现代电力系统分析(2011-3)

式中：p(x)代表由被强制或制约的越界不等式约束 构成的总惩罚项。
另一种方法则可以根据越界不等式约束的物理特 性及其函数表示形式，将其中的一部分仿照等式 约束的处理方法，使越界的不等式约束hi(x)>0， 转化为等式方程hi’(x)＝0，然后通过拉格朗日乘 子引入原来的拉格朗日函数，于是有
L = f ( x) + λT g ( x) + μ T h ′( x)
最后，直流系统的运行必须对各个换流器的运行 控制方式加以指定，直流系统的状态量是给定的 直流控制量值和换流器交流端电压的函数。 因此，交直流系统潮流计算就是根据交流系统各节 点给定的负荷和发电情况，结合直流系统指定的控 制方式，通过计算来确定整个系统的运行状态。
(二)无功子优化问题 在无功子优化问题中，究竟采用什么目标函数曾 经提出过不同的意见。有的从系统的安全性为出 发点，例如以节点电压偏离其规定值为最小，或 者以无功备用在系统中的均匀分布以能够较好地 应付可能受到的扰动为目标；而有的则侧重于经 济性的考虑。但目前用得比较多的还是后者，以 系统的有功损耗作为目标函数。和进行有功优化 类似，在无功子优化问题中，把有功相关控制变 量及状态变量也作为不变的常量处理，于是无功 子优化问题的数学模型可写成以下的普遍形式:
以上建立的有功及无功两个子优化问题可以独立 地求解，以实现单独的有功、无功优化，而能达 到有功、无功综合优化的解耦最优潮流计算则要 交替地迭代求解这两个子问题，
通过解耦或分解，优化过程变为两个规模近似减半 的子问题串行迭代求解，这样的算法将能在内存节 约以及减少计算时间方面取得相当的效果。因此， 在考虑具有实时运行要求的，特别是大规模电力系 统的最优潮流算法时，采用这种解耦的最优潮流计 算模型是一种很好的选择。
等式及不等式约束也可以分成gp 、gq、及 hp、hq两组。于是，两个子优化问题的数学 模型分别如下。
(一)有功子优化问题 这里通常用全系统的发电燃料总耗量或总 费用作为目标函数。与无功有关的控制变 量uq，及状态变量xp均作为不变的常数处 理，设用u0q及x0q表示，于是有功子优化问 题的数学模型可写成如下的普遍形式
因此在远距离大功率输电 交流电力系统之间进行非同步互联 利用电缆跨海送电或向负荷密集的大城市供电 作为限制短路电流的措施等方面
近年来，随着直流输电技术的不断发展和日臻成 熟，在更多的交流电力系统中出现了直流线路， 并且有趋势进一步发展为多端的直流输电系统， 从而形成了交直流联合电力系统或简称交直流电 力系统。
研究生学位课：
现代电力系统分析
任课教师：王继东
四、最优潮流计算的牛顿算法
最优潮流作为一个非线性规划问题，可以 利用非线性规划的各种方法来求解，更由 于结合了电力系统的固有物理特性，在变 量的划分、等式及不等式约束条件的处 理、有功与无功的分解、变量修正方向的 决定、甚至基本潮流计算方法的选择等等 方面，都可以有各种不同的方案。为此即 使是采用非线性规划方法，也曾出现过为 数甚多的最优潮流算法。其中，在1984年 由参考文献(Sun D I)提出的最优潮流牛顿 算法，得到了国内外学者的高度评价。
子优化问题模型的建立。
按照与有功及无功问题的关联，首先将控制变量 分成up及uq两组，状态变量也分成xp及xq两组。 其中，up为除平衡节点外，其它发电机的有功出 力；xp为除平衡节点外，其它所有节点的电压相 角；uq为所有发电机(包括平衡节点)及具有无功 补偿设备节点的电压模值，另外还有调压变压器 变比，xq为除上述uq中所列的节点以外的其余节 点的电压模值。
研究解耦最优潮流计算的求解方法问题。从前面 所列出的子优化问题的数学模型可见，它和本节 一开始所讨论的最优潮流的一般模型是完全相似 的，因此求解最优潮流的各种方法都能够在这里 得到应用。从已经提出的一些较典型的算法来 看，包括有采用非线性规划、二次规划以及线性 规划的各种算法模型。
