单纯形法例题讲解
单纯形法例题讲解
例1max z=2x1+3x2（标准形式即所有的变量均为负、所有约束条件为等式、所有的右端项系数非负）a=(2,3) b1=(80,160,120) A2=NULL b2=NULL A3=NULL b3=NULL n.iter=n+2*m maxi=TRUE ●simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,maxi=TRUE)： m1=3,m2=0,m3=0m=3,n=2 a.o=a=(2,3)if(maxi) a=-a(-2,-3) if(m2+m3==0) a=(-2,-3,0,0,0) b=(80,160,120) init=(0,0,0,80,160,120) basic=(3,4,5) eps=1e -10out1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps) ⏹ simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps):N=5,M=3nonbasic=(1,2)if(stage==2) obfun=(-2,-3)it=1◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=3if(stage==2) neg=(1,3)x1+2x2<=804x1<=160 4x2<=120 x1，x2>=0A1= 1 2 4 0 0 4A= 1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4tableau= 80 -1 -2 160 -4 0120 0 -40 -2 -3转化为标准形式x1+2x2+x3=80 4x1+x4=160 4x2+x5=120x1,x2,x3,x4,x5>=0ratios=(40,30)prow=3pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代 pv=tableau[3,3]=-4pcv=tableau[,3]=(-2,0,-4,-3)tableau[-3, ] = tableau[-3, ] - (tableau[-3, 3]/pv) %o% tableau[3,]tableau[3, ] = tableau[3, ]/(-pv)=(30,0,-1)tableau[3,3]=1/pv=-1/4tableau[-3, 3]=pcv[-3]/(-4)if(stage==1) else temp=basic[3]=5 basic[3]=nonbasic[2]=2 nonbasic[2]=5 obfun =tableau[4, -1L]=(-2,3/4) it=it+1=2至此进行了一次换基迭代(basic=(3,4,2) nonbasic=(1,5)) 再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足 pcol=2if(stage==2) neg=(1,2) ratios=(20,40)prow=1pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代 pv=tableau[1,2]=-1pcv=tableau[,2]=(-1,-4,0,-2)tableau[-1, ] = tableau[-1, ] - (tableau[-1, 2]/pv) %o% tableau[1,]tableau[1, ] = tableau[1, ]/(-pv)=(20,-1,0)tableau= 20 -1 0 160 -4 0 120 0 -4 -90 -2 0tableau= 20 -1 0160 -4 030 0 -1/4-90 -2 0tableau= 20 -1 0 160 -4 0 30 0 -1 -90 -2 0tableau= 20 -1 1/2 160 -4 030 0 -1/4-90 -2 3/4tableau= 20 -1 1/2 80 0 -2 30 0 -1/4 -130 0 -1/4tableau= 20 -1 1/2 80 0 -2 30 0 -1/4 -130 0 -1/4tableau[1,2]=1/pv=-1/1tableau[-1,2]=pcv[-1]/(-1)if(stage==1) else temp=basic[1]=3 basic[1]=nonbasic[1]=1 nonbasic[21=3 obfun =tableau[4, -1L]=(2,-1/4) it=it+1=3至此进行了两次换基迭代(basic=(1,4,2) nonbasic=(3,5)) 再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足 pcol=3if(stage==2) neg=(2,3) ratios=(40,120) prow=2pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代pv=tableau[2,3]=-2pcv=tableau[,3]=(1/2,-2,-1/4,-1/4)tableau[-2, ] = tableau[-2, ] - (tableau[-2, 3]/pv) %o% tableau[2,]tableau[2, ] = tableau[2, ]/(-pv)=(40,2,-1)tableau[2,3]=1/pv=-1/2tableau[-2,3]=pcv[-2]/(-2)if(stage==1) else