高中数学拓展知识-对数的历史

代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。

Ａ. Ｎ. Ｗhitehead

对数的历史

16世纪前半叶，三角函数的连乘计算问题使天文学家们苦不堪言。 德国数学家约翰·沃纳(Johann Werner )首先推出了三角函数的积化和差公式，即

[])cos()cos(2

1

sin sin βαβαβα+--=⋅， [])cos()cos(2

1

cos cos βαβαβα++-=

⋅。 利用这些公式大大简化了三角函数连乘的计算。 比如，计算39sin 4367sin '⨯' ， 可以从三角函数表查出

92432418.04367sin ='

，

15729632.039sin =' 。

但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。用约翰·沃纳(Johann Werner )的三角函数积化和差公式，计算就简便了。

这个公式还可以用于把任何两个数的乘法计算转为加减法计算。 比如，计算9903.01736.0⨯。 由三角函数表查得，

10sin 1736.0≈，

8sin 9903.0≈。

所以

由于大于1的数可用小于1的数乘上10n 表示，因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

但这样做还是有些繁杂，况且还不能直接应用于除法、乘方和开方。因此，寻找更好的计算方法迫在眉睫。

16世纪和17世纪算术的最大改进是对数的发明。施蒂费尔（Michael Stifel ）已经认识到对数的基本思想。

德国数学家Stifel (1487～1567)在观察表2-1中的两个数列时，称上排的数为 “原数”，下排的数为“代表数” (德文Exponent )，Stifel 发现，上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel 指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”

比如，计算24×210， 因为24的“代表数” 4， 210的“代表数” 10， 而4+10=14，

“代表数” 14相对应的“原数” 214=16384， 所以16×1024=16384。

实际上，Stifel 已经掌握了对数运算法则，因为Stifel 所谓的“代表数”，本2０

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 ⋯⋯

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13 14 ⋯⋯

表2-1

质上是“原数”以2为底的对数。对数作为一种计算方法，其优越性在于将乘法和除法运算转化为加法和减法运算。

对数的概念，首先是由苏格兰数学家纳皮尔 (John Napier ，1550－1617)提出的。Napier 当时是希望简化天文问题中的球面三角的计算工作。事实上，他曾把研究的初步结果送交第谷（Tycho Brahe ）。当时天文学是热门学科，可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier 也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并在1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio "）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX )。

1616年亨利·布里格斯 (Briggs )去拜访Napier ，建议将对数的底数改为10。可惜Napier 隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs 以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数。

对数表很快传遍了欧洲大陆。开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍。”对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611－

1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在b N

a

log 中，N 叫作“真数”，b 叫作“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表。后来“假数”改称为“对数”。

最早使用指数符号的是法国数学家笛卡尔(Descartes ，1596－1650)，他于1637年用符号a n 表示正整数幂。分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师Stevin ，以后又有人将其扩展到负指数，直到18世纪初英国数学家Newton (牛顿，1642－1727)开始使用a x 表示任意实数指数幂。

这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数。

一直到18世纪，瑞士数学家欧拉 (Euler ，1707－1783)

才发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们接受。

我们用现代的数学语言来说明纳皮尔对数。

如图2-1所示，设AB 是一条定长的线段，CD 是从A 点出发的射线。Q P ,两点分别在CD AB ,上以相同的初速度从左端点开始向右运动， Q 点的运动是匀速的，而P 点的速度与线段PB 的长成正比（比例常数为1）。当P 点经过一段距离AP 以后，Q 点经过一段距离CQ ，纳皮尔称CQ 为PB 的对数。

设P 点做减速运动的初速度AB v =，第一瞬时，它行过一个单位距离1AP ，

到达1P 点时的速度为⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=v v v B P 1111（每个瞬时，都视P 点做匀速运动）；

第二瞬时它行过距离v

v P P 1

)1(21⋅-=（每个瞬时，都视P 点做匀速运动，行过一

个单位距离），它在2P 点的速度为2

21111)1(1)1(1⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅---=v v v v v v v B P ；

第三瞬时它行过距离v v v P P 1

112

32⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，它到达3P 点的速度为

3

2

2

31111111⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v v v v v v v B P ；……P 在每一瞬时末的速度可依次排

成数列：

,11,11,11,3

2

⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v v v v v v （1）

对应的，动点Q 从静止开始连续行进后的距离可以排列成另一数列：

图2-1 纳皮尔对数