高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨(向东来)

高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探

讨

在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。

1.叉乘的定义【1】

要确定一个向量，需要知道它的模和方向。 如图1，对于给定的向量a 和b ，规定向量b a c ⨯=，满足：

（1）模：b a b a c ,sin =

（2）方向：向量c 的方向垂直于向量a 和b （向量a 和b 构成的平面）

，且符合右手定则：用右手的食指表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度)0(πθθ≤≤到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向。这里的θ也就是b ,。

这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数

量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。

给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。 2.叉乘的性质

（1）显然有0a a =⨯

（2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即a b b a ⨯-=⨯，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足πθ≤≤0，也就使得积向量反向。

（3）易得对数乘的结合律，即()⨯a λb )()(b a b a ⨯=⨯=λλ

（4）可以证明分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(或c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 3.叉乘的几何意义

如图2，在平面上取点,,b a ==OB OA O ，作b b a b a ,sin =⨯，由三角形面积公式θsin 2

1

ab S =

可知b a ⨯表示以OB OA ,为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是

以OB OA ,为两边的平行四边形的面积。O

即OABC OAB S S ==⨯△2b a

4.叉乘的坐标表示

将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。

要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基——单位正交基底出发。给定一组单位正交基底{}k j i ,,，为满足运算要求，应使i ,右手定则，即建立一个右手系，如图3。这样一来就有

i

k j j k i k j i =⨯-=⨯=⨯ i

j k j i k k i j -=⨯=⨯-=⨯

从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。

可设),,(),,,(321321321321b b b b b b a a a a a a =++==++=k j i b k j i a 则=⨯b a )()(321321k j i k j i b b b a a a ++⨯++ 由向量叉乘的分配律可知，

)

,,()()())

()()(1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

231332123121231332123121(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ---=-+-+--+++-+-+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==k j i i j i k j k j k i k k j i j k i j i 原式

即 ),,(

),,(),,(1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

321321b a b a b a b a b a b a b b b a a a ---=⨯

这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。

5.叉乘的实际应用

（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了极大简化。

【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD ，且A(1,3,2)，B(2,3,1)，C(5,6,3)，求平行四边形的面积。

【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出AC AB 和的夹角，再用

θsin 2

1

ab S =

，即为所求面积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。

【解答】)1,0,1(-=A B ，)1,3,4(=AC

43

433)5(3)

3,5,3(222=∴=+-+=-=⨯∴ABCD S AC AB （2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。【2】

如图4，对于给定的直线l 和点C ，可在l 上取点

B A ,，则

AB C =

),(d

⨯表示平行四边形ABCD 的面积，又等于),(d AB C AB •，整理即可得上式。

【例２】已知点A(1,3,2)，B(2,3,1)，求点C 到直线AB 的距离

【解答】)1,0,1(-=A B ，)1,3,4(=AC

2

86243),(d 433)5(3)

3,5,3(222==

=

∴=+-+=-=⨯∴AB C AC AB （3）求平面的法向量

由于向量叉乘运算b a c ⨯=中b c a c ⊥⊥且，由立体几何知识可知，如果选取一个平面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就可以作为平面的法向量。正是由于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展身手。

【例3】ABCD 为边长为4的正方形，⊥GC 平面ABCD ，GC=2，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，求点B 到平面EFG 的距离。 【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应利用数量积求出平面GEF 的法向量，再利用点到平面距离

公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF 的法向量。下面列出两种解法，以供比较。

【解法1】如图5，建立空间直角坐标系（坐标原点为

C ），则A （4，4，0），B （0，4，0），

D （4，0，0），

E （4，

2，0），F （2，4，0），G （0，0，2）。设平面EFG 的一个法向量为

0)2,4,2(),,()0,2,2(),,(),,,(=-•=-•=•=•=z y x z y x GF EF z y x n n n 则