 ③∃x ∈R ，使x 2<x④∃x ∈N *，使x 为29的约数A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 2x 2－3x ＋4＝2(x －34)2＋238>0，故①正确；当x ＝－1时，2x ＋1＝－1<0，故②不正确；当x ＝0.1时，x 2＝0.01，∴x 2<x ，故③正确；1是29的约数，故④正确，故选C.3．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于( )A ．85 B.85 C ．5 2 D ．50[答案] B[解析] 由题意AC ′＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以|AC ′→|2＝|AB →＋AD →＋AA ′→|2，代入计算可得，|AC ′→|2＝85. ∴AC ′＝85.4．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则向量OD →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－32[答案] B[解析] 如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12. ∴D 点坐标为(0，－12，32)， 即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．5．在[－4,4]上任取一个m ，使得曲线x 24＋m ＋y 2m －1＝1表示双曲线的概率是( )A.58B.516 C.38 D.34[答案] A[解析] 由题意可得(4＋m )(m －1)<0，解得－4<m <1，所有m 的可能结果对应的区间长度为4－(－4)＝8，而使得x 24＋m ＋y 2m －1＝1表示双曲线的对应区间长度为1－(－4)＝5，故所求概率为P ＝58，选A.6．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )的交点个数是( )A ．4个B ．2个C ．0个D ．与a 的取值有关[答案] B[解析] 曲线y ＝－1－x 2即x 2＋y 2＝1(y ≤0)，曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )，即y ＝－|ax |，两曲线如图所示，必有2个交点．故选B.7．(2013·新课标Ⅱ文，10)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A, B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) [答案] C[解析] 由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线x ＝－1，设直线l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4my －4＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1>0>y 2， ∵|AF |＝3|BF |，∴y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－4，y 1＝－3y 2，解得y 2＝－23，∴y 1＝2 3.∴m ＝y 1＋y 24＝33，∴直线l 的方程为x ＝33y ＋1. 由对称性知，这样的直线有两条． 即y ＝±3(x －1)．[点评] 1.求出y 1，y 2后也可以代入x ＝y 24求得x 1、x 2.由k ＝y 1－y 2x 1－x 2得到斜率用点斜式写出l 方程或用两点式直接写出l 的方程．2．由于A 、B 两点没有指明位置，故由对称性知，这样的直线应有两条，每个选项都是两条，故只需求出一种情况即可获解．3．可以用焦点弦长与倾斜角的关系|AB |＝2psin 2θ求解．(其中θ为直线AB 的倾斜角)．4．若设直线方程为y ＝k (x －1)，则可利用定义，由|AF |＝3|BF |得，x 1＝3x 2＋2，结合韦达定理求解．8．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833C.21060D.21030[答案] D[解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设AB ＝a ，则A (22a,0,0)，B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)． 设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵P A ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.9．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1 ,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0[答案] D[解析] 设Q (x ，y )，∵|PM |＝|MQ |∴M 为PQ 中点， ∴P 为(－2－x,4－y )．∵P 在直线2x －y ＋3＝0上，∴y ＝2x ＋5，∴选D.10．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.11．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |等于( )A.43B.423C.83D.823 [答案] B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得3x 2＋4x ＝0.∴x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝0， ∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2169＝423.故|AB |＝423.12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 [答案] A [解析] ∵|PF 1F 1F 2PF 2|＝，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，其中|F 1F 2|＝2c ＝3k ，∴c ＝32k .若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6k .∴a ＝3k .∴e ＝c a ＝32k 3k ＝12.若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2k ，∴a ＝k .∴e ＝c a ＝32k k ＝32.∴e 的取值为12或32.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过双曲线x 24－y 24＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.[答案] 8[分析] 由双曲线定义及条件知|MF 2|－|MF 1|＝|NF 2|－|NF 1|＝2a ＝4.[解析] 根据双曲线的定义，|MF 2|＋|NF 2|－|MN | ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4×2＝8.14．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ，故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)， ∴2λ＝5，∴λ＝52.15．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案] 24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴∠CBE ＝60°.