《1.1.2集合间的基本关系》
1.1.2《集合间的基本关系》课件
典型例题讲解 1、设集合A {x | x 2 4x 0}, B {x | x 2 2(a 1)x a 2 - 1 0, a R}, 若B A，求实数a的值.
解： A {0，4} B A，于是可分类处理. - ， (1)当A B时，B {0，4}. 由此知： - 4是方程x 2(a 1) a 1 0的两根， 0，
1.1.2集合间的基本关系
思考
实数有相等关系、大小关 系，如5＝5，5＜7，5＞3， 等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什合之间 的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,
3.空集
我们知道，方程x 1 0没有实数根，所以，方程
2
x 1 0的实数组成的集合没有元素.
2
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 并规定：空集是任何集合的子集 .
空集是任何非空集合的真子集.
4.集合之间的基本关系.
（）任何一个集合是它本身的子集，即 1 A A （ ）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 2 A C.
y-3 2.设x, y R，A {(x, y) | y - 3 x - 2}, B {(x, y) | 1}, x-2 则A，B的关系是______.
3.已知A { x | 2 x 5}, B { x | a 1 x 2a 1}, B A, 求实数a的取值范围.
2 2
由韦达定理得 - 2(a 1) 4 2 a 解得 a 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B 时，即B {0} ，或B {-4} ， 4(a 1)2 4(a 2 1) 0, 解得a 1 B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1) 4(a 1) 0, 解得a 1
1.1.2《集合间的基本关系》
y-3 2.设x, y R，A {(x,y) | y - 3 x - 2}, B {(x,y) | 1}, x-2 则A，B的关系是______.
2.集合相等：
如果集合A 是集合B的子集（ A⊆B）且集合B也 是集合A的子集（ B⊆A），因此集合A和集合B 中的元素是一样的，就说A与B相等，记A=B。
符号语言: A⊆B,B⊆A⇔A=B
3.真子集： 如果集合A是集合B的子集， 但存在元素x∈B, 且x∈ A,称集合A是集合 A) B的真子集，记作：A Ì B 或 ( B É ¹ ¹
例3：已知集合A {x | 1 x 2}, B {x | x a}, 若A B，求实数a 的取值范围。
例4：已知集合A {x |1 x 2}, B {x | ax 2 0}, 若A B，求实数a 的值组成的集合。
例6 已知A {x | 2 x 5}, B {x | a 1 x 2a 1}, B A,求实数a的取值范围 . 解： A， 当B ，有a 1 2a 1, 即a 2
2 a 1 a 1 当B 时，有a 1 -2 2 a 1 5 2 a 3 综上所述，a的取值范围a 3.
补充：已知M {x | a x a 3}, N {x | x 1, 或x 5}，
若M N，求实数a的取值范围。(做作业本上）
2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m－1≤x≤m+1},当B 求实数m的取值范围．
高一上册数学必修《集合的基本关系》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.1.2集合的基本关系学习目标1. 理解集合之间包含与相等的含义；2. 能识别给定集合的子集；3. 能判断给定集合间的关系. 重难点 重点：理解集合间包含与相等的含义．难点：包含关系的判断与证明．（空集与任意集合的关系）.学习新知1.子集一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.（1）记作(或);（2）读作“包含于”（或“包含”）；（3）不是的子集，记作(或).尝试与发现尝试(1)根据子集的定义判断，如果，那么吗？根据子集的定义，；发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即成立.尝试（2）：是的子集吗？根据子集的定义，是的子集.发现(2)：成立尝试（3）:你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？因为空集不包含任何元素，不会出现“内有元素不在集合”的可能，因此，这里的也可以是空集.发现(3)：空集是任意一个集合的子集.2.真子集一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，（1）记作（或）；（2）读作“真包含于”（或“真包含”） .尝试与发现尝试(1)：分析集合,之间的关系。
发现(1)：.尝试(2):是任意任意一个集合的真子集吗？发现(2)：是任意任意一个非空集合的真子集 .尝试(3): 能否借助图形来形象地表示两个集合的真子集关系？，，发现（3）如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.尝试（4）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？发现（4）：对于集合，，,如果，，则.尝试（5）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？如何用维恩图来描述它们之间的关系？发现（5）：对于集合，，,如果，，则.尝试（6）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？发现（6）：对于集合，，,如果，，则.例题讲解：例1 写出集合的所有子集和真子集.分析：该集合有3个元素，可以考虑从元素个数的不同选取入手，形成不同的集合。
1.1.2集合间的基本关系课件(人教版)
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
示例1：视察下面三个集合, 找出它们之 间的关系:
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中
练习1：视察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB
③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}，
B＝{1，2}.