除此之外，还应该特别强调的是解耦最优潮流的另 一个优点在于容许根据两个子优化问题各自的特性 而采用不同的求解算法，这样能进一步提高算法的 性能。而这也是采用解耦最优潮流的另一个重要理 由。 例如在数学规划领域内，线性规划较之非线性规划 更为成熟，表现在求解过程十分稳定可靠，计算速 度快，容易处理各种约束条件等。而电力系统的有 功分量和有功潮流方程有着良好的线性关系，线性 化的准确度一般较高，为此实用的单独的有功优化 潮流往往采用线性规划方法来求解。根据这种考 虑，解耦最优潮流的算法可以按照有功子优化问题 采用线性规划方法，而无功子优化问题则采用非线 性规划方法的方式来组成，这两个子优化问题再交 替迭代，就能进一步提高效率。
先不考虑不等式约束h(x)，可构造拉格朗日函 数
L ( x , λ ) = f ( x ) + λT g ( x )
定义向量z＝[x，λ]T，即可得到应用海森矩阵 法来求最优解点z*的迭代方程式
∂L( z ( k ) ) (k ) Δz = − 2 ∂z ∂z 或可以更简洁的方式表示为
∂ 2 L( z ( k ) )
牛顿法在按上述的基本格式进行迭代时，其搜索 方向为
s
(k )
= −[ H ( x
(k )
)] ∇f ( x
−1
(k )
)
可见这种方法与最速下降法比较，除了利用了目 标函数的一阶导数之外，还利用了目标函数的二 阶导数，考虑了梯度变化的趋势，因此所得到的 搜索方向比最速下降法好，能较快地找到最优 点。 牛顿法在有一个较好的初值，并且H(x(k))为正定 的情况下，收敛速度极快，具有二阶收敛速度， 这是该法的突出优点。
但是牛顿法的使用也受到一些限制：
(1)要求f(x)二阶连续可微； (2)每一步都要计算海森矩阵及其逆阵，内存量 和计算工作量都很大。为此,对于变量维数很高的 优化计算，实用上往往被迫转而采用不必直接求H 及其逆阵的拟牛顿法(变尺度法) 。
但是在有些情况下，海森矩阵是一个稀疏阵，于 是可以采用结合了稀疏矩阵技术的高斯消去法等 一整套极其有效的方法，直接求解修正方程以求 得△x，其计算效率极高。 而在电力系统最优潮流计算问题中，通过模型的 适当建立，相应的海森矩阵可以是一个高度稀疏 的矩阵，从而使海森矩阵法这种收敛速度极快的 方法完全可以在最优潮流计算这样的大规模非线 性规划问题中得到应用。而这正是下面要介绍的 牛顿最优潮流算法的最基本特色，
WΔz = −d
式中：W及d分别为L对于z的海森矩阵及梯度向 量。
由于采用了牛顿法作为优化方法，使得最优潮流 牛顿算法具有二次收敛速度，能经过少数几次迭 代便收敛而找到最优点。 因为W矩阵的阶数达到4NX4N，为减少内存及每次 迭代的计算量，关键是要充分开发并在迭代过程 中保持W矩阵的高度稀疏性。另外在求解时采用特 殊的稀疏技巧，只有这几者结合，才能开发出高 性能的实用牛顿法最优潮流计算程序。 为了进一步减少计算量及内存需量，也可以利用 电力系统有功及无功间的弱相关性质，将P-Q解耦 技术应用于迭代方程式，从而形成解耦型最优潮 流牛顿算法。
式中： hi’(x)为由越界不等式约束所组成向量； 将hi(x) 转化为等式方程实际上即意味着将它们 强制在界上，这是一种硬性限制，而罚函数法则 是软性限制。
在计入不等式约束以后，前面提到的仅考虑 等式约束条件的计算步骤将要作一些改变。 由于随着迭代点的依次转移，越界的不等式 约束会不断增减改变，于是为了对它们进行 强制或释放，就必须不断改变目标函数式中 的罚函数项p(x) 或h’(x)的内容，并在此基 础上构成新的迭代方程而求出新的迭代点。 在具体实现时又可以有不同的方案。
第一种，就是每求得一个新的迭代点x(k) 后，通过不等式约束是否满足的检验，找 出在该迭代点处越界不等式约束的变动情 况，然后就据此修改增广拉格朗日函数中 的p(x)或 h’(x)，接着便进行下一轮迭代。 由于在一次次迭代中间越界不等式约束变 动频繁，致使达到收敛所需的迭代次数较 之仅考虑等式约束的情况要增加很多，而 这也是采用非线性规划的算法所遇到的共 同难点。
