华南理工大学概率论-试卷3

概率论与数理统计试卷 (A)
姓名： 班级： 学号： 得分：
一. 是非题（共7分，每题1分）
1．设A 、B 是随机事件，0)(=A P ，则A 与B 相互独立. （ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ ） 3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ） 4. X 与Y 相互独立且都服从指数分布)(λE ，则)2(~λE Y X +. （ ） 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件. （ ） 6. 样本均值的平方2X 是总体期望平方2μ的无偏估计. （ ） 7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. （ ）
二. 选择题（15分，每题3分）
1. 设随机变量)1,0(~N X ，对给定的)10(<<αα，数αz 满足
αα=>)(z X P . 若α=<)(c X P ，则=c .
)(A 2
αz ； )
(B 2
1α-z ； )(C 2
1α
-z
； )(D α-1z .
2. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 .
)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .
3. 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且方差为02
>σ.令∑==
n
i i
X n
Y 1
1
，
则 .
)(A n Y X Cov /),(2
1σ
=
； )(B 2
1),(σ=Y X Cov ；
)(C n n Y X D /)2()(2
1σ+=+； )(D n n Y X D /)1()(2
1σ
+=-.
4. 设12,,,n X X X 是来自正态总体(,1)N μ的一个简单随机样本，2
,X S 分别为样本均值与样本方差，则 .
)(A )1,0(~N X ； )
(B )1(~)(2
21
--∑=n X X
i
n
i χ；
)
(C )1(~)(2
2
1
--∑
=n X i n
i χμ； )
(D )1(~1
/
--n t n S X .
5. 在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则 .
00111001()(|);()(|);()(|);
()(|).
A P H H
B P H H
C P H H
D P H H αααα====接受成立接受成立接受成立接受成立
三. 填空题（18分，每题3分）
1. 设,A B 为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(=⋃+==B A P B P A P ，则 (|)P A A B =
.
2. 设随机变量)1.0,3(~B X ，则12-=X Y 的数学期望为 .
3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，
则()P X Y ==
.
4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=.
5. 设总体),(~2σμN X ，2
,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为
.
6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体(0,9)N 的一个简单随机样本，2
2342
1
()
3X X X X ξ++=服从分布（须写出自由度）.
四. 计算题 （54分，每题9分）
1. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5，
（1）求恰有两位同学不及格的概率； （2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.
2. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩⎨
⎧<<<=他
其
,
01
0,
6),(y x x y x f ， 求
（1）,X Y 的边缘密度函数； （2）当3/1=X 时，Y 的条件密度函数)3/1(=x y f X
Y ；
（3）(1)P X Y +≤.
3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0
(,)0,
x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他,
求 max{,}Z X Y =的密度函数.
4 某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的
分布密度为 1
20000(365)120000
365()0
365
x e x f x x --⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩
现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.
)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365
.0=Φ=Φ=Φ≈-e
）
5. 已知随机变量X的密度函数为
(1)(5)56
()(0) 0
x x
f x
θ
θ
θ
⎧+-<<
=>
⎨
⎩其他
，
其中θ均为未知参数，求θ的矩估计量与极大似然估计量.
6. 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得22499,16.03X S ==. 问这天自动包装机工作是否正常（0.05α=）？ 即检验（1） 01:500,:500H H μμ=≠； （2）2
22
2
01:10,:10H H σ
σ
≤>.
22
0.0250.0250.0250.02522
0.050.050.050.05(8) 2.306,(9) 2.262(8)17.535,(9)19.023(8) 1.8595,(9) 1.8331(8)15.507,(9)16.919t t t t χχχχ⎧⎫====⎪⎪⎨⎬====⎪⎪⎩
⎭
五. 证明题 （6分）
设事件C B A 、、同时发生必导致事件D 发生，证明：)(2)()()(D P C P B P A P +≤++.。