temp=basic[2]=4 basic[2]=nonbasic[2]=5 nonbasic[21=4tableau= 20 -1 1/2 80 0 -2 30 0 -1/4 -130 0 -1/4 tableau=20 -1 1/2 80 4 -2 30 0 -1/4 -130 2 -1/4tableau= 40 0 080 4 -220 -1/2 0-140 3/2 0 tableau=40 0 040 2 -120 -1/2 0-140 3/2 0tableau=40 0 0 40 2 -1/2 20 -1/2 0 -140 3/2 0 tableau= 40 0 -1/4 40 2 -1/2 20 -1/2 1/8-140 3/2 1/8obfun =tableau[4, -1L]=(3/2,1/8)it=it+1=4至此进行了三次换基迭代(basic=(1,5,2) nonbasic=(3,4))再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足，发现!all(obfun > -eps)为false ，则跳出循环，循环结束。
两阶段单纯形法例题详解
两阶段单纯形法例题详解两阶段单纯形法是一种解决线性规划问题的有效方法。
这种方法分为两个阶段：第一阶段：使用单纯形法求解初始基可行解。
第二阶段：利用对偶价格和两阶段单纯形法的理论，通过迭代来获得最优解。
以下是一个两阶段单纯形法的例题详解：例题：假设我们有一个线性规划问题，形式如下：Maximize z = c1x1 + c2x2 + c3x3Subject to:Ax ≤bx1 + x2 + x3 ≤4x1, x2, x3 ≥0在这个问题中，我们有4个约束条件（A1, A2, A3, A4）和3个决策变量（x1, x2, x3）。
我们的目标是找到一组最优解，使得目标函数z最大化。
第一阶段：使用单纯形法求解初始基可行解。
1. 首先，我们找到一个初始基可行解。
在这个例子中，我们可以选择A1, A2, A3作为初始基。
对应的基变量为x1, x2, x3。
对应的对偶价格为pi1, pi2, pi3。
这些值可以通过解对应的对偶问题得到。
2. 根据基变量的值和对偶价格，我们可以计算出目标函数的值。
在这个例子中，目标函数的值为c1*x1 + c2*x2 + c3*x3。
3. 如果这个目标函数值不是最优的，我们需要进入第二阶段。
否则，我们可以直接输出这个基可行解作为最优解。
第二阶段：利用对偶价格和两阶段单纯形法的理论，通过迭代来获得最优解。
1. 在这个阶段，我们需要不断迭代，直到找到一个最优解或者确定不存在最优解为止。
每次迭代时，我们选择一个非基变量进入基变量，并重新计算目标函数的值。
在这个例子中，我们选择A4进入基变量。
对应的基变量为x1, x2, x4。
对应的对偶价格为pi1, pi2, pi4。
这些值可以通过解对应的对偶问题得到。
2. 根据基变量的值和对偶价格，我们可以计算出目标函数的值。
如果这个目标函数值比之前的最优解更好，那么我们更新最优解。
否则，我们继续迭代，直到找到一个最优解或者确定不存在最优解为止。
【精品】最优化单纯形法例题讲解
【精品】最优化单纯形法例题讲解最优化单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法。
它通过不断迭代调整基变量的取值来寻找使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
下面我们通过一个例题来详细讲解最优化单纯形法的求解过程。
例题：假设有如下线性规划问题：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0首先，我们将原问题转化为标准型，即将约束条件全部转化为等式，并引入松弛变量。
将原问题转化为如下形式：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2x2 + x4 = 6 x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们构造初始单纯形表。
单纯形表由目标函数系数矩阵、约束条件系数矩阵和右端常数向量组成。
目标函数系数矩阵： 3 4 0 0约束条件系数矩阵： 2 1 1 0 1 2 0 1右端常数向量： 8 6再构造一个松弛变量的列向量，也就是单位矩阵的第一列。
接下来，我们要选择一个入基变量和一个出基变量，通过迭代调整基变量的取值来逼近最优解。
选择入基变量：我们要选择一个非基变量进入基变量集合，使得目标函数系数矩阵中的相应列元素最大（如果是最小化问题，则选择最小的）。
选择出基变量：我们要选择一个基变量出基变量集合，使得约束条件系数矩阵中相应列元素最小的行对应的非基变量列元素大于等于0。
在初始单纯形表中，目标函数系数矩阵中3和4是最大的，所以我们选择x1和x2作为入基变量。
在约束条件系数矩阵中，对于x1，第一行的1最小，所以我们选择第一行的x4作为出基变量；对于x2，第二行的1最小，所以我们选择第二行的x3作为出基变量。
接下来，我们通过计算新的单纯形表来更新基变量的取值。
首先，我们计算新的基变量x1的系数矩阵。
将x1的列除以相应的出基变量的系数（即1），得到新的系数矩阵：1 0 1/2 0 0 1 -1/2 1然后，我们计算新的基变量x2的系数矩阵。
最优化单纯形法例题
最优化单纯形法例题单纯形法是一种常用的数学优化方法，用于求解线性规划问题。
下面我将以一个例题来说明单纯形法的步骤和过程。
假设我们有以下线性规划问题：最大化目标函数，Z = 3x1 + 5x2。
约束条件：2x1 + x2 ≤ 10。
