集合间的基本关系 PPT
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集合的概念与集合间的基本关系.pptx
3
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35
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变式：
M
x
x
k 2
1 4
,k
Z ，N
x
x
k 4
1 2
,k
Z
，
P
x
x
k 4
1 4
,
k
Z
，
则M , N, P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性 （是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确 求解的两个先决条件.
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反思回顾：
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感谢您的观看！
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变式二：已知二次函数 f (x) ax2 x有最小值,不等式
f (x) 0的解集为A，设集合 B x x 4 a
若集合B是集合A的子集,求 a 的取值范围.
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课堂总结：
1、集合的基本概念及表示方法 认识集合：一看代表元素 二看元素性质
2、集合间的基本关系 （1）包含关系 ：子集（真子集） （空集之误） （2）相等关系
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二：集合间的基本关系
1.包含关系：
(1)对任意的x∈A，都有x∈B，称集合A为集合B的子集
记作： A B （或 B A ）. 子集的性质： ①A A
AB
②A B, B C 则A C
(2)若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A，
称集合A为集合B的真子集，
记作：______（或______）.
题型二：子集的个数问题：
例1：A x Z 6 x 1，B 3,2,1,0,1,2
则A B的子集有 ____ 个 真子集有 _____ 个
集合间的基本关系ppt课件
( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；
集合间的基本关系-ppt课件
1.集合有哪两种表示方法？
列举法，描述法
2.元素与集合有哪几种关系？
属于、不属于
3.对于集合这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？
类比法
问题
• 实数间的基本关系
关系
大小
关系
相等
关系
5<7
5>3
5=5
集 合间的 基本 关系
图示法(Venn图)
常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如 ,
A B
B
A
人教A版（ 2019） 数学必 修第一 册1.1. 2集合 间的基 本关系 课件( 共16张P PT)
概念理解
问
通过类比实数关系中的性质 “若a b且b a, 则a b"
你能发现集合之间的关系有哪些性质？
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ； 反身性
(2)对于集合，，，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆ .
1.2集合间的基本关系
一、教学目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集的概念，在具体情
境中，了解空集的含义.
2.能识别给定集合的子集，掌握列举有限集的所有子集的方法.
3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.
二、教学重难点
1、教学重点
集合之间包含与相等的含义.
2、教学难点
子集、真子集的关系.
图1-1表示任意一个集合A
图1-2表示集合 {1，2，3，4，5}
A
图1-1
1,2,3,4,5
图1-2
优点： 直观，体现了数形结合思想，可以作为同学
们学习集合这一章的辅助手段。
问题 类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集
《集合间的基本关系》课件
80%
补集的可分离性
若全集U中存在两个互不重叠的 子集A和B，则它们的补集A'和B' 也是互不重叠的。
补集的应用
集合的划分
通过补集可以将全集划分为若 干个互不重叠的子集，从而实 现对全集的划分。
集合的运算
在集合运算中，补集的概念可 以用于简化运算过程，例如在 集合的交、并、差等运算中， 可以通过补集来消除某些元素 。
并集的性质
01
并集具有交换律，即 A∪B=B∪A。
02
03
并集具有结合律，即 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 。
并集的补集律表明，如 果M是全集U，那么 A∪(M-A)=M。
04
并集的幂等律表明， A∪A=A。
并集的应用
并集在数学、逻辑和计 算机科学中都有广泛的 应用。
在集合运算中，并集用 于组合多个集合，满足 某些条件或属性的元素 。
假设A={a, b, c, d}，B={b, c, e, f}， 则A∩B={b, c}。
交集的性质
01
02
03
04
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
交集的应用
超集是指一个集合包含另一个集合的所有元素，即如果集合A中的 所有元素都属于集合B，则称集合B为集合A的超集。
03
集合间的相等关系
相等关系的定义
相等关系
如果两个集合A和B的元素完全相同，即A=B，则称集合A与B具有 相等关系。
相等的定义
对于任意两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素， 且B中的每一个元素都是A中的元素，则称A与B相等，记作A=B。
集合的基本关系ppt课件
∅ ⫋ {∅}或∅ ∈{∅}
不同点
∅是集合；0是实数
关系
0∉∅
02
探索新知
例3 某造纸厂生产练习本用纸，当纸的白度和不透明度都合格时，该产品才合格.若用表示练
习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的白度合格的产品组成的集合，表示纸的不透明度
合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？
⊆ ， ⊆ ， ⊆ ， ⊆ .
