弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶 第四章 平面问题的极坐标解答
弹性力学双语课件第四章平面问题极坐标解答
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
7
Only the radial displacement takes place只有径向位移
• PP=ur AA=ur+ur/ rdr BB= ur+ur/ d
• r=(PA -PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(ur+ur/rdr)ur]/dr=ur/r
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
13
rxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由rxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。
1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。
Equations yields the axisymmetrical strain
components.
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
23
[/(rr)+2/r2 ]2 =0
• [/(rr)+2/r2 ] [ /(rr)+2 /r2 ] =0 • /(rr) /(rr)=r-2 ’’-r-3 ’ /(rr) [2 /r2 ]=r-1’’’
r4’’’’+2r3 ’’’ -r2 ’’ +r’=0
• Assume r=et
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
(4.5.2)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第四章
25
the corresponding strains and displacements 相应的应变及位移
• Substitution of Eqs. (4.5.3)-(4.5.5) into physical Equations yields the axisymmetrical strain components. 将式 (4.5.3)-(4.5.5) 的应力代入物 理方程得应变分量，为轴对称。
弹性力学(徐芝纶)第四章习题答案
第四章 习题解答4-14-2、解：本题为轴对称应力问题，相应的径向位移为： ()()()()()θ+θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡υ-+υ-+-υ-+υ+-=sin cos ln K I Cr 12Br 311r Br 12r A 1E 1u r (1) 轴对称应力通式为()()02ln 232ln 2122=+++-=+++=θθτσσr r C r B rAC r B r A由应力边界条件()()()()0,00,===-=====b r r b r r a r r a r r q θθτστσ并结合位移单值条件可知B=0，求得：22222222ab qa C a b qb a A -=--= 因半径的改变与刚体位移I ，K 无关，且为平面应变问题，将A 、B 、C 代入（1）式，并将υυυυ-→-→1,12EE 得：内半径的改变：()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∆=υυυυυυυυ11*111112222222222222a b a b Eqa a a b qa a a b q b a E u ar r外半径的改变：()()()2222222222221*11111a b ab E qa b a b qa b a b q b a Eu br r --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∆=υυυυυυ 圆筒厚度的改变：()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=∆-∆=∆==υυυ112a b a b E qa u u R ar r b r r4-2另解：半径为r 的圆筒周长为r π2，受载后周长则为 ()θθεπεππ+=+1222r r r ， 于是半径为 ()θε+1r ，半径的改变量则为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛---=C r A C rA r E E r r r 212111*2222υυυσυυσυεθθ将对应的A 、C 及r=a,b 分别代入，可求出内外半径的改变及圆筒厚度的改变。
弹性力学徐芝纶版第4章
第四章 平面问题的极坐标解答
比 较
1 f 0。 (a) x yx fx 0 x y
式(a)中第一、二、 四项与直角坐标的方 方程相似; 而第三项 分别由PB、AC面不 相等和PA、BC面不平 行引起。
为边界上已知的面力分量。
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
例：写出应力边界条件（集中力偶作用处为小边界） b a 0 d 0 0 a 0
a
b 0 b 0
0
q
2
2
0
0 0
l
q0
0
0
0
0
2
2
0
0
第四章 平面问题的极坐标解答
PB线应变 PB PB PC PB (ρ u ρ ) d υ ρ d υ u ρ ευ PB PB ρdυ ρ
第四章 平面问题的极坐标解答
PA转角 0, PB转角
O
d
x P
d
P
A
u
B C
u
A
u
d
y B ( u )d CB β tan u PC u d u ρ u ρ (u d υ) u ρ dυ υ υ ∴切应变为 ρ u d υ d
1.只有径向位移 u ，求形变。 P,A,B 变形后为 P', A', B'， 在小变形假定 O x β 1 下， u P d d
弹性力学简明教程(第四版)_第四章_课后作业题答案
弹性力学简明教程(第四版)_第四章_课后作业题答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第四章 平面问题的极坐标解答【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。