x1 + 3x2 ≤ 18。
x1, x2 ≥ 0。
首先，我们将上述问题转化为标准形式。
引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束：2x1 + x2 + x3 = 10。
x1 + 3x2 + x4 = 18。
x1, x2, x3, x4 ≥ 0。
接下来，我们构建初始单纯形表。
表格的第一行为目标函数系数，第一列为基变量。
x1 x2 x3 x4 b.----------------------------------。
Z | -3 -5 0 0 0。
----------------------------------。
x3 | 2 1 1 0 10。
x4 | 1 3 0 1 18。
然后，选择进入变量和离开变量。
进入变量选择目标函数系数最小的负值，即x2。
离开变量选择约束条件中比率最小的变量，即x4。
通过计算比率b/离开变量系数，得到x4的比率为18/3=6。
接下来，进行主元素列变换，使得离开变量的列成为单位向量。
具体步骤如下：1. 将主元素列除以主元素系数，使主元素系数变为1。
2. 将其他列减去相应比率乘以主元素列，使主元素列下的其他元素都变为0。
x1 x2 x3 x4 b.----------------------------------。
Z | 0 -1 0 5 90。
----------------------------------。
x3 | 0 -1 1 0 4。
x2 | 1 3 0 1 18。
然后，更新目标函数行。
将目标函数行减去目标函数系数乘以主元素列，使得目标函数系数下的其他元素都变为0。
x1 x2 x3 x4 b.----------------------------------。
单纯形表例题详解易懂
单纯形法（Simplex Method）是线性规划问题的一种求解方法。
下面我将以一个简单的线性规划问题为例，详细解释如何使用单纯形法求解。
例题：假设我们有一个简单的线性规划问题，目标是最小化目标函数 z = 3x + 2y，约束条件是 x + y <= 10, x >= 0, y >= 0。
首先，我们需要构建问题的数学模型。
数学模型可以表示为以下形式：z = 3x + 2yx + y <= 10x >= 0y >= 0然后，我们可以将这个线性规划问题表示为一个单纯形表。
单纯形表的形式如下：| c | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x | y | z | u | v | w | x1 | x2 | x3 | ... | xn | s.x | s.y | s.z | c.val | b.x | b.y | b.z | dual.val | dual.x1 | dual.x2 | ... | dual.xn ||在这个表中，c 是目标函数的系数，b 是约束条件的系数，s 是松弛变量的系数，dual 是对偶问题的系数，c.val 是当前解的目标函数值，b.x, b.y, b.z 是约束条件的边界值，s.x, s.y, s.z 是松弛变量的值。
现在，我们可以将例题中的数据填入单纯形表：c = [3, 2, 1]b = [1, 0, -10]s = [1, 1, 0]dual = []然后，我们可以开始迭代求解。
在每一次迭代中，我们首先找到进入变量和离开变量，然后更新单纯形表中的数据。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程（原创版）目录一、运筹学单纯形法的基本概念二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解5.重新计算机会费用和检验数三、运筹学单纯形法的应用实例正文一、运筹学单纯形法的基本概念运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它是基于数学和统计学的理论基础，通过逐步优化算法，寻找线性规划问题中最优解的一种方法。
线性规划问题是指在一定约束条件下，寻求目标函数的最小值或最大值的问题。
而单纯形法是线性规划问题中最常用的求解方法之一，它通过迭代计算，不断优化基变量，从而得到问题的最优解。
二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定问题的基变量，即在所有变量中选择若干个变量作为基变量。
基变量的选取可以通过寻找单位矩阵的方法来确定。
确定基变量后，可以求出初始基本可行解，即满足所有约束条件的变量值组合。
2.编制初始单纯形表根据初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。
单纯形表是一个包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件常数项和检验数等元素的矩阵表。
3.判断基本可行解是否为最优解在求解过程中，需要判断基本可行解是否为最优解。
这可以通过检验数来进行。
检验数是指非基变量与对应约束条件的乘积，如果所有非基变量的检验数都小于等于 0，说明已经达到最优解。
否则，需要继续迭代求解。
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解如果基本可行解不是最优解，需要通过迭代求解来寻找下一个使目标函数更优的基本可行解。
迭代过程中，需要确定换入变量和换出变量，然后根据换入变量和换出变量生成新的单纯形表，并重新计算机会费用和检验数。
5.重新计算机会费用和检验数在迭代过程中，需要重新计算机会费用和检验数，以便判断新的基本可行解是否更优。
