行为经济学第六讲时间贴现和跨期1
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在跨期选择中，在一个时期决策者的效用不会受其前面或 后面某期的状况的影响，比如说，决策者对意大利或者泰 国旅馆的偏好不会受他昨晚是否在意大利旅馆居住或者他 是否期待明天在意大利旅馆居住的影响。
用萨缪尔逊的话来说，就是“昨天晚上我所喝的酒或者明 天我将会喝的酒将不会对我今天关于酒和牛奶的偏好产生 影响。”
术语“双曲贴现”通常被用来描述人们的时间偏好 的递减率，即 n 会随着n的增大而减小，目前行 为经济学界业已有很多的关于双曲贴现的实证研究 。萨勒（Richard Thaler，1981）发现，被实验者 要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年 后的收入，回答结果是20元、50元和100元，这就 意味着一个月期界的年折现率是345％，一年期界 的是120％，10年期界的是19％
另外，DU模型的不足之处还表现在：
收益的折现率高于损失的折现率；
小额效用流的折现率高于大额效用流；
对延期的事件折现更多； 在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序 列； 效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的 选择相互影响等等。
双曲贴现（Hyperbolic Discounting）
t T
t 1
t 1
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T
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t 1
t
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t 1,
T
2、正的时间偏好和递减的边际效用 在DU模型中，即时效用函数 u (ct ) 是凹函 数，也就是说，边际效用是递减的。这意 味着人们将更愿意把消费分散到各个时期 ，而不是集中于同一个时期。 同时，在 DU模型中，贴现率 是正的， 这就说明了时间偏好是正的。与边际效用 递减相反，正的时间偏好促使人们更多的 在当期消费。
T
t
>
1 1 max ( ) u (c ) ( ct ,,cT )B ( E0 ) 1 1
T
4、各期效用独立
DU模型还假定一序列结果的总效用等于各期效用的求和。也 就是说，各期的效用都是相互独立的。
5、各期消费独立
DU模型的一个外在假定为决策者在t+k期的状况独立于他在 其它期的消费状况。
西方经济学的鼻祖——亚当· 斯密（Adam Smith）曾经指出，个 人的跨期选择不仅会影响到个人的健康、财富、和总的幸福， 还可能对国家经济的繁荣有决定影响。 苏格兰经济学家约翰· 雷（John Rae）就已经将社会学和心理学 方面的因素纳入跨期决策的领域进行分析。指出斯密没有进一 步指出这种分配的决定因素是什么，雷强调斯密没有考虑到的 因 素 是 “ 有 效 积 累 欲 望 (The Effective Desire of Accumulation)”，这就是一个心理学方面的词汇了。 雷认为跨期决策行为是促进或限制“有效积累欲望”的因素的 组合产生的，最重要的两个促进有效积累欲望的因素是“遗产 动机”（Bequest Motive）和“自我节制倾向”（Propensity to Exercise Self-restraint），而限制有效积累欲望的因素 主要有生命的不确定性（ Uncertainty of Human Life ），以 及即时消费的兴奋效用、推迟此可得到的满意所引起的不快等 等。
U (ct ,..., cT ) D(k )u (ct k )
t k 0 T t
1 k D(k ) { } 1
u(ct k ) 代表决策者在t+k期的基数即时效用 在上述方程中， D(k ) ， 用来表示决策者的贴现函数，即对各时期的即时效用所 加的权数。 代表决策者的纯时间偏好率，即贴现率。