（2）空集是任何非空集合的真子集，即对任意非空集合A，都有∅ ⫋ A
（3）子集、集合相等与真子集的关系：A ⊆ B ⇒ = 或A ⫋ B.
02
探索新知
相同点
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
都表示无的意思
都是集合
都是集合
∅不含任何元素；{0}含一个
∅不含任何元素；{∅}含一个
元素0
元素，该元素是∅
∅ ⫋ {0}
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
02
理解子集、真子集的概念
03
能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽
象概念的作用
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
实例分析
（1）设某校高一（1）班全体35位同学组成集合P，其中女同学组成集合M；
存在 ∈ ， ∉ ； ≠
（3）若 ∈ ，则 ∈ .
存在 ∈ ， ∉ ； ≠
⇒ ⊆ .
对于两个集合与，如果集合 ⊆ ，且 ≠ ，那么称集合
是集合的真子集，记作 ⫋ （或 ⫌ ），读作“真包含于”
（或“真包含”）
Venn图
集合间的基本关系ppt课件
一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集(A⊆B),且集合 B 是集合 A 的子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作
A=B
符号语言：若A B, B A，则A B.
A(B)
真子集
如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x A，我们称集合 A 是集合 B
解：由
a2
1,
ab b.
或
a2 b, ab 1.来自得a 1, b 0.
或
a 1, b 1.
（舍去）.
所以 a 1，b 0.
本节课的知识网络：
子集 AB
空集 （）
相等 AB
真子集 A B
性质
性质
(2)设 C 为立德中学高一(2)班女生的全体组成的集合，D 为这个班学生的全 体组成的集合；
(3) E={x|x是两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}.
可以发现，在(1)中，集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素．这时 我们说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A．(2)中的集合 C 与集合 D 也有这种关系．
的真子集． 例如：集合 A={1，2，3}，集合 B={1，2，3，4，5}．4，5在集合 B 中，但 不是集合 A 中的元素．所以 A 是 B 的真子集
读作：“A真含于B（或“B真包含A”).
BA
空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ∅，
并规定：空集是任何集合的子集； 是任何非空集合则真子集.
一般地，对于两个集合A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B中 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集.记作：
1.2集合间的基本关系(共42张PPT)
1．能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的
Venn 图是
()
解析：选 B.解 x2－x＝0 得 x＝1 或 x＝0，故 N＝{0，1}，易得 N M，其 对应的 Venn 图如选项 B 所示．
2．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当 的符号填空：
(多选)已知集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B
A，则 m 的值为 A.13 C．0
B．－12 D．2
()
解析：选 ABC.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为 B A 且 B＝{x|mx＋1＝0}，
所以 B＝{－3}或 B＝{2}或 B＝∅. 当 B＝{－3}时，
称集合 A 是集合 B 的子集 如果集合 A⊆B，但存在元素 真子集 __x_∈__B_，__且__x_∉__A___，就称集 合 A 是集合 B 的真子集
符号表示 A__⊆__B (或 B__⊇__A)
A____B (或 B____A)
图形表示
定义 如果集合 A 的_任__何___一__个__ 元素都是集合 B 的元素， 集合相等 同时集合 B 的__任__何__一__个__ 元素都是集合 A 的元素， 那么集合 A 与集合 B 相等
1．Venn 图 (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等 定义
如果集合 A 中_任___意__一__个__元 子集 素都是集合 B 中的元素，就
集合间的基本关系ppt课件
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为
( B )
A.2
B.3
C.4D.5解析 满足 Nhomakorabea件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3个.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个
别为{1},{2}.