如果新的基本可行解的检验数满足条件，说明已经找到最优解，可以结束迭代求解过程。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
单纯形法例题
单纯形法例题1、 例1、目标函数 max z=2x 1+3x 2约束条件：{ x 1+2x 2≤84x 1≤164x 2≤12x 1，x 1≥0}解：首先要将约束条件化为标准形：由此可以看出我们需要加上三个松弛变量，x 3，x 4，x 5，并且它们都大于等于0.得到的标准形式为：max z=2x 1+3x 2+ 0x 3+0x 4+0x 5 {x 1+2x 2+x 3＝84x 1+x 4=164x 2+x 5＝12x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}25a ij ={a ij −alj alk ∗a ik (i ≠l )a lj alk(i =l ) }b i ={b i −aik a lk∗b l (i ≠l )b l alk(i =l ) }(也就是如果与主元素同行，那么用现在的值除以主元素即可得到即将要填入的值，否那么，就用现在的值减去与主元素构成矩形的边角上的值的乘积再除以主元素之后的值。
例如：上面的第一行所对应的b 值为8-(12*2)/4=2,故填入值应该为2。
而θi 那么是由我们根据非基变量的检验数的大小，挑选出最大的那个，作为换入变量，然后用b 的值除以该换入变量所在的列的所有值，得到θi 列的值。
由于在检验数中仍然存在大于等于0的数，而且P1，P5的坐标中有正分量存在，所以需要继续进行迭代运算。
通过观察可以看出主元素为1，换入变量为x 1，换出〔4,2,0,0,4〕，故目标函数值z=2*4+2*3=142、 合理利用线材问题，现在要做100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m ，和1.5m 的钢各一根，原料长7.4m ，问应如何下料，使用的原材料最省；解：首先我们必须要清楚该问题的需要设立的变量是什么。
我们分析一下问题，做100套钢架，需要2.9m 长的钢100根，2.1m 的钢100根，1.5m 的钢100根。
而方案，使得剩余的总长度最少。
由此，我们可以将目标函数和约束条件表述出来：目标函数：min z=0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5约束条件{ x 1+x 2+2x 3=1002x 2+x 4+2x 5=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0}首先可以写出线性方程组的矩阵形式：[11200020*******]发现不存在单位矩阵，所以要采用人造基的方式，也就是要添加人工变量：x 6，x 7，x 8，那么线性方程组可以表示为：{ x 1+x 2+2x 3+x 6=1002x 2+x 4+2x 5+x 7=1003x 1+x 3+3x 4+2x 5+x 8=100x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8≥0} ，目标函数可以表示为：min z=0x 1+0.3x 2+0.1x 3+0.8x 4+0.2x 5+M x 6+Mx 7+Mx 8转换为求目标最大化max Z=−0x 1−0.3x 2−0.1x 3−0.8x 4−0.2x 5−M x 6−Mx 7−Mx 8然后列出初始单纯形表：(注意，参加人工变量之后，它所对应的系数为-M ，而非换入变量为x，换出变量为x，得到的单纯形表为：方案下料30根，第二种方案下料50根，按照第三种方案下料10根。
单纯形法求解全过程详解共9页
（7）接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。即转回到步骤（5）。
选择进基变量： max⎨⎧σ1 ⎩
=
5⎫
3
⎬ ⎭
=σk
= σ1 ，即
x1 进基成为基变量。
出基变量：
min
⎧
⎨ ⎩
b1 a11
,
b2 a21
⎫
⎬ ⎭
=
min⎨⎧30 × ⎩
3 5
= 18,10 × 3 = 30⎬⎫ ⎭
=
b1 a11
，即第
3
3
1
0
−
5
5
1
2
1
−
5
5
这时，我们可以得到基 B3 = [P1, P2 ] 对应的基可行解。
即令非基变量 x3 = 0, x4 = 0 ，根据表中的约束条件可得 x1 = 18, x2 = 4 （这两个值正好是表 中基变量对应的资源向量 b 对应的分量） 那么，第 3 个基可行解为 X 3 = [18,4,0,0]T 。 （8）找到了第 3 个基可行解，接下来的任务就是判断该基可行解是否为最优解，检验其是 否为最优解的标准前面已经详细讲述，这里就不啰唆了。即转回到步骤（4）。
1
0
1
10 × 3 = 30
3
σ
(2) j
=
cj
−
CB
⋅
Pj
5
0
0
−4
3
3
3
x1
1
0
4
x2
0
1
σ
(3) j
=cj
− CB
⋅ Pj
5
1
先来看主元 a11 所在的行。行的系数表示的是约束条件： 30 = 3 x1 + x3 − 3 x4 ①’。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法求解过程运筹学单纯形法是一种常用的线性规划问题求解方法，它通过迭代计算求解问题的最优解。
在本文中，我们将以一个例题来介绍单纯形法的求解过程。
问题描述假设有一个生产企业需要在两个工厂A和B中生产产品X和Y，企业的目标是以最小的成本满足产品的需求。