也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为 E0 ，接受跨期决策X将会增加其拥有，变为 E0X ，定义 B(E) 为决策者在拥有水平为 E 时的预算 集，根据 DU 模型，决策者将会接受跨期选择 X ，如果满足：
1 max ( ) u(c ) ( ct ,, cT )B ( E0 X ) 1 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第二节 人生得意须尽欢
拖延的实证 让我们先看一个发生在经济学家身上的小故事，信息 经济学的鼻祖——美国经济学教授阿克洛夫（Akerlof） 有个“斯蒂格利茨(Stiglitz）的箱子”的经典故事。 斯蒂格利茨在一次离开印度返回美国时，由于民航限 制行李数量，留下一箱衣物让阿克洛夫抽空寄回，但 当时印度的邮政系统服务很差，效率低，阿克洛夫估 计如果寄这个箱子要花掉至少一天的时间，于是“拖 延行为”就出现了，阿克洛夫一直在思考，是今天寄 呢？还是明天寄？结果日复一日，一直拖了8个月左右， 箱子还没有寄过去，最后他干脆做出决定，不寄了， 等年底回美国的时候顺便带过去。
3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的 计划结合起来考虑 DU模型的一个中心假设就是人们在跨期决策时会 将现有的计划与新的备择计划结合起来考虑。比 如说，一个人他现有的消费计划为 (ct ,..., cT ) ，他面临一个跨期决策X,我们可以将此跨期决策 同放弃现有的50000美元以获得5年后的10000美元 的跨期决策类似的理解。我们说决策者在跨期决 策时会将新的备择计划与现有的计划结合起来考 虑，也就是说，人们不会孤立的考虑跨期选择X， 而会根据X对将来的各个时期的总消费的影响来作 出决策。所以，在评价跨期选择X时，决策者会考 ) ) 虑决策后新的消费路径 (ct ,, cT ，只有当 U t (ct ,, cT t U 〉 (ct ,, cT ) 时，决策者才会接受跨期选 择。
反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数 形式更好的拟合数据。 下面是Laibson等人提出的双曲贴现的函数形式
ifh 0 D ( k ) {1 k ifk 0
它假定当前期和接下来的一期的每时期贴现率为 1 1 ，而将来任何的两期之间的每时期贴现率为 ﹤ ，于是，这个 ( , ) 方程假定了当前期和第二期的递 减的贴现率，以及这时期之后的不变贴现率。 双曲贴现率（ Loewenstein & Prelec,1992 ）： 时 期以后发生的结果的贴现要加上权数 (1 ) / ，其中 , 〉0。
D(k )
n
= 其中 n 代表在时期n上的贴现率， 也就是说，贴现率将随着时期 n 的变 化而发生变化。但是，在 DU 模型中 ，我们可以看到，对于所有的n， = ，这意味着 DU 模型中包含着一 个重要假定 —— 时间贴现率在每一 期均相同。
1 ( ) 1 n n 0
k 1
传
统
贴
现
模
型
—DU
模
型
跨期选择指的是在不同时间段上进行成本收益的 权衡. 经济学界关于跨期选择及时间贴现的理论已经有 了很大的发展，古典西方经济学里面被最广泛接 受的是萨缪尔逊（Paul Samuelson，1937）在文章 “A Noteon Measurement of Utility”中提出来的贴 现效用模型（The Discounted Utility Model,本文简 记为DU模型）。
[1]更一般的，对于连续时期，跨期贴现效用函数可以表示为： 为简单起见，本文只考虑离散时期的跨期贴现效用函数。
U (c [ t ,T ] )
t
T
1
( 1) e u (c )
下面我们来看DU模型的特点。
1、贴现率时间上恒定 我们知道，任何的贴现函数都可以 一般都表示成这种形式：
阿克洛夫从这个例子得出一个结论：每次决定把事情拖延到下
期再做的时候，决策者是没有理性预期的。要阻止这类“病态” 拖延行为的继续，必须有一个最后通牒的期限。