思考辨析
1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
2.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
自主诊断
1.下列集合中为空集的是( C )
A.{0}
B.{⌀}
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},
{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=
3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分
【例1】 (1)[2024河南统考模拟预测]已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A
的所有非空真子集的个数是( D )
A.6
B.7
C.14
D.15
解析 因为A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素个数为3,因此集
合A的所有非空真子集的个数是23-2=6.故选A.
(2)已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为( C )
集合间的基本关系ppt课件
A B
记作A B(或B A). 如 : {1,2} {1,2,3,4} 符号语言： 若A B, 且存在x B但x A,则A B. 图形语言： 若A B,且A B,则A B.
A B
新知探究：空集
问题4 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根
集合
元素个数 子集个数
真子集 非空子集
个数
个数
结论：
0
1
{a}
1
2
集合A有n(n≥0)个元素,则 A的子集有2n个,
{a,b}
2
4
A的真子集或非空子集有2n-1个, {a,b,c}
3
8
A的非空真子集有2n-2个(n≥1). {a,b,c,…} n
2n
0 1 3 7
2n 1
典例解析 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A={1, 2, 3}，B={x|x是8的约数}； （2）A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1) 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2) 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集.
如：{x||x|=1}={x|x2=1}
符号语言： 若A⊆B且B⊇A，则A=B.
图形语言：
A(B)
A B BA
集合相等是集合包含关系中的特殊情况。
集．
(1) A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5}； (√)
(2) A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}； (×)
变式 已知集合A满足{1，2}⫋A⊆{1,2,3, 4},写出满足条件的集合A.
高一数学-集合间的基本关系ppt课件.ppt
【解析】 由集合相等的概念得 a2－1＝0 a2－3a＝－2 ，解得 a＝1.
写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的所有集合A. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①集合{a，b}，{a，b，c，d}已知； ②集合A满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}； ③求集合A. 解答本题可根据子集、真子集的概念求解． 【解析】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集， 另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b， 且含有c，d两个元素中的一个或两个． 故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
(3){0}与Ø的区别：{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任 何元素的集合．因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø＝{0}，Ø∈{0}．
3．两集合相等的证明 若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素 列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、 B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．
1．子集、空集的概念的理解 (1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合 B的“部分元素”所组成的集合。如A＝Ø，则集合A不含B中的任 何元素． (2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于 B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A ＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}， B＝{b，c}．
【解析】 ∵B⊆A，
①当 B＝Ø 时，m＋1<2m－1，解得 m>2；
②当 B≠Ø 时，有－m＋3<12&解得－1<m≤2. 综上可知 m 的取值范围是{m|m>－1}．
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类 问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表 示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一 般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的所有集合A. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①集合{a，b}，{a，b，c，d}已知； ②集合A满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}； ③求集合A. 解答本题可根据子集、真子集的概念求解． 【解析】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集， 另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b， 且含有c，d两个元素中的一个或两个． 故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
(3){0}与Ø的区别：{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任 何元素的集合．因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø＝{0}，Ø∈{0}．
3．两集合相等的证明 若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素 列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、 B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．
1．子集、空集的概念的理解 (1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合 B的“部分元素”所组成的集合。如A＝Ø，则集合A不含B中的任 何元素． (2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于 B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A ＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}， B＝{b，c}．
【解析】 ∵B⊆A，
①当 B＝Ø 时，m＋1<2m－1，解得 m>2；
②当 B≠Ø 时，有－m＋3<12&解得－1<m≤2. 综上可知 m 的取值范围是{m|m>－1}．
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类 问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表 示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一 般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
集合的基本关系ppt课件
非空真子集有 − 个.
例2
已知区间 = −∞， 2 和 = −∞， ，且 ⊆ ，求实数
的取值范围.
【解析】因为 ⊆ ，所以集合B的元素都是集合A的元素
用数轴表示它们的关系为：
思考：
的位置在哪？
> ? = ? < ?
因此， ≤ 2.
2
跟踪训练
已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x<}，若M⊆N，则
综上所述，的值为0，−1,
.
1
≠ 时，方程的解为 = .