已知每个工厂每天的产量以及生产不同产品的成本如下表所示：工厂产量限制X产品成本Y产品成本A 6 5 4B 4 2 3同时，产品的需求量为：•X产品需求量为5•Y产品需求量为4现在，我们的目标是最小化生产成本。
构建线性规划模型首先，我们需要将问题转化为线性规划模型。
根据题目要求，我们可以定义以下变量：•x1：工厂A生产的X产品数量•x2：工厂A生产的Y产品数量•x3：工厂B生产的X产品数量•x4：工厂B生产的Y产品数量则我们的目标是最小化成本，即最小化目标函数：Z=5x1+4x2+2x3+3x4需要满足以下约束条件：•工厂A产量限制：x1+x2≤6•工厂B产量限制：x3+x4≤4•产品X需求量：x1+x3≥5•产品Y需求量：x2+x4≥4同时，对变量的取值有非负约束条件：x1,x2,x3,x4≥0单纯形表格接下来，我们将构建单纯形表格来进行求解。
首先，我们将目标函数和约束条件转化为等式形式，引入人工变量以使得所有约束条件均为“≤”形式。
转化后的模型如下：目标函数：Z=5x1+4x2+2x3+3x4+Mx5+Mx6约束条件：x1+x2+x5=6x3+x4+x6=4x1+x3−x7=5x2+x4−x8= 4其中，M为充分大的正数。
根据以上模型，构建初始单纯形表格如下：基变量x1x2x3x4x5x6x7x8基变量列解x5 1 1 0 0 1 0 0 0 x5 6x60 0 1 1 0 1 0 0 x6 4x7 1 0 1 0 0 0 -1 0 x7 5x80 1 0 1 0 0 0 -1 x8 4Z-5 -4 -2 -3 0 0 0 0 目标函数行0单纯形法的迭代过程根据初始单纯形表格，我们可以使用单纯形法进行迭代计算。
min单纯形法简单例题详解
min单纯形法简单例题详解假设有一家工厂生产两种产品 A 和 B，目标是最大化利润。
已知每单位产品 A 的生产时间为 2 小时，产品 B 的生产时间为 3 小时。
每天工厂的总生产时间为 24 小时。
每单位产品 A的利润为 10 美元，产品 B 的利润为 8 美元。
现在要确定工厂每天应该生产多少单位的产品 A 和 B，以最大化总利润。
首先我们需要定义两个变量：x 和 y。
其中，x 表示每天生产的单位数目 A，y 表示每天生产的单位数目 B。
根据问题的要求，我们可以得到两个约束条件：1. 生产时间约束：2x + 3y <= 24（每天生产时间最大为 24 小时）2. 非负约束：x >= 0，y >= 0（生产单位数目不能为负）现在我们可以根据最大化利润的目标函数进行建模。
目标函数为：10x + 8y。
接下来，我们可以使用单纯形法来解决这个问题。
首先，我们将这个问题转化为标准形式。
通过引入两个松弛变量 s1 和 s2，我们可以将不等式约束转化为等式约束：2x + 3y + s1 = 24x + s2 = 0接下来，我们将目标函数进行转化。
由于目标是最大化，我们可以引入一个辅助变量 z，并将目标函数写为：z = -10x - 8y现在，我们可以构建一张初始单纯形表。
表格的第一行包含变量和约束条件的系数以及目标函数的系数。
第一列列出变量和约束条件的名字。
变量 |x |y |s1 |s2 |b |--------|----|----|----|----|----|z |-10 |-8 |0 |0 |0 |s1 |2 |3 |1 |0 |24 |s2 |1 |0 |0 |1 |0 |接下来，我们需要根据单纯形法的规则来迭代计算。
首先，选择一个入基变量和一个出基变量。
根据最大增益准则，我们找到目标函数中系数最小的变量，即 x。
然后，我们需要根据最小比率准则来选择出基变量。
计算每个约束条件右侧与对应入基变量系数的比率，并选择最小的非负比率对应的出基变量。
单纯形法及例题解析
= a11a22-a12a21
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-
a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
练习
14 3 -5 2 1 36 1
10 0 -5 2 3 33 5
x4
x5
0
x3
2
[1]
0
1
0
-1/2
1
0
x4
16
4
0
0
1
0
4
3
x2
3
0
1
0
0
1/4
-
Cj-Zj
2
0
0
0
-3/4
Cj
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
Cj-Zj
单纯形表
2
3
0
x1
x2
x3
1
0
1
0
0
-4
0
1
0
0
0
-2
0
0
θ
x4
x5
0
-1/2
-
1
[2]
4
0
1/4
12
0
1/4
单纯形表
Cj
2
3
0
0
0
θ
CB
矩阵的乘法
A =（aij）m s B =（bij）s n C =AB =（cij）m n
cij = ai1b1j+ai2b2j+ … +aisbsj
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
最优化单纯形法例题讲解
例1 用单纯形法解下列问题：解：将原问题化成标准形：x 4与添加的松弛变量x 5，x 6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X =（0, 0, 0,10, 8, 4）T列出初始单纯形表，见表1。
22x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
242)24,110(m in ===θ 因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(1, -1, 2)T 变换成x 6的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
