高等代数 矩阵.
高等代数第二版课件§4[1].6_初等矩阵
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矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0 0 0
1 0 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、 对调两行或两列
E A 1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价 存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ.
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a aa a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ijb a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B =③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数-矩阵
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
高等代数-矩阵方法
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
4 鞍山师范学院数学系
高等代数方法技巧——小胡糊工作室
E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数第七节 相似矩阵
B ~ E.
4、矩阵多项式
定义 对 s 次多项式
f ( x) as x s as 1x s 1 a1x a0
设A 是方阵，称下式为A 的矩阵多项式
f ( A) as As as 1 As 1
P 1 (as As as 1 As 1
P
1
f ( A) P
a1P 1 AP a0 P 1EP
a1 A a0 E ) P
1、概念
n
R
和非零向量
x
R
定义：对n 阶方阵A，若数
Αx x
使
则称 为方阵A的特征值，
非零向量 x 称为A 的对应于 的特征向量。
11 12
A 21 22
n1 n 2
1n
2n ,
nn
其中 矩阵A称为线性变换 在基 1 , 2 ,
下的矩阵.
, n
定理: 设线性空间V的线性变换T 在两组基
(Ⅰ) 1 , 2 , , n
(Ⅱ) 1 ,2 , ,n
即为i 对应的特征向量。
也称为A的属于i 的特征子空间 。
2、特征值，特征向量的求法
例1
2 1 1
求Α 0 2 0 的特征值和特征向量.
4 1 3
解 ⑴ A的特征多项式
2 1
1
2
(
1)(
2)
det( Α Ε ) 0 2 0
4 1 1 4 1 1
高等代数4.6 初等矩阵
主要内容
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、两个矩阵的等价关系 四、求逆矩阵的初等行变换法
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
1/ 66 4/33 5/ 66
731///212212.
例 5 用初等行变换法解矩阵方程
AX = B ,
其中
5 1 5
8 5
A 3 3 2 , B 3 9 .
解
1 2 1
0 0
5 1 5 8 5 (A| B) 3 3 2 3 9
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 以进一步化简. 为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准 形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
高等代数提高(矩阵)
1 1 , , , 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 , 1 0 , 1 , 1 15
kn k1 k2 aii ai1 ai 2 ain k k k
50
第三章：矩阵
37.
38.
51
第三章：矩阵
39. 40.
52
第三章：矩阵
41.
此
53
第三章：矩阵
42.
|x trA 0 n 1 ... (1) n | A | | EAx A nx m nA) x a A n x ... a Ax a Ex f ( m 1) ... 1 0 (1) | A | (
... a1n 1 a11 2 a ... a2 n 21 ij ... ... ... ... ia ... ann n an1
i j aij 0
... na1n 2a22 ... na2 n jaij (i ) aij ... ... ...j 2an 2 ... nann
R( B) R{b1 , b2 , , bn } n R( A) R( A) R( B) n
34
第三章：矩阵
19.
35
第三章：矩阵
20.
36
第三章：矩阵
21.
37
第三章：矩阵
22.
38
第三章：矩阵
23.
39
第三章：矩阵
24.
40
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
高等代数 矩阵的运算
b1m
b2m
,
bnm
A 的第 j 列元素为 a j1,a j2 , ,a jn ,
n
n
BA 中的 (i, j)元素为 bkia jk a jkbki .
k 1
k 1
3．对称矩阵 反对称矩阵
定义 设 n 级方阵 A aij ,
(1) 若 A 满足 A A, 即 a ji aij , i, j 1, 2, , n
3
32
0 0 2 0 0 0 0 3
由此归纳出
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
k
k 2
用数学归纳法证明之.
当 k 2 时，显然成立. 假设 k n 时成立，则 k n 1时，
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
0 1 ,
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 不存在. 1
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
ka1n
即
kA
ka21
ka22
ka2
n
.
