华南理工大学概率论-试卷3
华理概率论习题3答案
概率论与数理统计作业簿（第三册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第七次作业一．填空题：1. ξ的分布列为:则=E ξ 。
2. ξ的分布列为:则=E ξ13， (1)-+=E ξ3， 2=E ξ24。
二．选择题：1. 若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ C ） 。
A ．0 B ．X C ．EX D ．2)(EX2. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ） （A ） （B ）12 （C ） （D ）9三．计算题1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θθθ--⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，，其他其中1，求 EX 。
解 21111110011111011----====--⎰⎰EX xx dx x dx x θθθθθθθθθ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数,0(=0,0x e x p x x -⎧>⎨≤⎩） 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。
解 01,x E xe dx ξ+∞-==⎰(2)22,E E ξξ==22204()()13x x E eE E ee e dx ξξξξ+∞----+=+=+⋅=⎰。
3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为，和。
假设各部件的状态相互独立，用ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望。
解 设A i =｛第i 个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A 1)=，P(A 2)= ，P(A 3)= 。
所以123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===⨯⨯=， 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++=123(3)()0.006.P P A A A ξ===从而00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
华南理工大学《概率论与数理统计》试卷A卷参考试卷
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 可使用计算器，解答就答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共八大题，满分100分。
考试时间120分钟。
5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。
标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ（10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。
求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。
（14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
三、（试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY)四、（15分）设的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他020,10)(),(y x y x A y x f求：(1) A ；(2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数；(3)(X,Y)落入区域},10{2x y x D ≥≤≤=的概率。
五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2σa N 。
试证：()[]πσηξ+=a E ,max七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=-.,0)(.0,101)(其他其他y e y f x x f yY X已知X,Y 的函数⎩⎨⎧>≤==.0,1),(Y X Y X Y X g Z试求EZ ，DZ 。
八1、（2学分做）（12分）设随机变量),(ηξ在单位园(){}1|,22≤+=y x y x D 上服从均匀分布，求：⑴ ),(ηξ的联合概率密度),(y x ϕ； ⑵ 边际密度函数)(x ξϕ，)(y ηϕ； ⑶ ξ与η是否相关，是否独立？。
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
华南理工大学200907概率统计3学分A
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(=Φ=Φ=Φ=Φ6883.1)36(,6896.1)35(,0281.2)36(,0301.2)35(05.005.0025.0025.0====t t t t3分，共15分）：本大题中每个小题都列有四下述命题中正确的是（ ）。
．如果B A ⊂，则A B ⊂ B.A B B A -= 如果事件A 、B 独立，则)()()(B P A P B A P +=⋃ D. A B A AB =)( 设n X X X ,...,,21独立同分布，),1(~1p B X ，则==)/(n k X P （ ）。
A ．pB ． p -1C ． k n k k n p p C --)1(D ． k n k kn p p C --)1(3. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，αx 是X 的上α分位数，则=>)(αx X P （ ）。
A.α-2 B. α21- C.12-α D. α2设Y X ,是一维随机变量、方差存在，且相关系数0=XY ρ，则下述说法正确的是（ ）。
Y X ,不存在任何函数关系 B.Y X ,独立DY DX XY D ⋅=)( D.DY DX Y X D 4)2(+=+设n X X X ,...,,21是来自总体),(~2σμN X 的样本，则下述说法中正确的是（ ）。
),(~2σμN X B. ∑=-ni i n X X 1221)(~)(2χσ )(~)(n t SX n μ- D. ∑=-n i in X1221)(~)(2χμσ二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）。
1.如果事件A 、B 独立且不相容，则Max{)(),(B P A P }=_________。
华南理工大学概率论与数理统计试卷及参考解答2
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
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，错误!未找到引用源。
10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：（1） 两件都是正品（2） 一件是正品，一件是次品解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。
两件都是正品的概率错误!未找到引用源。
5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。
10分12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。
现1） 求第一次取到红球的概率；2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；解：记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分（2）6019)()()()(222112121=+=B p B A A p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分5%,4%和2%.产品混在一起,求：（1） 总的废品率（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ； %5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,5分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 10分四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.解：)1( Y ～B （100，p ），其中p=-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0.023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112，故224即,997.024===⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ=p 6分 故Y 的分布列为kk k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。
华理概率论答案第三册
a ≤ Eξ ≤ b,
Dξ
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
a
⎞2 ⎟⎠
。
证 因为 a ≤ ξ ≤ b , 所以 a ≤ Eξ ≤ b .