A＝B
3.真子集
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？
A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
课堂小结
子集：AB任意x∈Ax∈B.
真子集：AB x∈A，x∈B，但存在
x0∈A且x0A. 集合相等：A＝BAB且BA. 空集：.
性质：②①AAA.，若③AA非B空，，B则CAA. C.
1.子 集
A＝{1，2，3} B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.1.2集合间的基本关系
(2)对于集合A,B,C，若 A B 且 B C , 则 A C
2. 集合的相等
若A B且B A,
则A=B;反之,亦然.
3．空集
若 已 知 A B， 勿 忘 考 虑 A 时 的 情 况
3、能初步利用集合间的关系求参数范围
新课引入
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：
① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
② A为高一（2）班全体女生组成的集合 ，
B为这个班全体学生组成的 集合；
③ A={x| x是等边三角形} ． B={x | x是两边相等的三角形},
子集的概念
完成课本第7页：第2题和第3题
典例分析
例1 写出集合{a,b}的所有子集.
练习1:写出集合{a,b,c}的所有子集. 练习2:写出集合{a,b,c,d}的所有子集. 思考: 根据上面练习，能否得到{a,b,c,d,e}的子集的个 数，它与元素的个数有何联系？
重要结论
含n个元素的集合的所有子集的个数是2n 所有真子集的个数是2n-1（舍去本身）
复习回顾
1.集合、元素 2.集合的分类：有限集、无限集 3.集合元素的特性：确定性、互异性，无序性 3.集合的表示方法：列举法、描述法 4.常用数集: N , N * ( N ), Z , Q , R
1.1.2集合间的基本关系
学习目标 1、理解子集、真子集和空集的含义；
2、能够区别元素与集合、集合与集合关系;
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (√ )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ③A={0}, B={x|x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}
1.1.2集合间的基本关系
1.1.2集合的基本关系一、教材1、教材的地位和作用本节主要学习内容是集合之间包含与相等的含义，子集、真子集的定义，以及识别给定集合的子集。
本节课是在学生学习了集合的含义与表示的基础上来进行的，为以后集合的基本运算做知识准备。
因此本节课在知识结构上起了承上启下的作用。
2、教学目标根据《课程标准》的要求以及结合学生的心理特点，我确定了以下目标：（1）知识与技能：理解集合之间包含与相等的含义，掌握子集、真子集、空集的定义，能够识别给定集合的子集。
同时培养学生类比、分析、归纳的能力，能使用Venn图表达集合的关系。
（2）过程与方法: 通过类比元素与集合的从属关系，实数相等与不相等的关系，探究集合之间的包含与相等关系；初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识探索和发现的过程中，激发学生学习数学的兴趣。
3、教学重点、难点及确定依据根据《课程标准》的规定、上述教材的分析和学生已有知识的储备，本课的重点、难点如下：重点：集合之间包含与相等的含义，子集、真子集的概念，以及识别给定集合的子集.难点：识别给定集合的子集,子集和真子集之间的区别和联系。
二、学情学习的对象是高一学生，他们已具备一定的数学基础，对集合已经有了初步的认识，逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展。
高中生好奇心强，渴望明白原理、知道方法，同时他们也希望得到平等的交流研讨，厌烦空洞的说教。
三、教法学法1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
第1章 1.1.2 集合间的基本关系(解析版)
第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=， 故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ． 【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ， 若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个． 故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为 ．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为 ．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<， 若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素， 讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立． 解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=； 故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是 ．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个， 这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出， 故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅， 因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩， 解得112k - 故答案为：112k-． 三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件 当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =； （2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-， 若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-， 若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-， （Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。
1.1.2 集合间的基本关系(共21张PPT)
练习：用适当的符号填空
Z R ； N N+
◆注：任何一个集合是它本身的子集即
A A
2019年8月23日星期五
2.在数学中，经常用平面上的封闭 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.