连接CE ，如图所示，设正方形的边长为1， ∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°， ∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1. 连接CF ，∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角． 又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2.又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2，∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24. 解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2，∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24， 即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24.16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________．[答案] 120°[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )，设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0，∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12， 而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0.且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <3，2<x <4.即2<x <3. ∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．(本小题满分12分)已知点A (－1,0)，B (1,0)，分别过A 、B 作直线l 1与l 2，使l 1⊥l 2，求l 1与l 2交点P 的轨迹方程．[解析] 设l 1：y ＝k (x ＋1)，(k ≠0)(1)则l 2：y ＝－1k (x －1)(2)(1)与(2)两式相乘，消去k 得，y 2＝－(x 2－1)，∴x 2＋y 2＝1，特别地，当k 不存在或k ＝0时，P 分别与A 、B 重合，也满足上述方程，∴所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1.19．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 和平面ACC 1A 1所成角的大小．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，∵E 、F 是AA 1、AB 的中点，∴E (2,0,1)，F (2,1,0)．∴EF →＝(0,1，－1)．又B (2,2,0)，DB →＝(2,2,0)，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD ⊥平面ACC 1A 1，∴DB →为平面ACC 1A 1的法向量cos 〈EF →，DB →〉＝EF →·DB →|EF →|·|DB →|＝12. ∴EF →与DB →成的角为π3∴EF 与平面ACC 1A 1所成的角为π6.20．(本小题满分12分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1，交于A 、B 两点，记ΔAOB 的面积为S .(1)求在k ＝0,0<b <1的条件下，S 的最大值．(2)当|AB |＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．[解析] (1)设点A 的坐标为(x 1，b )，B 为(x 2，b )，由x 24＋b 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2，所以S ＝12b ·|x 1－x 2|＝2b ·1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1，当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1.(2)联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(k 2＋14)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，Δ＝4k 2－b 2＋1① |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·4k 2－b 2＋114＋k 2＝2② 设O 到AB 的距离为d ，则 d ＝2S |AB |＝1，又因为d ＝|b |1＋k2，所以b 2＝k 2＋1，代入②式整理得k 4－k 2＋14＝0，解得k 2＝12，b 2＝32， 代入①式检验，Δ>0，故直线AB 的方程为y ＝22x ＋62，或y ＝22x －62，或y ＝－22x ＋62，或y ＝－22x －62.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是正三角形且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是矩形，E 是AB 中点，PC 与平面ABCD 的夹角为30°.(1)求平面PCE 与平面CDE 夹角的大小；(2)当AD 为多长时，点D 到平面PCE 的距离为2.[解析] 取AD 的中点O ，连接PO .∵△P AD 是正三角形，∴PO ⊥AD ，又面P AD ⊥面ABCD .∴PO ⊥面ABCD ，以O 为原点，OD 为x 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，连接OC ，则∠PCO 为PC 与面ABCD 的夹角，∴∠PCO ＝30°.设AD ＝a ，则PO ＝32a ，OC ＝32a ，CD ＝2a .∴P (0,0，32a )，D (12a,0,0)，C (12a ，2a,0)，E (－a 2，22a,0)．(1)∵PE →＝(－a 2，22a ，－32a )，PC →＝(12a ，2a ，－32a )，设平面PCE 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PE →＝0⇒－a 2＋22ay －32az ＝0，n ·PC →＝0⇒a 2＋2ay －32az ＝0.解得，n ＝(1，－2，－3)．又平面DEC 的一个法向量为OP →＝(0,0，32a )，∴cos 〈OP →，n 〉＝－3·(32a )6·32a＝－22. ∴平面PCE 与平面CED 夹角的大小为45°.(2)CD →＝(0，－2a,0)，D 到平面PCE 的距离d ＝|CD →·n ||n |＝2a 6， 由2a 6＝2，得a ＝ 6. 即AD 长为6时，点D 到平面PCE 的距离为2.22．(本小题满分14分)(2013·福建理，19)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值；(3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)[解析] (1)取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，所以CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n |AA 1→|·|n || ＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 72k 2＋26k ， 0<k ≤518，36k 2＋36k ， k >518.[点评] 本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积，在证明线面垂直时一定要写全条件，即 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b a ⊥c b ∩c ＝O b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α，此时极易因条件不全造成失分．。