kas1 kas2
kasn
2．性质
(1) ()A ( A) ; (2) ( )A A A ; (3) ( A B) A B ;
高等代数矩阵练习题参考答案
第四章矩阵习题参考答案判断题1. 对于任意刃阶矩阵A, B,有∣A + B∣ = ∣A∣ + ∣B∣.错.2. 如果 A 2=0,则 A = 0.3.如果A + A 2=E 9则A 为可逆矩阵.正确.A +A 2 = E=> A(E + A) = E ,因 1⅛A 可逆,且 AT=A+ E ・4.设都是畀阶非零矩阵，且43 = 0,则的秩一个等于川，一个小于〃・错•由AB = O 可得r(A) + r(B)≤n.若一个秩等于则该矩阵可逆，另一个秩为零，与 两个都是非零矩阵矛盾•只可能两个秩都小于—5. A.B.C 为”阶方阵，^AB = AC.则 B = C.6. A 为 E 矩阵，若r(A) = S 9则存在加阶可逆矩阵P 及"阶可逆矩阵0 ,使PFo正确•右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形.1 ',B = <2 I lC= (3 2、 TH -1丿 曰-2, 错•如A =(-1 ,WAB = ACJ0B≠C. 1-1M 2=0^≡Λ≠0.7.“阶矩阵A可逆，则A*也可逆.正礪由A可逆可得IAI H O, 乂AA* = A* A=∖ A∖ E.因此A*也可逆，且(A*)~l = —Λ.IAl8.设A,B为"阶可逆矩阵,则(A5)*=B*A*.正确.(AB)(ABy =IABIE=IAIIBIE 乂(AB)(B* A*) = A(BB^ = A∖B∖ EA*=l B∖ AA^ ^AW B∖ E .因此(AB)(ABr = (AB)(B* A*). ∣⅛ A.B为“阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(Aθ)*=B*A*.二、选择题1.设力是"阶对称矩阵，〃是n阶反对称矩阵(B l =-B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B ).(A) AB-BA (B) AB + BA (C) (AB)2(D) BAB(A)(D)为对称矩阵，(B)为反对称矩阵，(C)当A,B可交换时为对称矩阵.2.设A是任意一个"阶矩阵，那么(A)是对称矩阵.(A) A I A(B) A-A r (C) A2(D) A1 - A3.以下结论不正确的是(C).(A)如果A是上三角矩阵，则八也是上三角矩阵;(B)如果A是对称矩阵，则也是对称矩阵；(C)如果A是反对称矩阵，则也是反对称矩阵；(D)如果A是对角阵，则A也是对角阵.4.A是m×k矩阵，B是Rxf矩阵，若B的第丿•列元素全为零，则下列结论正确的是(B )(A)AB的第丿•行元素全等于零；(B) A3的第_/列元素全等于零; (C) BA的第丿•行元素全等于零；(D) 34的第丿•列元素全等于零;5.设人B为“阶方阵，E为“阶单位阵，则以下命题中正确的是(D )(A)(A + B)2 =A2 +2AB + B2 (B) A2 - B2 = (A +B)(A-B)(C) (AB)2 =A2B2(D) A2 -E2 =(A + E)(A-E)6.下列命题正确的是(B ).(A)^AB = AC,则B = C(B)^AB = AC f且∣A∣≠0,则B = C(C)若AB = AC,且 A H O,则B = C(D)若AB = AC,且B≠0,C≠0,则B = C7. A是In × H矩阵，B是n × rn矩阵，则(B).(A)当m > n时,必有行列式IABl ≠ O:(B)当m > n时,必有行歹IJ式IABl=O(C)当“ > 川时，必有行列式IABl ≠ 0;(D)当n > m时,必有行列式IABl = 0.A3 为加阶方阵，当m > n时，r(A) ≤ n,r(B) ≤n,因此r(AB) ≤ H < m ,所以IABl = 0.8.以下结论正确的是(C )(A)如果矩阵A的行列式∣A∣ = 0,则A = 0；(B)如果矩阵A满足A'=。
高等代数 矩阵的逆
2 0
3 4 ;
2 1 1 0 1 5
3
1 1
1 1
1 1 0X1
1 1
1 4 0 0
2 1
3 5.
2 1 1 3 2 1 2 1 1
解
1 1 5 X 3 2
1 4 1 4
给方程两端左乘矩阵 1
51 ,
E
1 4
得
1
51 1
5 X 1
51 3 2
若设 B 和 C 是A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
即
AA1 A1 A E
例 设 A 2 1, 求A的逆阵. 1 0
解 利用待定系数法
设 B a b c d
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 0 7 0
0 1 0
0 0 1
1
6
1 0 0
0 3 0
0 1
0 6
1 0 01 1 0 0 6 0 0 6 0 3 0 6 0 1 3 0 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
例8：设P 11
42,
1 0
非退化的），且 A1 A* . A
证：若 A 0, 由 AA* A* A A E
得
A* A
A*
A
E
AA
所以，A可逆，且 A1 A* . A
反过来，若A可逆，则有 AA1 E,
两边取行列式，得 A A1 E 1. A 0.
