随机变量的特征函数
随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)
性4： 质X 若 与 Y独立 EX且 ,EY存在X， 的 Y 则 数学期望
EXY EXEY
注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量的场合。
7
性质5，6为不等式→
性5质 ：如 EX 果 2,EY2存在且0,则 不有 等
EXY2 EX2 EY2
柯西-许瓦兹不不等式
性质 6： 若X0，EX存在，则对b任 ，何 有实数 PXbEX
性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151
契比雪夫不等式
10
矩→
三、矩
随机变量的矩是常见的数字特征。 数学期望和方差是它的特例。
定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称
E X k
E X k
E X E X k
K阶原点矩 K阶原点绝对矩 K阶中心矩
EX E X k
K阶中心绝对矩
11
N维随机变量也可以定义其数学期望和方差。 以二维为例,有协方差、相关系数。→
量纲化)的，XDE X X ,YDE Y Y
问：后者能用前者的线性函数 表示吗？近似程度如何？
讨论：设后者能用前者的线性变换表示，其形式为
YD E Y Y tX D E X X 其中t为常数
用所产生的均方差来衡量近似程度。所产生的均方差为
E Y D E Y Y tX D E X X 2 ，定 t,义 则为
三、随机变量函数的数学期望 定理4.1.1
要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随 机变量，可先确定Y的分布再求Y的均 值，但Y的分布确定比较复杂。可否直 接用X的分布来求Y=g(X)的均值？
(1)设离散型随机变量X的分布律为 P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
又 YgX,若 gxp收敛，则
高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质
第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。
其中)(x f 为概率密度函数。
离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。
例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e e x j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则 2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。
2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e eE n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。
例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。
第4章 随机变量的特征函数2
k 0 ,1 , 2 , , n
特征函数：
X (u)
n
e
iuk
pk
iu
k0
k
n
e
iuk
Cnp q
k
k
nk
k0
C
k0
k n
( pe
) q
nk
( q pe
iu
)
n
2012-7-12
例2 泊松分布 X～()
p k P{X k }
特征函数：
X (u)
e
iux
f ( x ) dx e
x
e
0
iux
dx
2012-7-12
e
0
( iu ) x
dx
0
iu
,
例4 k阶爱尔朗分布 X～Ek
( x )k 1 x e ， x 0 f ( x ) ( k 1 )! 0, x 0
2012-7-12
二维随机变量的特征函数
二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为
(u,v)=E[ei(uX+vY)]。 当R.V.(X,Y)为离散型随机变量时，
(u , v )
i ( uX j vy
e
j 1 k 1
k
)
p jk
当R.V.(X,Y)为连续型随机变量时，
(u , v )
特征函数：
X (u)
k
e
iux
f ( x ) dx
k 1
随机变量特征函数
随机变量特征函数随机变量特征函数是概率论中的一个重要概念，它能够完全描述一个随机变量的分布特征。
在实际应用中，特征函数经常被用来求解各种概率分布的特定参数，如均值、方差等。
下面我们来详细介绍一下随机变量特征函数的定义、性质以及计算方法。
一、定义设X是一个实值随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的特征函数φ(t)定义为：φ(t) = E(e^(itX)) = ∫e^(itx)f(x)dx其中i是虚数单位，t是任意实数。
二、性质1. φ(0) = 1显然有E(e^(i0X)) = E(1) = 1。
2. φ(-t) = φ(t)*根据定义可得：φ(-t) = E(e^(-itX)) = E((e^(itX))^(-1)) = E(conj(e^(itX))) =conj(E(e^(itX))) = conj(φ(t))其中conj表示对复数取共轭。
3. |φ(t)| ≤ 1由于e^(ix)的模长为1，故有：|φ(t)| ≤ ∫|e^(itx)f(x)|dx ≤ ∫f(x)dx = 14. 如果两个随机变量X和Y独立，则它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的积。
设X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则有：φ_(X+Y)(t) = E(e^(it(X+Y))) = E(e^(itX)e^(itY)) =E(e^(itX))E(e^(itY)) = φ_X(t)φ_Y(t)5. 如果随机变量X的特征函数φ(t)存在，则对于任意正整数n，其n 阶矩可以表示为：E(X^n) = (i^n)*φ^(n)(0)其中φ^(n)(0)表示φ(t)在t=0处的n阶导数。
三、计算方法1. 对于一些常见分布，其特征函数可以直接求出。
如：(1) 正态分布N(μ,σ^2)的特征函数为：e^(iμt-σ^2t^2/2)(2) 均匀分布U(a,b)的特征函数为：(e^(ibt)-e^(iat))/(it(b-a))(3) 指数分布Exp(λ)的特征函数为：λ/(λ-it)2. 对于一些复杂分布，可以利用特征函数的性质来求解。
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是指反映随机变量随机性程度的函数，其主要可以分为五种：均值、方差、偏度、峰度和分布函数等。
1、均值是某一随机变量的数学期望，是衡量一个随机变量的中心位置的量，即期望值，也称为期望或数学期望。
2、方差表示随机变量与它的期望值之间的偏离程度，是一种测量随机变量分布形状的统计量，也是随机变量差异性的度量，它和均值的组合可以描述一个总体的变异情况。
3、偏度是衡量数据分布的离散程度，也可称为变量分布的“非对称程度”，衡量数据分布是否偏向均值，是用来评估样本中值离均值的离散程度，如果偏度系数大于0，则表示样本数据集向右偏；如果偏度系数小于0，则表示样本数据集向左偏；如果等于0，则表示没有偏斜。
4、峰度是衡量数据分布的凸度，衡量数据集分布的紧密程度，也叫做峰度系数，正态分布的均值、标准差和峰度均为零，而非正态分布的峰度大于0。
5、分布函数用来表示某个随机变量的取值范围和概率。
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
+
0
x 2 e x dx
+ 0
x e
2 x 0
2 xe x dx
+ 2 x x xe e dx 0 0 2 x 2 2 e 0 2
所以 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1/ 2
e dt 2
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.14已知随机变量 X ~ e( ) 。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 e x f ( x) 0
x0 x0
从而 E ( X )
© 徐 钊 2013
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.10已知随机变量X的分布律为 求方差 D( X ) 解： D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 pq
X pi
0
1
q
p
例4.11已知随机变量 X ~ P( ) 。求方差 D( X ).