(人教A版)高中数学【选修2-2】：本册综合测试试卷(含答案)
本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋12i .答案 B2．若f(x)＝e x ，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2eD ．－2e解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e . ∴lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2e .答案 D3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32D ．33解析 观察前几项知，5＝2＋3，11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能答案 A5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0， 解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0解析 由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－13)＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e .∵e 2－e >4，ln 2<lne ＝1,2<73<3， ∴S 3>S 1>S 2. 答案 B9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .49144解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92D ．9解析 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)． ∴阴影部分的面积为S ＝⎠⎛03(x －x 2＋2x)d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪ 30＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．解析 因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－1)＋2＝n m ，(－1)×2＝p m ，解得m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限． 答案 第二14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析 ∵⎠⎛1－1(3x 2＋2x)d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪ 1－1＝2， ∴2(3a 2＋2a)＝2.即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1，或a ＝13. 答案 －1或13 15．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________．解析 观察上列等式可得第4个等式为(4＋1)(4＋2)(4＋3)(4＋4)＝24×1×3×5×7，…，第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x)＝4(x 2＋1)－4x·2x (x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x)>0，得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.若在区间(m,2m ＋1)上是单调增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m>－1，2m ＋1<1，解得－1<m<0.但m ＝0时，也适合，故－1<m ≤0.答案 (－1,0]三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A>sin B ，则∠B 必为锐角．证明 假设B 不是锐角，则0°<∠A<∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°， ∴sin A<sin (180°－B)，即sin A<sin B ，这与已知sin A>sin B 矛盾，故∠B 必为锐角．18．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)d x＝－2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0.∴f(x)＝ax 2＋2－a.又∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝13a ＋2－a ＝－2，∴a ＝6.从而c ＝－4.故f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴f(x)min ＝－4.f(x)max ＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解 由y ＝f ′(x)的图象可知，在(－∞，－1)上f ′(x)<0，在(－1,2)上f ′(x)>0，在(2，＋∞)上f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x ＝－1处取得极小值， 所以x 0＝－1.∵f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f(－1)＝－7， 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.20．(12分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ＝ax 2－10ax ＋25a ＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2ax －10a ＋6x ＝2a (x －5)＋6x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝－8a ＋6.故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． 又点(0,6)在切线上，得6－16a ＝8a －6，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，(x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)； 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )的减区间为(2,3)．由此可知，当x ＝2时，f (x )取得极大值f (2)＝92＋6ln2. 