光的衍射习题课

I I0
o
图（b）
sin
N 2 ba 2 b
k 2,4,6 ……缺级
中央明纹中有3个主极大
I I0
o
sin
图（c）
b b 4 N4 b k 4,8,12 缺级
中央明纹中有7个主极大
1.根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵 面为 S，则 S 的前方某点 P 的光强度决定于波阵面 S 上 所在面积元发出的子波各自传到 P 点的 （A）振动振幅之和； （B）光强之和； （C）振动振幅之和的平方； （D）振动的相干叠加。
(m 0, 1, 2 ; m '' 1, 2, 3 N 2)
因此, 在两个干涉主极大之间 有(N-2)个 干涉次极大.
（4）缺级
b sin n （a+b)sin m.
ab m . b n
例如
(n 1, 2, )
wk.baidu.com
d 3, 则 m 3, 6 等级次 b


(1)干涉主极大:
d sin k
(光栅方程)
（2） 干涉极小
m' d sin (m ) (m 0, 1, 2) N (m ' 1, 2, 3 , N 1.)
可见，在两个主极大之间有N－1个极小。 (3) 干涉次极大
2m '' 1 d sin (m ) 2N
第二章 光的衍射 习题课
一、基本要求
1．了解惠更斯—菲涅耳原理,菲涅耳 半波带法 2．掌握单缝夫琅禾费衍射的条纹分布，以 及缝宽，波长等对衍射条纹的影响
3．理解光栅衍射方程，会分析光栅常数，
光栅缝数N等对条纹的影响
二、基本内容
1. 菲涅耳半波带法


B2
r3=r2+λ/2 r2=r1+λ/2 B3 r1=r0+λ/2
f 解：(1) x 2 b
40 10 2 600 10 9 2 0.6 10 3
0.8mm
p
(2)
x ftg
tg sin
b

f
x
b sin 2k 1) / 2 （
o
k 3
第三级明纹
由b sin (2k 1) / 2可知
当k 3时，可分成2k 1 7个半波带。
6、一束平行单色光垂直入射到一光栅上，若光栅 的透光缝的宽度b与不透光部分的宽度b’相等， 则可能看到的衍射光谱的级次有哪些？
光栅常数：
d b b' 2b
d sin k b sin k '
d k k ' 1， 2,... 2 b k'
缺级：
k 2k ' (k ' 1,2,3,...)
L
D
P

A
B C
F
屏
BP AP BC 3 6

2
暗条纹
BP AP BC 2.5 5

2
明条纹
4、在单缝夫琅禾费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应 的单缝处的波面可划分为几个半波带？若将缝宽缩小 一半，原来第三级暗纹处将是什么条纹？
暗纹条件： 半波带数目
b sin 2k

f
x o
3．x=600nm单色光垂直入射光 栅，已知第二级，第三级明纹 分别位于 sin 2 0.2与sin 3 0.3 处，且第4级缺级，求 光栅常数（ b a）和缝宽b
解（1）由光栅方程，有 (b a) sin k 已知 (b a) sin 2 2 (b a) sin 3 3
被调制掉, 条纹不出现. 总之,光栅光强是多光束干涉被单缝衍射调制的结果.
三、讨论 1．由下列光强分布曲线，回答下列问题 （1）各图分别表示几缝衍射 （2）入射波长相同，哪一个图对应 的缝最宽
ba （3）各图的 等于多少？有 b
哪些缺级?
I I0
o
sin
图（a）
N 1 单缝衍射
缝最宽
2f (因为 x0 ） b
解:(1)利用光栅方程 d sin k k 2 600 10 9 d 2.4 10 4 cm sin sin30 0 (2) 若第三级不缺级，对光栅有： d sin 3 由于第三级缺级，对应最小可能的缝宽满足单缝衍射 第一级暗纹： b sin
可允许在屏上x=1.5mm处的明纹为波长 600nm的第二级衍射和波长为420nm的第三 级衍射
（2）此时单缝可分成的波带数 分别是 k 2, 时 为 2k 1 5
k 3, 时 为 2k 1 7
讨论：当单缝平行于透镜（屏）上下微小 平移时，屏上的条纹位置是否也随之移动. 位置不变！为什么？ 2．双缝干涉实验中，缝距 b a 0.4mm ， 缝宽 b 0.08mm，即双缝（N=2）的衍射， 透镜焦距f=2.0m，求当 480 nm 光垂直 入射时，
得 b a 6 10 m
ba 又因第4级缺级，则由 k k ， 得 b ba 4 4 b 1.5 10 m b
4
4、波长为600nm的单色平行光，垂直入射到缝宽为 b=0.60mm的单缝上，缝后有一焦距f=60cm的透镜 ，在透镜焦平面上观察衍射图样。则中央明纹的宽 度 是多少？两个第三级暗纹之间的距离是多少？
L
( D ) 2 .
D P

b
A

[D]
B C
BC b sin
暗纹:
屏
b sin 2k

2
k
k 1,2,3,
3、用单色光照射狭缝，BP-AP=3，问题： （1）狭缝可分为几个半波带？ （2）P点处是明条纹还是暗条纹？ （3）若BP-AP=2.5，结果又如何？
E dS 2r CK ( ) cos(t ) r
dS
[D]
en
·
Q
dE(p)
r
p
S
2.一束波长为的平行单色光垂直入射到一单缝 AB 上， 在屏幕 D 上形成衍射图样，如果 P 是中央亮纹一侧 第二个暗纹所在的位置，则BC 的长度为 ( A ) .
( B ) /2.
( C ) 3 /2.
（1）条纹的间距 （2）单缝中央亮纹范围内的 明纹数目（为什么要讨论这一 问题？） 解：分析 双缝干涉却又受 到每一缝（单缝） 衍射的制约，成为 f 一个双缝衍射， (图示衍射图样)
x x o
（1）由 (b a) sin k 得明纹 中心位置 xk xk fk 因为 sin f ba 条纹间距
d sin k


