上海市高一上学期期中考试数学试卷及答案
高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套,上海市)
上海高一第一学期期中考试数学试卷一. 填空题 1. 不等式13x≤的解集是 2. 已知正数x 、y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为 3. 已知关于x 的不等式210kx kx -+≤解集为空集，则实数k 的取值范围是4.32a b-= （其中0a >，0b >）5. 不等式||4|1|x x <-+的解集是6. 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 若2212126x x x x +=-15，则k 的值为 7. 若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 8. 已知关于x 的不等式2(5)()0mx x m --<的解集为A ，若2A ∈且3A ∉，则实数m 的 取值范围为9. 已知集合2{(,)|1}A x y y x ax ==-+-，{(,)|3,03}B x y x y x =+=≤≤，若A B 中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围10. 已知正数a 、b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为二. 选择题11. 下列条件中，使“020x x >⎧⎨-<⎩”成立的充分不必要条件是（ ）A. 01x <<B. 02x <<C. 03x <<D. 11x -<< 12. 若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A. a b b c +>-B. ac bc ≥C.20c a b>- D. 2()0a b c -≥ 13. 设全集U =R ，{|4A x x =<-或3}x ≥，{|16}B x x =-<<，则集合{|13}x x -<<是（ ） A. AB B. A B C. A B D. A B14. 定义：区间[,]a b ，(,]a b ，(,)a b ，[,)a b 的长度均为b a -，若不等式1212m x x +≥--（0m ≠）的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ，则（ ）A. 当0m >时，l =B. 当0m >时，3l m=C. 当0m <时，l =D. 当0m <时，3l m=-三. 解答题15.（1）已知35a b m ==，且112a b+=，求实数m 的值； （2）已知lg 2a =，lg3b =，试用a 、b 表示2log 3，12log 25.16.（1）当1x >时，求证：2211x x x x+>+； （2）已知x ∈R ，21a x x =-+，4b x =-，22c x x =-， 求证：a 、b 、c 至少有一个不小于1.17. 已知函数2()(41)4f x ax a x =-++（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式()f x b ≥的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 、b 的值； （2）解关于x 的不等式()0f x >.18. 设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和2()()0x a x a --<的解集分别为A 和B . （1）求集合A ；（2）是否存在实数a ，使得A B =R ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由； （3）若A B ≠∅，求实数a 的取值范围.四. 附加题19. 对任意a ∈R ，|1||1|a a ++-的最小值为A .（1）若三个正数x 、y 、z 满足x y z A ++=，证明：2222x y z y z x++≥； （2）若三个正数x 、y 、z 满足x y z A ++=，且2221(2)(1)()3x y z m -+-++≥恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅中的元素都是正整数，且12n a a a <<⋅⋅⋅<，集合A 具有性质M ：对任意的,x y A ∈，且x y ≠，都有||25xy x y -≥. （1）判断集合{1,2,3,4}是否具有性质M ； （2）求证：111125n n a a --≥； （3）求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. 1(,0)[,)3-∞+∞ 2. 9 3. [0,4) 4. a 5. 53(,)22- 6. 4 7. 7a ≥ 8. 55[,)(4,9]329. 103a >或3a = 10. 2【10解析】223240a b a b +-=，求根公式得b a ==-+，∴2a b +===二. 选择题11. A 12. D 13. C 14. B三. 解答题15.（1）m =（2）b a ，222aa b-+. 16.（1）证明略；（2）证明略.17.（1）1a =-，6b =；（2）当0a <时，解集为1{|4}x x a<<；当0a =时，解集为{|4}x x <； 当104a <<时，解集为{|4x x <或1}x a >；当14a =时，解集为{|4}x x ≠；当14a >时，解集为1{|x x a<或4}x >.18.（1）{|2A x x a =>+或1}x a <-；（2）不存在；（3）01a <<. 19.（1）证明略；（2）(,0][2,)-∞+∞.20.（1）具有性质M ；（2）证明略；（3）集合A 中元素个数的最大值是9.上海高一第一学期数学期中考试试卷满分：100分 考试时间：90分钟一、 填空题（每小题3分,满分36分）1．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是___________________.2．命题“若0>a 且0>b ，则0ab >”的否命题为__ _ ____ . 3．已知集合M ⊂≠{4,7,8},则这样的集合M 共有 个.4．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：______________ ___. 5．设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，() .U A C B ⋂= 6.11 .x<不等式的解集是 7．不等式｜2x －1｜＜ 2的解集是 . 8. 已知0x >，当2x x+取到最小值时，x 的值为_____ _. 9．已知集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若M P ⋂=∅，则实数t 的取值范围是 .10. 关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =___________.11. 已知24120x x +->是8x a -≤≤的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______________________。
上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的条件.A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件2.不等式，的解集不可能是( )A. B. R C. D.3.已知集合，，则满足的集合S共有个.A. 3B. 4C. 7D. 84.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是( )A. 对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集B. 对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C. 对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集D. 对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集为R，集合，则______.6.集合，则集合______.7.若，则的最小值为______.8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.9.已知，，则的取值范围是______.10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.12.一元二次不等式的解集是，则______.13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.三、解答题：本题共5小题，共78分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题14分求下列不等式解集.18.本小题14分已知集合，，全集当时，求，；若，求实数a的取值范围．19.本小题14分一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.本小题18分已知二次函数若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；若对任意都有成立，求实数t的取值范围；若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.21.本小题18分在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：因为，，所以“”是“”的充分不必要条件.2.【答案】D【解析】解：当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是不等式，的解集不可能是故选当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，所以，，因为，所以S可以为，，，，，，，，共8个．故选：根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．4.【答案】B【解析】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集，故A错误，B正确；当时，，且，可得不是的子集．综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．