当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解 (1)易求得S 1＝1＝22，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.(2)①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，S k ＝2kk ＋1，则当n ＝k ＋1时， S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1 ＝(k ＋1)2(S k ＋1－S k )，∴S k ＋1＝(k ＋1)2k 2＋2k ·2k k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，这表明当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①，②可知，对n ∈N *， S n ＝2n n ＋1，从而a n ＝S n n 2＝2n (n ＋1).22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)， 即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)，当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x，所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0， 故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)． 当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.匠心文档，专属精品。
人教a版(数学选修2-2)测试题及参考答案(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
高中数学选修超级综合测试
高中数学选修(2-2)超级综合测试(一)(总8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高中数学（2-2）综合测试（一）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．演绎推理是（ ）Ａ．特殊到一般的推理 Ｂ．特殊到特殊的推理 Ｃ．一般到特殊的推理 Ｄ．一般到一般的推理 2．m ∈R ，复数22(232)(32)i m m m m --+-+表示纯虚数的充要条件是（ ）Ａ．12m =-或2m =Ｂ．2m = Ｃ．12m =-Ｄ．2m =或1m = 3．若()f x 在区间[]a b ，上有()0f x '>，且()f a 0≥，则在()a b ，内有（ ） Ａ．()0f x > Ｂ．()0f x < Ｃ．()0f x = Ｄ．()f x 符号不确定4．下列各命题中，不正确的是（ ） Ａ．若()f x 是连续的奇函数，则()0aa f x dx -=⎰Ｂ．若()f x 是连续的偶函数，则0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰Ｃ．若()f x 在[]a b ，上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰Ｄ．若()f x 在[]a b ，上连续，且()0baf x dx >⎰，则()f x 在[]a b ，上恒正5．设*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+ Ｃ．111234++Ｄ．11112345+++6．设复数i()z a b a b =+∈R ，对应的点在虚轴的右侧，则（ ） Ａ．0a >，0b >Ｂ．0a >，0b < Ｃ．0b >，a ∈R Ｄ．0a >，b ∈R7．在平面直角坐标系内，方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为a b ，的直线，拓展到空间，在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(0)a b c abc ≠，，的平面方程为（ ）Ａ．1x y z a b c ++= Ｂ．1x y z ab bc ca ++= Ｃ．1xy yz zxab bc ca++= Ｄ．1ax by cz ++=8．已知函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于(10)，点，则()f x 的极大值和极小值分别为（ ） Ａ．427，0 Ｂ．0，427Ｃ．427-，0Ｄ．0，427-9．设a b c d ∈R ，，，且c d ，不全为零，若iia b c d +∈+R ，则（ ） Ａ．0bc ad +≠Ｂ．0bc ad -≠ Ｃ．0bc ad -=Ｄ．0bc ad +=10．设函数()y f x =在区间[02]，上是连续函数，则20()f x dx =⎰（ ） Ａ．121()()f t dx f t dx +⎰⎰Ｂ．12()()f t dt f t dt +⎰⎰Ｃ．121()()f t dt f t dt +⎰⎰Ｄ．12102()()f x dx f x dx +⎰⎰11．把数列{}*21()n n +∈N 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，分别为：(3)，(57)，，(91113)，，，(15171921)，，，，(23)，(2527)，，(293133)，，，(35373941)，，，，…，则第104个括号内各数之和为（ ）Ａ．2036Ｂ．2048 Ｃ．2060 Ｄ．207212．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（ ） Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()baf x dx ⎰ Ｃ．1()2b a f x dx ⎰ Ｄ．1()ba f x dxb a-⎰ 13．若函数22(0)x m y m x+=>在0x 处的导数等于0，那么0x 等于（ ） Ａ．m Ｂ．m - Ｃ．m ±Ｄ．2m14．复数2sin570icos(2)z =+-对应的点位于复平面的（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限15．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ）Ａ．212S r =Ｂ．212S t = Ｃ．12S rl = Ｄ．不可类比16．设28ln y x x =-，则此函数在区间104⎛⎫ ⎪⎝⎭，和112⎛⎫⎪⎝⎭，上分别为（ ）Ａ．单调递增，单调递增 Ｂ．单调递增，单调递减 Ｃ．单调递减，单调递增Ｄ．单调递减，单调递减17．若ABC △能分割为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ） Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形Ｄ．不能确定18．已知12i z =-，213i z =+，则复数21i 5z z z =+的虚部为（ ） Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．i Ｄ．i -19．曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ）Ａ．43Ｂ．89Ｃ．83Ｄ．4920．在实数运算中，若0a ≠，则有ab ac b c =⇒=，利用类比推理，在向量运算中，若0≠a ，则有⇒a b =a c b =c ，对此推理，下列说法正确的是（ ）Ａ．推理完全正确Ｂ．推理形式不正确Ｃ．被类比对象的性质不正确Ｄ．类比对象不合适 21．定积分π220sin 2xdx ⎰等于（ ）Ａ．π142- Ｂ．π142+ Ｃ．1π24-Ｄ．π12- 22．