我们可以清楚地意识到，在平时的生活中，类似于阿克洛夫的 这种拖延行为是屡见不鲜的，比如说一群经济学专业的大学生， 他们就可能为了即时的欢愉，而拖延需要完成的经济学作业， 他们可能不愿意承受即刻完成经济学作业所带给他们的效用损 失，而宁愿承受拖延后在未来某期再完成作业所带来的损失， 在做出此拖延决策时，他们是预期拖延之后在未来期完成作业 的效用损失要小于即刻完成作业的效用损失的，或者说，拖延 作业的完成所带给当前期的效用要大于带给未来期的效用损失， 不然，拖延决策是不可能建立的。
6、即时效用 u(ct k ) 不随时间变化 在DU模型中，经常假定即时基数效用不随时 间而变化，也就是说，一个人在任何时期中 由任何活动所产生的状况都是一样的。很多 的经济学家都对这一点提出过质疑，因为很 容易看到人的偏好会随时间变化而变化。在 DU模型中作此假定纯粹只是为了方便而已。
DU模型的“反常”（DU Anomalies） 在过去的二十年中，跨期选择的经验性研究 已经揭示出了DU模型的不足之处，首先，经验 研究发现在不同时期中的贴现率并不是常数， 而可能是递减的，这个理论经常被称作双曲线 贴现理论（Hyperbolic Discounting），本文 将在下面介绍。 实际上，在DU模型发展之前，经济学家们就 已经开始了对时间贴现和跨期选择的研究，而 且，与DU模型不同的是，他们并没有简单的将 贴现率规定为常数，他们承认行为学、心理学 方面的因素对贴现率的影响。
为什么我今生 要吃苦？因为 来世可以进入 天堂。这是大 多数的信仰宗 教的人的心态， 舍弃今生来换 取来生的幸福， 实际上，这就 是人们的跨期 选择。
无论吸烟者还是吸毒者或者沉迷于网络游戏的人，其 实都有戒的愿望，他们也能理性地认识到，如果上瘾， 长期的成本要比获得的收益大得多，可是实际上，理 性行为并不能准确描述个体在毒品和香烟消费上的决 策，人们在做事时往往都会倾向于拖延。
《行为经济学》第六讲
时间贴现和跨期(1)
如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会 偏好今天的一个苹果还是明天的呢？显然大部 分人明显希望今天消费，而如果再要你考虑 100天后和101天后消费一个苹果，也许答案就 没有这么明显了，这其实就说明了人们在今天 对明天的关心程度和100天对101天的关心程度 是不一致的，也就是说时间的贴现是会变化的。
1
下面是指数贴现曲线和双曲贴现曲线的的图形表示。我们将参 数分别取为 =4和 =1。
双曲贴现曲线
指数贴现曲线
双曲线贴现模型有如下的优点：首先 它简单清楚，对于分析自我控制的问 题非常方便。其次，它校准起来也很 简便，便于人们作经验分析和预测。 Harris 和 Laibson 在 2001 年曾做过双 曲消费型家庭和指数消费型家庭的分 析，为双曲贴现理论再次提出了坚实 基础。他们在研究中发现，相比于指 数消费型家庭，双曲型家庭会持有更 低水平的流动性的财富，无论该流动 性财富的衡量标准是劳动收入还是股 票分红。双曲家庭在信用市场上更大 胆的借债，但是在固定资产方面他们 却更加积极的进行储蓄。由于双曲家 庭持有很低水平的流动资金和很高水 平的信用债务，在可预见的收入变化 范围内他们无法使消费支出和收入得 到平衡。
时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏 好是时间一致（Time-consistent）的,也就是说 后期的偏好将可以“证实”（ Confirm ）前期的 偏好。更正规的，我们可以这样写成： 我们说跨期偏好是时间一致的，如果决策者面 临两个消费束 (ct ,..., cT ) 和 (c,, c ) ，且有 U (c ,, c ) U (c ,, c ) ct ct ，当且仅当 时，有 U (c , c , c ) U (c, c , c ) 决策者需要做的就是估计出未来每一期的效用 流，然后通过一个统一的折现率 折算成现值 ，静态的效用最大化问题就转化为动态的效用现 值最大化问题。
更一般的，双曲模型为 人类的一些“自我击败 ” （ Self-Defeating ） 的行为提供了分析基础 ，经济学家经常假定理 性的单位会为了自己的 利益最大化而做出行动 。实际上，双曲贴现型 的单位可能会有一个理 性的预期，但是他们却 很少可能会做出有效的 选择。双曲贴现模型的 提出，对解释储蓄不足 、过度消费、拖延损失 等“自我击败”行为提 供了很好的基础。
萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型， 下面我们来看DU模型具体形式是怎样的。
(ct ,..., cT ) 的跨期偏好，在 设出决策者对于消费束 效用的完备性、传递性及连续性的假定下，跨期效用函数 t 可以表示为 U (ct ,, cT ) 进一步的，对于离散时间 ，萨缪尔逊假定跨期效用函数满足如下形式[1]：
用萨缪尔逊的话来说，就是“昨天晚上我所喝的酒或者明 天我将会喝的酒将不会对我今天关于酒和牛奶的偏好产生 影响。”
术语“双曲贴现”通常被用来描述人们的时间偏好 的递减率，即 n 会随着n的增大而减小，目前行 为经济学界业已有很多的关于双曲贴现的实证研究 。萨勒（Richard Thaler，1981）发现，被实验者 要求回答和15元无差异的一个月后、一年后和10年 后的收入，回答结果是20元、50元和100元，这就 意味着一个月期界的年折现率是345％，一年期界 的是120％，10年期界的是19％
另外，DU模型的不足之处还表现在：
收益的折现率高于损失的折现率；
小额效用流的折现率高于大额效用流；
对延期的事件折现更多； 在选择结果序列时，人们更偏好递增序列而非递减序 列； 效用和消费的独立性不成立，跨期选择时不同时期的 选择相互影响等等。
双曲贴现（Hyperbolic Discounting）
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2、正的时间偏好和递减的边际效用 在DU模型中，即时效用函数 u (ct ) 是凹函 数，也就是说，边际效用是递减的。这意 味着人们将更愿意把消费分散到各个时期 ，而不是集中于同一个时期。 同时，在 DU模型中，贴现率 是正的， 这就说明了时间偏好是正的。与边际效用 递减相反，正的时间偏好促使人们更多的 在当期消费。
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4、各期效用独立
DU模型还假定一序列结果的总效用等于各期效用的求和。也 就是说，各期的效用都是相互独立的。
5、各期消费独立
DU模型的一个外在假定为决策者在t+k期的状况独立于他在 其它期的消费状况。
西方经济学的鼻祖——亚当· 斯密（Adam Smith）曾经指出，个 人的跨期选择不仅会影响到个人的健康、财富、和总的幸福， 还可能对国家经济的繁荣有决定影响。 苏格兰经济学家约翰· 雷（John Rae）就已经将社会学和心理学 方面的因素纳入跨期决策的领域进行分析。指出斯密没有进一 步指出这种分配的决定因素是什么，雷强调斯密没有考虑到的 因 素 是 “ 有 效 积 累 欲 望 (The Effective Desire of Accumulation)”，这就是一个心理学方面的词汇了。 雷认为跨期决策行为是促进或限制“有效积累欲望”的因素的 组合产生的，最重要的两个促进有效积累欲望的因素是“遗产 动机”（Bequest Motive）和“自我节制倾向”（Propensity to Exercise Self-restraint），而限制有效积累欲望的因素 主要有生命的不确定性（ Uncertainty of Human Life ），以 及即时消费的兴奋效用、推迟此可得到的满意所引起的不快等 等。
U (ct ,..., cT ) D(k )u (ct k )
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u(ct k ) 代表决策者在t+k期的基数即时效用 在上述方程中， D(k ) ， 用来表示决策者的贴现函数，即对各时期的即时效用所 加的权数。 代表决策者的纯时间偏好率，即贴现率。
也可以这样理解，假设决策者的原始拥有为 E0 ，接受跨期决策X将会增加其拥有，变为 E0X ，定义 B(E) 为决策者在拥有水平为 E 时的预算 集，根据 DU 模型，决策者将会接受跨期选择 X ，如果满足：
1 max ( ) u(c ) ( ct ,, cT )B ( E0 X ) 1 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第二节 人生得意须尽欢
