江苏省常州市田家炳高级中学2020-2021学年高一下学期数学三月阶段测试卷

高一数学3月阶段测试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知向量(2,3),(3,2)a b ==，则||a b -= （ ） A ．2 B ．2 C ．52

D ．50

2．已知向量,a b 的满足||1,1a ab ==-，则(2)a a b -= （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0

3．已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （ ） A ．2a b +

B ．2a b +

C ．2a b -

D ．2a b -

4．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = （ ）

A ．

31

44AB AC - B ．

13

44AB AC - C ．31

44

AB AC +

D ．13

44

AB AC +

5．已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．

π

6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

6．设2

0π

θ<<，向量()

()θθθcos 1cos sin 22

，，，

b a =，若b a //，则=θtan （ ）

A ．0

B ．

1

3

C ．

1

2

D ．2 7．在ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PC PB PA PC ⋅=⋅=⋅,则点P 是ABC 的（ ）

A ．重心

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ） A ．3

B ．

3

2 C ．

21

16

D ．2516

B

C

D

E

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．已知向量(1,2),(,1)a b λ=-=，记向量,a b 的夹角为θ，则 （ ） A ．2λ>时θ为锐角 B ．2λ<时θ为钝角

C ．2λ=时θ为直角

D ．1

2

λ=-

时θ为平角 10．设,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 上的点，且12AF AB =

，1

3

BD BC =， 1

4

CE CA =，若记,AB m AC n ==，则 （ ）

A ．34BE m n =-+

B ．1223

EF m n =+

C ．2133A

D m n =

+ D ．25

312

DE m n =

- 11．已知2||||1,3

OA OB AOB π

==∠=

,点C 在AOB ∠内且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则 （ ） A ．2n OC OA m ⋅=+ B ．2

m OC OB n ⋅=-+

C ． 0OC OB ⋅=

D ．2m n =

12．已知OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且

OP PB λ=.点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=，R 为线段OQ 上的一个动点,则（ ）

A ．7

=

4

λ B ．点P 的纵坐标为7-

C ．2AB AQ =

D ．()RO RA RB ⋅+的最小值为254

-

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=________.

14．已知向量(3,2),(4,2),(7,5)a b c =-=-=-，则向量c 可用向量,a b 表示为 ．

15．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1

()2

AP AB AC =+，则||PD =________；PB PD ⋅=________．（第1问2分，第2问3分）

16．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的

最小值是________．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22小题各12分，共70分） 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ---- （1）求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -=，求t 的值．

18．已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，παβ<<<0．

（1）若||2a b -=

，求证：a b ⊥；

（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值．

19．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AD 上一点，过E 的直线分别交边

,AB AC 于,M N ．

（1）若12AE AM AN λλ=+,求证：121λλ+=； （2）若D ，E 分别是BC ，AD 中点，且

,AM xAB AN y AC ==,求11

x y +的值．

20．阅读一下一段文字：2222

22()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+，两式相减得：

22221

()()4[()()]4

a b a b ab ab a b a b +--=⇒=+--，我们把这个等式称作“极化恒等

式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． （1）若5,4AD BC ==，求AB AC ⋅的值；

（2）若4AB AC ⋅=，1FB FC ⋅=- ，求EB EC ⋅的值．

C

B

N M

A

D

E

B

C

A D

F

E