2
kmax 3.636
9.用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，1 600 nm 2 400 nm ，发现距离中央明纹5cm处 1光的第k级主极大 和 2 光的第(k+1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透 镜的焦距f=50cm,问：（1）上述k=?(2)光栅常数d=? 解：1 的k级与 2 的(k+1)级主极大谱线相重合
中央明纹宽度：
60 10 2 600 10 9 f x 2 2 1.2mm 3 b 0.6 10
两个第三级暗纹间距：
kf 3 60 10 2 600 10 9 x' 2 2 3.6mm 3 0.6 10 b
kf xk b
5.波长为 600nm 的单色平行光垂直入射到缝宽 b =0.6mm 的单缝上，缝后有一焦距 f = 40 cm 透镜。求： （1）屏上中央明纹的宽度; （2）若在屏上 P 点观察到一明纹，op=1.4mm ，问 P 点处是 第 几级明纹？对 P 点而言缝处波面可分成几个半波带？
f
由式（1），式（2）得， (x) 处波长为 2bx
k 1, 1 1000nm k 3, 3 420nm k 4, 4 333nm
f (2k 1)
( x 1.5mm, f 50cm)
x x o
f
在可见光范围内，满足上式的光波：
k 2, 2 600nm (符合) (符合)
B1 B0
(1)P点合振幅：
1 An (a1 an ) 2
n 为偶数 n 为奇数
S
R
r0
●
P
a1 无任何衍射屏时： A0 2
菲涅耳圆孔衍射
2 n 1 1 R→∞（平行光入射） (2)最大波带数 n r0 R 2 n n , n nr0 r0
bmin
d 0.8 10 4 cm 3
10. 波长 600 nm 的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级 30 0 ，且第三级是缺级。 主极大的衍射角为 （1）光栅常数d=? （2）透光缝可能的最小宽度b=? （3）在选定了上述光栅常数和透光缝宽度后，求在衍射角 / 2 / 2 范围内可能观察到的全部主极大的级次。
2、夫琅和费单缝衍射
sin u . 光强公式 I I 0 2 u b sin 其中：u ,
2

(1) 中央衍射极大 当 ＝０ 时，
I 0 I 0 .
sin u lim 1. 2 0 u
2
(2) 各级衍射极小
b sin k
各极小近似等间距， (3) 各级衍射次极大

2
k（k 1,2,3) 6个半波带
缝宽变化前： b sin 3
b sin k ' 缝宽变化后： 2 b 1 sin k ）（k 1,2,3) （ 2 2
3 k ' 1.5 2

此级数对应明纹还是暗纹？
第一级明纹
四、计算 1．单缝衍射，缝宽b=0.5mm， 透镜焦距f=50cm，以白光垂直 入射，观察到屏上 x=1.5mm明纹中心 求：（1）该处光波的波长 （2）此时对应的单缝所在处的波阵面分成 x 的波带数为多少？ 解（1）由单缝衍射明 x 纹条件得 b sin (2k 1) o 2 k 1,2 （1） x f sin （2） 又因为
x xk 1 xk
（2）欲求在单缝中央 明纹范围内有多少条明 纹，需知单缝衍射中央 f 明纹宽度 l2 b
ba
f 24 10 3 m
x

f
x o
（由 b sin 求得） 所以该范围内有明条纹为 2f
l b 2 b a 10 f x b ba
或者从中央明纹半（角）宽 度来考虑，则有明纹 f l
2 b f x ba ba 5 b
x

f
x o
即总共可以看到11条（包括 零级明条）的明条纹，但是
ba 因为 5，即出现缺级现象 b (5, 10)
所以，在单缝中央明级范围内可以看到9 条明纹(-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4) x
能看到的级次是：
k 0， 1 3， 5， ， ...
7、波长为 的单色光垂直照射在缝宽为b,总缝数 为N,光栅常数为d的光栅上，光栅方程（表示 出现主极大的衍射角 应满足的条件）为：
d sin k (k 0,1,2,3,...)
8、波长为 550 nm 的单色光垂直照射在光栅 d 2 10 4 cm 的光栅上，可能观察到的 常数为 光谱线的最高级次为 3 级。
b sin (n ) (n 1, 2,...)
1 2
(4) 中央明条纹的角宽度 两第一衍射极小之间的角距离就是中央极大的 角宽度（是其它明条纹角宽度的两倍）:
0 21 2sin
1

2 . b b

3：光栅衍射（多缝衍射） 光强公式
2 2
sin u sin Nv I I0 2 2 u sin v b sin d sin 其中：u ,v
d sin k
d sin 1 k1
d sin 1 (k 1)2
k
1 2
2
2
x ftg1 tg1 sin 1
d
f
o
d k1 f / x 1.2 10 3 cm
1
x
10. 波长 600 nm 的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级 30 0 ，且第三级是缺级。 主极大的衍射角为 （1）光栅常数d=? （2）透光缝可能的最小宽度b=? （3）在选定了上述光栅常数和透光缝宽度后，求在衍射角 / 2 / 2 范围内可能观察到的全部主极大的级次。