拖延的实证 让我们先看一个发生在经济学家身上的小故事，信息 经济学的鼻祖——美国经济学教授阿克洛夫（Akerlof） 有个“斯蒂格利茨(Stiglitz）的箱子”的经典故事。 斯蒂格利茨在一次离开印度返回美国时，由于民航限 制行李数量，留下一箱衣物让阿克洛夫抽空寄回，但 当时印度的邮政系统服务很差，效率低，阿克洛夫估 计如果寄这个箱子要花掉至少一天的时间，于是“拖 延行为”就出现了，阿克洛夫一直在思考，是今天寄 呢？还是明天寄？结果日复一日，一直拖了8个月左右， 箱子还没有寄过去，最后他干脆做出决定，不寄了， 等年底回美国的时候顺便带过去。
3、跨期决策时决策者会将新的备择计划和现有的 计划结合起来考虑 DU模型的一个中心假设就是人们在跨期决策时会 将现有的计划与新的备择计划结合起来考虑。比 如说，一个人他现有的消费计划为 (ct ,..., cT ) ，他面临一个跨期决策X,我们可以将此跨期决策 同放弃现有的50000美元以获得5年后的10000美元 的跨期决策类似的理解。我们说决策者在跨期决 策时会将新的备择计划与现有的计划结合起来考 虑，也就是说，人们不会孤立的考虑跨期选择X， 而会根据X对将来的各个时期的总消费的影响来作 出决策。所以，在评价跨期选择X时，决策者会考 ) ) 虑决策后新的消费路径 (ct ,, cT ，只有当 U t (ct ,, cT t U 〉 (ct ,, cT ) 时，决策者才会接受跨期选 择。
反映递减的贴现率的双曲贴现函数形式要比指数函数 形式更好的拟合数据。 下面是Laibson等人提出的双曲贴现的函数形式
ifh 0 D ( k ) {1 k ifk 0
它假定当前期和接下来的一期的每时期贴现率为 1 1 ，而将来任何的两期之间的每时期贴现率为 ﹤ ，于是，这个 ( , ) 方程假定了当前期和第二期的递 减的贴现率，以及这时期之后的不变贴现率。 双曲贴现率（ Loewenstein & Prelec,1992 ）： 时 期以后发生的结果的贴现要加上权数 (1 ) / ，其中 , 〉0。
D(k )
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= 其中 n 代表在时期n上的贴现率， 也就是说，贴现率将随着时期 n 的变 化而发生变化。但是，在 DU 模型中 ，我们可以看到，对于所有的n， = ，这意味着 DU 模型中包含着一 个重要假定 —— 时间贴现率在每一 期均相同。
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跨期选择指的是在不同时间段上进行成本收益的 权衡. 经济学界关于跨期选择及时间贴现的理论已经有 了很大的发展，古典西方经济学里面被最广泛接 受的是萨缪尔逊（Paul Samuelson，1937）在文章 “A Noteon Measurement of Utility”中提出来的贴 现效用模型（The Discounted Utility Model,本文简 记为DU模型）。
[1]更一般的，对于连续时期，跨期贴现效用函数可以表示为： 为简单起见，本文只考虑离散时期的跨期贴现效用函数。
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( 1) e u (c )
下面我们来看DU模型的特点。
1、贴现率时间上恒定 我们知道，任何的贴现函数都可以 一般都表示成这种形式：
阿克洛夫从这个例子得出一个结论：每次决定把事情拖延到下
期再做的时候，决策者是没有理性预期的。要阻止这类“病态” 拖延行为的继续，必须有一个最后通牒的期限。
我们可以清楚地意识到，在平时的生活中，类似于阿克洛夫的 这种拖延行为是屡见不鲜的，比如说一群经济学专业的大学生， 他们就可能为了即时的欢愉，而拖延需要完成的经济学作业， 他们可能不愿意承受即刻完成经济学作业所带给他们的效用损 失，而宁愿承受拖延后在未来某期再完成作业所带来的损失， 在做出此拖延决策时，他们是预期拖延之后在未来期完成作业 的效用损失要小于即刻完成作业的效用损失的，或者说，拖延 作业的完成所带给当前期的效用要大于带给未来期的效用损失， 不然，拖延决策是不可能建立的。
