高考文科数学专题一：集合题型总结含解析
高考文科数学专题一：集合题型总结含解析(20200618080634)
3．已知集合 A ＝ { y | y = x2 - 2x - 1,x ? R} , 集合 B＝ { x | - 2 ＃ x 8} , 则集合 A 与 B
的关系是 ________． 解析： y＝ x2－ 2x－1＝ (x － 1)2－ 2≥ －2, ∴ A ＝ {y|y ≥ － 2}, ∴ B A ． 答案： B A
必要不充分条件
8．设集合 M ＝{ m|m＝ 2n, n∈ N, 且 m<500}, 则 M 中所有元素的和为 ________． 解析： ∵ 2n<500, ∴ n＝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8． ∴ M 中所有元素的和
＋2＋ 22＋ … ＋ 28＝511． 答案： 511
b∈ Q}, 若 P＝ {0, 2, 注意到集合元素的互异
4．已知集合 M ＝ { x|x2＝ 1}, 集合 N＝ { x|ax＝ 1}, 若 N M ,
解析： M ＝{ x|x＝ 1 或 x＝－ 1}, N M, 所以 N＝?时 ,
或－ 1, ∴a＝ 1 或－ 1． 答案： 0, 1, － 1
那么 a 的值是 ________． a＝0；当 a≠ 0 时 , x＝1＝ 1
{ } 4．已知全集 U＝ R, 则正确表示集合 M ＝ { － 1, 0, 1} 和 N＝ x | x2 + x = 0 关系的韦恩
(Venn)图是 ________．
{ } 解析： 由 N= x | x2 + x = 0 , 得 N={-1, 0}, 则 N M． 答案： ②
5 知集合 A＝ { x | x > 5} , 集合 B＝ { x | x > a} , 若命题“ x∈ A”是命题“ x∈ B”的充分
高考文科数学专题一：集合题型总结含解析
第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A ＝{1， 2}， B ＝{}|x x A Î， 则集合A 与B 的关系为________． 解析：由集合B ＝{}|x x A Î知， B ＝{1， 2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ， 则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知， 2x a £有解， 故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?， 集合B ＝{}|28x x-＃， 则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2， ∴A ＝{y|y ≥－2}， ∴BA ． 答案：BA4．已知全集U ＝R ， 则正确表示集合M ＝{－1， 0， 1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=， 得N ={-1， 0}， 则N M ．答案：②5知集合A ＝{}|5x x >， 集合B ＝{}|x x a >， 若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件， ∴A B ， ∴a <5． 答案：a <56．已知m ∈A ， n ∈B ， 且集合A ＝{x |x ＝2a ， a ∈Z }， B ＝{x |x ＝2a ＋1， a ∈Z }， 又C ＝{x |x ＝4a ＋1， a ∈Z }， 判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ， ∴设m ＝2a 1， a 1∈Z ， 又∵n ∈B ， ∴设n ＝2a 2＋1， a 2∈Z ， ∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1， 而a 1＋a 2∈Z ， ∴m ＋n ∈B ．练习二组1．设a ， b 都是非零实数， y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0， 讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3， －1}2．已知集合A ＝{－1， 3， 2m －1}， 集合B ＝{3， m 2}．若B ⊆A ， 则实数m ＝________． 解析：∵B ⊆A ， 显然m 2≠－1且m 2≠3， 故m 2＝2m －1， 即(m －1)2＝0， ∴m ＝1．答案：1 3．设P ， Q 为两个非空实数集合， 定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ， b ∈Q }， 若P ＝{0， 2， 5}， Q ＝{1， 2， 6}， 则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0， 2， 5；b ＝1， 2， 6， 并分别求和， 注意到集合元素的互异性， ∴P ＋Q ＝{1， 2， 6， 3， 4， 8， 7， 11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}， 集合N ＝{x |ax ＝1}， 若N M ， 那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}， N M ， 所以N ＝∅时， a ＝0；当a ≠0时， x ＝1a＝1或－1， ∴a ＝1或－1．答案：0， 1， －15．满足{1}A ⊆{1， 2， 3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1， 所以A 有{1， 2}， {1， 3}， {1， 2， 3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16， a ∈Z }， B ＝{x |x ＝b 2－13， b ∈Z }， C ＝{x |x ＝c 2＋16， c ∈Z }， 则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4， x ∈R }， B ＝{x |x <a }， 则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4， 故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M ＝{m |m ＝2n ， n ∈N ， 且m <500}， 则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500， ∴n ＝0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A 是整数集的一个非空子集， 对于k ∈A ， 如果k －1∉A ， 且k ＋1∉A ， 那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}， 由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知， 由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”， 这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ， xy ， lg(xy )}， B ＝{0， |x |， y }， 且A ＝B ， 试求x ， y 的值．解：由lg(xy )知， xy >0， 故x ≠0， xy ≠0， 于是由A ＝B 得lg(xy )＝0， xy ＝1．∴A ＝{x ， 1， 0}， B ＝{0， |x |， 1x}． 于是必有|x |＝1， 1x＝x ≠1， 故x ＝－1， 从而y ＝－1．11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ， B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ， B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}， 得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ， ∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1， 即m <2， 此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得， m 的取值范围是(－∞， 3]．(2)若A ⊆B ， 则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3， 4]．(3)若A ＝B ， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．， 即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}， B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集， 求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集， 求a 的取值范围；(3)若A ＝B ， 求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0， 即(x －1)(x －2)≤0， 得1≤x ≤2， 故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集， 即A B ， 则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }， 故a >2．(2)若B 是A 的子集， 即B ⊆A ， 由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ， 则必有a =2第二节 集合的基本运算练习一组1．设U ＝R ， A ＝{}|0x x >， B ＝{}|1x x >， 则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}， ∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．设集合A ＝{4， 5， 7， 9}， B ＝{3， 4， 7， 8， 9}， 全集U ＝A ∪B ， 则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4， 7， 9}， A ∪B ＝{3， 4， 5， 7， 8， 9}， ∁U (A ∩B )＝{3， 5， 8}．答案：33．已知集合M ＝{0， 1， 2}， N ＝{}|2,x x a a M =?， 则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知， N ＝{0， 2， 4}， 故M ∩N ＝{0， 2}．答案：{0， 2}4．设A ， B 是非空集合， 定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 已知A ＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{y |y ≥0}， 则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0， ＋∞)， A ∩B ＝[0， 2]， 所以A ⓐB ＝(2， ＋∞)．答案：(2， ＋∞)5．