1231234123123min 2..210,248,244,0,1,,4.j x x x s t x x x x x x x x x x x j -++-+=-+≤-+-≤≥=123123412351236max 2..210,248,244,0,1,,6.j x x x s t x x x x x x x x x x x x x j -+-+-+=-++=-+-+=≥=检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。
继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x 3置换基变量x 5。
变换结果见表3。
此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1= -9/4，σ5= -3/2，σ5= -7/4，表明已求得最优解：T)0,0,8,5,12,0(=*X 。
去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：T )8,5,12,0(=*X ,最小值为-19例2 用大M 法求解下列问题：12312312313min 3..211,243,21,0,1,,3.j x x x s t x x x x x x x x x j +--+≤+-≥-=≥=解 引进松弛变量x 4、、剩余变量x 5和人工变量x 6、x 7，解下列问题：1234567123412356137min 300()..211243210,1,2,,7j x x x x x M x x s t x x x x x x x x x x x x x j +-++++-++=+--+=-+=≥=用单纯形法计算如下：由于σ1<σ2< 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 1为换入非基变量；以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
对偶单纯形法例题
对偶单纯形法例题单纯形法是一种用于解决规划问题的数学工具，可以用来求解最大化或最小化某个目标函数的模型，而对偶单纯形法就是一种具有代数分解能力的单纯形法。
对偶单纯形法可以分解复杂的数学模型，以求出最优解。
它的核心思想是将原始模型的约束条件分解为若干个子模型，然后利用单纯形法针对每个子模型求最优解，再将最优解线性组合，在计算过程中，将原始模型变换成多个子模型进行求解，在模型变换时将原模型中的变量变换成对偶变量形成对偶模型，从而达到模型分解的目的，最终得到全局最优解。
现在我们来看一个典型的对偶单纯形法例题：试求下列定义域的最大值和最小值:f(x, y) = 2x + 3ys.t. x, y >= 0x + 2y <= 8把这个模型变换成对偶单纯形法的形式：Max g = 8λ + 0μs.t. 2λ + <= 23λ + <= 3λ >= 0μ >= 0λ,是最优解的变量, g是目标函数,应于原模型f(x, y) = 2x + 3y。
x + 2y <= 8价于2λ + <= 2, 3λ + <= 3。
经过单纯形法求解，最优值g = 8，最优解是λ = 1, = 2。
其实最终的最优解是x = 1, y = 3，此时的最优值为f(x, y) = 2*1 + 3*3 = 11，是原模型的最优值，而对应的最优值g = 8，是对偶单纯形法的最优值。
可以看出，对偶单纯形法的运算过程比原模型更为简单，求解问题的速度更快，而且通过变量的替换，多个原模型也可以转换成统一的对偶单纯形法模型，大大简化了求解问题的过程。
除了上面提到的例题，对偶单纯形法还可以解决更为复杂的数学模型，当约束条件较多时，使用对偶单纯形法可以有效减少计算时间，减轻计算量，比如背包问题、生产线调度问题等。
总而言之，对偶单纯形法是一种灵活有效的解决规划问题的数学工具，不仅可以减少计算时间，还能够解决复杂、大规模的数学模型。
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例1max z=2x1+3x2（标准形式即所有的变量均为负、所有约束条件为等式、所有的右端项系数非负）a=(2,3) b1=(80,160,120) A2=NULL b2=NULL A3=NULL b3=NULL n.iter=n+2*m maxi=TRUE ●simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,maxi=TRUE)： m1=3,m2=0,m3=0m=3,n=2 a.o=a=(2,3)if(maxi) a=-a(-2,-3) if(m2+m3==0) a=(-2,-3,0,0,0) b=(80,160,120) init=(0,0,0,80,160,120) basic=(3,4,5) eps=1e -10out1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps) ⏹ simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps):N=5,M=3nonbasic=(1,2)if(stage==2) obfun=(-2,-3)it=1◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=3if(stage==2) neg=(1,3)x1+2x2<=804x1<=160 4x2<=120 x1，x2>=0A1= 