故选：运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：全集为R，集合，故答案为：利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：集合，又Z是整数集，故答案为：利用交集的概念计算即可．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故答案为：4直接利用基本不等式，即可得解．本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：是的充分条件，，实数m的取值范围是，故答案为：利用充要条件的定义求解即可．本题考查了充要条件的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，，又，，故的取值范围为故答案为：根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10.【答案】0或【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，当时，方程仅有一个实数根，满足题意；当时．，解得，综上，或故答案为：0或由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．11.【答案】且【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，第一步应先假设“且”．故答案为：且直接利用反证法的步骤，即可得到答案．本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．12.【答案】0【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，所以，解得，，所以故答案为：利用三个二次关系计算即可．本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．13.【答案】②④【解析】解：对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故①错误；对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，解得，符合题意，故④正确．故答案为：②④．在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，，，，解得或，当时，一元二次方程无解，舍去．故故答案为：利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，由三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数a的取值范围是故答案为：利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：由图像得，解得，其中，，所以，当且仅当时等号成立，故的范围为故答案为：类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，所以不等式解集为；由，则或，所以或，故不等式解集为【解析】将分式不等式化为求解集即可；由公式法求绝对值不等式的解集．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：当时，，所以，由，知，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意可得：当时，，当时，，故；①若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20.【答案】解：因为方程，即，且方程的两根为和，所以，解得或，又因为，所以，化简得，解得或舍去，所以由题意得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，则当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以t的取值范围是当，即时，经检验满足题意；当，即或时，由，得，解得，经检验不合题意；综上知，t的取值范围是或【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，，，当时，成立，解得；当时，，解得，当时，，解得，综上所述点P的横坐标x的取值范围为设出动点，，则，，，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，，综合得，当，时取等号，的最小值为设，则，若存在实数a，b，使得，则对任意成立，取，得，取，则，，解得，取，，是上是偶函数，当时，若，，若，，当且仅当时，取等号，存在实数a，且，，使得最小值为，点【解析】利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；设出动点，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
上海市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
上海高一上学期期中考试试卷数学（满分100分，考试时间100分钟）一、 填空题（每题3分，共30分） 1. 若集合{}2=1,A x xx R ≤∈，{}2=,B y y x x R =∈，则AB =______.2. 函数1x y +=的定义域是 .3. 函数()fx 是1,b a ⎡⎤-⎣⎦上的奇函数，且,a b R+∈，则a b ⋅的最大值为 .4. 已知()2y f x x=+是奇函数，且()11f =.若()()2g xf x =+，则()1g -=____.5. 已知不等式11axx <-的解集为()()12,,-∞+∞，则a= .6.函数y =单调递减区间是 .7. 已知函数()fx 在(),-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，那么命题“如果0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的逆命题的真假性是 .（填：真或假）8. 若关于x 的不等式222x x a -+≥-无解，则实数a 的取值范围是 . 9. 已知()10=10，，x fx x ⎧≥⎨-<⎩，则不等式()()225x x f x ++⋅+≤的解集是 .10. 已知函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中：①若()2f x -是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线2x =对称；②若()()22fx f x +=--，则函数()f x 的图像关于原点对称；③函数()2y f x =+与函数()2yx f =-的图像关于直线2x =对称；④函数()2fx -与函数()2yx f =-的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题序号是 .二、 选择题（每小题4分，共16分）11.下列各组函数中，表示同一函数的是（）【A 】1,x y y x ==【B 】11y x x =-⋅+,21y x =- 【C 】33,y x y x == 【D 】()2,y x y x ==12.如果,a b 为非零实数，则不等式11a b>成立的充要条件是（ ） 【A 】0a >且0ab < 【B 】0a <且0ab > 【C 】0a >或0ab >【D 】220a b ab -<13.对于函数()f x ，若()()250f f -⋅<，则（） 【A 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定有零点 【B 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定无零点 【C 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定有两个零点 【D 】函数()f x 在区间(]2,5-上可能无零点14.已知函数23,1f(x)2,1x x x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） 【A 】47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【B 】4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【C 】23,2⎡⎤-⎣⎦【D 】3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题（共54分） 15. （本题满分10分） 已知集合2212x A x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}254B x x x =>-，{}1,C x x m m R =-<∈，（1）求A B ；（2）若()A B C ⊆，求m 的取值范围.16. （本题满分10分）已知函数2()32f x x ax b =--，其中,a b R ∈ （1）若不等式()0f x ≤的解集是[0,6]，求与的值；（2）若3b a =，对任意x R ∈，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2()23f x a ≤-，求实数a 的取值范围.17. （本题满分10分）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.18. （本题满分12分）已知函数1()()x af x x a a x+-=≠-.（1）求(2)()f a x f x -+的值；（2）当的定义域为1,12a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （3）设函数2()()()g x x x a f x =+-，若1322a ≤≤，求g()x 的最小值.19. （本题满分10分） 已知函数()2,my f x x x==++（m 为实常数）（1）若函数()y f x =图像上动点(,)P x y 到定点(0,2)Q ，求实数m 的值； （2）若函数()y f x =在区间[)2+∞，上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围； （3）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，k 的取值范围.参考答案一、填空题（本大题共有 10 小题，每题3分，共 30 分）1.=01,AB ⎡⎤⎣⎦2.()()110,,-∞-- 3.144.