若复数3i()12ia z a +=∈+R 是纯虚数，则a 的值等于（）Ａ.2- Ｂ.4 C.6-Ｄ.623．用数学归纳法证明“52n n -能被3整除”的第二步中，当1n k =+时，为了使用假设的结论，应将1152k k ++-变形为（ ） Ａ．(52)452k k k k -+⨯-Ｂ．5(52)32k k k -+⨯ Ｃ．(52)(52)k k --Ｄ．2(52)35k k k --⨯24．若方程433410x mx -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） Ａ．11m -≤≤Ｂ．1m ≥或1m -≤ Ｃ．11m -<< Ｄ．1m >或1m <-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．25．若3()log (1)(1)f x x x =->，则(2)f '= ．26．观察223sin 20cos 50sin 20cos504++=，223sin 15cos 45sin15cos 454++=，请写出一个与以上两式规律相同的等式： ．27．设222log (33)ilog (3)()z m m m m =--+-∈R ，若z 对应的点在直线210x y -+=上，则m 的值是．28．作变速直线运动的物体，初速度为30m/s 时的速度为30 1.5s v t =--，则该物体停止后，运动的路程为．29．若a b ∈R ，，且22(i)(1i)32i a b +++=+，则ab的值等于．30．若()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=．31．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是．32．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形有 个小方格．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．33．在ABC △中，若90C ∠=，则22cos cos 1A B +=．在立体几何中，给出四面体类似性质的猜想．34．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．35．已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．36.设x ∈R ，函数2e ()(1)2xf x ax a -=++．（1）当1a =-时，求()f x 在[12]-，上的最值；（2）求证：当0a ≥时，()f x 在R 上为减函数．37．（本小题15分）由坐标原点O 向曲线323(0)y x ax bx a =-+≠引切线，切于点O 以外的点111()P x y ，，再由1P 引此曲线的切线，切于1P 以外的点222()P x y ，．如此进行下去，得到点列{}()n n n P x y ，．（1）求n x 与1(2)n x n -≥的关系式；（2）求数列{}n x 的通项公式，并证明．38．已知()(1)(2)(3)(2006)f x x x x x =----，求(1)f '的值．39．设20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．40．已知函数()f x 的定义域是(0)+∞，，且当0x >时，满足()()f x f x x'>． （1）判断函数()f x y x=在(0)+∞，上的单调性； （2）当0m >，0k >且1k ≠时，比较()kf m 与()f km 的大小．高中数学（2-2）综合测试（一）答案：一、1．Ｃ,2．Ｃ,3．Ａ,4．Ｄ,5．Ｃ,6．Ｄ,7．Ａ,8．Ａ,9．Ｃ,10．Ｃ,11．Ｄ,12．Ｄ 13.Ｃ14．Ｃ15．Ｃ16．Ｃ17．Ｂ18．Ａ19．Ｃ20．Ｃ21．Ａ22．Ｃ23．Ｂ24．Ｃ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．25：1ln 3,26：223sin 10cos 40sin10sin 404++=,27：11500m 81.29．2-,30．3,31．12a <≤,32．20201. 三、解答题：33．解：如图，在Rt ABC △中，2222222cos cos 1a b a bA B c c c +⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 于是，把结论类比到四面体，我们猜想：在四面体P ABC -中（如图2），若三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两互相垂直，且分别与底面所成的角为αβγ，，，则222cos cos cos 1αβγ++=． 34．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =．故2()21f x x x =++；（2）依题意，得0221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，3112t ∴=-． 35．解：设i()z x y x y =+∈R ，．由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，即2222261234y x x y -⎧=⎪+⎨⎪+=+⎩，，OA BC ≠，3x ∴=-，4y =舍去．5z ∴=-．36．解：（1）当1a =-时，21()e 2x f x x -=-，21()e (2)2x f x x x -'=-．由()0f x '=，得0x =或2x =．当10x -<<时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<．()f x ∴在0x =处取得极大值0．又1(1)e 2f -=-，22(2)e f =-，故在[12]-，上，()f x 的极大值为0，最小值为e2-； （2）证明：21()e (21)2x f x ax ax a -'=--++．当0a =时，1()e 02x f x -'=-<，()f x ∴在R 上为减函数．当0a >时，244(1)40a a a a ∆=-+=-<，2210ax ax a ∴-++>恒成立，则()0f x '<，此时，()f x 在R 上为减函数．故当0a ≥时，()f x 在R 上为减函数． 37．解：（1）2()36f x x ax b '=-+．在点111()P x y ，处的切线为11111:()()(0)l y y f x x x x '-=-≠． 1l 过原点，322111111(3)()(36)x ax bx x x ax b ∴--+=--+，解得132x a =． 则当2n ≥时，在点()n n n P x y ，处的切线:()()n n n n l y y f x x x '-=-，n l 过点111()n n n P x y ---，，11()()n n n n n y y f x x x --'∴-=-，整理，得221111[23()]()0n n n n n n n n x x x x a x x x x ----+----=，211()(23)0n n n n x x x x a --∴-+-=． 