1 2 4 0 0 4A= 1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1tableau= 80 -1 -2 160 -4 0 120 0 -4tableau= 80 -1 -2 160 -4 0120 0 -40 -2 -3转化为标准形式x1+2x2+x3=80 4x1+x4=160 4x2+x5=120x1,x2,x3,x4,x5>=0ratios=(40,30)prow=3pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代 pv=tableau[3,3]=-4pcv=tableau[,3]=(-2,0,-4,-3)tableau[-3, ] = tableau[-3, ] - (tableau[-3, 3]/pv) %o% tableau[3,]tableau[3, ] = tableau[3, ]/(-pv)=(30,0,-1)tableau[3,3]=1/pv=-1/4tableau[-3, 3]=pcv[-3]/(-4)if(stage==1) else temp=basic[3]=5 basic[3]=nonbasic[2]=2 nonbasic[2]=5 obfun =tableau[4, -1L]=(-2,3/4) it=it+1=2至此进行了一次换基迭代(basic=(3,4,2) nonbasic=(1,5)) 再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足 pcol=2if(stage==2) neg=(1,2) ratios=(20,40)prow=1pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代 pv=tableau[1,2]=-1pcv=tableau[,2]=(-1,-4,0,-2)tableau[-1, ] = tableau[-1, ] - (tableau[-1, 2]/pv) %o% tableau[1,]tableau[1, ] = tableau[1, ]/(-pv)=(20,-1,0)tableau= 20 -1 0 160 -4 0 120 0 -4 -90 -2 0tableau= 20 -1 0160 -4 030 0 -1/4-90 -2 0tableau= 20 -1 0 160 -4 0 30 0 -1 -90 -2 0tableau= 20 -1 1/2 160 -4 030 0 -1/4-90 -2 3/4tableau= 20 -1 1/2 80 0 -2 30 0 -1/4 -130 0 -1/4tableau= 20 -1 1/2 80 0 -2 30 0 -1/4 -130 0 -1/4tableau[1,2]=1/pv=-1/1tableau[-1,2]=pcv[-1]/(-1)if(stage==1) else temp=basic[1]=3 basic[1]=nonbasic[1]=1 nonbasic[21=3 obfun =tableau[4, -1L]=(2,-1/4) it=it+1=3至此进行了两次换基迭代(basic=(1,4,2) nonbasic=(3,5)) 再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足 pcol=3if(stage==2) neg=(2,3) ratios=(40,120) prow=2pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代pv=tableau[2,3]=-2pcv=tableau[,3]=(1/2,-2,-1/4,-1/4)tableau[-2, ] = tableau[-2, ] - (tableau[-2, 3]/pv) %o% tableau[2,]tableau[2, ] = tableau[2, ]/(-pv)=(40,2,-1)tableau[2,3]=1/pv=-1/2tableau[-2,3]=pcv[-2]/(-2)if(stage==1) else temp=basic[2]=4 basic[2]=nonbasic[2]=5 nonbasic[21=4tableau= 20 -1 1/2 80 0 -2 30 0 -1/4 -130 0 -1/4 tableau=20 -1 1/2 80 4 -2 30 0 -1/4 -130 2 -1/4tableau= 40 0 080 4 -220 -1/2 0-140 3/2 0 tableau=40 0 040 2 -120 -1/2 0-140 3/2 0tableau=40 0 0 40 2 -1/2 20 -1/2 0 -140 3/2 0 tableau= 40 0 -1/4 40 2 -1/2 20 -1/2 1/8-140 3/2 1/8obfun =tableau[4, -1L]=(3/2,1/8)it=it+1=4至此进行了三次换基迭代(basic=(1,5,2) nonbasic=(3,4))再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足，发现!all(obfun > -eps)为false ，则跳出循环，循环结束。