A
B
思考1
包含关系 {a} A与属于关系a A 有什么区别吗？
2019年8月23日星期五
1.1.2集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关 系，如5＝5，5＜7，5＞3， 等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什么关系？
思考
2019年8月23日星期五
• 下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ • （1）设A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}. • （2）设A ={x|x是正方形} ,B ={x|x是平行四边形} . • （3）设A为高一(2)班所有的女生组成的集合，B为高一(2)
A B(或B A) 读作：A真含于B（或B真包含A）
2019年8月23日星期五
注 意
由此可见，集合A是集合B 的子集，包含了A是B
的真子集和A与B相等两种情况.
与实数中的关系类比是：≤
思考4
方程 x2 +1 = 0 的实数根能够组成集合！ 那你们能找出它的元素吗？
2019年8月23日星期五
我们规定： 不含有任何元素的集合叫做空集，
注 与 的区别：前者表示集合与集合之间的关系；
意 后者表示元素与集合之间的关系.
思考2
a与{a}一样吗？有什么区别？
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只 有一个元素的一个集合. a ={a}是错误的.
2019年8月23日星期五
数学：1.1.2《集合间的基本关系》课件(北师大版必修1)
1.子集
定义： 任意 x A, 都有 x B
记作 A B (或B A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )
韦恩图
B
A
数轴
子集的有关性质
（ 1 ）任何一个集合是它本 身的子集，即 A A （2）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 AC （子集的传递性） .
9 9 例2：A x N | N , B N | x N 9 x 9 x
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心情舒畅的他，立即又变得极为不满起来。好你个年氏，居然敢私下偷偷打探爷的喜好！哼，只怕你是机关算尽壹场空！别说你是这么 壹个惹爷厌烦的人，就算是最受爷宠爱的淑清，她能有几个胆子敢私自打探爷的喜好！小小年纪就这般诡计多端！幸亏今日这个宫宴， 让爷见识到了你的手段，否则指不定哪壹天，后院都火上房了，爷还不知道是被哪个诸人害惨的呢！冰凝主仆三人在爷刚壹进屋的时候 都极为规矩地行了请安礼，可是行礼之后过去很长壹段时间了，怎么还是听不到爷叫起的声音？爷没有叫起，三个人谁也不敢轻举妄动。 而此时他的脑海中正信马由缰、海阔天空地任意驰骋，哪里还想得起来这里有三个人等着他的发话呢。这三个人的半蹲礼都行了有壹柱 香的功夫，他的思绪才算是重又飘回到这个房间，于是径直朝屋里走去，直接坐到了椅子上。吟雪偷眼望去，只见爷已经自己落了座， 心中更是拿不定主意：这是应该自行起身先去奉茶，还是继续蹲在这里等待爷的吩咐呢？正犹豫不决之间，忽然听到爷发话叫起。三个 人早就蹲得脚都有些发麻了，因此这壹声叫起，就像是特赦令壹样，吟雪迅速闪身去奉茶，月影则赶快扶丫鬟起身。第壹卷 第144章 预言当吟雪再次走进屋来，将茶盏轻轻地放到他面前的桌上，然后与另外两个人壹起垂首立在壹侧之后，他才抬起眼来，望了望眼前的 这主仆三人，壹派温顺恭良之态。因此他也没有再说壹句话，而是就着桌前的烛光，自顾自地看起书来。屋子里静悄悄地，除了他翻书 的声音，壹丁点儿声响也没有。那主仆三人壹见这个情形，心中自知大事不好，只是她们谁也猜想不出来，爷会从哪里下手。