A可逆：AB BA E,
AB BA
E E
问题 A,B为同阶方阵
高代矩阵分类
高代矩阵分类
高等代数中的矩阵可以根据不同的特征或性质进行分类。
以下是几种常见的矩阵分类：
1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2. 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线及以上的元素都不为零。
4. 下三角矩阵：主对角线及以下的元素都不为零。
5. 反对称矩阵：满足A^T = -A的矩阵。
6. 对称矩阵：满足A^T = A的矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的矩阵。
8. 正交矩阵：满足A^T * A = I的矩阵。
9. 奇异矩阵：行列式为0的矩阵。
10. 非奇异矩阵：行列式不为0的矩阵。
这些分类仅覆盖了矩阵的一部分，实际上还有其他的矩阵分类方法和特殊类型的矩阵。
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s
I
ns
当i≠j时， i j.若AB=BA，则
B1 B
B2
其中Bi是ni阶方阵。
Bs
1
1
(6)设 A
.
1
若AB=BA，则
b1 b2
b1
b3 b2
bn
bn1
B
.
b1
b2
b1
(7)若AB=BA，则对任一多项式 f ()，有f(A)B=Bf(A).
非奇异 存在高矩阵Km×r使KTG=Ir.
(2) Gm×r是高矩阵 存在高矩阵Hm×(m-r)使GTH=0.
(3) Gm×r是高矩阵且GTX=0，X的列数>m-r X必
为非高矩阵。
(4)G,H为高矩阵,则r(A)= r(GA)= r(AHT)= r(GAHT).
(5) r(A)=r 存在高矩阵G,H使r(A)=r(H)=r且
0 1
01
0
A1
1 0
AAn2
A2
AA0n3 ;
0 1
A1 A2
An
01
0
1
0
0 A1 A2 An1
(6)
0
1 0
1
0 1
A1
0
AAn2
0
A1
A2
An 1
;
0
A1 A2
1
An
A2 A3
An 1
0
1
0.
0
1 0
(7)
(2) 矩阵相似于对角形的条件：
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
表示单位矩阵的第j行乘k加到第i行所得的矩阵。 (1) P(i,j)A当且仅当A的第i行与第j行互换. (2) P(i(k))A当且仅当A的第i行乘以k. (3) P(i,j(k))A当且仅当A的第j行乘以k加到第i行.
1
(4) B
2
当且仅当A的各行依次乘以
A
n
1 , 2 , , n
(5)
r(A)+r(B) ≤n.
(2)r(A+B)≤r(A)+r(B),r(A-B)≥ r(A)-r(B)
(3)设A为m×n阶矩阵，r(A)=r，则A的任意s行组成
的矩阵B有r(B)≥r+s-m.
(4) 设A可逆，则 r(CA DB) r(A) r(D CA1B)
(5)
设
M
A
0
0 B
，则r(M)=r(A)+r(B).
1
1
1 0
A1
A1
A2
An
0
Ar 0
.
0
(8)
I r
0
A1 A3
A2 A4
A1
A2 (去掉后n-r行)
A1 A3
A2 A4
Ir 0
A1 A3
(去掉后n-r列)
0
I
r
A1 A3
A2 A4
A3
A4 (去掉前n-r行)
A1 A3
A2 A4
0 Ir
d. 利用矩阵运算。
e. 利用不变子空间对矩阵分解。
(2)常见的矩阵分解：
r
a. 若r(A)=r，则 A Bi ，其中r(Bi)=1. i 1
b. 对任意n阶方阵A，有A=B+C，其中BT=B,CT=-C.
c. 若A为m×n阶矩阵且r(A)=1，则A=Bm×1·C 1×n, 且r(B)=r(C)=1. d. 若r(A)=r,则Am×n =Bm×r·C r×n,其中r(B)=r(C)=r.