又因为
a−b =a− a+b ≤ξ − a+b ≤b− a+b = b−a
2
2
2
22
⇒
ξ
− a+b 2
≤
b−a 2
， ⇒ Dξ
≤
E
⎛ ⎜⎝
ξ
−
a
+ 2
b
⎞ ⎟⎠
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
∑ ∑ ∑ 解
Eξ
=
∞
k
k =0
⋅
1 2k +1
=
∞
k⋅
k =1
1 2k +1
=
1 4
∞ k =1
k
⋅
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞k ⎟⎠
−1
，
令 x=1， 则 2
∑ ∑( ) ∑ ∞
∞
k ⋅ xk−1 =
k =1
k =1
xk
′
=
⎛ ⎝⎜
∞ k =1
xk
⎞′ ⎟⎠
=
⎛1 ⎝⎜ 1− x
−1⎞⎟⎠′
=
1 (1− x)2
∫ 解 Eξ = +∞ xe−xdx = 1； 0 E(2ξ + 3) = 2Eξ + 3 = 5 ；
∫ E(ξ + e−2ξ ) = Eξ + E(e−2ξ ) = 1+ +∞ e−2x ⋅ e−xdx = 4 ；
0
大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》试卷及参考解答
件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 (1)X 的可能值为0,1,2,3,所以X 的概率分布为()()333360,1,2,3k kC C P X k k C -=== 即 X 0 1 2 3P120 920 920 120因此199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设A ={从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有(){}{}30191921310202062062064k P A P X k P A X k =====⨯+⨯+⨯+⨯=∑三、（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有9000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费5元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。
解 101,2,,9000i i i i ξ⎧⎨⎩=第台电视机坏设＝第台电视机正常9000900011{1}0.001{0}0.9990.0010.00099999i i i i iii i P P E D E D ξξξξξξ=========≈∑∑保险公司亏，则电视机坏的台数: >9000*5/2000=22.5900090009000122.51(4.5)0i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫>=>=-Φ≈⎨⎬⎩⎭⎪⎭∑∑∑ 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5900090009000117.5(2.83)(3)(2)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532i i i i E P P ξξξ=⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎧⎫<=<=Φ⎨⎬⎩⎭⎪⎭Φ-Φ=Φ+-=+⨯=-∑∑∑四、（15分)设二维随机变量(),X Y 的概率分布为 YX -1 0 1-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a 、b 、c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =- ,{}000.5P Y X ≤≤= ,记Z X Y =+.求: (1) a 、b 、c 的值; (2)Z 的概率分布律; (3){}P X Z =.解 (1)由概率分布的性质可知, 0.61a b c +++=,即0.4a b c ++=. 由0.2EX =-,可得0.1a c -+=-.再由{}{}{}0,00.1000.500.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,解得0.3a b +=.解以上关于a 、b 、c 的三个方程可得, 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2)Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+=== {}{}21,10.1P Z P X Y =====所以Z 的概率分布为Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{}000.10.10.10.2P X Z P Y b ====++=+=.五、(15分)设随机变量X 的概率密度为()110210 2 40 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他令2Y X =,(),F x y 为二维随机变量(),X Y 的分布函数.求:(1)Y 的密度函数()Y f y ; (2) ()cov ,X Y ; (3) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解 (1)Y 的分布函数为(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤当0y ≤时, ()()0,0Y Y F y f y ==. 当01y <<时,(){{}{00Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=()Y f y =当14y ≤<时,(){}{11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =当4y ≥时,()()1,0Y Y F y f y ==. 所以Y 的概率密度为()01140 Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩当当其他(2) ()0210111244X EX xf x dx xdx xdx +∞-∞-==+=⎰⎰⎰()022211546X EY EX x f x dx x dx +∞-∞-====⎰⎰()023********248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=⎰⎰⎰故 ()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=(3) 2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭六、（2学分） (10分) 设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为12~0.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .解 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式可知,U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤{}{}0.310.72P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤={}{}0.3110.722P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 与Y 独立,得(){}{}()()0.310.720.310.72G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-因此,U 的概率密度为()()()()()()0.310.720.310.72g u G u F u F u f u f u '''===-+-=-+-七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设A {{抽到一名男性}；B {{抽到一名女性}；C {{抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C ==八、（2学分）(16分)（1）设()12,,, 2n X X X n ≥为独立同分布的随机变量，且均服从()0,1N ，记X =121n i i X n -=∑，() 1,2,,i i Y X X i n =-=. 求:{}10n P Y Y +≤.（2）袋中有a 只红球，b 只白球，c 只黑球。
华南理工大学概率论-04-05含答案
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分
解答与评分标准
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）
二．1．0.85、2.n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2)恰有一个盒子有2个球.