【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即22(12ln )2(32ln )20AB CAB C ρϕρϕσρρσρρτ⎫=+++⎪⎪⎪⎪=-+++⎬⎪⎪⎪=⎪⎭ (a) 首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得-q 2(12ln )2AB C ρσρρ=+++= (b)其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，ϕσ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。
按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。
），当=0ρ时，必须有0A B ==。
把上述条件代入式（b ）中，得/2C q =-。
所以，得应力的解答为-q 0ρϕρϕσστ===。
【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。
【解答】（1）相容条件：将应力函数Φ代入相容方程40∇Φ=，显然满足。
（2）由Φ求应力分量表达式=-2sin 222sin 222cos 2B C B C B Cρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎧+⎪⎪=+⎨⎪=--⎪⎩（3）考察边界条件：注意本题有两个ϕ面，即2πϕ=±，分别为ϕ±面。
在ϕ±面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。
因此，有2()0,ϕϕπσ=±= 得0C =； -q 2(),ρϕϕπτ=±= 得2qB =-。
将各系数代入应力分量表达式，得sin 2sin 2cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变量，并求圆筒厚度的改变量。
弹性力学 徐芝纶版第四章5
Φ
4
x
4
2
Φ
4
x y
2
2
Φ
4
y
4
0
y3 y 2 3 h h
qx 2 4
3 qy 2 y y 4 3 3 1 h h 10
y qy 0 q 24 3 24 3 0 h h
(d)
将式（d）代入式（b），有
u
2F cos E
u
2 F cos E
( ln ) f1 ( )
积分上式，得
u
2 F sin E
( ln ) f1 ( )d f 2 ( )
(e)
第四章 平面问题的极坐标解答
含孔矩形板应力计算
一般小孔口问题的分析：
q q q q q q q q
主应力
孔附近应力
q
q
45°
q
q
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-9 半平面体在边界上受集中力
如图所示，无限大半平面体， 在其边界上受集中力F（实际 为沿厚度方向的分布力，单位 是N/m，量纲为MT-2）。求其 应力和位移。 采用半逆解法
b
F
应力边界条件为：
2
, 0
0, 0
x
2
, 0
显然满足。
第四章 平面问题的极坐标解答
在集中力作用点处，如 图绕原点作任意小半径r 的半圆，利用平衡条件 写出边界条件：
b
y
d
F
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【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2—15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替?如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。
这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。
将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力(主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。
如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2—15）,就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。
【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足,试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。
【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力(应力）的平衡条件。
研究对象整体的外力是满足平衡条件的,其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程第四版_课后习题解答
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么就是均匀的各向异性体,什么就是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件与钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基与土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件与土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件与岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】(1)连续性假定:假定物体就是连续的,也就就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变与位移等物理量就可以瞧成就是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示她们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体就是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间就是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体就是均匀的,即整个物体就是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都就是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体就是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定:假定位移与变形就是微小的。
亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变与转角都远小于1。