输出：if(stage==1) else soln=(0,0,0,0,0) soln[(1,5,2)]=(40,40,20) val=-140 A.outx1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 -1/4 0 0 0 2 -1/2 1 01-1/21/8a.out=(0,0,3/2,1/8,0)if(maxi) out$value=-out$value=140所以该线性问题的最优解为140例2min z=-3x1+x2+x3a=(-3,1,1) A1=(1,-2,1) b1=11 A2=(-4,1,2) b2=3 A3=(2,0,-1) b3=-1maxi=FALSE n.iter=n+2*m eps=1e-10simplex(a=a,A1=A1,b1=b1,A2=A2,b2=b2,A3=A3,b3=b3,maxi=FALSE)：m1=1,m2=1,m3=1 m=3,n=3a.o=a=(-3,1,1)if(m2+m3==0) else if(m2>0)a=(-3,1,1,0,0,0,0) b=(11,3,1) x1-2x2+x3<=11-4x1+x2+2x3>=3 2x1-x3=-1 x1,x2,x3>=0转化为标准形式x1-2x2+x3+x4=11-4x1+x2+2x3-x5=3 -2x1+x3=1x1,x2,x3,x4,x5>=0加入人工变量x1-2x2+x3+x4=11 -4x1+x2+2x3-x5+x6=3 -2x1+x3+x7=1 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0A= 1 -2 1 1 0 0 0-4 1 2 0 -11 0 -2 0 1 0 0 0 1init=(0,0,0,11,0,3,1) basic=(4,6,7) stage=1 n.iter=n.iter eps=epsout1<-simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps,stage=1,n1=5,n.iter=n.iter) ⏹simplex1(a=a,A=A,b=b,init=init,basic=basic,eps=eps,stage=1,n1=5,n.iter=n.iter): N=7 M=3 nonbasic=(1,2,3,5)if(stage==2) elseobfun=(4,6,-1,-3,1) obfun=(6,-1,-3,1)it=1◆ while(!all(obfun > -eps) && (it <= n.iter))循环 pcol=4if(stage==2) selse neg=(2,3,4) ratios=(11,3/2,1)prow=4pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代 pv=pv=tableau[4,4]=-1 pcv=tableau[,4]=(1,-1,-2,-3)tableau[-4, ] = tableau[-4, ] - (tableau[-4, 4]/pv) %o% tableau[4,]tableau[4, ] = tableau[4, ]/(-pv)=(1,2,0,-1,0)tableau[4,4]=1/pv=-1tableau[-4, 4]=pcv[-4]/(-1)tableau= 11 -1 2 -1 0 3 4 -1 -2 1 1 2 0 -1 0tableau= 0 -3 1 1 0 11 -1 2 -1 03 4 -1 -2 1 1 2 0 -1 0 4 6 -1 -3 1tableau= 1 -1 1 0 0 10 -3 2 0 0 1 0 -1 0 1 1 2 0 -1 0 1 0 -1 0 1tableau= 1 -1 1 0 0 10 -3 2 0 0 1 0 -1 0 1 1 2 0 -1 0 1 0 -1 0 1 tableau= 1 -1 1 0 0 10 -3 2 0 0 1 0 -1 0 1 1 2 0 -1 0 1 0 -1 0 1 tableau= 1 -1 1 -1 0 10 -3 2 1 0 1 0 -1 2 1 1 2 0 -1 0 1 0 -1 3 1if(stage==1) temp=basic[3]=7 basic[3]=nonbasic[3]=3 nonbasic[2]=7 obfun =tableau[5, -1L]=(0,-1,3,1) it=it+1=2至此进行了一次换基迭代(basic=(4,6,3) nonbasic=(1,2,7,5) 再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足 pcol=3if(stage==2) selse neg=(2) ratios=(1) prow=3pivot(tableau,prow ,pcol) 换基迭代 pv=pv=tableau[3,3]=-1 pcv=tableau[,3]=(1,2,0,-1)tableau[-3, ] = tableau[-3, ] - (tableau[-3, 3]/pv) %o% tableau[3,]tableau[3, ] = tableau[3, ]/(-pv)=(1,0,-1,2,1)tableau[3,3]=1/pv=-1tableau[-3, 3]=pcv[-3]/(-1)if(stage==1) temp=basic[2]=6 basic[2]=nonbasic[2]=2 nonbasic[2]=6 obfun =tableau[5, -1L]=(0,-1,3,1) it=it+1=3至此进行了两次换基迭代(basic=(4,2,3) nonbasic=(1,6,7,5)再从while 循环头部开始，判断循环条件是否满足，发现!all(obfun > -eps)为false ，则跳出循环，循环结束，到此第一阶段结束。