跟踪训练
已知 = − = 0 , = − 1 = 0 若 ⊆ ,求实数
的值.
【解析】 =
①当 = 时， = ∅,满足 ⊆ ；
②当 ≠ 时， =
若 ⊆
，则
,
= ,解得 = −或 = .
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
①A={1,3}, B={1,3,5,6};
②A＝｛｜是两条边相等的三角形｝，B＝｛｜是等腰三角
形｝；
③A={| ＞2}, B={ | ＞1}.
①，②，③中集合Ａ中的每一个元素都是集合Ｂ中的元素,
即集合Ａ与集合Ｂ有包含关系.
子集
一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A
∈ , , ⊆ ,
【提示】元素与集合之间的关系用“∈”（或“∉”），
集合与集合之间的关系用“⊆”（或“⊈”）.
思考1：你能用更直观的方式表示两集合的包含关系吗？
维恩图：在数学中，我们经常用平面上一条封闭曲线的
内部代表集合，这种图称为维恩图.
例2
已知区间 = −∞， 2 和 = −∞， ，且 ⊆ ，求实数
的取值范围.
【解析】因为 ⊆ ，所以集合B的元素都是集合A的元素
用数轴表示它们的关系为：
思考：
的位置在哪？
> ? = ? < ?
因此， ≤ 2.
2
跟踪训练
已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x<}，若M⊆N，则
综上所述，的值为0，−1,
.
1
≠ 时，方程的解为 = .
跟踪训练
已知 = − = 0 , = − 1 = 0 若 ⊆ ,求实数
的值.
【解析】 =
①当 = 时， = ∅,满足 ⊆ ；
②当 ≠ 时， =
若 ⊆
，则
,
= ,解得 = −或 = .
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
①A={1,3}, B={1,3,5,6};
②A＝｛｜是两条边相等的三角形｝，B＝｛｜是等腰三角
形｝；
③A={| ＞2}, B={ | ＞1}.
①，②，③中集合Ａ中的每一个元素都是集合Ｂ中的元素,
即集合Ａ与集合Ｂ有包含关系.
子集
一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A
∈ , , ⊆ ,
【提示】元素与集合之间的关系用“∈”（或“∉”），
集合与集合之间的关系用“⊆”（或“⊈”）.
思考1：你能用更直观的方式表示两集合的包含关系吗？
维恩图：在数学中，我们经常用平面上一条封闭曲线的
内部代表集合，这种图称为维恩图.
集合的基本关系ppt课件
图示
如下Venn图所示，则集合A、B的关系是A⫋B．
注意
集合A与B首先要满足A⊆B，其次要满足A≠B．
温故知新
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
阅读答案
（1）如：
（2）若A⊆B则 A=B或A ⫋ B
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（3）对于空集这个特殊的集合，由于其本质特征“不含任何元素”无法用列举法或描述法直观地表达出来，所以用一个单独的符号“∅”来标记.看不见、摸不着，这也是让学生感到困难的原因.另外，空集也容易和一些集合混淆，比如集合“｛0｝”，“｛0｝”是含有一个元素的集合，集合中的元素是“0”，而∅是不含任何元素的，因此∅与｛0｝之间的关系是∅⊆｛0｝.
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例1
指出下列各对集合之间的关系:（1）A={-1，1}，B={（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1）}；（2）A={x∈Z|-1<x<4}，B={x∈N|x-4<0}．
解
（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
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子集定义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若∈A，则∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
特例
显然，任何一个集合都是它本身的子集，即⊆．
规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合，都有∅⊆
如下Venn图所示，则集合A、B的关系是A⫋B．
注意
集合A与B首先要满足A⊆B，其次要满足A≠B．
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（1）如：
（2）若A⊆B则 A=B或A ⫋ B
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（3）对于空集这个特殊的集合，由于其本质特征“不含任何元素”无法用列举法或描述法直观地表达出来，所以用一个单独的符号“∅”来标记.看不见、摸不着，这也是让学生感到困难的原因.另外，空集也容易和一些集合混淆，比如集合“｛0｝”，“｛0｝”是含有一个元素的集合，集合中的元素是“0”，而∅是不含任何元素的，因此∅与｛0｝之间的关系是∅⊆｛0｝.
