阻尼LSQR算法在多波地震反演中的应用_孟祥宁

)1/
2
；
④ ui+1 = ri u +1 i+1 / βi+1 ；⑤ di+1 = ri+1di+1 / βi+1 ；
⑥ vi+1 = λdi+1 − βi+1vi ；⑦ ai+1vi+1 = AT ui+1 − vi+1 。
（4）QR
分解。① ρi
=
(
ρ
2 i
+
β
2 i +1
)1/
2
；②
ci
=
ρi
表 2 LSQR、SVD 及阻尼 LSQR 法反演误差及时对比
LSQR
SVD
阻尼 LSQR
平均误差 （%）
m Vp ( /s)
m Vs ( /s) ρ (g/cm3)
4.17308 4.19688 0.75504
3.501346 3.599685 0.703616
1.269990 1.298688 0.410541
（6）收敛判别。迭代次数增加时，所得的解没有明显变
化就可以停止迭代。在实际应用中，如果迭代 60 次和 500 次所得的结果也没有什么差别，迭代次数可取 60 次。
2 阻尼 LSQR 算法、SVD 算法和 LSQR 算法比较分析
以 P 波单分量反演为例，以中心查分格式求解偏导数， 建立 AVA 反演方程,分别采用对由下表 1 中多层模型计算出 的各层反射系数与零相位雷克子波褶积合成的零相位角道 集记录加上 100%随机噪声形成的含噪零相位角道集记录纵 向所有采样点整体进行反演,反演结果误差和效率对比表 2 显示了阻尼 LSQR 的优越性。
在多波 VTI 介质 AVA 储层参数联合反演中，普遍使用
的是广义线性反演算法，这种算法的关键是计算 Jacobi 矩
阵。LSQR 算法又称最小平方正交分解法，是一种基于 QR
投影分解的算法。在数值计算上它具有收敛快、稳定的优点，
非常适合用于处理系数为大型稀疏矩阵的不适定问题。但是
本算法依赖初始值的精度，当初始误差较大时，会出现效率
m 层序 Vp ( /s)
1
2400
2
2800
3
3300
4
3700
表 1 多层理论模型参数
m Vs ( /s) ρ(g/ cm3) ε
1440
2.17 0.03
1680
2.26 0.03
1980
2.35 0.03
Fra Baidu bibliotek
2220
2.42 0.03
δ 厚度（m）
0.02
50
0.02
90
0.02 120
0.02 150
低下、不收敛等困难，解决这一问题的有效途径是采用正则
化重构迭代格式，加入阻尼系数来调节分辨率和误差。
1 阻尼 LSQR 算法流程
由于问题时病态的且存对观测数据误差的影响，最小二
乘问题可能是不稳定的，很小的观测误差可能引起解的很大
波动。正则化就是来解决这种问题的。正则化就是在方程
Ax=b 后面增加 n 个阻尼方程，构成阻尼最小二乘方程组，
总平均误差（%）
计算时间（ ms ）
3.04166 372553
2.601549 134132
0.993073 30137
3 阻尼 LSQR 算法在多波地震反演中的应用
在多波地震资料反演中利用阻尼 LSQR 算法编写程序 应用于 XXX 地区三维叠前 P 波 CMP 资料和转换波 CCP 资 料反演出了纵波速度、横波速度和密度。下图为该地区三维 数据体 675 线岩性参数反演剖面，图 1、图 2、图 3 依次为 纵波速度、横波速度、密度。
中国西部科技 2012 年 01 月第 11 卷第 01 期总第 270 期
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阻尼 LSQR 算法在多波地震反演中的应用
孟祥宁 1 钟 峙 2 王玉凤 1
（1.成都理工大学信息工程学院地球探测与信息技术教育部重点实验室，四川 成都 610059；2.广州海洋地质调查局，广东 广州 510075）
摘 要：多波 VTI 介质 AVA 储层参数联合反演的关键是解 Jacobi 矩阵。本文从 Lanczos 迭代出发，结合双对角化和 QR 分 解，推导出了阻尼 Lanczos 算法流程。通过比较 SVD 算法和 LSQR 算法，显示了阻尼 Lanczos 算法在效率和精度方面的优 越性。该算法应用于多波地震勘探资料反演中,获得的目标层储层参数:纵波速度、横波速度和密度，证明了该算法的有效性。 关键词：AVA；阻尼；地震勘探；反演 DOI：10.3969/j.issn.1671-6396.2012.01.014
维向量，d1、v1、w1、x1 为 n 维向量,β1、a1、r1、 ϕ1 、ρ1
为实数。
（2）对 i = 1, 2, 3L ，完成以下 3～6 步。
（3）双对角化。① ri+1ui+1 = Avi − aiui ；
②
r d i+1 i+1
=
λvi
−
ai di
；③
βi+1
=
(ri2+1
+
r
2 i +1
Abstract: The key of the joint inversion of reservoir parameters for the Multi-wave VTI media AVA is the solution of the Jacobi matrix. This paper based on the Lanczos iteration, deduced Lanczos algorithm flow damping by combining double diagonalization and QR decomposition. Compared with SVD algorithm and LSQR algorithm, it was showed that the damped Lanczos algorithm was superior in its efficiency and accuracy. Then, we applied this algorithm to the Multi-wave seismic data inversion to prove the effectiveness of the algorithm. Keywords: AVA; Damp; Seismic exploration; Inversion
利用 Lanczos 迭代求解方程，然后再用 QR 分解法求解阻尼
最小二乘问题。
阻尼 LSQR 算法流程如下：
（1）初始化。β1u1=b，a1v1 = AT u1 ，w1 = v1 ， x0 = 0 ，
d1 = 0 ， r1 = 0 ， r1 = 0 ，ϕ1 = β1 ρ = a1 。其中 b1、u1 为 m
/
ρi ；
③ si = βi+1 / ρi ；④θi+1 = siai+1 ；⑤ ρ i+1 = −cidi+1 ；
⑥ϕi = ciϕi ；⑦ϕ i+1 = siϕi 。
（5）更新 x、w，迭代求解。① xi = xi−1 + (ϕi / ρi )wi ；
② wi+1 = vi+1 − (θi+1 / ρi )wi 。
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开发应用
图 1 纵波速度
图 2 横波速度
图 3 密度
4 结论
本文针对多波地震资料反演中出现的大规模病态线性 矩阵方程问题，利用阻尼 LSQR 算法进行处理。阻尼 LSQR 算法具有节省内存，减少计算量，收敛迅速且解的数值稳定 等优点。实践表明在多波地震资料反演中利用阻尼 LSQR 算 法能得到理想效果。
(1.College of Information Engineering of CDUT, Key lab of Earth Exploration & Information Technology of Ministry of Education, Chengdu, Sichuan 610059, China; 2.Guangzhou Marine Geological Survey, Guangzhou, Guangdong 510075, China)
[作者简介] 孟祥宁（1984-），男，硕士，主要从事 VSP 多 波 AVA 叠前联合反演储层参数方法研究方面的工作。
The Application of Damped LSQR Algorithm in the Multi-wave Seismic Inversion
MENG Xiang-ning1, ZHONG zhi2, WANG Yu-feng1
社,1995:319～328. [2] 张赛民.跨孔地震层析成像研究[D].长沙:中南大学,2003. [3] 裘渔洋.线性约束矩阵最小二乘问题：理论与算法[D].杭州:浙江大
学,2007. [4] 裴顺平.中国大陆上地幔顶部体波速度层析成像[D].北京:中国地震局
地球物理所,2002.
参考文献： [1] 徐树芳.矩阵计算的理论与方法[M].北京:北京大学出版