(完整word版)(天津大学)现代设计方法习题及答案_共11页

X(1)
S(1)
1 9
4 9
5 12
4 9
8
9
=
00..00774411，
F (X(2) ) 5.033。
5）论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则 (1) 一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间，当区 间长度达到给定精度，即可认为优化过程收敛，则收敛准则为
min f (x) (x - 2)2 ，初始区间为 [ 0, 3 ]，迭代 2 次。（10）
第一轮迭代：
a=0，b=3
x (1) 1
a
0.382(b
a)
1.146
f
(
x (1) 1
)
0.7293
x (1) 2
a
0.618(b
a)
1.854
f
(
x
(1) 2
)
0.0213
f
(
x (1) 1
)
0.7293>f
)
0.2788
f
(
x
(2) 2
)
பைடு நூலகம்
0.2788>f
(
x (2) 1
)
0.0557
淘汰区间[1.528,2]；新区间为[0.764，1.528]
(a=0, b=1.236)
(x
(2) 2
0.764)
(f
(x
(2) 2
)
0.0557)
(x1(2) a 0.618(b a) 0.472 )
(f (x1(2) ) 0.2788)
7)论述内点法、外点法和混合罚函数法的特点和适用性。 内点法：
1）初始点为严格内点；
2）仅能处理不等式约束；
3) 可能存在一维搜索超界问题；
3）可以得到多个可行方案。
外点法：
1）初始点可任选；
2）可以处理等式和不等式约束；
3) 不存在内点法中的一维搜索超界问题；
4）一般仅能得到一个最终方案。
混合罚函数法：
2
2
f (x1(2) ) f (0.236) 0.0557
f (x1(2) ) f (0.236) 0.0557
min f (x) 0.0213，x* 1.146 min f (x) 0.0213，x* 0.854
3)写出优化模型的标准式。
min F (X)
XD Rn
D : g j (X) 0, j 1,2,..., m; h j (X) 0, j m 1, m 2,..., p
4) 论述梯度法的原理，并用梯度法求解 min F(X ) x12 x22 x1x 2 ，初始点 X(0)=[1，
1]（一维优化用解析法），迭代 2 次。 梯度法的原理： 基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将 n 维优化问题求 解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
搜索方向： 最优步长： 迭代公式：
S (k) F ( X (k) ) min F ( X (k) S (k) ) (k) X (k 1) X (k ) S (k ) (k )
收敛判据： F(X (k) )
解：
F
(
X
)
22xx12
x2 x1
S(0)
F ( X
(0) )
-3 -3
s.t.
g1 ( X
)
x12
x
2 2
5
0
g2 ( X ) x1 2x2 4 0
g3 ( X ) x1 0
在点 X*
2 1
Kuhn-Tucker 条件成立。（15）
g4 (X ) x2 0
K-T 条件：
约束极值点存在的条件。
设 X* x1* x2* xn* T 为非线性规划问题
确定最优步长：
min F (X(0) F ( X (0) )) 3(1 3)2
dF 2 3 (1 3) (3) 0 d
1 3
X(1)
=X(0)
F
(
X
(0)
)
1 1
3 3
0 0
F (X(1) ) 00， F (X(1) ) 0，满足收敛条件
X(1) 00，F (X(1) ) 0 为问题的最优解。
或
min F (X)
s.t. g j (X) 0, j 1,2,..., m; h j (X) 0, j m 1, m 2,..., p
4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解
min F(X ) 2x12 x22 5 ，初始点 X(0)=[1，1]
（一维优化用解析法），迭代 2 次。 梯度法的原理： 基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将 n 维优化问题求 解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。