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例1
指出下列各对集合之间的关系:（1）A={-1，1}，B={（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1）}；（2）A={x∈Z|-1<x<4}，B={x∈N|x-4<0}．
解
（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
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子集定义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若∈A，则∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
特例
显然，任何一个集合都是它本身的子集，即⊆．
规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合，都有∅⊆
1.2集合间的基本关系 课件(共20张PPT)
新知探究1：子集
子集的定义： 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A B (或B A ). 读作：“A包含于B” (或“B包含A”). 符号语言：任意x A，有x B, 则A B.
新知探究1：子集
人教版数学课本必修一 第一章 第二节
集合间的基本关系
复习引入
1.集合中元素的三大特性：确定性 、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系
意义
读法 符号表示
a 是集合 A 的元素 a 属于集合 A a∈A
a 不是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a A
3.常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 N
N 或N
Z
Q
R
4.集合的表示法：列举法 、描述法．
新知探究1：子集
思考1：两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3， 等等.类比两个实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
新知探究1：子集
观察下面三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能 发现下面两个集合之间的关系吗？
(× ) (× ) (√ )
新知探究2：集合的相等
第三组集合
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合A与集合B相等
思考2：能否仿照实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”， 用集合的语言描述集合A和集合B相等?
a ≥b
BHale Waihona Puke Ab ≥aA Ba=b
A= B
新知探究2：集合的相等
人教课标版高中数学必修1《集合间的基本关系》课件
(3)任何一个集合是它本身的子集，因此{a} {a}正确；
(4) 中没有任何元素，而{0}中有一个元素，两者不相等，故＝{0}错误；
(5)空集是任何非空集合的真子集，因此 {0}正确；
(6)空集是任何集合的子集，因此 ⊆ 正确．
【答案】(1)、(3)、(5)、(6)正确，(2)、(4)错误．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
集合间的基本关系
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一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫 做集合．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集 合是相等的． 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果 a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
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【答案】
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非 空子集，n个元素的非空真子集有2n－2个．
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例2 判断下列关系是否正确．
(1){1,2} {1,2,3}； (2){1,2,3}⊆{1,2,4}； (3) {a}⊆{a};
我们可以看到，(1)中的集合A中的任何元素都是集合B的元素，(2)中 的集合C中的元素都是集合D中的元素，(3)中的集合E的任何元素都是集 合F的元素，(4)中的集合G中的任何元素都是集合H中的元素．
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一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的
【答案】存在x=2使得B⊆A．此时，A={1,3,4}，B={1,4}．
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知识梳理
（1）一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集
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x0∈A且x0A. 集合相等：A＝BAB且BA. 空集：.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
课堂练习
1.教科书7面练习第2、3题 2.教科书12面习题1.1第5题
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
不含任何元素的集合为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集 是任何集合的真子集. B是A的真子集.
练习2： 1.N __ N _ __ Z ___ Q _ __ R_ 2 .若 A B ,B C ,则 A __C .__
练习2：
1.N _ _ N _ __ Z _ __ Q _ __ R_
一般地，集合A含有n个元素， 则A的子集共有2n个，A的真子集 共有2n－1个.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
例2在以下六个写法中
①{0}∈{0，1} ②{0} ③{0，－1，1}{－1，0，1}
④{1, 2} {1}，{2} ，{1, 2}
⑤{} ⑥{(0，0)}＝{0}.
错误个数为
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
1.子 集
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
这时, 我们说集合A是集合C的子集. (若 x A ,则 x C ,则 A C ) 而从B与C来看，显然B不包含于C. 记为BC或CB.
示例2： A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}，
2.集合相等
示例2： A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}， 有AB，BA，则A＝B.
2.集合相等 示例2：
A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}， 有AB，BA，则A＝B.
若AB，BA，则A＝B.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝Z ，B＝N；
(A)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
例3设集合A＝{1, a, b}， B＝{a, a2, ab}，
若A＝B，求实数a， b.