四．(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为
(1)求常数A; (2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的数学期望.
五．(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是
η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
概率论试题（2004-2005学年第一学期）（含答案）
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设事件A和B的概率为 则 可能为（）
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6;(D) 1/6
2.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）
(A) ; (B) ;(C) ;(D)以上都不对
3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为 ，则F(0)的值为（）
(A) 0.1; (B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（）
华理概率论习题13测试卷
）.
1 X i | } 1 ( >0) ; n i 1
（D） α=0.01
n
（B）
1 n
n
i 1
Xi
~ N ( 0 ,1) ;
（C）
1 n X i 为 E 的无偏估计; n i 1
1 n ( X i X ) 2 为 D 的无偏估计 n 1 i 1
华东理工大学
概率论与数理统计 作业簿（第十三册）
学 学 院 号 ____________专 ____________姓 业 名 ____________班 级 ____________ ____________任课教师____________
测试卷 1
一.假设进入某超市行窃的小偷被监控发现的概率是 0.8, 被保安发现的概率是 0.2, 被监控和保安同时发现的概率是 0.12. 求小偷在该超市行窃而没有被发现 的概率?
（
D 1
）
i! e
i 0
k
i
B
k
k!
e
C
i! e
i k
iห้องสมุดไป่ตู้
k
k!
e
8. 关于线性回归,下述选项错误的是 ( ) A 线性回归的前提是误差项满足:正态性,独立性和方差齐性 B 总离差平方和 = 回归平方和+残差平方和 C 当回归分析中 F 检验的 p 值小于给定的显著性水平时,说明变元的线性关系 显著 D 当回归分析中 F 检验的 p 值小于给定的显著性水平时,说明变元的线性相关 关系不显著
的密度函数为________________________; P{ X Y } _______ . 3. 设( X1 , X 2 ,..., X n )为取自正态总体N (,22 )的样本，要使得总体期望置信水平 90%的 置信区间的长度不超过 0.5, 则样本容量n至少为 _____ 。 4. 独立重复进行n次试验,设事件A每次发生的概率均为p, 在n次试验中事件A发
华南理工大学概率论例题
概率论例题例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。
而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。
试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。
解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }=!k e k λλ-Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，kP{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=!k e k λλ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布P{Y = r }=∑+∞===0},{k r y k x P =∑+∞====0}/{}{k k x r y P k x P =∑+∞=--rk r k r r k kq p C e k λλ!=∑+∞=--+--r k r k rq r r k k k k p e )(!)1()1(!1)(λλλ =∑+∞=---r k r k rrq r k r p e )()!(1!1)(λλ=rqr e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律∑+∞==0}{r r y P = 1 ？例2. 设ξ服从N( 0, 1 ), 求2ηξ=的分布密度。
解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时，2()()()0F y P y P y ηηξ=<=<=当0y >时2()()()()F y P y P y P y y ηηξξ=<=<=-<<2222()22t t yyyyyt dt dt dt ξππ--===220222u u yyedu du uuππ--==⎰⎰所以20,0()20,0u y du y F y uy ηπ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰ 122,0()20,0y y y y y ηϕπ--⎧>⎪=⎨⎪≤⎩例3. 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N 个人的血,可以用两种方法进行.(i) 将每个人的血分别去验,这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组,把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k 个人的血都呈阴性反应,这样,k 个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样, k 个人的血总共要化验是1k +次.假设每个人化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p 较小时,选取适当的k ,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k 取什么值时最适宜.解 各人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ,k 个人的混合血呈阳性反应的概率为1-k q .设以k 个人为一组时,组内每人化验的次数为X ,则X 是一个随机变量,其分布律为 11(), ()1.k k k P X q P X q k k+====-X 的数学期望为111()(1)(1)1.k k k E X q q q k k k=++-=-+ N 个人平均需化验的次数为 1(1)k N q k-+. 