交直流电力系统的潮流计算和纯交流电力系统相比较， 具有不少特点： 首先，除了原有的交流电力系统变量之外，又增加了 直流电力系统变量，两者的有关变量将通过换流站中 交直流换流器的特性方程建立数学上的联系。 在纯交流电力系统中，决定潮流分布的是节点的电压 大小和相角，而在直流电力系统中由于只流过有功功 率(直流功率)，其功率分布仅由直流系统各节点的电 压大小决定。不过，由于通过换流器进行相位控制， 流入换流器的交流电流其基波分量将比外施于换流器 的交流电压滞后一个角度，也即通过换流器一方面实 现了交直流系统间的有功功率传递，另一方面由于换 流器的存在又要从交流系统中吸取相当的无功功率。
(二)最优潮流牛顿算法 在最优潮流牛顿算法中，对变量不再区 分为控制变量及状态变量，而统一写为x， 这样便于构造稀疏的海森矩阵，优化是在 全空间中进行的。 于是最优潮流计算归结为如下非线性规 划问题
min f ( x)
⎫ ⎪ ⎪ s.t. g ( x) = 0 ⎬ h( x ) ≤ 0 ⎪ ⎪ ⎭
(一)牛顿法的基本原理 如同上面提到的梯度法或最速下降法， 牛顿法是另一种求无约束极值的方法。 设无约束最优化问题
min f ( x) x∈R
n
其极值存在的必要条件 ▽f(x)=0，在一般 况下为一个非线性代数方程组。
现在用牛顿法对非线性代数方程组求解， 于是得到优化的迭代格式为
式中▽f(x(k))为目标函数f(x)的梯度向 量；k为迭代次数；H(x)= ▽2f(x)为目标函 数f(x)的海森矩阵，是目标函数对于x的二 阶导数，故牛顿法又称为海森矩阵法。 算法的收敛判据是，||▽f(x(k))||< ε 。
最优潮流牛顿算法对不等式约束的处理方 法。
如同其它非线性规划算法一样，不等式约束的处理 对于最优潮流牛顿算法来说，也仍然是一个有待进 一步研究解决的问题。 对于越界的不等式约束，可以也采用罚函数的处理 方法，于是原来的拉格朗日函数式将增广为
L = f ( x ) + λT g ( x ) + p ( x )
有兴趣的同学可参阅有关文献。
五、解耦最优潮流计算
常规潮流计算中快速解耦算法的成功促使人们 联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有功、 无功解耦技术，从而产生了另一类最优潮流计算 模型，并称之为解耦最优潮流 (Decoupled OPF)。值得注意的是和FDLF算法不同，那里涉及 的是在具体求解算法上的解耦简化处理，而这里 要讨论的解耦最优潮流则是从问题的本身或问题 的模型上把最优潮流这个整体的最优化问题分解 成为有功优化和无功优化两个子优化问题。这两 个子优化问题可以独立地构成并求解，实现单独 的有功或无功优化；也可以组合起来交替地迭代 求解，以实现有功、无功的综合优化。
以上主要介绍了解耦优化潮流的基本概念。至于 在有关参考文献中提出的各种算法，它们在于优 化问题中变量的划分、等式不等式约束条件的组 成与处理方法以及具体采用的求解的最优化方法 等，都有一些不同，这里将不再对这些算法作进 一步介绍，而留给同学们自行去参阅有关的文 献。
第十节 交直流电力系统的潮流计算 一、概述 与交流输电比较，直流输电由于其固有的技术经 济上的特点:
第二种更为完善的处理方案则要利用“起作用的不 等式约束集”的概念。所谓起作用的不等式约束 集，是指在最优解点x*处，属于该约束集的所有 不等式约束都成了等式约束，即hi’(x*)＝0。或者 说若最优解点x*正好处在由某个约束所定义的可 行域的边界上时，则这个约束就称为起作用的不 等式约束。如果预先能知道最优解点处全部起作 用的不等式约束，并将这些约束作为拉格朗日函 数的h’(x)，则优化问题就变为只包含等式约束的 优化问题，算法的收敛将非常平稳快速，并具有 牛顿法的二阶收敛速度。
但决定起作用的不等式约束集却是一个复 杂而困难的问题，必须采用逐步试探接近 的途径。在这方面已经提出了不同的方 法。
一种是采用试验迭代的方法，来自百度文库在计算量很大 的二次牛顿主迭代之间进行一些计算量较小的 试验性迭代，以确定当前起作用的不等式约束 集。 而另一种则采用了特殊的线性规划技术。该方 法能使最优潮流牛顿算法如同常规牛顿潮流计 算一样，经过3~5次主迭代便得到收敛。