由1n n x x -≠，得1230n n x x a -+-=，113(2)22n n x x a n -∴=-+≥；（2）由（1）知1131111222x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，21131222x a a ⎡⎤⎛⎫=---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2112a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，231131222x a a ⎡⎤⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3112a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由此猜想出112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，已证：②假设当*()n k k =∈N 时，猜想成立，即112k k x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则当1n k =+时，11322k k x x a +=-+1131222ka a ⎡⎤⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1113222k a a a +⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭1111122k k a a a++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故当1n k =+时，猜想也成立．由①和②可知，数列{}n x 的通项公式112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．38．解：设()(1)()f x x g x =-， 其中()(2)(3)(2006)g x x x x =---，则()()(1)()f x g x x g x ''=+-， 所以(1)(1)(1)(2)(2005)1232005f g '==-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯⨯．39．解：依题意得，232320011()(28)8833x x F x t t dt t t t x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭⎰，定义域是(0)+∞，．（1）2()28F x x x '=+-,令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<，10 由于定义域是(0)+∞，，∴函数的单调增区间是(2)+∞，，单调递减区间是(02)，．（2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍， 由于20(1)3F =-，28(2)3F =-，(3)6F =-， ()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28(2)3F =-． 40．解：（1）由于2()()()f x f x x f x x y x x '''-⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦2()()xf x f x x '-=． 又因为当0x >时，()()f x f x x'>， 所以()()f x xf x '>，故2()()0xf x f x x'-<，即0y '<， 因此函数()f x y x =在(0)+∞，上是单调递减函数； （2）由（1）知，若1k >，则km m >，而函数()f x y x=是单调递减函数， 则()()f km f m km m <，即得()()kf m f km >． 若01k <<，则km m <．因此()()f km f m km m>，即得()()kf m f km <． 综上，当1k >时，()()kf m f km >；当01k <<时，()()kf m f km <．。
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选修2－2 综合能力测试卷（一）时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·陕西理，8)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假[答案] B[解析] 本题考查四种命题的关系，真假判断，复数中共轭复数的概念． 若z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i.∴|z 1|＝|z 2|，故原命题正确、逆否命题正确． 其逆命题为：若|z 1|＝|z 2|，则z 1，z 2互为共轭复数，若z 1＝a ＋b i ，z 2＝－a ＋b i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 1，z 2不为共轭复数． ∴逆命题为假，否命题也为假．2．已平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A ，B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则( )A ．c ≤b ≤aB ．c ≤a ≤bC ．a ≤c ≤bD ．b ≤c ≤a [答案] A3．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0f (x ＋1)－f (1)2x ＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32 B ．3 C ．6 D ．无法确定[答案] C [解析] lim x →0f (x ＋1)－f (1)2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x＝12f ′(1)＝3，∴f ′(1)＝6.故选C. 4．给出下列命题①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；②⎠⎛－10 x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ⎠⎛ab d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错，而y ＝x 2是偶函数其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②正确，对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错．5．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．过x 2＋y 2＝10x 内一点(5,3)有n 条弦，它们的长度构成等差数列，最短的弦长为数列首项a 1，最长的弦长为数列的末项a n ，若公差d ∈⎣⎡⎦⎤13，12，则n 的取值范围是( )A ．n ＝4B ．5≤n ≤7C ．n >7D ．n ∈R ＋[答案] B[解析] A (5,3)，圆心O (5,0)，最短弦为垂直OA 的弦，a 1＝8，最长弦为直径：a n ＝10，公差d ＝2n －1，∴13≤2n －1≤12，∴5≤n ≤7. 8．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝1－ln xx 2，在(0，e)上f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上为增函数．∴f (a )<f (b )．故选C.9．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0B ．±3C ．0或±3D ．非以上答案[答案] C[解析] 求出使y ′＝0的值的集合，再逐一检验．y ′＝3x 2＋2ax .令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－23a .由题设x ＝0时，y ＝0，故－43a ＝0，则a ＝0.且知当x ＝2，a ＝－3或x ＝－2，a ＝3时，也成立．故选C.10．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.11．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.12．