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶 第四章 平面问题的极坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
第六节 圆环或圆筒受均布压力 第七节 压力隧洞 第八节 圆孔的孔口应力集中 第九节 半平面体在边界上受集中力 第十节 半平面体在边界上受分布力 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
(u ρ
uρ d ρ dρ
ρ)uρ
u ρ ρ
,
PB线应变
εφ
PB PB PB
PC PB PB
(ρ
u
ρ
)dφ ρ
ρdφ
uρ ρ
;
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PA转角 0,
PB转角
β
CB
CB
(u
u ρ φ
d φ) u ρ
1
u ρ
。
PC PB
ρdφ
ρ φ
此项表示，由于径向位移 u所 引起的环向 线段的伸长应变。
(g)
x2 y2 2 2 2
第四章 平面问题的极坐标解答
相容方程应力公式
2.极坐标中的相容方程
4Φ 22Φ 0,
(h)
其中2如式(g)所示。
3.极坐标中应力用应力函数 Φ( ρ,φ)
表示，可考虑几种导出方法：
(1) 从平衡微分方程直接导出（类似于 直角坐标系中方法）。
第四章 平面问题的极坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
F 0,
ds xds cos cos yds sin sin xyds cos sin yxds sin cos 0, 得
xcos2 ysin 22 xy cossin。 (a)
弹性力学简明教程第四版课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学-04
剪应变为：
（d）
r111
1 r
ur
（e）
(2) 只有环向位移，无径向位移。O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
drdr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
y
d
rP
2
dr
x
B B
P
u
2
A
A u
u r
dr
2
u
u r
d
d r
ru
u r
u
u
d
（g）
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB BBPP
说明：
作为作业！
式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式！
（3）相容方程的坐标变换：
2
2 x2
2 y2
—— 直角坐标下Laplace 算子
在极坐标下Laplace 算子的形式？
（3）相容方程的坐标变换：
y
Y
0
2
xy
2. 极坐标下的应力分量与变形协调方程（相容方程）
（1）极坐标与直角坐标间的关系：
r2 x2 y2
arctany
O
r
x y
xrcos
yrsinx
y
x
P
r x cos
x r
r y sin (r,)
y r
y sin
xr2 r
（2）应力分量的坐标变换：
x cos
y r2 r
r
r
r
d
r
r
dr
r r
1 r r
r
r
kr 0
1 r rr2rrk0
弹性力学简明教程-第四版习题详解
弹性力学简明教程（第四版）习题解答第一章【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
徐芝纶弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答
x x dx y ； x y
( y )C y
y x
dx
y y
y
( xy ) A xy ；
( xy ) B xy xy y
xy x
( yx ) A yx
dy ； ( yx ) A yx yx y dy
y
y
(c)
M
E
0
dx dy dx x dy 1 yx dx 1 dy y dx 1 y 2 2 2 xy dy dy dx ( x x dx)dy 1 ( xy dx)dy 1 dx f x dxdy 1 f y dxdy 1 0 x 2 x 2 2 ( y dy )dx 1
2
正的应力
正的面力
【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。 【解答】 材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正， 反之为负。 弹性力学中规定， 作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正， 作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。 【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。 【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。 正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。 正的切应力对应于正的切应变： 在如图所示应力状态情况下， 切应力均为正的切应力， 引起直角减小，故为正的切应变。
y
M
C
0 改为对角点的力矩平衡条件， 试问将导出什么形
式的方程？ 【解答】 将对形心的力矩平衡条件
M
C
0， 改为分别
弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
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的 向有投影。
第四章 平面问题的极坐标解答
MC 0 通过形心C的力矩为0，当
考虑到二阶微量时，得
。
(c)
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－2 极坐标中的几何方 程及物理方程
几何方程—表示微分线段上形变和位移 之间的几何关系式 。
过任一点ρ,φ 作两个沿正标向的微分线
u
,
1
u
u
,
(a)
u
1
u
u
。
第四章 平面问题的极坐标解答
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程，
且 ρ与 为φ 正交，
故物理方程形式相似。
第四章 平面问题的极坐标解答
物理方程
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，只须作如下同样变
换，
E
E
1
2
,
。 1
第四章 平面问题的极坐标解答
边界条件