某班共30人， 其中15人喜爱篮球运动， 10人喜爱乒乓球运动， 8人对这两项运动都不喜爱， 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ， 画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3， ∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A ＝{x |x >1}， 集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时， 求A ∩B ， A ∪B ；(2)若B ⊆A ， 求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时， B ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ， 则1m >， 即m 的取值范围为(1， ＋∞)练习二1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}， N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}， 则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1， 0， 1， 2}， 所以M ∩N ＝{－1， 0}．答案：{－1， 0}2．已知全集U ＝{－1， 0， 1， 2}， 集合A ＝{－1， 2}， B ＝{0， 2}， 则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0， 1}， 故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．若全集U ＝R ， 集合M ＝{x |－2≤x ≤2}， N ＝{x |x 2－3x ≤0}， 则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3， log 2a }， B ＝{a ， b }， 若A ∩B ＝{2}， 则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2， ∴a ＝4， 从而b ＝2， ∴A ∪B ＝{2， 3， 4}． 答案：{2， 3， 4}5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素， (∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空， 则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素， ∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}， A ＝{n ∈U |n 是奇数}， B ＝{n ∈U |n是3的倍数}， 则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}， A ＝{1， 3， 5， 7}， B ＝{3， 6}， ∴A ∪B ＝{1， 3， 5， 6， 7}，得∁U (A ∪B )＝{2， 4， 8}．答案：{2， 4， 8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y， x ∈A ， y ∈B }．设集合A ＝{0， 2}， B ＝{1， 2}， C ＝{1}， 则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0， 4， 5， 则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0， 8， 10， 故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ， y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ， y )|y ＝3x ＋b }， 则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0， 2)在y ＝3x ＋b 上， ∴b ＝2．9．设全集I ＝{2， 3， a 2＋2a －3}， A ＝{2， |a ＋1|}， ∁I A ＝{5}， M ＝{x |x ＝log 2|a |}， 则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ， ∴{2， 3， a 2＋2a －3}＝{2， 5， |a ＋1|}， ∴|a ＋1|＝3， 且a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝－4或a ＝2， ∴M ＝{log 22， log 2|－4|}＝{1， 2}．答案：∅， {1}， {2}， {1， 2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}， B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．。
高考数学必考集合重要知识点和典型例题解析
重要知识点（一）集合含义问题1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；2.集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。
4.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
5.元素与集合之间只能用“”或“”符号连接．6.集合的表示常见的方法有列举法与描述法：注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。
如：英才中学的所有团员组成一个集合。
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
如：常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N或(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)（4）有理数集(5)实数集R7.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（二）集合的基本关系1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．3.某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。
(完整word版)高中数学集合总结+题型分类+完美解析.doc
集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“” .3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数= 2n；真子集个数 = 2n1.5.交集：A B x | x A且 x B并集： A B x | x A或 x B补集： C U A x | x U 且 x A6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1 定义 & 性质】1.下列命题中正确的个数是（）①方程x 2 y 2 0 的解集为2, 2②集合 y | y x2 1, x R 与 y | y x 1, x R 的公共元素所组成的集合是0,1③集合x | x 1 0 与集合 x | x a, a R 没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是 x 和 y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A详解：在①中方程x 2 y 2x 2 0 x 20 等价于2，即y。
因此解集应为y 0 22, 2 ，错误；在②中，由于集合y | y x2 1, x R 的元素是 y ，所以当 x R 时， y x2 1 1 .同理， y | y x 1, x R 中 y R ，错误；在③中，集合x | x 1 0 即 x 1，而 x | x a, a R ，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选 A.2.下列命题中，（1）如果集合A是集合（2）如果集合A是集合（3）如果集合A是集合（4）如果集合A是集合错误的命题的个数是（B的真子集，则集合B的子集，则集合B的子集，则集合B的子集，则集合）B中至少有一个元素；A 的元素少于集合B 的元素；A 的元素不多于集合B 的元素；A 和B 不可能相等．A ． 0B． 1C． 2 D ． 3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M 是集合N的子集，那么M 中的元素个数要小于或等于N中元素的个数；如果集合 M 是集合N的真子集，那么 M 中的元素个数要小于N中元素的个数 .答案： C详解：（ 1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 的元素少于或等于集合的 B 元素，故（2）不正确；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素，故（3）正确；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合 A 和 B 可能相等，故（4）不正确．故选 C ．3.设P、Q为两个非空实数集，P 中含有 0，2， 5 三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 aP , b Q ，则 P Q 中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.6分析：因为 a P ， b Q ，所以 P Q 中的元素 a b 是 P 中的元素和 Q 中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案 ：B详解 ：当 a 0 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 1,2,6；当 a 2时， b 依次取 1,2,6，得当 a 5 时， b 依次取 1,2,6，得a b 的值分别 3,4,8；a b 的值分别 6,7,11；由集合的互异性得P Q 中的元素为 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个，故选 B.4.设数集 M 同时满足条件 ① M 中不含元素1,0,1，②若 aM ，则1aM .1 a则下列结论正确的是 ()A ．集合 M 中至多有 2 个元素；B ．集合 M 中至多有3 个元素； C ．集合 M 中有且仅有4 个元素；D ．集合 M 中有无穷多个元素.分析：已知 a M 时，1 aM .那么我们可以根据条件多求出几个M 集合的元1 a素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C1 a11a111a1详解 ：由题意，若 a MM ，则 1 aM ，a M ， ，则a 1 a a 1 a111a11 a1 a1 2a1a，则 a 2则a 1 a M ，若 a 1，无解，同理可证明这四个元素中，1 a 1 21 aa 1任意两个元素不相等，故集合M 中有且仅有 4 个元素．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 No2.表达方式】5.下列集合表示空集的是（）A. x R | x 5 5B. x R | x 5 5C. x R | x2 0D. x R | x2 x 1 0分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解： x2 x 1 0 ，1 4 1 130方程无实数解，故选 D.6.用描述法表示下列集合：(1)0,2,4,6,8 ；(2)3,9,27,81, ；1 3 5 7；(3) , , , ,2 4 6 8(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来. 但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1) x N | 0 x 10,且 x是偶数；(2) x | x3n,n N；(3) x | x 2n 1, n N ；2n(4) x | x 5n 2,n Z ．