特别是吟 雪和月影，前些日子刚刚被罚了跪佛堂，切肤之痛、心有余悸，因此她们更是焦急万分：这壹次仍是她们两个奴才替丫鬟受过？还是真 如丫鬟刚刚所说的那样，就是轮，也要轮她这个主子的头上了？如果真是丫鬟的话，那么瘦弱的身子，哪儿遭得了这么大的罪呢？他哪 里是在看书，他这是在暗地里仔细地盘算着怎么惩治冰凝呢！今天这个黄毛丫头可是把他惹翻了，他早已经没有耐心再假借福晋之手， 他已经被气得怒不可遏，必须亲自出面才能壹解心中的愤怒。可是玉盈姑娘！那个“紧箍咒”又是壹个多么现实的问题！刚刚吟雪和月 影接到秦公公传的口信，说爷过壹会儿要来怡然居，两个人激动得几乎异口同声地对秦顺儿千恩万谢！这可是自新婚之后，王爷第壹次 踏进怡然居的院子。小心恭送走了秦公公，两人立即转身冲进屋里，兴奋地对冰凝说道：“丫鬟，丫鬟 ，太好了，太好了，爷马上要 过来了。”“爷要过来？爷壹过来，咱们怡然居可就是要大祸临头了！你们俩个赶快收拾收拾，千万不要被爷
1.1.2集合间的关系
a的取值范围是a 2
小结：
作业：
课后习题
改错本可以改上本堂课的几个例题
(2)已知集合A {a, b}, 写出集合A的所有子集。
{ 解：集合A的子集有：， a}, {b}, {a, b}
(3)已知集合A {a, b, c}, 写出集合A的所有子集。 { 解：集合A的子集有：， a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}
一、
复习（结合提问）：
1．集合的概念、解释集合的元素必备性质 2．集合的表示、符号、常用数集NQZR 3．关于“属于”的概念 4 ．列举法、描述法(前面，后面)
§1.1.2 集合间的基本关系
教学目标: 1、了解子集的概念及其表示方法, 2、了解真子集和空集的有关概念.
教学重难点： 1、子集真子集的概念及它们的联系与区别； 2、空集的概念以及与一般集合间的关系.
(1) : A B, B C (2) : A B, B A
AC
A B
例题：
例1、用适当的符号(
)填空 (1)a {a}; (2)a {a, b, c}; (3)d {a, b, c} (4){a} {a, b, c}; (5){a, b} {b, a};
若集合A中有1个元素，则A有 2 个子集
若集合A中有2个元素，则A有 4 个子集 若集合A中有3个元素，则A有 8 个子集 若集合A中有n个元素，则A有 2 个子集
n
若{1,2} A {1,2,3,4,5},
写出满足条件的集合A，有几个这样的集合？
{1,2} {1,2,3};{1,2,4};{1,2,5} {1,2,3,4};{1,2,3,5};{1,2,4,5} 满足条件的集合A的个数等于{1,2,3}的真子集个数
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
1.1.2集合间的基本关系
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
1如有帮助欢迎下载支持【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能求给定集合的子集，能判断集合间的关系.2了解空集的含义，能使用Venn 图表示集合间的关系，培养学生体会从具体到抽象的思维过程，体会数形结合的思想.【学习重点】理解集合间包含（子集、真子集）、相等的含义.【学习难点】理解空集的含义.【使用说明及学法指导】带着教材助读设置的问题，阅读并探究课本76-P P 的内容（15min ），完成学案自主学习部分（15min ）.将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处.自主学习一、教材助读（问题形式）问题1：两个集合之间具有哪些关系？用符号如何表示？问题2：如何判断两个集合之间的关系？ 问题3：什么样的集合称为空集？问题4：如何求给定集合的子集、真子集、非空真子集的个数？