-15.126.322,⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.真 8.3a ≥或1a ≤ 9.32x ≤10.①④二、选择题（本大题共有 4小题，每题4分，共 16 分）11.C 12.D 13.A 14.A三、解答题（本大题共5小题，15-17题每题10分，18-19题每题12分，共54分）15.解：（1）根据题意,由 2212x A x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭得: 224104222x x x x x ++<⇒<⇒-<<-- 由{}254B x x x =>-得：1x >或5x <- 由{}1,C x x m m R =-<∈得：11m x m -<<+ 得: (1,2)A B =（2）因()A B C ⊆则111212m m m -≤⎧⇒≤≤⎨+≥⎩综上所述,结论是：实数m 的取值范围是12m ≤≤16.解：（1）依题意,206,0633a b+=⨯=-解得2()32f x x ax b =-- （2）若3b a =,则2()323f x x ax a =--依题意,224+36036422123a a a a a ⎧≤⎪⎨--≤-⎪⎩，所以,96a -≤≤-或0a =为所求17.解：（1）设矩形栏目的高为acm ,宽为bcm ,则20000ab =,所以20000b a= 广告的高为(20)a cm +,宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()606004000030260600120006060072600S a b a b a aa a=++=++=++≥⋅⋅+=+=当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号，此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小为272600cm（2）由题2b a ≥，20000b a =，解得0100a <≤ 由（1）可得4000030()60600S a a=++ 当100a =时，广告的面积最小为275600cm故当广告矩形栏目的高为100cm ，宽为400cm 时，可使广告的面积最小为275600cm18.解（1）112()(2)()2a x x a a x f a x f x x a a x x a-++---+=+==----（2）函数11()()1x a f x x a a x a x+-=≠=-+--当112a x a +≤≤+时,11,2a x a --≤-≤--11,2a x -≤-≤-121a x-≤≤-- 于是1312a x-≤-+≤-- 得()f x 值域为[]3,2--.（3）当1a =时,2()(1)g x x x x =+≠-(i) 当0x ≥时，211g()()24x x =+-则函数()g x 在[0,)+∞上单调递增min ()(0)0g x g ==(ii) 当0x ≤时，211g()()24x x =--则函数g()x 在(,0]-∞且1x ≠-时单调递减min ()(0)0g x g ==综合得:当1x ≠-时，g()x 的最小值是019.解：（1）设(,)P x y 则2,my x x=++ 222(2)PQ x y =+-22222m x m x=++2m ≥+=2当0m >时，解得1m =;当0m <时,解得1m =-1m ∴=或1m =（2）由题意,任取[)12,2,x x ∈+∞,且12x x <则121221212112()()2(2)()0x x m m mf x f x x x x x x x x x =-=++-++=-⋅> 21120,4x x x x ->>所以4m ≤;m ∴的取值范围(],4-∞（3）由()f x kx ≤,得2mx kx x++≤ 212,1,12m x k x x ⎡⎤∈∴++≤⎢⎥⎣⎦令1tx=,则1,12x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解,当且仅当[]min()(1,2)k g t t≥∈0m<min()(1)3g t g m∴=-+综上, 当23m≤-时,[)45,k m∈++∞当23m-<<时, [)3,k m∈++∞高一第一学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为______． 2．不等式123x-<<的解集为______． 3．．函数()3x f x +=的定义域是______．4．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B ⋂=______． 5．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈；②T ∅⊆；③{}T ∅∈；④{}T ∅⊆．其中正确的是______．（写出所有正确命题对应的序号）6．若集合{x y ==R ，则实数a 的取值范围是______．7．如果全集U 含有12个元素，P 、Q 都是U 的子集，P Q ⋂中含有2个元素，P Q ⋂含有4个元素，P Q ⋂含有3个元素，则P 含有______个元素．8．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元、b 元、c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是______老师，理由是______（请写出关键的不等式）． 9．对于集合M ，定义函数()11M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合A 、B ，定义集合()(){}1A B A B x f x f x *=⋅=-，已知集合{}A x =>，()(){}330B x x x x =-+>，则A B *=______．10．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有______个元素． 二、选择题11．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确12．已知a ，b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要13．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114．设集合{}110P x ax =+>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 三、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+，证明： （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立．16．已知集合()(){}23210A x x m x m =-+++=，(){}223120B x x n x =+++=，其中m ,n ∈R ． （1）若A B A ⋂=，求m 、n 的值； （2）若A B A ⋃=，求m 、n 的取值范围．17．已知命题P ：函数()()113f x x =-且()f a a <，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x =+++=∈R ，{}0B x x =>且A B ⋂=∅．（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围；（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，若,,,0m T y y x x m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭R ，若T S ⊆，求实数m 的范围．18．2020年初，有一种高危传染病在全球范围内传播，中国东部沿海某市总人口约200万人，根据分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样结合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x 人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数是多少？（2）在上题的检测方案中，对于检测结果为阳性的组取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少；（3）在上题的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．高一期中数学试卷参考答案一、填空题1．14 2．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．{}03x x x <≠-且 4．{}23， 5．①②③④ 6．3a ≤- 7．58．王老师，22a b ab a b +>+ 9．()[)(),30,13,-∞-⋃⋃+∞10．3 二、选择题11．D 12．A 13．B 14．B三、解答题15．（1）证明略；（2）证明略．16．（1）122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12m n =⎧⎨=-⎩； （2）5,13m n ∈⎧⎪⎨⎛⎫∈- ⎪⎪⎝⎭⎩R 或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 17．（1）(][)5,47,a ∈--⋃+∞； （2）()4,7a ∈-； （3）(]0,4m ∈．18．（1）在最坏情况下，需要进行62101000x x⨯+次检测可以找到所有的被感染者，在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数是45：（2）第一次每个组159人，第二次每个组13人，可使总次数尽可能少；（3）进行这样的检测18次，即可得到总次数更少．上海市第一学期高一数学期中考试试卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3=U ，集合{}2,3=A ，{}1,4=B ，则⋂=A B ______．2．若“2=x ”是“220-+=x x c ”的充分条件，则=c ______．3=______．4．已知2336==a b ，则11+=a b ______． 5．当2>x 时，122+-x x 的最小值为______． 6．关于x 的一元二次不等式210++>ax bx 的解集是()1,3-，则-a b 的值为______．7．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______．8．