1
a2n
a2n1
a21
an1
an2
a
nn
1
ann
ann1
an1
(10)
I 0A BI A1B A
0
CA1 I C D0
I
0
D CA1B
6.高矩阵 设G是m×r阶矩阵，如果r(G)=r，则G称为高矩阵。
(1) Gm×r是高矩阵 存在高矩阵Hm×(m-r)使(G,H)
(1 ),(2 ), ,(n ) 是( A) 的特征根（ () 是任一 多项式）。
(8)属于不同特征根的特征向量线性无关。
(9)X是A的属于 的特征向量,则X是(A)的属于()
的特征向量。
(10)X是A的属于 的特征向量且|A|≠0，则X是A-1
的属于1 的特征向量。
(11) 属于A的同一特征根 的特征向量加上零向
(12)若A=AT，A的一个r阶主子式不为零，r+1阶和 r+2阶加边主子式为零，则r(A)=r.
若A=-AT，A的一个r阶主子式不为零，而r+2阶加 边主子式为零，则r(A)=r. (13)若G为列满秩矩阵，H为行满秩矩阵，则 r(GA)=r(AH)=r(A).
(14)r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)
n. 对任意n阶方阵A，有A=B+C，其中B相似于对 角形矩阵，C为幂零矩阵且BC=CB.
9. 矩阵的特征多项式及特征根
若存在非零向量X,使AX=X, 则 称为A的特征根,
X称为A的属于特征根 的特征向量, f () | I A | 称
为A的特征多项式，A的特征根是 f () 的根, A的属于
A2 A4
(去掉前n-r列)
(9)
1a11 a12 a1n an1 an2 ann
1
a
21
a22
a2n
an11
an12
an1n
1
an1
an2
annຫໍສະໝຸດ a11a12 a1n
a11 a12 a1n
1 a1n a1n1 a11
a21
a22
a2n
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
3.可换矩阵
(1)设
1
A
2
n
当i≠j时， i j.若AB=BA，则B是对角形矩阵。
(2)A与所有对角形矩阵可换当且仅当A是对角形矩阵。
(3)n阶矩阵A与所有n阶矩阵可换当且仅当A= In.
(4)n阶矩阵A与所有n阶可逆矩阵可换当且仅当A= In.
(5)设
1I
n1
A
2 In2
j. A是实矩阵且|A|≠0，则A=B·T，其中B是正定矩 阵，T是正交矩阵。
k. A是实方阵且|A|≠0，则A=T·Q ，其中T是正交矩 阵，Q是上三角正线矩阵。
l. A是实对称矩阵,则A=B·T,其中B为半正定矩阵,T 为正交矩阵。
m. A是正定矩阵，则A=Bk，其中B为正定矩阵。 A是正定矩阵 A=CTC,其中|C|≠0. A=ⅡTⅡ，其 中Ⅱ是正线上三角形矩阵。
第四章 矩阵(包含 -矩阵) 一、基本概念和重要结果
1.Binet-Cauchy公式
设矩阵Am×n ·Bn×m =Cm×m ，则 (1) 当m>n时，|C|=0 (2) 当m=n时，|C|=|A||B| (3) 当m<n时，
| C | 1i1i2 im n Ai11
2 i2
imm B
i1 1
多项式，则g()与 f () 有相同的不可约因式，从而
有相同的根，g() 是 I A 的最后一个不变因
子，若 h() 满足h(A)=0，则 g() | h().
A1
(6)若
M
A2
An
Ai是方阵，则A的最小多项式等于Ai的最小多项式的 最小公倍式。
(7) 若 1, 2 , , n是A的特征根，则
n, r( A) n
(6) r( A* ) 1, r( A) n 1 其中A*是A的伴随矩阵.
0, r( A) n 1
(7) 设A与B是行数相同的矩阵，则r(A,B)≤r(A)+r(B). (8) 若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B). (9) r(A)=r(AAT)=r(ATA). (10) r(An)=r(Am), m≥n, A是n阶方阵。 (11) 矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有加边子式 为零，则r(A)=r.
(3) A与B是同一线性变换在不同基下的矩阵，则 A与B相似。
(4) 矩阵A与B相似 I A与I B等价。
8. 矩阵的分解 (1) 分解矩阵的方法： a. 初等变换法：设r(A)=r,则存在可逆矩阵P,Q使
PAQ
I r
0
0 0
b. 利用若当标准形:对任意矩阵A，存在可逆矩阵P,
使P-1AP=J，其中J为若当标准形。 c. 对矩阵的阶数用数学归纳法。
量构成的线性空间的维数小于等于 的重数。
A kA E A kE A1 A An P1AP
k 1 k 1 | A | n
P1
注：
(1)
由A ~ B A kE ~ B kE进而
|A kE| |B kE|, r( A kE) r(B kE)
(2)
An ~ Bn进而An PBn P1