写出集合{}c b a ,,的子集、真子集、非空真子集？二、自学检测1．有下列命题：① {}{}B A c a B d c b a A ⊆==则若,,,,,,; ②;φφ⊆③φ;φ④若φA ，则A φ≠；其中正确的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．设集合A=}{,20|N x x x ∈≤≤且则集合A中的元素有 ，其子集的个数是 ，真子集的个数是 ，非空真子集个数是 .3．判断如下集合A 与B 之间有怎样的关系？ ⑴A={N x x x ∈<≤,41|}，B={}023-|2=+x x x . ⑵A=},2|{Z m m x x ∈=，}.4|{Z n n x x B ∈==.合作探究基础知识梳理（以填空形式呈现）1.集合间的基本关系 名 称自然语言描述符号语言表示Venn 图表示子 集如果集合A 中 都是集合B 中的元素，则称集合A 为 集合B 的子集B A ⊆或真 子 集 如果集合B A ⊆，但存 在元素a B ，但 a B ，则称集合A为集合B 的真子集集 合 相 等集合A 与集合B 中 ，则称集合 A 与集合B 相等 A=B2.空集： ，记为 ，并规定空集是任何集合的 .3.任何一个集是它本身的 ，即 .我的疑问：24.对于集合A ，B,C,如果B A ⊆，且C B ⊆，那么.5.集合A 中有n 个元素，则它的子集个数为 ， 真子集个数为 ，非空真子集个数为 .探究一下列表示或说法正确的是 ①{1,2}⊆{1,2}；②{0}∈{{0}，{1}}；③满足A ⊆{a,b}的集合A 有4个;④集合{x |}2x y ==}|{2x y y =.规律方法总结：探究二已知集A=}5|{<x x ,B=}|{a x x <，若,A B ⊆求a 的取值范围.规律方法总结： 探究三含有三个实数的集合可表示为}1,,{aba ，也可表示为}0,,{2b a a +，求+++32a a a …+20112010a a +的值.规律方法总结： 当堂检测：（见多媒体课件） 反馈练习1.下列表述正确的是（ ）A ．}0{=φB ．}0{⊆φC ．}0{⊇φD ．}0{∈φ2.满足}2,1{}4,3,2,1{⊆A 的集合A 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.已知集合A=}12,3,1{--m ，集合B=},3{2m ，若A B ⊆，则实数m=4.已知集合A=}4,2,0{，集合B={,|ab x x =且},,b a A b A a ≠∈∈，则集合B 的子集个数是（ ）A ．4B ．8C ．2D ．165.已知集合P=}06|{2=-+=x x x ，集合Q=}01|{=+ax x ,且P Q ⊆，求实数a 的取值构成的集合A.课堂小结：。
1.1.2集合间的基本关系课件人教新课标
解：∵A = {0，- 4}，B A，于是可分类处理. (1)当A = B时，B = {0，- 4}. 由此知：0，- 4是方程x2 + 2(a + 1)x + a2 - 1 = 0的两根， 所以将0，- 4代入方程得：
a2 - 8a + 7 = 0 a2 - 1 = 0 解得 a = 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B≠时，即B = {0}，或B = {-4}， Δ = 4(a + 1)2 - 4(a2 - 1) = 0, 解得a = -1 B = {0}满足条件；
(b)B = 时，Δ = 4(a + 1)2 - 4(a2 - 1) < 0, 解得a < -1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a -1, 或a = 1.
例 写出集合｛a, b｝的所有子集，并指出哪些是它的
真子集.
解：集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.
真子集为 ,{a},{b}.