习题二
1)论述确定单峰区间的进退步法，并确定函数 f (x) 4x2 4x 1的一个搜索区间 （单峰区间）。设初始点 x0 = 0，初始步长 h0 = 0.5。
（1）进退法是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。 对于给定的初始点 x1 和步长 h，计算 f(x1)和 x2 =x1+h 点函数值 f(x2)。若 f(x1)> f(x2)，说明极小点在 x1 的右侧，将步长增加一倍，取 x3 =x2+2h。若 f(x1)< f(x2)，
(x1(2)
)
0.0213
淘汰区间[2.2918,3]；新区间为[1.146，2.2918]
f(1.146）=0.7293 f (2.2918) 0.0851 f( 1.146+2.2918 )=0.0790
2 f (x1(2) ) f (1.854) 0.0213 min f (x) 0.0213，x* 1.854
2
1 2
0，则有
1
1 3
〉0，1
2 〉0 3
即，X* 12满足K T条件。
9. 论述有限元分析的过程。 1) 结构几何建模； 2) 设定材料常数，弹性模量、泊松比。。。； 3) 载荷、位移边界条件 ； 4) 划分单元，对单元编号 e = 1,2,3,…,n; 5) 对节点编号 k =1,2,3,…,N，列出单元与节点的对应关系表； 6) 计算等效节点力； 7) 形成单元刚度矩阵； 8) 组装整体刚度矩阵； 9) 引入位移边界条件； 10) 求解刚度方程，得节点位移； 11) 计算应力、应变及其分布。
解：
g1 (X* ) g 2 (X* ) 0； g 3 (X* ) 0，g 4 (X* ) 0 起作用的约束为g1 (X)，g 2 (X)
F
2(x 2(x
1 2
3) 2)
2 2
g1
2x 1 2x 2
4 2
1 g 2 2 根据K T条件，应有
F 1g1
2g 2
2 2
1
4 2
说明极小点在 x1 的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点 x3 =x1 – h。 若 f(x3)< f(x2)，则将步长再加大一倍，x4 =x3+4h ，或 x4 =x3 -2h。即每跨一步的步 长为前一次步长的 2 倍，直至函数值增加为止。
（2）
h 0.5 x0 0 f (x0 ) 1 x1 x0 h 0.5 f (x1 ) 2 x2 x1 2h 1.5 f (x2 ) 2 f (x0 ) f (x1 ) f (x2 ) 单峰区间为[x0 , x2 ],即[0, 1.5]
min F (X) X En
s.t.
g j (X) 0
j 1,2,, m
h j (X) 0 j m 1, m 2,, p
的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有 q 个约束条件为起作
用的约束，即 gi (X* ) 0 , hJ (X * ) 0 (i≠j，i+j = 1,2,…,q < p)。如果在 X*处诸起作
2)用黄金分割法求解
min f (x) (x 1)2 ，初始区间为 [ 0, 2 ]，迭代 2 次。（10）
第一轮迭代：
a=0，b=2
x (1) 1
a
0.382(b
a)
0.764
f (x1(1) ) 0.0557
x (1) 2
a
0.618(b
a)
1.236
f
(x
(1) 2
)
0.0557
f
(
x (1) 1
F
(
X
)
24xx12
第一次迭代：
S(0)
F ( X
(0) )
-4 -2
确定最优步长：
min F (X(0) S(0) ) 2(1 4)2 (1 2)2 5
dF 2 2 (1 4) (4) 2 (1 2) (2) 0 d 5 =0.2778
18
X(1) =X(0)
S(0)
1 1
)
f
(x
(1) 2
)
淘汰区间[0, 0.764]；新区间为[0.764, 2]
第二轮迭代：
(或淘汰区间[1.236, 2]；新区间为[0, 1.236])
a=0.764，b=2
x (2) 1
1.236,
f (x1(2) ) 0.0557
x (2) 2
a
0.618(b
a)
1.528
f
(x
(2) 2
(
f
(
x (2) 1
)
0.2788>f
(
x
(2) 2
)
0.0557)
( 淘汰区间[0,0.472]；新区间为[0.472，1.236])
f(0.764）=0.0557
f(0.472）=0.2788