======================================================================题型二、不含参数⑴⑴ 中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③ A B A A BA B A B AA B从A和B两方面讨论.【 No.1 判断元素 / 集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①00 ；② 0 0 ；③；④ a a ；⑤0 ；⑥ 0 ；⑦0 ；⑧0其中正确的是（）A. ②③④⑧B. ①②④⑤C.②③④⑥D. ②③④⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：-- “属于”，用于表示元素和集合的关系；，-- “包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系 .答案：A详解：①错误，应为0 0 ；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0 ；2.若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若A B ,则 C U A C U B U（2）若A B U ,则 C U A C U B（3）若A B ，则 A BA ．0个B ．1个C．2个D．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（ 1）C U A C U B C U A B C U U ；（ 2）C U A C U B C U A B C U U；（ 3）证明：∵A A B ,即 A，而 A ，∴A；同理 B，∴A B；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【 No.2子集、真子集】3.从集合U a, b, c, d 的子集中选出 4 个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①， U 都要选出；②对选出的任意两个子集 A 和 B ，必有 A B 或 B A .那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U，我们要求得只剩两个集合。
【高中数学】《集合》高考常考题型(后附解析)
《集合》常考题型题型一．通过集合的关系求参数范围1．已知集合2{|320}A x x x =−+=，22{|2(1)(5)0}B x x a x a =−++−=，A B A =，实数a 的取值范围是 ． 2．已知全集U R =，集合{|25}A x x =−，{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，实数a 的取值范围是 ． 3．已知集合2{|10}A x R x ax =∈++=和{1B =，2}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 题型二．子集个数问题4．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合22{|()(1)0}A x x ax x ax =−−+=，{0B =，1}，且|d （A ）d−（B ）|1=．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()(d M = )A ．3B ．2C ．1D ．4 题型三．集合与元素的关系5．设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a∈−． 证明：（1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素．参考答案1．已知集合2{|320}A x x x =−+=，22{|2(1)(5)0}B x x a x a =−++−=，AB A =，求实数a 的取值范围．【解答】解：由2320x x −+=解得1x =，2．{1A ∴=，2}．A B A =，B A ∴⊆． 1B ︒=∅，△8240a =+<，解得3a <−．2︒若{1}B =或{2}，则△0=，解得3a =−，此时{2}B =−，不符合题意．3︒若{1B =，2}，∴2122(1)125a a +=+⎧⎨⨯=−⎩，此方程组无解． 综上：3a <−．∴实数a 的取值范围是(,3)−∞−．2．已知全集U R =，集合{|25}A x x =−，{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【解答】解：{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，B ∴=∅，或211a a −>+，解得2a >， ①{|1U B x x a =<+，或21}x a >−，∴251a a ⎧⎨<+⎩或2212a a ⎧⎨−<−⎩， 解得4a >或a ∈∅．此时实数a 的取值范围为4a >．②当B =∅，U B R =，满足U A B ⊆，121a a ∴+>−，解得2a <．综上可得：实数a 的取值范围为4a >或2a <．3．已知集合2{|10}A x R x ax =∈++=和{1B =，2}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是[2−，2)． 【解答】解：因为A B ⊆，所以A =∅或{1}A =，{2}A =或{1A =，2}． 若A =∅，则△240a =−<，解得22a −<<．若{1}A =应有△240a =−=且110a ++=，解得2a =−．若{2}A =时，应有△240a =−=且4210a ++=，此时无解． 若{1A =，2}，则1，2是方程210x ax ++=的两个根，所以由根与系数的关系得121⨯=，显然不成立．综上满足条件的实数a 的取值范围是22a −<．故答案为：[2−，2)．4．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合22{|()(1)0}A x x ax x ax =−−+=，{0B =，1}，且|d （A ）d−（B ）|1=．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()(d M = )A ．3B ．2C ．1D ．4【解答】解：由题意，d （B ）2=，|d （A ）d −（B ）|1=，d ∴（A ）1=或3， 方程22()(1)0x ax x ax −−+=可化为20x ax −=或210x ax −+=， 即0x =或x a =或210x ax −+=，①若d （A ）1=，则方程22()(1)0x ax x ax −−+=有且只有一个解，故0a =，此时方程22(1)0x x +=有且只有一个解；②若d （A ）3=，则方程22()(1)0x ax x ax −−+=有三个不同的解，则2040a a ≠⎧⎨−=⎩，解得，2a =±， 经检验，2a =±时，方程22()(1)0x ax x ax −−+=有三个不同的解，综上所述，{0M =，2−，2}，故()3d M =， 故选：A ．5．设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a ∈−． 证明：（1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素．【解答】解：（1）若2A ∈，则1112A =−∈−，于是()11112A =∈−−， 故集合A 中还含有1−，12两个元素． （2）若A 为单元素集，则11a a =−，即210a a −+=，此方程无实数解，∴11a a≠−， ∴a 与11a−都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集． （3）由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a−∈⇒∈⇒=∈−−−−． 现只需证明a 、11a −、1a a−−三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒−+=−，方程无解，∴11a a≠−； ②若2110a a a a a −=⇒−+=−，方程无解；∴1a a a−≠−； ③若211101a a a a a −=⇒−+=−−，方程无解，∴111a a a −≠−−， 故集合A 中至少有三个不同的元素．。
2024年高考数学一轮复习专题01集合及其运算含解析
专题01集合及其运算最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在详细情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能运用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.基础学问融会贯穿1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋) Z Q R2.集合间的基本关系3.集合的基本运算【学问拓展】1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.重点难点突破【题型一】集合的含义【典型例题】下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指其次和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满意集合元素的确定性；（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选：A．【再练一题】下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．【解答】解：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清晰集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性经常简洁忽视，求解问题时要特殊留意．分类探讨的思想方法常用于解决集合问题．【题型二】集合的基本关系【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：A＝{x|1＜x＜4，x∈Z}＝{2，3}；又A⊆B；∴m＝3．故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|3x﹣a≥0}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，12）D．（12，+∞）【解答】解：∵3x﹣a≥0，∴x，∴A＝[，+∞），∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴2，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，6]．故选：B．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【题型三】集合的基本运算命题点1 集合的运算【典型例题】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B＝（）A．{6，9} B．{6，7，9} C．{7，9} D．{7，9，10}【解答】解：U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A＝{4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B＝{7，9}，故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【解答】解：A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，故选：B．命题点2 利用集合的运算求参数【典型例题】已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B＝∅，故A∩B≠∅，则实数a的取值范围a＜3，故选：C．