6、即时效用 u(ct k ) 不随时间变化 在DU模型中，经常假定即时基数效用不随时 间而变化，也就是说，一个人在任何时期中 由任何活动所产生的状况都是一样的。很多 的经济学家都对这一点提出过质疑，因为很 容易看到人的偏好会随时间变化而变化。在 DU模型中作此假定纯粹只是为了方便而已。
DU模型的“反常”（DU Anomalies） 在过去的二十年中，跨期选择的经验性研究 已经揭示出了DU模型的不足之处，首先，经验 研究发现在不同时期中的贴现率并不是常数， 而可能是递减的，这个理论经常被称作双曲线 贴现理论（Hyperbolic Discounting），本文 将在下面介绍。 实际上，在DU模型发展之前，经济学家们就 已经开始了对时间贴现和跨期选择的研究，而 且，与DU模型不同的是，他们并没有简单的将 贴现率规定为常数，他们承认行为学、心理学 方面的因素对贴现率的影响。
为什么我今生 要吃苦？因为 来世可以进入 天堂。这是大 多数的信仰宗 教的人的心态， 舍弃今生来换 取来生的幸福， 实际上，这就 是人们的跨期 选择。
无论吸烟者还是吸毒者或者沉迷于网络游戏的人，其 实都有戒的愿望，他们也能理性地认识到，如果上瘾， 长期的成本要比获得的收益大得多，可是实际上，理 性行为并不能准确描述个体在毒品和香烟消费上的决 策，人们在做事时往往都会倾向于拖延。
《行为经济学》第六讲
时间贴现和跨期(1)
如果要你考虑今天和明天消费一个苹果，你会 偏好今天的一个苹果还是明天的呢？显然大部 分人明显希望今天消费，而如果再要你考虑 100天后和101天后消费一个苹果，也许答案就 没有这么明显了，这其实就说明了人们在今天 对明天的关心程度和100天对101天的关心程度 是不一致的，也就是说时间的贴现是会变化的。
1
下面是指数贴现曲线和双曲贴现曲线的的图形表示。我们将参 数分别取为 =4和 =1。
双曲贴现曲线
指数贴现曲线
双曲线贴现模型有如下的优点：首先 它简单清楚，对于分析自我控制的问 题非常方便。其次，它校准起来也很 简便，便于人们作经验分析和预测。 Harris 和 Laibson 在 2001 年曾做过双 曲消费型家庭和指数消费型家庭的分 析，为双曲贴现理论再次提出了坚实 基础。他们在研究中发现，相比于指 数消费型家庭，双曲型家庭会持有更 低水平的流动性的财富，无论该流动 性财富的衡量标准是劳动收入还是股 票分红。双曲家庭在信用市场上更大 胆的借债，但是在固定资产方面他们 却更加积极的进行储蓄。由于双曲家 庭持有很低水平的流动资金和很高水 平的信用债务，在可预见的收入变化 范围内他们无法使消费支出和收入得 到平衡。
时间贴现率恒定的假设意味着决策者的跨期偏 好是时间一致（Time-consistent）的,也就是说 后期的偏好将可以“证实”（ Confirm ）前期的 偏好。更正规的，我们可以这样写成： 我们说跨期偏好是时间一致的，如果决策者面 临两个消费束 (ct ,..., cT ) 和 (c,, c ) ，且有 U (c ,, c ) U (c ,, c ) ct ct ，当且仅当 时，有 U (c , c , c ) U (c, c , c ) 决策者需要做的就是估计出未来每一期的效用 流，然后通过一个统一的折现率 折算成现值 ，静态的效用最大化问题就转化为动态的效用现 值最大化问题。
更一般的，双曲模型为 人类的一些“自我击败 ” （ Self-Defeating ） 的行为提供了分析基础 ，经济学家经常假定理 性的单位会为了自己的 利益最大化而做出行动 。实际上，双曲贴现型 的单位可能会有一个理 性的预期，但是他们却 很少可能会做出有效的 选择。双曲贴现模型的 提出，对解释储蓄不足 、过度消费、拖延损失 等“自我击败”行为提 供了很好的基础。
萨缪尔逊希望通过其DU模型给出跨期选择的一般模型， 下面我们来看DU模型具体形式是怎样的。
(ct ,..., cT ) 的跨期偏好，在 设出决策者对于消费束 效用的完备性、传递性及连续性的假定下，跨期效用函数 t 可以表示为 U (ct ,, cT ) 进一步的，对于离散时间 ，萨缪尔逊假定跨期效用函数满足如下形式[1]：