已知集合(){}21320=-+-=A x m x x 有且仅有两个子集，则实数=m ______． 9．定义运算,,≤⎧*=⎨>⎩x x y x y y x y ，若11-*=-m m m ，则m 的取值范围为______．10．已知正数a 、b 满足()lg 4lg lg +=+a b a b ，则+a b 的最小值为______．11．已知集合()(){}{210==--+-=M M x x a x ax a 各元素之和等于3．则实数=a ______．12．已知关于x 的不等式组()2228022770⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩x x x k x k 仅有一个整数解，则实数k 的取值范围______． 二、选择题13．()3<∈a a R 成立的一个必要不充分条件（ ）A ．3<aB ．2<aC ．29<aD ．02<<a14若>a b ，>c d ，则下列结论正确的是（ ）A ．+>+a d b cB ．>ac bdC ．>a b c dD ．-<-d a c b15．“对任意的∈x R ，3210-+≤x x ”的否定形式是（ ）A ．不存在∈x R ，使∈x R ，3210-+≤x xB ．存在∈x R ，使∈x R ，3210-+≥x xC ．存在∈x R ，使∈x R ，3210-+>x xD ．对任意∈x R ，使∈x R ，3210-+>x x16．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6=+∈k n k n Z ，1=k ，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0-∈a b ”； @“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2∈b ”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 三．解答题17．已知集合{}0,1=A ，{}()11,lg ,20=->a B a a a ，请用反证法证明：{}1⋂=A B ． 18．已知实数x 满足210-+=x mx ，求：（1）22-+x x （用m 表示）；（2）1--x x （用m 表示）．19．已知20,3⎧-⎫=<∈⎨⎬+⎩⎭x A x x R x ，{}10=-=B x ax ，且⋂=A B B ，求实数a 的取值范围． 20．设二次函数()2=++f x ax bx c ，其中a ，b ，∈c R ．（1）若=b a ，4=-c ，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围； （2）若1=a ，21=-b k ，2=c k ，方程()0=f x 有两个大于1的根，求实数k 的取值范围．21．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数那运算是两类重要的运算．（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，那么log =n a M n ()log ∈a M n R（2）因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20202019的位数．（注lg 2019 3.305≈）（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯杰与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围模复杂度的上限约为3613=M ，而根据有关面料，可观测宇审中普通物质的原子总数的为8010=N ，甲乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310，现有一种定义：若实数x ，y 满足-<-x m y m 则称x 比y 接近m ，请你判断哪个同学的近似值更接近M N，并说明理由．上海第一学期高一数学期中考试试卷答案时间：90分钟 满分：100分一、填空题1．{}1 2．0 3．：34x 4．125．4 6．1- 7．3>a 8．18-或19．12≥m 10．9 11．2或32 12．[)(]5,34,5-⋃ 二、选择题13．A 14．D 15．C 16．B三．解答题17．略18．（1）22-m ；（2）19．{}11,,032⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．（1）[]16,0-；（2）2<-k ．21．（1）如果0>a ，且1≠a ，0>M ，因为()log log ==a a n n M M n a a M ，所以log log =na a M n M a a ，所以()log log =∈n a a M n M n R ； （2）设20202019=t ，所以lg 2020lg 2019=t ，因为lg 2019 3.305≈，所以lg 2020lg 20196676.1==t ，所以()6676.166********10,10=∈t所以20202019的位数为6677； （2）根据题意得，36180310=M N ，所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.2410==-=-≈M N 所以()92.2492931010,10=∈M N因为()361173lg 23lg 236llg3172.54173lg10⨯=+≈<=，所以36117317315323101010⨯<<+ 所以36193738023101010⨯<+，所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．。
2024学年复旦大学附中高一数学上学期11月期中检测卷及答案解析
2024~2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中检测卷B 数学试卷（考试时间120分钟 满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具.2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分.3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分.一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1. (){}(){},|5,R ,,|1,R A x y y kx x B x y y kx x ==+∈==+∈，则A B = _______【答案】∅【解析】【分析】根据一次函数函数值的图象性质，确定集合的交集即可.【详解】对于函数5y kx =+与函数1y kx =+k 相同，则函数图象表示的直线平行且不重合，所以两个图象没有交集；故A B =∅ .故答案为：∅.2. 若实数x ，y 均在[-2，1]的区间内，则xy 的取值范围为_______.【答案】[]2,4-【解析】【分析】根据x y 、的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围.【详解】由题意得21x -≤≤，21y -≤≤；当01x <≤，01y <≤时，01xy <≤；当20x -≤<，20y -≤<时，02x <-≤，02y <-≤，此时04xy <≤；当01x <≤，20y -≤<时，02y <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当20x -≤<，01y <≤时，02x <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当0x =或0y =时，0xy =；综上所述：24xy -≤≤的故答案为：[]2,4-3. 甲、 乙两人同时解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=.甲写错了常数b ，得两根为14及18；乙写错了常数c ，得两根12及64，则这个方程的真正的根为___________【答案】4或8【解析】【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解.【详解】原方程可变形为：222log log 0,x b x c ++= 甲写错了b ，得到根为14及18，()()2211log log 23648c ∴=⨯=-⨯-=；又 乙写错了常数c ，得到根为12及64，221log log 6452b ⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭；∴原方程为222log 5log 60x x -+=，即()()22log 2log 30x x --=，2log 2x ∴=或2log 3x =，4x ∴=或8.故答案为：4或8.4. 已知实数m 为常数，对于幂函数()()21m f x m m x =--，甲说：f (x )是奇函数；乙说：f (x )在()0,∞+上单调递增；丙说：f (x )的定义域是R ，甲、乙、丙三人关于幂函数f (x )的论述只有一人是错误的，则m 的取值集合为________.【答案】{}2【解析】【分析】利用幂函数的定义可求得m 的值，根据m 的值分类讨论即可.【详解】由()()21m f x m m x =--是幂函数，得211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()11f x x x-==，此时函数()f x 是奇函数，在()0,∞+单调递减，定义域为()(),00,-∞+∞ ，此时乙和丙论述是错误的，甲的论述是正确的，故1m =-不符合题意；当2m =时，()2f x x =，此时函数()f x 是偶函数，在()0,∞+单调递增，定义域为R ，的此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故2m =符合题意；综上所述，m 的取值集合为{}2，故答案为：{}25. 若对任意正实数a ，b ；不等式2214a b ab k +≥恒成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形得14a b k b a ≤+，利用基本不等式求4a b b a+的最小值，进而解决恒成立问题.【详解】因为0a >，0b >，所以由2214a b ab k +≥，得41a b b a k +≥，即14a b k b a ≤+恒成立；由基本不等式得44a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时，等号成立；因此4a b b a +的最小值为4，则14k ≤，解得0k <或14k ≥；故答案为：()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭6. 