【再练一题】已知集合M＝{x|3x2﹣5x﹣2≤0}，N＝[m，m+1]，若M∪N＝M，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：M＝{x|x≤2}，由M∪N＝M可得N⊆M，则，解得m≤1，故选：B．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要留意端点的状况．(2)运算过程中要留意集合间的特殊关系的运用，敏捷运用这些关系，会使运算简化．【题型四】集合的新定义问题【典型例题】设集合X是实数集R的子集，假如点x0∈R满意：对随意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a的时候，不存在满意得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对随意的a，都存在x（事实上随意比a小得数都可以），使得0＜|x|a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于随意的a＞0，存在n，使0＜|x|a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对随意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不行能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．【再练一题】已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M4【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2＝0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必需在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即解除A，B，C．故选：D．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，应用到详细的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素．基础学问训练1．已知集合，则以下正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得．所以．故选B．2．已知集合A． B．(－1，2) C． D．【答案】C【解析】集合解不等式得集合,，所以即所以选C3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C4．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故选：B．5．已知全集，则A． B．C． D．【答案】C【解析】解：全集，则故选：C．6．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得到，由，则，故选B．7．已知集合，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】解: 由图像可知阴影部分对应的集合为,,,故选D.8．集合，则的元素个数（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】为小于的整数，所以.故选B.9．已知全集，集合1，2，3，4，5，，则图中阴影部分表示的集合为A． B．1， C．2， D．1，2，【答案】C【解析】集合1，2，3，4，5，图中阴影部分表示的集合为2，．故选C．10．若集合A＝{x|x2＜2，B＝{x|}，则A∩B＝( )A．（0，2） B．（，0） C．（0，） D．（－2，0）【答案】B【解析】集合A＝{x|x2＜2, B＝{x|A∩B＝（，0）。
高考中集合常考题型的总结
高考中集合常考题型的总结# 题型一：集合的基本概念。
题目1：已知集合A = {x∈Nmid x^2 2x 3≤slant0}，B = {xmid y = lg(x 1)}，则A∩B=______。
解析：1. 先求解集合A：解不等式x^2 2x 3≤slant0，因式分解得(x 3)(x + 1)≤slant0，则其解为-1≤slant x≤slant3。
又因为x∈ N（自然数集），所以A={0,1,2,3}。
2. 再求解集合B：对于y = lg(x 1)，根据对数函数的定义域，真数须大于0，即x 1>0，解得x>1，所以B={xmid x>1}。
3. 最后求A∩ B：A∩ B是由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，所以A∩ B={2,3}。
答案：{2,3}# 题型二：集合间的关系。
题目2：设集合A={xmid -2≤slant x≤slant5}，B={xmid m + 1≤slant x≤slant2m 1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是______。
解析：1. 当B = varnothing时：满足B⊆ A，此时m + 1>2m 1，解这个不等式得m<2。
2. 当B≠varnothing时：因为B⊆ A，所以有m + 1≤slant2m 1 m + 1≥slant 2 2m 1≤slant5，解m + 1≤slant2m 1得m≥slant2；解m + 1≥slant 2得m≥slant 3；解2m 1≤slant5得m≤slant3。
综合起来，取交集得2≤slant m≤slant3。
3. 综合B = varnothing和B≠varnothing两种情况：取并集，得到m的取值范围是m≤slant3。
答案：m≤slant3# 题型三：集合的运算。
题目3：已知全集U = R，集合A={xmid x^2 3x + 2<0}，B={xmid x^2 (a + 1)x + a<0}。
考点01 高中数学-集合-考点总结及习题
考点01集合【命题趋势】集合在历年高考中都是送分题，且常以下面几种考查方式进行命制：1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Ve n n）图表达集合的关系及运算.【重要考向】一、集合的基本概念二、集合间的基本关系三、集合的基本运算四、与集合有关的创新题目集合的基本概念集合的基本概念1．元素与集合的关系：a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*N或+N Z Q R C注意：实数集R不能表示为{x|x为所有实数}或{R}，因为“{}”包含“所有”“全体”的含义.5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.【巧学妙记】（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.1.已知集合A ={x |x 2+px +q =0}={2}，则p =_______，q =_______．【答案】-44【分析】根据A ={x |x 2+px +q =0}={2}，由2是方程x 2+px +q =0的等根求解.【详解】因为A ={x |x 2+px +q =0}={2}，所以2420-40p q p q ++=⎧⎨=⎩，解得-44p q =⎧⎨=⎩，故答案为：-4，42.下列各组中的M 、P 表示同一集合的是①{}(){}3,1,3,1M P =-=-；②(){}(){}3,1,1,3M P ==；③{}{}221,1M y y x P t t x ==-==-；④{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.【名师点睛】本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题.对四组集合逐一分析，由此判断出正确的选项.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示本基本关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素A B⊆（或B A ⊇）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B⊂≠（或B A ⊃≠）相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集A B=空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B BC A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.【巧学妙记】3.设集合{}11A x x =-≤，{}20B x x a =-+<，若A B B ⋃=，则a 的取值范围为（）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.【答案】A 【分析】先解出集合A ，根据A B B ⋃=,可知A B ⊆,构造关于a 的不等式组,解得a 的范围.【详解】{}{}11=02A x x x x =-≤≤≤，2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，由A B B ⋃=得A B ⊆，所以0a <.故选：A.【点睛】（1）A B B A B ⋃=⇔⊆，A B A A B ⋂=⇔⊆.（2）由B A ⊆求参数的范围容易漏掉=B ∅的情况．4.设集合{|21,}A x x n n ==-∈Z ，{|41,}B x x n n ==-∈Z ，则（）A ．ABB ．B AC ．A B ∈D ．B A∈【答案】B 【分析】分2n k =和21n k =-两种情况得出集合A ，由此可得选项.【详解】解：对于集合A ，当2n k =，k ∈Z 时，41,x k k =-∈Z ，当21n k =-，k ∈Z 时，43,x k k =-∈Z ,所以{|41,A x x k ==-或}43,x k k =-∈Z ，所以BA ，故选：B ．5．已知集合{}240,A x x x N =-<∈，则集合A 的子集的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】先求出集合A ，再根据集合元素的个数即可求出子集个数.【详解】{}{}240,0,1A x x x N =-<∈=，有2个元素，则集合A 的子集的个数是224=.故选：C.集合的基本运算1．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn 图交集由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{|}A B x x A x B =∈∈ 且并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合|}{A B x x A x B =∈∈ 或补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{|}U A x x U x A =∈∉且ð2．集合运算的相关结论交集A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集A B A ⊇ A B B ⊇ A A A = A A ∅=A B B A = 补集()U U A A=痧U U =∅ðU U∅=ð()U A A =∅ð()U A A U= ð【巧学妙记】6．设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合{1,3}=（）A ．AB B ．()R A BðC ．A BD ．()R B A⋂ð【答案】B 【分析】由集合补集和交集的定义运算即可.【详解】解：因为集合{1,3}的元素都在集合A 中，但不在B 中，所以为()R A C B I .故选：B ．7．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q ⋂=，则P Q ⋃=（）A ．{}3,0B ．{}301,,C ．