思考5
如果一个集合中有三个元素，则其子集有多少个？ 真子集有多少个？
例如：集合{a,b,c}，则其子集为
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, 共8=个23。
1.1.2 集合间的 基本关系
AB
回顾旧知
1.集合元素的特征有哪些? 确定性、互异性、无序性
2.元素与集合之间的关系是什么?如何表示? 或
3.集合的表示法有哪些? 列举法、描述法、文氏图法、 大写字母法
高一上学期数学人教A版必修第一册1.2集合间的基本关系课件
的子集
记作：A B(或B A)
判断根据:元 素与集合关系
读作：A包含于B，或B包含A
符号语言： 若x∈A，则x ∈ B A B
图形语言：
A
B
AB
思考:怎样表述 ， ， 关系？
两两之间的
再视察下列两个集合，你发现什么？
③ A={x∣x是两条边相等的三角形} B={x∣x是等腰三角形}
④ A={2，4，6} B={6，4，2}
例题分析 集合间的包含关系、相等关系
例1.判 断 下 列 各 式 是 否 正 确
(1) 2 { x | x 2} （2） 2 { x | பைடு நூலகம் 2}
(3){ 2} { x | x 2}
(4) { x | x 2} (5) { x | x 2} (6){a, b, c, d } {e, f , b, d , g}
2、集合间的相等关系 如果集合A是集合B的子集，且
集合B是集合A的子集，此时集合A 与集合B中的元素是一样的，因此两 集合相等
A B，B A，那么A=B
类比 a≤b, b≤a, 则 a=b
再视察下列集合，你发现什么？
⑤ A={x∣x是正三角形} B={x∣x是等腰三角形}
3、真子集：如果集合A是集合B的子集， 但存在元素x∈B, 且x∈ A,称集合A是集合
②对集合A，B，C，若 A B ，且 B C ， 则 AC
即时训练
写出集合{a,b}的所有子集,并指出其中 哪些是它的真子集？
解：集合{a，b}的所有子集为 {a}，{b}，{a，b} 所有真子集为：
，{a}，{b}，
结论：若集合A有n个元素,记card(A)=n,则
集合A的所有子集个数有 2n 个 集合A的所有真子集个数有 2n-1 个 集合A的所有非空子集个数有 2n-1 个 集合A的所有非空真子集个数有 2n-2 个
1.1.2集合间的基本关系
Q
R
Q
?
R
A={x|x是高一（5）班的女生}， B={x|x是高一（5）班的学生} A
? B
探究
观察下面几组集合， 集合 A 与集合 B 具有什么关系？ (1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}． (2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}． (3)A＝{x|x 是正方形}，B＝{x|x 是平行四边形}．
练2. 用符号“∈”或“ ”
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
填空： ∈ 3.14_______Q π_______Q ∈ 0_______N 0_______N+ ∈ (-0.5)0_______Z ∈ 2_______R
练3.试写出下列集合中的所有元素
2
请用正确的符号填空
2 a 0
[答案]
(1)a≤3
(2)a≥3
(3)a>3
(4)3
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________； (2)若A⊆B，则a的取值范围是________；
(3)若A B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
记作AB，或BA.
例2
(1)写出集合{3}和集合{3，5}的所有子集， 并分别指出哪些是真子集;
(2)写出集合{a,b,c}的所有子集;
你发现了什么规律吗？
结论：当一个集合有N个元素的时候， 其子集有 2 个。真子集有几个呢？ n 2 1
n
例3 写出满足 {1, 2} A {1, 2,3, 4} 的所有集 合A. {1，2}，{1，2，3}，{1，2，3，4}
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观察以下几组集合，并指出它们元 素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1}; ③ A={四边形}, B={多边形}; ④ A={x | x是两边相等的三角形},
B={x| x是等腰三角形} ．
【例4】 设集合A＝{x|－1≤x≤6}， B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A. (1)求实数m的取值范围； (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．
解：(1)①当 m－1>2m＋1，即 m<－2 时，B＝Ø 符合 题意；
②当 m－1≤2m＋1，即 m≥－2 时，B≠Ø. 由 B⊆A，借助数轴如下图所示，
• ∴a∈A，b∈A.
• 又A {a，b，c，d，e}，
• ∴集合A为{a，b}、{a，b，c}、{a，b，d}、 {a，b，e}、{a，b，c，d}、{a，b，c，e}、 {a，b，d，e}．,
已知集合 A＝x|x＝m＋16，m∈Z，
B＝x|x＝n2－13，n∈Z，
C＝x|x＝p2＋16，p∈Z，则集合 A，B，C 满足的关
• ∴x＝－1，此时y＝－1.