例4已知A＝{x | x2－2x－3＝0}, B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
课堂小结
子集：AB任意x∈Ax∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
B＝{1，2}.
A＝B
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
3.真子集
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
x∈：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
2 .若 A B ,B C ,则 A __C .__
练习2：
1.N _ _ N _ __ Z _ __ Q _ __ R_ 2 .若 A B ,B C ,则 A _ _C .__
练习2：
1.N _ _ N _ __ Z _ __ Q _ __ R_ 2 .若 A B ,B C ,则 A _ _C .__
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集 是任何集合的真子集.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中
任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.
BA
1.子 集
一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.
BA
1.子 集
一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集.
1.1.2集合间的 基本关系
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
示例1：观察下面三个集合, 找出它们之 间的关系:
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
子集的传递性
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集；
⑵写出所有{a，b，c}的所有子集；
⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
⑴{a}，{b}，{a，b}，； ⑵{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}，
BA
1.子 集
一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集.
注意：①区分∈； ②也可用.
BA
1.子 集 A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
这时, 我们说集合A是集合C的子集.
{a，c}，{b， c}，； ⑶{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}，
{a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}， {a，b，c}，{a，b，d}， {b，c，d}， {a，d，c} {a，b，c，d}，.
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？
A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
课堂练习
1.教科书7面练习第2、3题 2.教科书12面习题1.1第5题
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}；
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
不含任何元素的集合为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集 是任何集合的真子集. B是A的真子集.
练习2： 1.N __ N _ __ Z ___ Q _ __ R_ 2 .若 A B ,B C ,则 A __C .__
练习2：
1.N _ _ N _ __ Z _ __ Q _ __ R_
一般地，集合A含有n个元素， 则A的子集共有2n个，A的真子集 共有2n－1个.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
例2在以下六个写法中
①{0}∈{0，1} ②{0} ③{0，－1，1}{－1，0，1}
④{1, 2} {1}，{2} ，{1, 2}
⑤{} ⑥{(0，0)}＝{0}.
错误个数为
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
1.子 集
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
这时, 我们说集合A是集合C的子集. (若 x A ,则 x C ,则 A C ) 而从B与C来看，显然B不包含于C. 记为BC或CB.
示例2： A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}，
2.集合相等
示例2： A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}， 有AB，BA，则A＝B.
2.集合相等 示例2：
A＝{ x|x是两边相等的三角形}， B＝{ x|x是等腰三角形}， 有AB，BA，则A＝B.
若AB，BA，则A＝B.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝Z ，B＝N；
(A)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
例3设集合A＝{1, a, b}， B＝{a, a2, ab}，
若A＝B，求实数a， b.
例4已知A＝{x | x2－2x－3＝0}, B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
课堂小结
子集：AB任意x∈Ax∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
B＝{1，2}.
A＝B
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
3.真子集
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
x∈：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
2 .若 A B ,B C ,则 A __C .__
练习2：
1.N _ _ N _ __ Z _ __ Q _ __ R_ 2 .若 A B ,B C ,则 A _ _C .__
练习2：
1.N _ _ N _ __ Z _ __ Q _ __ R_ 2 .若 A B ,B C ,则 A _ _C .__
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集 是任何集合的真子集.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中
任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.
BA
1.子 集
一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.
BA
1.子 集
一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集.
1.1.2集合间的 基本关系
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
示例1：观察下面三个集合, 找出它们之 间的关系:
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
子集的传递性
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集；
⑵写出所有{a，b，c}的所有子集；
⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
⑴{a}，{b}，{a，b}，； ⑵{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}，
BA
1.子 集
一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.读作“A包 含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集 合B的子集.
注意：①区分∈； ②也可用.
BA
1.子 集 A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
这时, 我们说集合A是集合C的子集.
{a，c}，{b， c}，； ⑶{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}，
{a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}， {a，b，c}，{a，b，d}， {b，c，d}， {a，d，c} {a，b，c，d}，.
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？
A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.