{}3,0,2D ．{}3012,,,【答案】B 【分析】由已知可得出关于a 、b 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出P Q U .【详解】已知集合{}23,log P a =，{},Q a b =，且{}0P Q ⋂=，则2log 0a b ==，解得1a =，所以，{}0,3P =，{}0,1Q =，因此，{}0,1,3P Q ⋃=.故选：B.与集合有关的创新型题目解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．8.设A B ，是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=__________；②若对任意x ∈R ，1m n +=，则A B ，的关系为__________.【答案】0A B=R ð【解析】①∵A ⊆B ，∴x ∉A 时，m =0，m (1−n )=0.x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m =n =1，m (1−n )=0.综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ，∴A ，B 的关系为A B =R ð.【名师点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解答本题时，由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ，n 的关系即可确定A ，B 之间的关系.1．已知全集{}2,U x x x =≤∈Z ，集合{}1,0,2A =-，{}2,1B =--，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}2-B ．{}1-C ．{}2,1--D ．∅2．已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()A B =∅R ð，则m 的取值范围为（）A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞3．设全集U =R ，集合{}1A x x =≥-，{}23B x x =-≤<，则集合()U A B ⋂ð是（）A ．{}21x x -<<-B ．{}21x x -≤<-C ．21}x x -<≤-D ．{}21x x -≤≤-4．设集合(1,3)A =，{}230B x x =->，则A B = （）A ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设全集为R ，{}()0M x f x =≠，{}()0N x g x =≠，那么集合{}()()0x f x g x =等于（）A ．()()R RM N痧B ．()R M N ⋃ðC ．()R M NðD ．()()R RM N ⋃痧6．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，{2,3,4}B =，则U ()A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{0,1,2,4}C ．{1,4}D ．{0,2}7．已知集合{}20A x x =->，集合{1,2,3,4}B =，那么集合A B = （）A ．[2,4]B ．[3,4]C ．{3,4}D ．{2,3,4}8．已知集合{A =-，{}cos ,B y y R θθ==∈，则A B = （）A ．∅B ．{}0C ．{}1,0-D ．{-9．已知集合{}2,M y y x x ==-∈R ，{}12N x x =-<≤，则M N = （）A ．(]1,2-B ．[]0,2C ．(]1,0-D ．()1,0-10．已知0a >，集合{1A x x ==-或2}x ≥，{}22230B x x ax a =--≥．（1）当1a =时，求A B ．（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．1．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，，2．（2017·全国高考真题（文））已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R3．（2020·海南高考真题）设集合A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}4．（2020·天津高考真题）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = ð（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---5．（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}6．（2020·全国高考真题（文））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2020·全国高考真题（文））已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}8．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）9．（2018·全国高考真题（文））已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}10．（2020·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.11．（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = _____.12．（2018·江苏高考真题）已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B ⋂=________．1．（2021·北京八十中高三其他模拟）已知集合{}{}7,27A y y B x x =<=-≤≤，则A B = （）A ．{}22x x -≤<B ．{}7x x ≤C ．{}7x x <D ．{}27x x -≤<2．（2021·广东珠海市·高三二模）已知集合{|0.71,}x A x x R =>∈，2{|20,}B x x x x R =--<∈，则A B = （）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()1,2-3．（2021·奉新县第一中学高三三模（文））集合{}ln(1)A x y x ==-，{}1,2,3,5B =，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}2,3,5C ．{}3,5D ．{}1,24．（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）若集合()2{|ln 21}A y y x x ==-++，{}ln 1|B y y =<，则A B = （）A ．[]0,e B ．(]0,e C ．(]0,ln 2D ．()0,e 5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知集合3{}12A =，，，{1012}B =-，，，，若M A ⊆且M B ⊆，则M 的个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．66．（2021·安徽合肥一中高三其他模拟（理））设集合{}2,x A y y x R ==∈，{}2230B x x x =--<，则A B = （）A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(1,0)-D ．(1,3)7．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）已知集合{}0,1,2,3A =，2{|4}B x x =，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2,3--B ．{}0,1,2,3C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,28．（2021·山东潍坊市·高三三模）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}3,4B =，则集合{}5=（）A ．()U A B ðB ．()()U U A B 痧C ．()U A B ðD ．()U B A ⋃ð9．（2021·江西高三其他模拟（文））若集合{}2270A x x x =-<，{}3B x x =>，则A B = （）A ．{}0x x >B ．732x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．702x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{0x x <或}3x >10．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知集合{}12M x x =-<≤，{}0N x x =>，则集合() R M N ⋂=ð（）．A ．{}02x x <≤B ．{}2x x ≤C ．{}02x x x ≤>或D ．{}10x x -<≤11．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知集合{},n A x x i n N ==⊂，集合1,1n i B x x n N i ⎧⎫+⎪⎪⎛⎫==⊂⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中i 为虚数单位，则集合A 与集合B 的关系是（）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B≠参考答案跟踪训练1．A【分析】先求出集合U ，再根据交集补集定义求解即可.【详解】 {}{}2,2,1,0,1,2U x x x =≤∈=--Z ，{}2,1U A ∴=-ð，(){} U 2A B ∴⋂=-ð.故选：A.2．A【分析】由()A B =∅R ð，得A B ⊆，从而可求出m 的取值范围【详解】由题知()A B =∅R ð，得A B ⊆，则1m £，故选：A ．3．B【分析】先由集合A 先求出U A ð，然后再求交集运算.【详解】由{}1A x x =≥-，则{}U |1A x x =<-ð又{}23B x x =-≤<，所以(){}U |21A B x x ⋂=-≤<-ð故选：B4．D【分析】化简集合B ，由交集运算即可.【详解】因为(1,3)A =，{}3230(,)2B x x =->=+∞，所以3,32A B ⎛⎫=⎪⎝⎭ ，故选：D5．D【分析】首先得到{}{()()0|()0x f x g x x f x ===或}()0g x =，再结合已知条件即可得到答案.【详解】因为{}{()()0|()0x f x g x x f x ===或}()0g x =，又因为{}()0M x f x =≠，{}()0N x g x =≠，所以{}()()()()0R R x f x g x M N ==⋃痧.故选：D6．B【分析】根据集合交集及补集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{0,1,3}A =，{2,3,4}B =，所以{}3A B ⋂=，又全集{0,1,2,3,4}U =，所以U (){0,1,2,4}A B = ð，故选：B.7．C【分析】首先求解集合A ，最后求集合的交集即可.【详解】因为集合{}20A x x =->，所以{}2A x x =>，又集合{1,2,3,4}B =，所以{}3,4A B = ，故选：C8．C【分析】由余弦函数的值域，先求出集合B ，再求交集.【详解】{}{}cos ,11B y y R y y θθ==∈=-≤≤，又{A =-所以{}1,0A B ⋂=-故选：C9．