三角形梯形中位线

9上第一章§1.5.1三角形、梯形中位线（九年级上数学010）—— 研究课

班级________姓名________

一．学习目标：

1．能证明三角形、梯形中位线定理；

2．能用三角形、梯形中位线定理解决其它相关问题，初步掌握遇中点思维方向的选择．

二．学习重点：三角形、梯形中位线定理的证明及应用．

学习难点：用转化的思想的渗透 ． 三．教学过程

旧景重现：

1．直角三角形斜边的中线长是4cm ，则它的两条直角边中点的连线长为 cm ．

2．等腰梯形的中位线长6cm ，腰长5cm ，则它的周长为 cm ．

3． 如图1，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 的中点，若AC ＝12cm ， ∠A ＝45°，则DE ＝ cm ； ∠EDB ＝ ．

4．(11 泉州)如图2，在四边形中ABCD ，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是 ．

5．(11 盐城)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为 ．

知识探究1：

我们曾经通过将一张三角形纸片剪成两部分，并把它们拼成一个平行四边形，探索得到中位线的结论．现在我们来证明三角形的中位线定理．

已知：如图在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．

求证：DE ∥BC ，DE ＝12

BC ．

三角形中位线定理： 三角形的中位线__________第三边，且等于第三边的__________. 已知：如图，AF 是△ABC 的中线，EF 为△ABC 的中位线．

则AF 与DE 有何关系？试写出你的结论，并加以证明．

思考一：三角形中位线与中线的区别和联系：

思考二：三角形中遇到两边的中点

图1 图2 图3 A

B C D E

活学活用：

1．(11 孝感)如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm．求四边形DEFG的周长．

2．已知：如图，点P为等腰梯形ABCD上底AD上一动点，连结PB，PC，点E、F、G分别为PB、PC、BC的中点．当点P运动到什么位置时，四边形PEGF为菱形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．

试猜想线段MN、PQ的关系，并加以证明．

4．在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的定点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图①，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF．根据三角形的中位线定理和平行线的性质，可得∠AMF＝∠BNE(不需要证明) ．

（2）当点D旋转到图②、图③中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

知识探究2：已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，DC的中点．

图①图②图③

求证：EF ∥BC ，EF =12

(BC+AD )．

思考一：梯形中位线和对角线的关系 ．

(10 无锡)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， EF 是梯形的中位线，对角线AC 交EF 于点G ．若

BC =10cm ，EF =8cm ，则GF 的长为 cm ．

思考二：遇到两平行线所截得的线段的中点时 ．

Ⅰ．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点．若AD =6cm ，BC =18cm ， 求EF 的长．

Ⅱ．(10 内江)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，AE = BE ，点F 是CD 的中点，

且AF ⊥AB ，若AD =2.7，AF =4，AB =6．求CE 的长．

Ⅲ．(10 鄂尔多斯)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F

（1）求证：BF =AD ＋CF ；

（2）当AD =1，BC =7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．

思考三：剪切等积变换 ．

1．(06 济宁)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

2．(07 天门)如图①，等腰梯形中直线l将等腰梯形分成两部分，这两部分可以拼成一个与原等腰梯形面积相等的矩形．请仿照图①的做法，用一条直线将等腰梯形分成两部分，并将这两部分拼成与原等腰梯形面积相等的矩形、平行四边形、三角形．

要求：用符号或文字简要说明直线l满足的条件，并分别在图②、图③、图④中画出来．

3．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，AD=a，BC=b，AB=c，

操作示例：我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，裁掉△PEC，并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图2）．

思考发现：小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形．

实践探究：（1）矩形ABEF的面积是；（用含a，b，c的式子表示）

（2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．

联想拓展：

小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．

如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．