由此可知，只要选择k 使 111k q k-+<, 则N 个人平均需化验的次数N <.当p 固定时,我们选取k 使得11k L q k=-+小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.例如,0.1p =,则0.9q =,当4k =时, 11k L q k=-+取到最小值. 此时得到最好的分组方法.若1000N =,此时以4k =分组,则按第二方案平均只需化验411000(10.9 )594()4-+=次.这样平均来说,可以减少40%的工作量.例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为到站时间8：10 9：10 8：30 9：30 8：509：50 概率61 63 62 一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为X 10 30 50 70 90 p k 63 62 1166⨯ 1366⨯ 1266⨯在上表中，例如13{70}()()(),66P X P AB P A P B ====⨯其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为32132()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636E X =⨯⨯⨯⨯⨯（分）.例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X （以年计），规定：1X ≤， 一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.设寿命X 服从指数分布，概率密度为101, 0 ()100 , 0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望. 解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有1/100.101{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰≤ 20.20.31011{12}d 0.086110x P X e x e e ---<==-=⎰≤,3/100.20.321{23}d 0.077910x P X e x e e ---<==-=⎰≤, 0.31031{3}d 0.0740810x P X e x e ∞-->===⎰. 一台收费X 1500 2000 2500 3000 p k0.09520.08610.07790.7408得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y =的分布函数为(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤即有()()()max X Y F z F z F z =.类似地，可得到()min ,N X Y =的分布函数为(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->⋅>≤.即 ()()()min 111X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为1, 0 ()0.0 , 0xe xf x x θθθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩，≤，若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.解 (1,2)k X k =的分布函数为1,0,()0,0.x e x F x x θ-⎧⎪->=⎨⎪⎩≤由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为22min 1, 0()1[1()] 0, 0xe x F x F x x θ-⎧⎪->=--=⎨⎪⎩≤因而N 的概率密度为2min , 0()20, 0xe xf x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩≤ 于是N 的数学期望为2/min 02()()d d 2x xE N xf x x e x θθθ∞∞--∞===⎰⎰.例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。
华南理工大学概率论试卷4(含答案)
.
( B ) 2 F ( 2004 ) 1 ；
( D) 2[1 F ( 2004 )] .
2.
设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 G 上的均匀分布， G 的区域由曲线 y x 2 与 y x 所围， .
1 96.04 4
故
n > [ 96.4 ]+1 = 97 人 .
x| 1 2 | x e dx 2 2 ， 2
5. 解：
E( X 2 )
矩估计量 极大似然估计量 6．解：
1 n 2 Xi ； 2n i 1
1 n | Xi | . n i 1
五. 证明题 （6 分） 设 A , B , C 是不能同时发生但两两独立的随机事件，且 P ( A ) P ( B ) P (C ) ， 证明 可取的最大值为 1/2. [ 附 正态分布、 t 分布、 2 分布数值表 ]
(1 .285 ) 0 .9, (1 .645 ) 0 .95 , (1 .96 ) 0 .975 , ( 2 .33 ) 0 .99
t 0.025 (5) 2.5706, t 0.025 (6) 2.4469, t 0.05 (5) 2.0150, t 0.05 (6) 1.9432
2 2 2 2 0.05 (5) 11.071, 0.05 (6) 12.592, 0.025 (5) 12.833, 0.025 (6) 14.449
解法二 设事件 B {两个中至少有一个是新球}， A {两个都是新球}，则 A B ，
华南理工大学大一公共课概率论与数理统计期末考试卷及答案3
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；14.412,732.13==99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ=Φ=0.0250.0250.050.05(6) 2.45,(7) 2.36,(6) 1.943,(7) 1.895t t t t ====（本大题15分）一个去掉大小王的扑克共52张牌，洗匀后从中随机抽牌。
（1）随机抽取6张, 求所抽的牌中含有红桃A 的概率。
（2）随机抽取6张，求所抽的6张牌中含有红桃A 、且至少含有一张K 的概率。
（3）随机抽取n 张,为使所抽的牌中至少有一个“对子”的概率大于1/2，试列出n 应满足的条件。