已知正实数a ，b ；若141a b+=，则1114a b +--的最小值为________.【答案】1【解析】分析】由141a b+=得4b a ab +=，则41a a b -=，4b b a -=，代入1114a b +--后利用基本不等式求最小值即可.【详解】由141a b +=，得4b a ab +=，则()41a b a =-，即41a a b -=，同理可得4b b a -=；因此，由基本不等式可得111144b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b=，即3,6a b ==时，等号成立；故答案为：17. 若函数21,0()1,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为(0)f ，则实数m 的取值范围为________.【【答案】[]1,0-【解析】【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果.【详解】当0x ≤时，()21f x x mx =++关于2m x =-对称，若最小值为(0)f ，可知02m -≥，即可得0m ≤；又当0x >时，()12f x x m m m x =++≥+=+，当且仅当1x =时等号成立；若最小值为(0)f 可得(0)2f m ≤+，即12m ≤+，解得1m ≥-；综上可知，实数m 的取值范围为[]1,0-.故答案为：[]1,0-8. 已知函数b y x=-在()0,∞+上都是严格减函数，则对于()1b f x x b =+-，f (1)___0.（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”）【答案】<【解析】【分析】由函数b y x=-的单调性得实数b 的取值范围，进而判断()1f 的符号.【详解】由函数b y x =-在()0,∞+上都是严格减函数，得0b ->，即0b <；对于函数()1b f x x b =+-，有()1110bf b b =+-=<，故答案为：<9. 设a 为实数，函数()(),02,01g x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =__．【答案】221x ---【解析】【分析】根据()00f =可求a ，再由0x >时()()g x f x =--可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()020f a =+=，所以2a =-.当0x >时，220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭．故答案为:221x ---.10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______.（1）若110a b<<，则0a b +<，2ab b <；（2）用反证法证明a =0或b =0时可假设ab ≠0；（3）若a ，b 为正数，则3322a b a b ab +>+；（4）设,R x y ∈，若426x x y y +-++-≤，则xy 的取值范围为[]0,6.【答案】（3）（4）【解析】【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）.【详解】对于（1），由110a b<<得0b a <<，则0a b +<成立且0ab >，故()20b ab b b a -=->，即2ab b <成立，因此（1）为真命题；对于（2），当0ab ≠不成立时，有0ab =成立，即0a =或0b =，故（2）为真命题；对于（3），()()()332222a b a b ab a a b b b a +-+=-+-()()()()222a b a b a b a b =--=-+，显然，当a b =时，3322a b a b ab +>+不成立，故（3）为假命题；对于（4），假设4x =，2y =，此时426x x y y +-++-=，满足426x x y y +-++-≤，8xy =不满足[]0,6xy ∈，故（4）为假命题；故答案为：（3）（4）11. 若方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______.【答案】{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞【解析】【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可.【详解】①0a =时，由题意知方程0bx c +=有唯一的实数根2，此时0b ≠，且20b c +=，得不等式20bx b -≥，即()20b x -≥，则当0b >时，2x ≥；当0b <时，2x ≤.②当0a ≠时，由题意知方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，即二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点(2,0)，当0a >时，不等式20ax bx c ++≥的解集为R ，当0a <时，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2，综上所述，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞；故答案为：{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞12. 若两个函数()y f x =和()y g x =对任意[,]x a b ∈都有|()()|1f x g x -≤，则称函数()y f x =和()y g x =在[],a b 上是“密切”的，已知常数1m >，若函数()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[]1,2上是“密切”的；则m 的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】因为()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[1,2]上是“密切”的，所以()12133x x x m m m ---≤在[1,2]上恒成立，即13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；因为1m >，[1,2]x ∈，所以由指数函数的单调性得2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，2111,x m m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；根据对勾函数的性质可得，函数1x x y m m=+在[)1,x m ∈+∞上单调递增，又因为2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，且1m >，所以函数1x x y m m=+在2,m m ⎡⎤⎣⎦上单调递增；所以当2x m m =时，函数1x x y m m =+取最大值，最大值为221m m +，所以2213m m+≤，即42310m m -+≤，所以223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得232m ≤-≤2m ≤≤，所以222m ≤≤m ≤≤；故答案为：二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13. 命题m ：两个幂函数有三个公共点，命题n ：两个幂函数相同，则命题m 是命题n 的（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也非必要【答案】B【解析】【分析】利用常见的幂函数3y x =和y x =可说明不充分，再说明必要性即可.【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点，自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以n m ⇒；反之，若两个幂函数有三个公共点，例如3y x =和y x =，它们有三个公共点(0,0)，(1,1)，(1,1)--，但这两个幂函数并不相同，所以m n ¿.综上所述，命题m 是命题n 的必要不充分条件.故选：B14. 函数2y ax bx =+与函数()0ay x b a =+≠在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同.【详解】A 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <<，由指数型函数图像可知：0,0a b ，A 选项错误；B 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <=，B 选项错误；C 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b ，C 选项正确；D 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <<，D 选项错误；故选：C.15. 函数222()1x xf x x --=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.【详解】由210x -≠得()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，因为222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条虚线的方程为1x =±，则当2x =时，5(2)04f =>，排除C ，所以B 选项符合.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在R 上的解析式可表示为：()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ）①狄利克雷为偶函数；②狄利克雷为奇函数；③狄利克雷函数值域为[]0,1；④对于任意R x ∈，均有()()1f f x -=.⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出.⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点.A. ①③④⑥B. ②③⑤C. ①④D. ①④⑥【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断①②；求得值域判断③；分类计算可判断④；根据狄利克雷函数特点可判断⑤；取特殊点可判断⑥.