边界条件—应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－3 极坐标中的应力函 数与相容方程
(
d)d
cos
d
2
d
cos
d
2
(
d )(
d )d
d
(
d)d sin
d
2
d
sin
d
2
f dd
0,
略去三阶微量，保留到二阶微量，得
1
2
f
0。
(b)
第四章 平面问题的极坐标解答
式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程 相似，而
τ ρφ —是由于 ρ面的面积大于 ρ面引起 ρ 的，
uφ
,
PA d ρ ρ
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PB转角变形前切线OP,变形后切线OP,
POP u （。使直角扩大，为负值）
此项表示：环向位移uφ引起的环向线段的转
角（极坐标中才有）。
切应变
u
u 。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
3.当 和u ρ 同u时φ 存在时，几何方程为
∴切应变为
1
u
。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
2.只有环向位移 u,φ求形变
P,A,B 变形后为 P，A，B，各点的位移如图 (b)。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PA线应变
0
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d
φ)
u
ρdφ
1 ρ
uφ ; φ
P
(u ρ
uρ d ρ dρ
ρ)uρ
u ρ ρ
,
PB线应变
εφ
PB PB PB
PC PB PB
(ρ
u
ρ
)dφ ρ
ρdφ
uρ ρ
;
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PA转角 0,
PB转角
β
CB
CB
(u
u ρ φ
d φ) u ρ
1
u ρ
。
PC PB
ρdφ
ρ φ
此项表示，由于径向位移 u所 引起的环向 线段的伸长应变。
第四章 平面问题的极坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
直角坐标(x,y)与极坐标 比(较,)：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x和y的量纲均为L。
极坐标中, 坐标线（ =常 数）和 坐标线 （ =常数）在不同点有不同的方向;
第四章 平面问题的极坐标解答
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微 量，得
1
f
0。
(a)
式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向 相似；而
第四章 平面问题的极坐标解答
σ ρ —是由于 ρ面面积大于 面ρ
ρ 面积而引起的，
σφ —是由于φ面上的 在C点的 ρ 向有投影。
第四章 平面问题的极坐标解答
Fφ 0 通过形心C的 φ向合力为0，
作用力
微分体上的作用力有： 体力— f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。
应力— ρ面，φ 面分别表示应力及其
增量。 应力同样以正面正向，负面负向的 应力为正，反之为负 。
第四章 平面问题的极坐标解答
平衡条件
平衡条件 应用假定:（1）连续性，（2）小变形。
考虑通过微分体形心 C 的, 向，列出
三个平衡条件:
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的 量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引起弹性
力学基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和 环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极 坐标表示边界简单，使边界条件简化。
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－1 极坐标中的平衡 微分方程
在A内任一点（ ，）取出一个微分
段,
PA d, PB d。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
1.只有径向位移 ，u求 形变。
P,A,B 变形后为 P',，A'各,B点' 的位移如图。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
在小变形假定下，β 1
cos 1,
PBPC,
sin ,
tan 。
PA线应变
ερ
PA PA PA
第一节 极坐标中的平衡微分方程 第二节 极坐标中的几何方程及物理方程 第三节 极坐标中的应力函数与相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移
第四章 平面问题的极坐标解答
第六节 圆环或圆筒受均布压力 第七节 压力隧洞 第八节 圆孔的孔口应力集中 第九节 半平面体在边界上受集中力 第十节 半平面体在边界上受分布力 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
F 0,
F 0, Mc 0。
第四章 平面问题的极坐标解答
Fρ 0 通过形心C的 ρ向合力为0，
(
d )(
d )d
d
(
d)d sin
d
2
d
sin
d
2
(
d)d
cos
d
2
d
cos
d
2
f dd
0,
其中可取
cos d 1,
2
sin
d
2
d
2
,
而
第四章 平面问题的极坐标解答
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于： ➢物理量的转换; ➢从直角坐标系中的方程导出极坐标系中 的方程。
第四章 平面问题的极坐标解答
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换
坐标变量的变换：
x cos,
反之
x2 y2 ,
ysin; (a) arctan y。 (b)
体，考虑其平衡条件。 微分体─由夹角为 dφ的两径向线和距离
为 d ρ的两环向线围成。
第四章 平面问题的极坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
注意：
两 面不平行，夹角为 dφ；
两面面积不等，分别为 ρdφ ，ρd ρdφ。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转向为正。
第四章 平面问题的极坐标解答