）解答：（1）565152/6/523/260.1154C C ==≈（2）A={抽取6张牌中含有红桃A}, B={抽取6张牌中至少含有一张K},()()(|)()[1(|)]P AB P A P B A P A P B A ==- 555565147514752655251[1]()/C C C C C C C =-=- 0.1154(10.6530)0.04=-=（3）2/1/)(1521413>-nn n C C C二．（本大题12分）一个盒子中装有红、黑两色共25个球，其中红球有13个。
现甲先在暗处从盒中随机抽一个球a 并收藏起来，然后让你从盒子中任抽两个球。
（1）求你抽出两个红球的概率。
（2）如果你现场随机抽到的两个球都是红球，求甲收藏的球a 是红色的概率。
如果让你猜测甲收藏的球a 的颜色，为使猜中的可能性最大，你会猜甲收藏的球是什么颜色的？ 解答：分别记B A 、为事件{甲抽出的是红球}、{乙抽出的两个都是红球}。
（1）221213222424()()(|)()(|)1312131211121312130.26252525242325242350P B P A P B A P A P B A C C C C =+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯==⨯⨯ （2）2123115013232411122513)()|()()|(<=÷⨯⨯⨯==B P A B P A P B A P故a 的颜色为红色的概率比a 的颜色为黑色的概率小，选择判 a 为黑色。
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案3
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(=Φ=Φ=Φ=Φ（本大题10分）一个盒子中装有4个白球、6个红球，现投掷一枚均匀的骰子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个（1）所取的全是白球的概率；（2）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？ A={取的全是白球}，B j ={骰子投掷出j 点}1）6/1)(=j B P ，⎪⎩⎪⎨⎧>≤=4,04,)|(104j j C C B A P jjj∑=jj j B A P B P A P )|()()(=2/212）)()|()()|(333A P B A P B P A B P ==7/60（本大题10分）设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pab且()0.8E XY =（1）求a 、b ；（2）求出X 的边缘分布列； （3）写出X 的分布函数。
解：（1）0.4+0.2+a+b=18.022.012022.0114.001=+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=b b a EXY联立方程解得: 3.0,1.0==b a(3) X 的分布函数:⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=2,121,6.01,0)(x x x x F三．（本大题10分）。
设X 服从（0，1）上均匀分布， （1）求X Y ln 1λ-=的密度函数；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛4.035.025.0210~Z ，求一个)(X h ，使得)(X h Z =。
解:X 的密度函数:⎩⎨⎧>≤≤<=10,010,1)(x and x x x flnX<0（1）当0>λ，0≤y 时，()0=y F Y ，()()0==y F dydy f Y Y 当0>λ，0>y 时(){}y Y e X P y X P y F λλ->=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=ln 1()y eee dx dx xf y y λλλ-+∞-===⎰⎰--11密度函数： ()()y Y Y e y F dydy f λλ-==当0<λ（不做也给分），0≤y 时(){}y Y e X P y X P y F λλ-<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=ln 1()y e e e dx dx x f yyλλλ-∞-===⎰⎰--0()()y Y Y e y F dydy f λλ--==当0<λ（不做也给分），0>y 时，()0=y F Y ，()()0==y F dydy f Y Y（2）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=xx x x h 6.0,26.025.0,125.0,0)(四．（本大题10分）。
《概率论与数理统计》201001-A卷(3学分)
二、（12分）有某个工矿企业存在大量可疑肺癌病人，这些病人中从事某职业的人占45%。
据以往记录，此职业的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不从事此职业的可疑病人中仅有5%确患有肺癌(1)在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率(2)在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他从事此职业的概率三、（12分）零件可以用两种工艺方法加工制造，在第一种情况下需要通过三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是0.05、0.10及0.25而在第二种情况下需要两道工序，其中各道工序出现废品的概率都是0.1。
设在合格品中得到优等品的概率，在第一种情况下是0.9，在第二种情况下是0.8，试比较用哪一种工艺方法得到优等品的概率较大。
四、（10分）已知某家电在0t时刻正常运行。
已知它在时刻t还正常运行的条=λ。
求它正常运行时间大于t 件下，在()t+t∆∆,这段时间损坏的概率等于()tt t∆+o概率。
五、（12分）设总体ξ的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1x x e x f x θθ其中0>θ为未知参数，n ξξξ,,,21Λ是取自总体的样本。
（1）求θ的矩估计量和极大似然估计量；（2）说明∑==ni i n 11ξξ是θ的无偏估计量和一致估计量六、（12分）随机变量()ηξ,在矩形域21≤≤x ，31≤≤y 内服从均匀分布。
（1）求二维分布密度及边缘分布密度；（2）求概率()4,5.1<<ηξP 值； （3）问随机变量ξ与η是否独立?七、（10分）设随机变量ξ服从正态分布()2,0σN ，其中0>σ，求随机变量函数ξη=概率密度。