设f (x )，g (x )分别是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0.且g (－3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D[解析] 令φ＝(x )＝f (x )g (x )，则φ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0对x <0恒成立， ∴当x <0时，φ(x )单调递增． 又∵g (－3)＝0，∴φ(－3)＝g (－3)·f (－3)＝0.从而当x <－3时，φ(x )<0，当－3<x <0时，φ(x )>0. 又φ(x )为奇函数．∴当0<x <3时，φ(x )<0，当x >3时，φ(x )>0， 综上，当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，φ(x )<0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了复数的运算． 复数1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，故(1＋i 1－i)2＝i 2＝－1. 14.如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负数实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是________．[答案] 4[解析] 据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个．15．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812[答案] F ＋V －E ＝2 [解析] 本题考查归纳推理． 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a )dx＝________.[答案] 2－3ln3[解析] 由条件知方程1－3x ＋a ＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx＝ |[x －3ln (x ＋1)]20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． [解析] 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)． 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .19．(本题满分12分)已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0. [解析] 证明：法1：(综合法) ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴(a ＋b ＋c )2＝0.即ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0，∴ab ＋bc ＋ca ≤0.法2：(分析法)因a ＋b ＋c ＝0，则要证ab ＋bc ＋ca ≤0 只需证：ab ＋bc ＋ca ≤(a ＋b ＋c )2， 即证：a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ≥0， 即证：12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]≥0.而这显然成立，因此，原不等式成立． 法3：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＋b ＝－c ，∴ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋(a ＋b )c ＝ab －(a ＋b )2＝－a 2－b 2－ab ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2≤0. 因此，ab ＋bc ＋ca ≤0.20．(本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )． [解析] (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为： L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]． (2)L ′(x )＝(12－x 2)－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )令L ′＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′(x )的值由正变负．所以(1)当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )． (2)当9<6＋23a ≤283，即92<a ≤5时，L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，所以Q (a )＝⎩⎨⎧9(6－a )，3≤a ≤924⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92<a ≤5 .答：若3≤a ≤92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92<a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)． 21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”，由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解⎩⎨⎧a >0Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]，即a 的取值范围为[1,9]．22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2,3，….求证：(1)0<a n ＋1<a n <1；(2)a n ＋1<16a 3n.[证明] (1)先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1,2,3，…. ①当n ＝1时，由已知知结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1. 因为0<x <1时，f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )在(0,1)上是增函数．又f (x )在[0,1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin1<1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，0<a n <1对一切正整数都成立． 又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sin a n －a n ＝－sin a n <0，所以a n ＋1<a n . 综上所述0<a n ＋1<a n <1.(2)设函数g (x )＝sin x －x ＋16x 3,0<x <1.由(1)知，当0<x <1时，sin x <x .从而g ′(x )＝cos x －1＋x 22＝－2sin 2x 2＋x 22>－2⎝⎛⎭⎫x 22＋x22＝0.所以g (x )在(0,1)上是增函数．又g (x )在[0,1]上连续，且g (0)＝0，所以当0<x <1时，g (x )>0成立． 于是g (a n )>0，即sin a n －a n ＋16a 3n >0.故a n ＋1<16a 3n.。