【详解】由于()1,Q 0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩，设任意Q x ∈，则x -∈Q ，()1()f x f x -==；设任意x ∉Q ，则x -∉Q ，()0()f x f x -==；总之，对于任意实数，()()f x f x -=恒成立，所以狄利克雷函数为偶函数；故①正确，②错误；函数()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩的值域为{0,1}，故③错误；当Q x ∈时，x -∈Q ，可得(())(1)1f f x f -==，当x ∉Q 时，x -∉Q ，(())(0)1f f x f -==，所以对于任意R x ∈，均有(())1f f x -=，故④正确；因为在两个有理数之间有无数个无理数，在两个无理数之间有无数个有理数，故狄利克雷函数的图像不可以通过列表描点法画出，故⑤错误；取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，故⑥错误.故选：C三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命.（1）设log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，求：log ab c 的值；（2）已知221x y +=，且,0x y >，若()log 1a x m +=，1log 1a n x=-，求：log a y 的值.【答案】（1）13 （2）2m n-【解析】【分析】（1）根据韦达定理列出关于log a c 和log b c 的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可；（2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可.【小问1详解】因为log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，所以由韦达定理得log log 3log log 1a b ab c c c c +=⎧⎨⋅=⎩，由log log 1a b c c ⋅=得11log log c c a b=⋅，则log log 1c c a b ⋅=；由log log 3a b c c +=得113log log c c a b +=，所以log log log log 3log log c c c c c c a b a b a b⋅⋅+=，即log log 3c c a b +=，则111log log log log 3ab c c c c ab a b ===+.【小问2详解】由()log 1a x m +=，得1m a x =+，由1log 1an x =-，得11n a x =-，则1n a x -=-；所以()()22111m n a a x x x y -⋅=+-=-=，即2m n y a -=，故211log log log 222m n a a a m n y y a --===.18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径：（1）已知函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，求：实数a 的取值范围；（2）求证：对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .【答案】（1）[)16,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知()0,∞+函数()24g x ax ax =-+的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可；（2）利用作差法比较()(),f x g x 的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式.【小问1详解】令()24g x ax ax =-+，由函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，得()(){}0,y y g x ∞+⊆=；当0a =时，()4g x =，不符合题意；当0a ≠时，由二次函数的性质得20Δ160a a a >⎧⎨=-≥⎩，解得16a ≥，则实数a 的取值范围是[)16,+∞.【小问2详解】由题意，()()log log a b f x g x x x -=-()lg lg 11lg lg lg lg lg x x x a b a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()lg lg b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为0b a >>，所以1b a >，则lg 0b a>；①当01a b <<<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，区间()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；②当1a b <<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；综上所述，对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，在则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .19. 已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.【小问1详解】当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k >+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．【小问2详解】由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x 万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y （万元），通过市场统计调查得出：当0＜x ≤20时，y =x 2+40x -100；当x ＞20时，y =81x +1600x-600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出.（1）设2024年该童装生产线的利润为W （2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W 的函数解析式及其定义域；（2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，定义域为(0,+∞)（2）40万套， 520万元【解析】【分析】（1）根据80300W x y =--分段代入计算即可；（2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可.【小问1详解】当020x <≤时，()28040100300W x x x =-+--240200x x =-+-；当20x >时，16008081600300W x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭1600300x x =--+；所以W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，且定义域为(0,+∞).【小问2详解】当020x <≤时，生产线利润240100P x x =-++，易知二次函数开口向下，对称轴20x =，所以当20x =时，W 有最大，最大值为500；当20x >时，16001600600600P x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭600520≤-+=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，此时W 的最大值为520；综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元21. 设()()()()()00g x x f x h x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜，则称()()()()()00h x x F x g x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜为()f x 的“域反函数”.（1）若()()()()121020m x x f x m x x ⎧⎪+≥=⎨+⎪⎩（）＜，若()()2m h x m x =+是幂函数，求：()f x 的“域反函数”的定义域与值域；（2）若()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，试判断()f x 的“域反函数”()F x 的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）；（3）是否存在整数a 使得()bf x ax c =+ (其中a ，c 为常数，b 为素数)的“域反函数”在R 上为偶函数，且满足()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）定义域为[)()1,00,-+∞ ，值域为[)0,+∞（2）函数()F x 为奇函数，猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为偶函数.（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数()x 是幂函数可得实数m 的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数()F x 的定义域和值域；（2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可；（3）根据（2）可得函数()f x 为偶函数，则()2f x ax c =+，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得10a -<<，进而判断.