八、（12分）设某牌香烟的尼古丁含量服从正态分布，尼古丁含量的方差为2.25(毫克2)，现随机地抽取10支，得样本标准差为1.4，问尼古丁含量的方差是否有显著变化?(α＝0.05)九、（10分）证明：如果不独立的随机变量n ξξξ,,,21Λ满足条件01lim 12=⎪⎭⎫⎝⎛∑=∞→n i i n D n ξ 则对于任何正数ε，恒有()111lim 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑∑==εξξni i n i i E n n P。
华南理工大学概率论-03-04
2003学年上学期《 概率论与数理统计》试卷（A 卷，3学分用，共10道大题，120分钟，2004年1月）院系 __________________ 专业 、班级__________________姓名__________________ 成绩报告表序号__________________一、选择题（每小题3分，共24分）1． 假设事件A 和B 满足_________,则有P(B|A)=1。
（A ）B A ⊂ ；(B)0)A |B (P =；(C) B A ⊃；(D) A 是必然事件。
2． A ,B 是任意二事件，则下列各结论中正确的是_________。
（A ）;A B )B A (=-⋃（B ）;A B )B A (=⋃-（C ）;A B )B A (⊂-⋃（D ）A B )B A (⊂⋃-。
3． 设随机变量X 与Y 相互独立，其分布列分别为 X~ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011 Y~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011 则下列各式正确的是_________。
（A ）;Y X =（B ）;0)Y X (P ==（C ）;21)Y X (P ==（D ）1)Y X (P ==。
4． 设随机变量X 的密度函数为)x 1(1)x (f 2+π=，则Y=2X 的密度函数为_________。
（A ）;)y 4(22+π（B ）;)y 4(12+π（C ）;)y 41(12+π（D ）)y 1(22+π。
5． 设随机变量X ，Y 满足)Y X (D )Y X (D -=+，则必有_________。
（A ）Y ,X 不相关；（B ）Y ,X 独立；（C ）;0)Y (D =（D ）0)XY (D =。
6． 设921X ,,X ,X Λ相互独立，且()9,,1i 1)X (D ,1)X (E i i Λ===，则对,0>ε∀有_________。
（A ）;1}1X {P 291i i -=ε-≥ε<-∑（B ）;1}1X 91{P 291i i -=ε-≥ε<-∑ （C ）;1}9X {P 291i i -=ε-≥ε<-∑（D ）291i i 91}9X {P -=ε-≥ε<-∑。
大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》2011-2012试卷A卷及参考解答
诚信应考, 考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分100分。
考试时间120分钟。
5. 本试卷的六、七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。
可能用到的分位点：5.20)10(19)9(25.3)10(7.2)9(2025.02025.02975.02975.0====χχχχ()()()()()812.11083.1923.21026.2931.2805.005.0025.0025.0025.0=====t t t t t(1)0.8413,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.9772Φ=Φ=Φ=Φ= 一、(10分) 已知：0)( 161)()( 41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P 求：)(C B A P解：)()(C B A P C B A P ==1-)(C B A P =1-（)()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++）=83（0)(,0)(==ABC P AC P ）二、(15分) 袋中有15个球，10个红球，5个黄球。
不放回地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。
求以下事件的概率： (1) 第二次6个球中的第5个是红球；(2) 第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球； (3) 第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球； 解： (1) 设A ：第二次6个球中的第5个是红球321510)(==A P (2) 设A ：第一次5个球中有2个黄球B ：第二次6个球中有4个红球 原问题转换为求P(AB)①: Ω: 515CAB: 142625C C C ⋅⋅2.01001200)(515142625≈=⋅⋅=C C C C AB P ②:2.01001200)(*)()(610472351531025≈=⋅⋅⋅==C C C C C C A B P A P AB P (3) 设A ：第一次5个球中有3个红球设B ：第二次6个球中有2个黄球 原问题转换为求P(A ∪B)51514262551539266154102551531025)()(,)(CCC C AB P C C C C C C B P C C C A P ⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅=⋅=P(A ∪B)= )()()(AB P B P A P -+=62.01001620≈三、(15分) 随机变量 ξ 服从N(0,4)，η=2ξ。
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概率论与数理统计试卷 (A)
姓名： 班级： 学号： 得分：
一. 是非题（共7分，每题1分）
1．设A 、B 是随机事件，0)(=A P ，则A 与B 相互独立. （ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ ） 3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ） 4. X 与Y 相互独立且都服从指数分布)(λE ，则)2(~λE Y X +. （ ） 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件. （ ） 6. 样本均值的平方2X 是总体期望平方2μ的无偏估计. （ ） 7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. （ ）
二. 选择题（15分，每题3分）
1. 设随机变量)1,0(~N X ，对给定的)10(<<αα，数αz 满足
αα=>)(z X P . 若α=<)(c X P ，则=c .
