第七章 线性二次型最优控制

配方法 代入到 可得
目的是选取一个适当的增益矩阵K，使得性能指 性能指 最小化， 。 标J最小化，必须 最小化 此时的性能指标最小值是
最优控制增益矩阵
和性能指标
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P 满足 （黎卡提方程） 则性能指标的最小值 。 总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以 构造最优状态反馈增益矩阵，并得到性能指标 的最小值。 定理：若 能控，则状态反馈二次型最优控 制问题可解，即黎卡提方程存在对称正定解 黎卡提方程存在对称正定解P， 黎卡提方程存在对称正定解 据此可以构造最优状态反馈控制律和最小性能 指标值。
开环系统： 在状态反馈控制律 系统是 下，所导出的闭环
闭环系统应该是渐近稳定的，因此存在李雅普 诺夫函数 其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统，V关于时间的导数是
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
引进了更多关于反馈增益矩阵K的项，便于处理。 将二次函数： 极值问题处理的配方法思想推广到向量矩阵情况。
3。最优状态反馈控制律的增益矩阵：
最优闭环系统：
显然，它是渐近稳定的。
线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤： 线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤 1。验证系统能控性； 2。求解黎卡提方程： 非线性方程组，取对称正定解； 3。由 构造最优反馈控制律。 例 性能指标：
问题：求最优状态反馈控制器
对象的状态方程： 1。系统是能控的。 2。求解黎卡提方程：
化简后，得到
wenku.baidu.com
最优闭环系统： 利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造 沿闭环系统轨线，
因此，最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法！
例 考虑一阶系统： 二次型性能指标： 求系统的状态反馈最优控制律。 解 模型参数 ，加权矩阵 ⇒ 其解： 。由于要求对称正定解，故取 最优状态反馈控制律： 最优闭环系统： 最小值依赖系统的初始状态。
第7章 线性二次型最优控制
控制器设计，使得฀ √闭环系统是稳定的；฀ √闭环系统具有给定的极点，保证一定的动、 稳态性能 不足： 没有考虑控制能量的问题；฀ 极点配置对模型的要求高。 思路： 同时考虑系统性能和控制能量：积分性能指标
7.1 二次型最优控制系统 状态空间模型： 系统性能指标： Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J 尽可能小฀ √二次型最优控制问题；฀ √最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：฀ √如何来确定最优状态反馈控制器？฀ √最优闭环系统的稳定性？