C【分析】首先求解集合M ，再求M N ⋂.【详解】解：∵{}0M y y =≤，{}12N x x =-<≤，∴(]1,0M N ⋂=-.故选：C .10．（1）{1A B x x ⋂==-或3}x ≥；（2）12,33⎡⎤-⎢⎣⎦【分析】（1）当1a =时，可解得集合B ，根据交集运算的定义，即可得答案.（2）当0a >时，可得集合B ，根据A B ⊆，可列出方程组，求得a 的范围；当0a =时，经检验符合题意；当0a <时，根据A B ⊆，可列出方程组，求得a 的范围，综合即可得答案.【详解】（1）当1a =时，{}2230B x x x =--≥，解得{3B x x =≥或1}x ≤-，所以{1A B x x ⋂==-或3}x ≥.（2）令22230x ax a --=，解得3x a =或x a =-，当0a >时，3a a >-，所以集合{3B x x a =≥或}x a ≤-，因为A B ⊆，所以132a a -≤-⎧⎨≤⎩，解得23a ≤，所以203a <≤，当0a =时，集合B =R ，满足A B ⊆，当0a <时，3a a ->，所以集合{B x x a =≥-或3}x a ≤，因为A B ⊆，所以132a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得13a ≥-，所以103a >≥-，综上：实数a 的取值范围为12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.真题再现1．A【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A B 中的元素，最后求得结果.【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得{}0,2A B =I ，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.2．A【详解】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=< ，选A ．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．3．C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.4．C【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--ð，则(){}U 1,1A B =- ð.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.5．D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.6．B【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7．D【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =- .故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.8．C【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=>，∴(1,)A B =-+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.9．C【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．10．{}0,2【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =I 故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．11．{1,6}.【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知，{1,6}A B = .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.12．{1，8}.【详解】分析：根据交集定义{}A B x x A x B 且⋂=∈∈求结果.详解：由题设和交集的定义可知：{}1,8A B = .点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.模拟检测1．B【分析】直接利用集合的并运算，即可得到答案；【详解】 {}{}{}77,27A y y x x B x x =<=<=-≤≤，∴A B = {}7x x ≤，故选：B.2．B【分析】通过解不等式分别求出集合A 、B ，进而可求得A B .【详解】由0.71x >得0x <，所以(),0A =-∞；由220x x --<得12x -<<，所以()1,2B =-.所以，()1,0A B =-I .故选：B.3．B【分析】解不等式化简集合A ，再进行交运算，即可得到答案；【详解】 {}{}ln(1)1A x y x x x ==-=，{}1,2,3,5B =，∴A B = {}2,3,5，故选：B.4．C【分析】先化简集合A B ，，再求A B 得解.()222ln 21=ln[(21)]ln[(1)2]ln 2y x x x x x =-++---=--+≤，所以()(]2{|ln 21,ln 2A y y x x ==-++=-∞，{}()|ln 10,B y y e =<=，所以(]0,ln 2A B ⋂=.故选：C5．C【分析】由M A ⊆且M B ⊆得，()M A B ⊆⋂，根据交集及子集的定义即可求解.【详解】解： 集合3{}12A =，，，{1012}B =-，，，，{}1,2A B ∴= ，又M A ⊆且M B ⊆，()M A B ∴⊆ ，即{}1,2M ⊆，M ∴的个数为224=个，故选：C.6．B【分析】求函数值域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】()()220,2313013x x x x x x >--=+-<⇔-<<{}0A y y => ，{}13B x x =-<<，(0,3)A B ∴⋂=.故选：B7．D先求得集合B ，再根据集合的交集运算可得选项．【详解】因为[]2{|4}22B x x =≤=-，，所以A B = {}0,1,2．故选：D ．8．A【分析】根据并集及补集的定义对选项一一分析即可.【详解】对于A ，(){}5U A B ⋃=ð，故A 正确；对于B ，()(){}{}{}3,4,51,2,51,2,3,4,5U U A B ⋃=⋃=痧，故B 错误；对于C ，(){}{}{}3,4,53,43,4,5U A B =⋃= ð，故C 错误；对于D ，(){}{}{}1,2,51,21,2,5U B A ⋃=⋃=ð，故D 错误；故选：A9．A【分析】解一元二次不等式可求得集合A ，由并集定义可得结果.【详解】(){}727002A x x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =>，{}0A B x x ∴⋃=>.故选：A.10．D【分析】先求得(] R ,0N =-∞ð，再结合集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}0N x x =>，可得(] R ,0N =-∞ð，又由集合{}12M x x =-<≤，可得()(]R 1,0M N ⋂=-ð.11．C【分析】先由题中条件，由复数的运算，化简两集合，进而可判断两集合之间关系.【详解】由题意，{},1,,1A i i =--，集合B 中11i i i +=-，所以{},1,,1B i i A =--=.故选：C.。
高考数学试卷讲解集合
一、集合的概念及运算1. 集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的整体。
其中，对象称为元素。
2. 集合的表示方法：集合可以用列举法、描述法和图示法来表示。
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。
例如：A={1, 2, 3, 4}，表示集合A由元素1、2、3、4组成。
（2）描述法：用语言描述集合中元素的性质。
例如：B={x | x是2的倍数，且x小于10}，表示集合B由所有小于10的2的倍数组成。
（3）图示法：用Venn图或韦恩图表示集合之间的关系。
3. 集合的运算：（1）并集：将两个集合中的元素合并在一起，组成一个新的集合。
例如：C={5, 6, 7}，D={6, 7, 8}，则C∪D={5, 6, 7, 8}。
（2）交集：找出两个集合中共有的元素，组成一个新的集合。
例如：C={5, 6, 7}，D={6, 7, 8}，则C∩D={6, 7}。
（3）补集：在全集U中，不属于集合A的元素组成的集合称为A的补集，记作A'。
例如：A={1, 2, 3}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={4, 5}。
（4）差集：找出两个集合中属于第一个集合但不属于第二个集合的元素，组成一个新的集合。
例如：C={5, 6, 7}，D={6, 7, 8}，则C-D={5}。
二、集合的应用1. 集合在数列中的应用：集合可以用来表示数列，研究数列的性质。
例如：数列{an}的通项公式为an=n^2，则数列{an}可以表示为集合A={n^2 | n为正整数}。
2. 集合在函数中的应用：集合可以用来表示函数的定义域和值域。
例如：函数f(x)=x^2的定义域为R（实数集），值域为[0，+∞）。
3. 集合在几何中的应用：集合可以用来表示几何图形中的点、线、面等元素。
例如：直线l上的所有点组成的集合记作L。
三、高考数学试卷中集合的常见题型1. 集合的概念及运算：考察对集合概念的理解，以及集合运算的掌握。
高考文科数学集合专题讲解及高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 2. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考试卷“集合的基本运算”试题赏析
高考试卷“集合的基本运算”试题赏析集合是数学中一个重要的概念，其基本运算是高中数学中一个重要的知识点。
在高考试卷中，常常会涉及到集合的基本运算，这也是考察学生对于集合概念和基本运算的理解和运用能力。
在本文中，将对高考试卷中关于“集合的基本运算”试题进行赏析，帮助学生更好地掌握这一知识点。
1.题目一已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求A∪B和A∩B。
解析：这是一个典型的集合的基本运算题目。
A∪B表示集合A和B的并集，即将A和B中所有的元素去重合并在一起；A∩B表示集合A和B的交集，即A和B中共同的元素。
通过这道题目，可以考察学生对于集合并集和交集的理解，以及对于集合元素去重的能力。
解题时，学生需要首先对集合A和B的元素进行整理，然后进行并集和交集的计算。
这样的题目有助于考察学生的逻辑思维能力和运算技巧。
2.题目二已知集合A={x|x是正整数，x^2－5x+6=0}，集合B={x|x是正整数，x>3}，求A∩B。
解析：这是一个将代数方程和集合的交集运算结合在一起的题目。
在这道题目中，需要先求出方程x^2－5x+6=0的解，然后将解与集合B中的元素进行比较，求出A∩B。
解答过程如下：首先解方程x^2－5x+6=0，得x=2或3。
然后将2和3与集合B中的元素进行比较，得A∩B={3}3.题目三解析：这是一个关于幂集的题目。
幂集指的是一个集合的所有子集构成的集合。
在这道题目中，需要求出集合A和B的幂集。
解答过程如下：A的幂集={{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}B的幂集={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。
高考数学专题《集合》习题含答案解析
分析：由题意首先求得 CR B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： CR B x | x 1 ，
结合交集的定义可得： A CR B 0 x 1 .