【小问1详解】由函数()()2mh x m x =+是幂函数，得21+=m ，解得1m =-，则()11h x x x-==，因此函数()()1211,0,0x x f x x x -⎧⎪+≥=⎨<⎪⎩，由域反函数的定义得：当0x ≥时，()1F x x -=，此时自变量x 应满足0x >；当0x <时，()()121F x x =+，此时自变量x 应满足10x +≥，解得1x ≥-；综上，()f x 的域反函数()F x 的定义域为[)()1,00,∞-⋃+，且()()112,01,10x x F x x x -⎧>⎪=⎨+-≤<⎪⎩，当0x ≥时，由幂函数1y x -=的性质可知0y >；当10x -≤<时，幂函数()121y x =+单调递增，则01y ≤<；因此函数F (x )的值域为[)0,∞+，即函数()f x 的域反函数的值域为[)0,∞+.【小问2详解】由()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，得()()1f x x x x x x =+=+，根据定义得()22,0,0x x x F x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，化简得()()1f x x x =-，故函数()F x 的定义域为R ，又()()()1F x x x F x -=--=-，则函数F (x )为奇函数；又函数()f x 的定义域为R ，且()()()1f x x x f x -=-+=-，则函数()f x 为奇函数；猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.证明如下：若()f x 是奇函数，所以当0x <时，有f (―x )=―f (x )，即()()h x g x =--.同理，当0x ≥时，有f (―x )=―f (x )，即()()g x h x -=-.当0x >时，0x -<，所以()()()()F x g x h x F x -=-=-=-；当0x <时，0x ->，所以()()()()F x h x g x F x -=-=-=-；当0x =时，由于()f x 是奇函数，所以()00f =，那么()()()0000F g h ===，也满足()()F x F x -=-，所以对于所有在其定义域内的x ，都有()()F x F x -=-，所以F (x )是奇函数.类似地，可证明当F (x )是奇函数时，()f x 是奇函数，所以()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，同理可证：()f x 为偶函数充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.【小问3详解】不存在整数a 满足题意，理由如下：由（2）可知()f x 是偶函数，又b 为素数，则2b =，故()2f x ax c =+，又由()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，得20114a ax x <⎧⎪⎨<+⎪⎩，解得10a -<<，故不存在整数a 满足条件.的。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。
上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案
上海市高一上学期期中考试试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,5,62．已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x = B ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+C ．()f x x =，()g x =D ．()||f x x =，2()g x =4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．2()log f x x =-C ．3()f x x =-D ．1(0)()1(0)x x f x x x -+<⎧=⎨--≥⎩5．已知函数()y f x =的定义域是[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．(,2)(2,3]-∞--B ．[8,2)(2,1]---C ．9[,2)(2,0]2--- D ．9[,2]2--6．已知函数log (1)4(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的 图象上，则()()lg 2lg 5f f +=（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．17．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数，则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．20198．函数2ln ||()x f x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知2log 3.23a =，4log 23b =，log 25c =，则（ ） A ．b a c >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>10．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞11．若函数()f x 的零点与2()log 21g x x x =++的零点之差的绝对值不超过0．25，则()f x 可以是（ ） A ．5()42x f x x =+- B ．()1xf x e =- C ．2()(1)f x x =-D ．1()ln()2f x x =-12．设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的个数是（ ） ①当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； ②当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； ③若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； ④方程()0f x =可能有三个实数根． A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数21(01)x y aa a +=+>≠且的图象恒过的定点是 ．14．函数1()|lg |x f x x e=-的零点个数为 ． 15．函数22()log (2)f x x ax a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．16．函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2,(02)16()51,(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算：（11421()0.252-+⨯； （2）7log 2334log lg25lg47log 8log +-+⋅18．（12分）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠，其中a ，b 均为实数． （1）若函数()f x 的图象经过点(0,2)A ，(1,3)B ，求函数1()y f x =的值域； （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-，求a b +的值．19．（12分）已知函数22()log ()log (2)4xf x x =⋅的定义域为[2,8]． （1）设2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()f x 的最大值与最小值及相应的x 的值．20．（12分）已知集合22{|log (22)}A x y mx x ==-+，{24}xB x =≤≤．（1）若A =R ，求实数m 的取值范围； （2）若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若a ，[1,1]b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+．（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若2()55f x m mt ≤--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）对于函数1()f x ，2()f x ，()h x ，如果存在实数a ，b ，使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数．（1）当1a b ==，()xh x e =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（2）设函数21()ln(65)f x x x =++，2()ln(23)f x x a =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围．数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，{}3,4A B ∴=，{}()1,2,5,6U A B ∴=，故选D ．2．【答案】A 【解析】集合{|1}A x x =<，{|31}{|0}xB x x x =<=<，{|0}AB x x ∴=<，故A 正确，D 错误；{|1}A B x x =<，故B 和C 错误，故选A ． 3．【答案】C【解析】A 中，()1f x =定义域为R ，0()g x x =，定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，不是同一函数；B 中()1f x x =-，定义域为R ，21()1(1)1x g x x x x -==-≠-+，定义域不同不是同一函数，C 中，()f x x =，定义域为R ，()g x x ==，定义域为R ，定义域相同，对应法则相同，是同一函数；D 中，()||f x x =，定义域为R ，2()g x x ==，定义域为{|0}x x >，两者定义域不同，不是同一函数， 故选C ． 4．【答案】C【解析】A 错，在(,0)-∞，(0,)+∞递减，不是整个定义域递减； B 错，不是奇函数；C 对，3()()f x x f x -=-=-，且为R 上的减函数； D 错，(0)1f =-不等于0，不是奇函数， 故选C ．【解析】由题意得8211x -≤+≤，解得902x -≤≤； 由20x +≠，解得2x ≠-， 故函数的定义域是9[,2)(2,0]2---，故选C ．