)(A 2
αz ； )
(B 2
1α-z ； )(C 2
1α
-z
； )(D α-1z .
2. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 .
)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .
3. 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且方差为02
>σ.令∑==
n
i i
X n
Y 1
1
，
则 .
)(A n Y X Cov /),(2
1σ
=
； )(B 2
1),(σ=Y X Cov ；
)(C n n Y X D /)2()(2
1σ+=+； )(D n n Y X D /)1()(2
1σ
+=-.
4. 设12,,,n X X X 是来自正态总体(,1)N μ的一个简单随机样本，2
,X S 分别为样本均值与样本方差，则 .
)(A )1,0(~N X ； )
(B )1(~)(2
21
--∑=n X X
i
n
i χ；
)
(C )1(~)(2
2
1
--∑
=n X i n
i χμ； )
(D )1(~1
/
--n t n S X .
5. 在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则 .
00111001()(|);()(|);()(|);
()(|).
A P H H
B P H H
C P H H
D P H H αααα====接受成立接受成立接受成立接受成立
三. 填空题（18分，每题3分）
1. 设,A B 为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(=⋃+==B A P B P A P ，则 (|)P A A B =
.
2. 设随机变量)1.0,3(~B X ，则12-=X Y 的数学期望为 .
3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，
则()P X Y ==
.
4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=.
5. 设总体),(~2σμN X ，2
,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为
.
6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体(0,9)N 的一个简单随机样本，2
2342
1
()
3X X X X ξ++=服从分布（须写出自由度）.
四. 计算题 （54分，每题9分）
1. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5，
（1）求恰有两位同学不及格的概率； （2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.
2. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩⎨
⎧<<<=他
其
,
01
0,
6),(y x x y x f ， 求
（1）,X Y 的边缘密度函数； （2）当3/1=X 时，Y 的条件密度函数)3/1(=x y f X
Y ；
（3）(1)P X Y +≤.
3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0
(,)0,
x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他,
求 max{,}Z X Y =的密度函数.
4 某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的
分布密度为 1
20000(365)120000
365()0
365
x e x f x x --⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩
现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.
)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365
.0=Φ=Φ=Φ≈-e
）
5. 已知随机变量X的密度函数为
(1)(5)56
()(0) 0
x x
f x
θ
θ
θ
⎧+-<<
=>
⎨
⎩其他
，
其中θ均为未知参数，求θ的矩估计量与极大似然估计量.
6. 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得22499,16.03X S ==. 问这天自动包装机工作是否正常（0.05α=）？ 即检验（1） 01:500,:500H H μμ=≠； （2）2
22
2
01:10,:10H H σ
σ
≤>.
22
0.0250.0250.0250.02522
0.050.050.050.05(8) 2.306,(9) 2.262(8)17.535,(9)19.023(8) 1.8595,(9) 1.8331(8)15.507,(9)16.919t t t t χχχχ⎧⎫====⎪⎪⎨⎬====⎪⎪⎩
⎭
五. 证明题 （6分）
设事件C B A 、、同时发生必导致事件D 发生，证明：)(2)()()(D P C P B P A P +≤++.。