本题选择 B 选项.
8．（2017·全国高考真题（理））已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则（
故选：C
8．（2019·北京临川学校高二期末（文））已知集合 = { ―1,3}， = {2,2}，若 ∪ = { ―1,3,2,9}，则实数
）
的值为（
A． ± 1
B． ± 3
C． ― 1
D．3
【答案】B
【解析】
∵ 集合 = { ―1,3}， = {2,2}，且 ∪ = { ―1,3,2,9}， ∴ 2 = 9，因此， =± 3，
对③： {0,1, 2} 是集合， {1, 2, 0} 也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.
对④： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以 0 ，故④错误.
对⑤： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.
故选：C.
3．（2021·浙江高一期末）已知集合 M 0,1, 2,3, 4 ， N 2, 4, 6 ， P M N ，则满足条件的 P 的非
则集合 A B 的所有元素之和为（
A．16
B．18
）
C．14
D．8
【答案】A
【解析】
由题设，列举法写出集合 A B ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知： A B {1, 2,3, 4, 6} ，
∴所有元素之和 1 2 3 4 6 16 .
2025年新高考数学专题 集合与常用逻辑用语 含解析
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
(完整word版)高中数学集合总结+题型分类+完美解析
集合知识清单】1. 性质：确定性、互易性、无序性.2. 元素和集合的关系：属于“”、不属于“” .3. 集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“ ”）4. 集合子集个数= 2n；真子集个数= 2n1.5.交集：A B x| x A且x B并集：A B x|x A或x B补集：C U A x| x U且x A6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集【No.1 定义& 性质】1. 下列命题中正确的个数是（）①方程x 2 y 2 0 的解集为2, 2②集合y | y x2 1,x R与y| y x1,x R 的公共元素所组成的集合是0,1③集合x| x 1 0 与集合x|x a,a R 没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是 x 和 y 的值的集合，也就是一个点 .答案：Ax 2 0 x 2 详解 ：在①中方程 x 2 y 2 0等价于，即 。
因此解集应为y 2 0 y 22, 2 ，错误；在②中，由于集合 y | y x 2 1,x R 的元素是 y ，所以当 x R 时， y x 2 1 1.同 理， y | y x 1,x R 中 y R ，错误；在③中，集合 x|x 1 0 即 x 1，而 x|x a,a R ，画出数轴便可知这两个集合可能 有公共的元素，错误 .故选 A.2.下列命题中，1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素； 错误的命题的个数是（ ） 分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合 M 是集合 N 的子集，那 么M 中的元素个数要小于或等于 N 中元素的个数；如果集合 M 是集合N 的真子 集，那么 M 中的元素个数要小于 N 中元素的个数 .答案：C详解：（ 1）如果集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 B 中至少有一个元素，故（ 1）正确；（2）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的元素少于或等于集合的 B 元素，故（ 2）不 正确；（3）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素，故（ 3）正确； （4）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 和B 可能相等，故（ 4）不正确．故选 C ．3. 设 P 、 Q 为两个非空实数集， P 中含有 0，2，5 三个元素， Q 中含有 1，2， 6三个元素，2）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 3）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 4）如果集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 的元素少于集合 B 的元素； A 的元素不多于集合 B 的元素； A 和B 不可能相等．A ．0B ．1C ．2D ．3定义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P ,b Q ，则 P Q 中元素的个数是()A.9B.8C.7D.6分析：因为a P ，b Q ，所以P Q 中的元素a b 是P 中的元素和 Q 中元素两 两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性 .答案：B详解：当 a 0时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别为 1,2,6； 当 a 2时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别 3,4,8；当 a 5 时， b 依次取 1,2,6，得 a b 的值分别 6,7,11 ； 由集合的互异性得 P Q 中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个，故选 B. 4. 设数集 M 同时满足条件1a① M 中不含元素 1,0,1，②若 a M ，则1 a M .1a 则下列结论正确的是 ( )A ．集合 M 中至多有 2 个元素；B ．集合 M 中至多有 3 个元素；C ．集合 M 中有且仅有 4 个元素；D ．集合 M 中有无穷多个元素1a分析：已知a M 时，1 a M .那么我们可以根据条件多求出几个 M 集合的元 1a素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数 .答案：C详解 ：由题意，若1 a111则1 aM ，则 1 a1 M ， a a 1 M ，1a1 1 a a 11 a 11 aaa1 1 则a 1a11 a1 任意两个元素不相等，故集合2a 2M ，1 a 2若 a，则 a 21，无解，同理可证明这四个元素中，1aM ，【 No2. 表达方式】5. 下列集合表示空集的是( A. x R|x 5 5 B. x R|x 5 5 2C. x R|x 2 02D. x R|x 2x 1 0分析： 本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合答案：D详解： x 2 x 1 0，1 4 1 1 3 0 方程无实数解，故选 D.6. 用描述法表示下列集合： 0,2,4,6,8 ； 3,9,27,81, ；1,3,5,7, ； 2,4,6,8,(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合．分析： 描述法就是将文字或数字用式子表示出来 .但是要注意题中给出的元素的 范围详解：(1) x N |0 x 10 ,且x 是偶数 ；(2) x|x 3n,n N ；2n 1(3) x|x ,n N 2n(1) (2) (3)(4) x| x 5n 2,n Z题型二、不含参数⑴⑴中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③A B A ABA B A BAA B从A 和B 两方面讨论【No.1 判断元素/ 集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①0 0 ；② 0 0 ；③ ；④ a a ；⑤ 0 ；⑥ 0 ；⑦ 0 ；⑧0其中正确的是（）A. ②③④⑧B.①②④⑤C.②③④⑥D. ②③④⑦分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：-- “属于”，用于表示元素和集合的关系；，-- “包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为0 0 ；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0 ；2.若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若A B,则C U A C U B UC U B（2）若A B U , 则C U A，则 A B（3）若A BA．0个B．1个C．2个D．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比答案：D详解：（1）C U A C U B C U A B C U U ；（2）C U A C U B C U A B C U U ；（3）证明：∵AA B , 即A，而A ，∴ A同理B，∴ A B ；【No.2 子集、真子集】3.从集合U a, b, c, d 的子集中选出 4 个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①，U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B 或B A.那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U ，我们要求得只剩两个集合。