6．【答案】B【解析】函数log (1)4a y x =-+中，令11x -=，解得2x =， 此时log 144a y =+=，所以函数y 的图象恒过定点(2,4)P ，又点P 在幂函数()y f x x α==的图象上，所以24α=，解得2α=，所以2()f x x =，所以()()()()()22lg 2lg 5lg 25lg 252lg102f f f f +==⨯==⎡⎤⎣⎦，故选B ．7．【答案】A 【解析】函数是偶函数，∴定义域关于原点对称，则320a a -+=，得33a =，得1a =， 则22()22f x ax bx a b x bx b =++-=++-， 则函数关于y 轴对称，则02b-=，则0b =，即2()2f x x =+， 则()()()()1012025f a f b f f +=+=+++=，故选A ． 8．【答案】D【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，22ln ||ln ||()()()x x f x f x x x--===-，()f x ∴为偶函数， ()f x ∴的图象关于y 轴对称，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ∴<； 当1x >时，ln 0x >，()0f x ∴>； 当1x =时，()0f x =， 故选D ．【解析】因为24log 3.21log 2>>，所以24log 3.2log 233a b =>=；因为log 5c ==41log 2233b ===，所以b c >，所以a b c >>，故选C ． 10．【答案】A 【解析】函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减，则24y x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递增，且满足0y >，故有224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，求得24a -<≤，故选A ．11．【答案】A【解析】2()log 21g x x x =++，因为221111117()()(log 21)(log 21)1()02422444g g ⋅=+⋅+⋅+⋅+=⋅-<， 所以()g x 的零点区间是11(,)42．A 中，5()42x f x x =+-的零点12，两者的零点之差的绝对值不超过0．25，符合条件，所以A 正确；B 中，()1xf x e =-的零点是0，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以B 不正确； C 中，2()(1)f x x =-的零点为1，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以，C 不正确； D 中，1()ln()2f x x =-的零点是32，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以D 不正确， 故选A ． 12．【答案】C【解析】①当0b >时，22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧-+≥=-+=⎨--+<⎩，值域是R ，故函数()f x 在R 上没有最小值；②当0b <时，22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧-+≥=-+=⎨--+<⎩，由解析式可知函数()f x 在R 上是单调增函数；③22(2019)(2019)20192019(20192019)22020f f b c b c c +-=-++-++==， 解得1010c =，故③对；④令2b =-，0c =，则()||20f x x x x =-=，解得0x =，2，2-，故④正确， 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】(2,2)-【解析】令20x +=，求得2x =-，2y =， 可得函数21(01)x y aa a +=+>≠且的图象恒过定点(2,2)-，故答案为(2,2)-． 14．【答案】2【解析】令()0f x =，则1|lg |x x e =，1()xxh x e e-==，()|lg |g x x =，如下图所示， 所以两函数有两个交点，即函数()f x 有两个零点， 故答案为2．15．【答案】(][),08,-∞+∞【解析】设22t x ax a =-+，要使()f x 的值域为R ， 则22t x ax a =-+值域(0,)A ⊇+∞， 即判别式280Δa a =-≥，得8a ≥或0a ≤， 即实数a 的取值范围是(][),08,-∞+∞，故答案为(][),08,-∞+∞．16．【答案】111(,1)(,)424--- 【解析】由题意，作函数()f x 的图象如下，由图象可得()10()24f x f ≤≤=， 关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，∴方程20x ax b ++=有两个根，不妨设为1x ，2x ，且114x =，2104x <<或者110x -<<，2104x <<； 1211(,)42x x ∴+∈或者121(1,)4x x +∈-， 又12a x x -=+，111(,1)(,)424a ∴∈---， 故答案为111(,1)(,)424---． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）7-；（2）2．【解析】（1）原式4181(2)72=--+⨯-=-． （2）原式32332131log 3lg1002(3log 2)(log 3)222622=+-+⋅=+-+=． 18．【答案】（1）(0,1)；（2）32-． 【解析】（1）函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠，其中a ，b 均为实数，函数()f x 的图象经过点(0,2)A ，(1,3)B ，123b a b +=⎧∴⎨+=⎩，21a b =⎧∴⎨=⎩，∴函数()211x f x =+>，函数111()21x y f x ==<+． 又110()21x f x =>+，故函数1()y f x =的值域为(0,1)． （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-，若1a >，函数()x f x a b =+为增函数， 1110b a b ⎧+=-⎪∴⎨⎪+=⎩，求得a ，b 无解；若01a <<，函数()xf x a b =+为减函数，1011b a b ⎧+=⎪∴⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，32a b ∴+=-． 19．【答案】（1）1[,3]2；（2）x =()f x 有最小值254-，8x =时，()f x 有最大值4-． 【解析】（1）由题意可得x ∈，21log 32x ∴≤≤， 即t 的取值范围为1[,3]2． （2）22222()log )2(log 2)(1log )(log 4)(1log )f x x x x x =⋅=+=-+， 令2log t x =，则22325(4)(1)34()24y t t t t t =-+=--=--，其中1[,3]2t ∈， 所以，当32t =，即x =()f x 有最小值254-， 当3t =，即8x =时，()f x 有最大值4-．20．【答案】（1）1(,)2+∞；（2）(4,)-+∞．【解析】（1）因为函数22log (22)y mx x =-+的定义域为R ，所以2220mx x -+>在R 上恒成立，当0m =时，1x <，不在R 上恒成立，故舍去；当0m ≠时，则有0480m Δm >⎧⎨=-<⎩，解得12m >，综上所述，实数m 的取值范围为1(,)2+∞． （2）易得1[,2]2B =，若A B ≠∅，所以2220mx x -+>在1[,2]2上有解， 22221112()22m x x x ∴>-+=--+在1[,2]2上有解， 当12x =，即12x =时，min 222()4x x -+=-，所以4m >-， ∴实数m 的取值范围为(4,)-+∞．21．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）(][),66,-∞-+∞．【解析】（1）函数()f x 在[1,1]-上是增函数，设1211x x -≤<≤， ()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，2121()()()()f x f x f x f x ∴-=+-．又1211x x -≤<≤，21()0x x ∴+->， 由题设2121()()0()f x f x x x +->+-，有21()()0f x f x +->，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数．（2）由（1）知()max ()11f x f ==，2()55f x m mt ∴≤--对任意[1,1]x ∈-恒成立，只需2155m mt ≤--对[1,1]t ∈-恒成立，即2560m mt --≥对[1,1]t ∈-恒成立， 设2()56g t m mt =--，则22(1)061560(1)016560g m m m m g m m m m -≥⎧≤-≥⎧+-≥⎧⇔⇔⎨⎨⎨≥≤-≥--≥⎩⎩⎩或或， 解得6m ≤-或6m ≥，m ∴的取值范围是(][),66,-∞-+∞．22．【答案】（1）存在，1()2x x e e f x --=，2()2x x e e f x -+=；（2）102[,)33--． 【解析】（1）依题意可知，12()()x f x f x e +=---------------① 将x -代替x ，得12()()x f x f x e--+-=，因为1()f x 是奇函数，2()f x 是偶函数，所以有12()()x f x f x e --+=----------② 由①、②可得1()2x x e e f x --=，2()2x xe ef x -+=． （2）依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--， 令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453(5x x a x ++=-<-或1)x >-， 令2()45(5g x x x x =++<-或1)x >-，结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点， 所以，实数a 的取值范围为102[,)33--．。