离散时间系统及卷积

t
s(n) f (k )h(n k ) 就是离散卷积公式 k
将它与连续的卷积公式对比
s (t ) f ( )h (t )d
二者之间是统一的
• 于是，借助系统函数-即冲激响应函数，我们就在系统的输入信号与输出信号 之间建立了一种明确的数学关系，这种数学关系就是卷积关系。
4、卷积的性质及一类特殊的卷积
4、稳定系统
• 对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。 • 或者说，如果输入信号的幅度限制在某个范围之内，则输出信号的幅度也限
制在某个范围之内。
10.3 离散时间系统的描述
1、系统函数
• 对应连续时间系统中的h(t)，离散时间系统中有h(n)。
2、系统函数的物理含义
冲激响应函数： 指冲激信号 (n) 经过系统的响应。 换句话说，系统函数h(n) 就是输入信号为 (n) 时离散 时间系统的输出信号。
第十章 离散时间系统及卷积
10.1 离散时间系统
1、离散系统的概念
• 离散时间系统是指输入及输出信号均是离散信号的系统。
输入si(n)
系统
输出so(n)
2、离散系统的互联
输入
系统1
系统2
a.系统的级联
输出 输入
系统1
系统2 b.系统的并联
输出
输入
系统1
系统2
系统3 c.系统的混联
系统4
输出
3、离散时间系统的模型
2 (n) 4 (n 1) 2 (n 2) 3 (n 1) 6 (n 2) 3 (n 3)
2 (n) 7 (n 1) 8 (n 2) 3 (n 3)
si(n)
2
3
si(0) si(1)
k
k
可见输入信号经过一个冲激响应为(nn0) 的系统，
相当于做平移。
特殊的： si (n) (n) si (n)
• h(n)=(n)的系统又被称为恒等系统
10.4 离散互联系统的冲激响应
1、级联系统
输入
系统1 h1(n)
系统2
输出
h2(n)
系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)h2(n)
系统4
h4(t)
系统h(t)
输出
10.5 卷积的频域性质
1、时域与频域的关系
• 时域卷积等价于频域乘积，即
如果： s(n) f (n) h(n) 则： S () F () H () 其中， S (), F (), H () 分别为
输出信号 s(n), 输入信号 f (n), 系统冲激响应函数 h(n)
离散时间系统输入输出之间的关系可以采 用一些数学模型来描述，如差分方程，以及其他 各种方式。 例如：
bn s0 (n) bn1s0 (n 1) b0si (n)
10.2 离散时间系统的分类
1、线性系统
设某系统对输入 f1(n), f2(n) ，有输出s1(n),s2(n) 则该系统对输入C1 f1(n) C2 f2(n) ， 有输出C1 s1(n) C2 s2(n) ，则该系统为线性系统。
so
(n)
1
2
2 0
So
()e
jnd
• 应当注意的是，有些情况下，采用时域法求解较为容易，而有些情况下，采 用频域法较为方便。
• 举例：
输入信号为： si(n) 2(n)3(n1)
冲激响应为：h(n) 1(n) 2(n1) 1(n2)
1
输出为： s0(n) si (k)h(n k) 2h(n) 3h(n 1) k 0
的离散付里叶变换
• 于是，我们在系统冲激响应函数、输入信号、输出信号之间建立了联系，这 种联系不仅体现在时域中，而且体现在频域中。
• 基于这些联系，我们可以分析和解决很多问题
1）级联系统
输入
系统1 h1(n)
系统2
输出
h2(n)
系统Байду номын сангаас(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()·H2()
系统4
h4(n)
系统h(n)
输出
2、输出信号的求解
设输入信号为si(n) ，系统的冲激响应为h(n) ，输出信
号为 so(n)
利用时域法可以求解输出信号：
so(n) si (n) h(n) si (k)h(n k) k
利用频域法也可以求解输出信号：
So() Si () H() ，再做反付里叶变换
2、并联系统
输入
系统1 h1(n)
系统2 h2(n)
输出
系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)+h2(n)
3、混联系统
输入
系统1
h1(t)
系统3
h3(t)
系统2
h2(t)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(t)={[h1(t)h2(t)]+ h3(t)} h4(t)
2、时不变系统
设某系统对输入 f (n) ，有输出s(n) 则该系统对输入 f (n N0) ， 有输出 s(n N0) ， 则该系统为时不变系统。
3、因果系统
如果某系统在 n0 时刻的输出 s(n0) 仅于 n0 时刻前的输入 f (n) n n0 有关， 而与 n0 时刻以后的输入 f (n) n n0 无关， 则该系统为因果系统。
卷积具有如下重要性质： • 交换率：s (n)h(n)= h(n) s (n) • 分配率：
s (n)[h1(n)+h2(n)]= s(n) h1 (n)+ s(t) h2 (n)
5、一类特殊的卷积
对： h(n) (n n0 )
有：
so(n) si (k)h(n k) si (k) (n k n0) si (n n0) ，
2）并联系统
输入
系统1 h1(n)
系统2 h2(n)
输出
系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2()
3）混联系统
输入
系统1
h1(n)
系统3
h3(n)
系统2
h2(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n) H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()
3、从系统函数到卷积
(n) n
f(n) T
系统
h(n) n
f (n) f (k) (n k) k
f(t) 系统
T
于是输入信号f(n)的输出就等于一系 列h(n)（经过加权和移位）的叠加
s(n) f (k)h(n k) k
s(t)
h(n)f(0)
t
h(n-1)f(1)
t …
h(n-k)f(k)