专题01 集合(教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题01集合）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N +Z Q R说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = ．（2）A A A = ，A A ∅= ，A B B A = ．（3）()U A C A =∅ ，()U A C A U = ，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆ ．（4）()()()U U U C A B C A C B = ,()()()U U U C A B C A C B = ．【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】化简集合A ，根据集合B 中元素的性质求出集合B.【详解】{}24[2,2]A x x =≤=- ，{}*1B x x N x A =∈-∈且，{1,2,3}B ∴=,故选：C【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为{}0,1,2A =，a A b A ∈∈,，所以0ab =或1ab =或2ab =或4ab =，故{}{},0,1,2,4B ab a A b A =∈∈=，即集合B 中含有4个元素；故选：C例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．无数个【答案】B 【解析】【分析】先解出集合A ，再按照对数的运算求出集合B ，即可求解.【详解】由260x x --<，解得23x -<<，故{}1,0,1,2A =-，()2222ln (1)1ln(11)ln 2,ln 010,ln(21)ln 5⎡⎤-+=+=+=+=⎣⎦，故{}ln 2,0,ln 5B =，集合B 中元素个数为3.故选：B.例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =，所以{0,1,2}A B ⊗=--，故集合A B ⊗中的元素个数为3，故选：C.例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,yC z z x x A y B==∈∈，则C 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据题意写出集合C 的元素，可得答案.【详解】由题意，当1x =时，1y z x ==，当2x =，2y =时，4y z x ==，当2x =，4y =时，16y z x ==，即C 中有三个元素，故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =，故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.【题型二】集合元素的特征【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】根据{}1,0,1A =-求解{},B a b a A b A =+∈∈即可【详解】由题，当a A b A ∈∈,时a b +最小为()()112-+-=-，最大为112+=，且可得()101,000,011-+=-+=+=，故集合B ={}2,1,0,1,2--故选：D【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
高考集合知识点总结及典型例题
集 合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主。
预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体三．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；A a ∈A b ∉互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
高考文科数学集合专题讲解及高考真题含答案.doc
集合、简易逻辑（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集， N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a与集合M的关系是a M ，或者 a M ，两者必居其一 .（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法： { x | x具有的性质 } ，其中x为集合的代表元素 .④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1)A A（或(2) AA 中的任一元素A(B)子集BAB A) 都属于 B若 A B 且 B C ，则 A C 或(3)(4) 若 A B 且 B A ，则A BA BA B，且B 中（1） A （A 为非空子集）真子（或至少有一元素不(2) 若 A B 且 B C ，则 A C集B ）属于 AAA中的任一元素集合都属于(1)A B B，B 中的相等任一元素都属于A(2)BA（7）已知集合A有n(n1) 个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有 2n2非空真子集 .集合的基本运算1.集合运算：交、并、补 .2.主要性质和运算律（1）包含关系：A A,A, A U ,CUA U ,A B,BC A C ; A I B A, A I B B; A U B A, A U B B.（2）等价关系：A B A I B A A U B B C U A U B U（3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.结合律 : (A B) C A (B C ); ( A B) C A (B C )分配律 :. A(B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C )0-1 律：I A, U A A,U I A A,U U A U等幂律： A A A, A A A.求补律： A∩C U A=φ A ∪C U A=U ?C U U=φ ?C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A) ∪( C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩( C U B)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2025高考数学 集合与复数题型专题
3.已知集合 A {x Z | x2 x 2 0}, B {x N | 0 log2(x 1) 2} ，则 A B 的真子集个数
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】因为 A {xZ| x2 x 2 0} xZ| 2 x 1 2,1,0,1 ， B {xN | 0 log2 x 1 2} {xN |1 x 1 4} xN | 0 x 3 0,1,2,3 ， 所以 A B 0,1 ，
A B 的真子集个数为 22 1 3.故选：B.
【题型4 集合的交并补运算】
集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系， 再列方程（组）求解.
1.已知集合 A 1,2,3 ， B 3,5 ，则C x x 2a b, a A,b B 中的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B 【解析】由题意， x 2a b ，
当 a 1,b 5 x 7 ，当 a 1,b 3 x 5 ，当 a 2,b 5 x 9 ， 当 a 2,b 3 x 7 ，当 a 3,b 5 x 11 ，当 a 3,b 3 x 9 ，
4.已知 M 2,1,0,1,2， N x | y ln(x2 3x) 则 M N （ ）
A．2, 1,0
B．2, 1
C．0,1, 2
D．1, 2,3
【答案】B
【解析】由 x2 3x 0 ，得 x 3 或 x 0 ，则 N x | x 0 或 x 3 ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A ＝{1，2}，B ＝|x xA ，则集合A 与B 的关系为________． 解析：由集合B ＝|x x A 知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若2,|a a R x x ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a 有解，故0a ．答案：0a3．已知集合A ＝2|21,y y x x x R ，集合B ＝|28x x ，则集合A 与B的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝2|0x x x 关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N=2|0x x x ，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5知集合A ＝|5x x，集合B ＝|x x a ，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5． 答案：a <56．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．练习二组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1．答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1．11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2． (2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算练习一组1．设U ＝R ，A ＝|0x x，B ＝|1x x ，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}． 答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝|2,x x a a M ，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m 时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}． (2)若B ⊆A ，则1m ，即m 的取值范围为(1，＋∞)练习二1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}． 答案：{2，3，4}5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2．9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；。