• 经检验知，x＝－1，y＝－1符合题意，即
A是集合B的真子集(proper
subset)．记作A B
B
Venn图为
A
几个结论
①空集是任何集合的子集Φ A
②空集是任何非空集合的真子集 Φ A （A ≠ Φ） ③任何一个集合是它本身的子集，即
A A ④对于集合A，B，C，如果 A B, 且B C，则A C
注意易混符号
• ①“∈ ”与“ ”：元素与集合之间是 属于关系；集合与集合之间是包含关
得m2m－＋1≥ 1≤－61，， 解得 0≤m≤52. 综合①②可得，m<－2 或 0≤m≤52. (2)当 x∈N 时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，∴集合 A 的子集 的个数为 27＝128(个)．
• 已知{a，b}⊆A {a，b，c，d，e}，写 出所有满足条件的A.
• 解：∵{a，b}⊆A，
系是
()
解析：A＝x|x＝6m6＋1，m∈Z， B＝x|x＝3n6－2，n∈Z， C＝x|x＝3p6＋1，p∈Z. ∵3p＋1＝3(p＋1)－2，∵p∈Z，∴p＋1∈Z， ∴B＝C.
∵6m＋1＝3·2m＋1，又m∈Z，∴2m∈Z， ∵2m仅为偶数，∴A C.
∴A B＝C，故选B.
答案：B
• 已知集合M＝{x，xy，x－y}，N＝{0， |x|，y}，且M＝N，求x与y的值．
• 解：∵M＝N,0∈N，∴0∈M.
• (1)若x＝0，则M＝{0,0，－y}，不满足互 异性，∴x≠0.
• (2)若xy＝0，又x≠0，∴y＝0，显然不满足 互异性，故不成立．
• (3)若x－y＝0，此时M＝{x，x2,0}，
• N＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，又由互异性可 知：x≠0，x≠1，
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出集合{a，b，c}的所有子集； ⑶写出集合{a，b，c，d}的所有子集.
则共思子A有考集的一2：、n子－般集真集1地个合子共，.集有集a21?合,na个A2 ,，含 ,A有a的nn真个有子元多集素少，个
重要结论
• 结论：含n个元素的集合的所有 子集的个数是2n，
系如1 N,1 N, N R,
• Φ R,{1} { 1，2，3}
• ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集 合，Φ是不含任何元素的集合如
• Φ {0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
例1⑴写出集合{a，b}的所有子集；
⑵写出集合{a，b，c}的所有子集；
⑶写出集合{a，b，c，d}的所有子集.
定义
一般地,对于两个集合A与B， 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,我们就说这两个集合有包含 关系，称集合A为集合B的子集（subset）
记作 A B（或B A）
读作“A含于B”,或“B包含 A”．
下图叫做Venn图
A B
若任意x A x B，则A B
注：有两种可能
A B （）A是B的一部分；
• 所有真子集的个数是2n-1，非空 真子集数为2n-2.
例2 ．已知集合A＝{2，x，y}， B＝{2x,2，y2}且A＝B， 求x，y的值．
【例3】 设集合A＝{a|a＝n2＋1， n∈N*}，集合B＝{b|b＝k2－4k＋5， k∈N*}，若a∈A，试判断a与集合B的 关系及集合A与集合B的关系．
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} (√ )
定义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集 合A中的任何一个元素都是 集合B的元素, 同时集合B中的任何一个元素都是集合A 的元素,则称集合A等于集合B,记作 A=B
若AB且B A, 则A=B;
反之,亦然.
定义
对于两个集合A与B,如果A
B,但存在元素x B,且x A ,则称集合
⑴{a}，{b}，{a，b}，； ⑵{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}，
{a，c}，{b， c}，； ⑶{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}，
{a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}， {a，b，c}，{a，b，d}， {b，c，d}， {a，d，c} {a，b，c，d}，.
（2）A与B是同一集合
图中A是否为B的子集?
B
A
(1)
BA (2)
判断集合A是否为集合B的子集， 若是则在（ ）打√，若不是则在 （ ）打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (√ )
②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} (× )
③A={0}, B={x x2+2=0} (× )