P( X xk ) pk
k
k 1, 2, ,
k
连续型
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
则 D( X ) ( x E( X )) f ( x)dx
2
x 2 f ( x)dx [ E ( X )]2
三、方差的意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程 度，是随机变量随机性的一种度量。
三、数学期望的性质 (1)设c为一个常数，则E (c) c; (2)设a为一个常数，则E (aX ) aE ( X ); (3)设X 为随机变量，g1 ( x), g 2 ( x)是实连续函数，则有 E ( g1 ( X ) g 2 ( X )) E ( g1 ( X )) E ( g 2 ( X ))
特征函数
t it 1 [ 2 2 i 2 2 ] (1 ) t t
二、随机变量特征函数的性质
1. (t ) (0) 1 2. (t ) (t ) 其中 (t )为 (t )的共轭。 3.若Y aX b，其中a, b为常数，则Y的特征函数为
五、多元特征函数
1、多元特征函数的定义 设n元随机变量为(1 , 2 , , n )的分布函数为
F ( x1 , x2 , , xn ), 则它的特征函数定义为
f (t1 , t2 ,, tn ) ei( t1 x1 t2 x2 tn xn ) dF ( x1 , x2 ,, xn )
对于任意实数a，有 e ia 1 a .
事实上 对于实数a 0，有 eia 1 eix dx eix dx a.
0 0 ia ia a a
对于实数a 0，有 e 1 e (e
ia
1) e
ia
1 a
e itx1 e itx2 itx e it ( x1 x2 ) 1 itx2 itx 因此有 e e e x2 x1 it it 即J T中被积函数有界，所以积分可交换次序，得 1 JT 2 1 2
1 JT 2 1 2
e itx1 e itx2 itx T it e dt f ( x)dx
T T
sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) dt f ( x)dx t t 0 1
(t ) 2 it 2 2
(i 2t ) 2 e
所以 E ( X )
i D( X ) (0) ( (0)) 2 2 X X
第2节、随机变量的特征函数
n
§2 随机变量的特征函数
例 4： 正态分布 正态分布N(a,σ2)的分布密度是
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
( x )
其中
( x ), 0
( xa )2 2
2
。由（2）式，得
令u xa
1 (t ) 2
§2 随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率 论自身内容的一个组成部分。在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔 吉斯积分。
一、斯蒂尔吉斯积分
先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。 定义： 设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的两个有界函数。把 区间[a,b]分成n个子区间，分点为 a x0 x1 xn b ，在每一个子 区间 [ x , x ] 上任意取一个点 k 作和式
§2 随机变量的特征函数
(5) 设随机变量X,Y相互独立，又 Z X Y ,则 z (t ) X (t )Y (t ) 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特 征函数的乘积。 证: 由特征函数的定义
z (t ) EeitZ Eeit( X Y ) E[eitX eitY ] EeitX EeitY X (t )Y (t )
itx
存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（FourierStieltjes）积分，简称F-S积分。
二、特征函数
先引进复随机变量。 定义: 如果X与Y都是概率空间(Ω, F, P)上的实值随机变量， 则 Z X iY 称为复(值)随机变量，其中 i 1 。 复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为 EZ=EX+iEY 其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。 若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机变量。
第3章 特征函数(20110826)
第3章 特征函数：随机变量的刻画3.1 特征函数定义定义 3.1.1 假设X 是定义在概率空间),,(P F Ω上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称)exp(itX 的数学期望)][exp(itX E 为X 的特征函数，或者分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ或)(t ϕ；此处12-=i 。
对复随机变量的数学期望定义如下：如福随机变量为iY X Z +=，其中Y X ,均为实随机变量，则Z 的数学期望定义为)()()(Y iE X E Z E += （3.1.1）由于)sin()cos()exp(tX i tX itX += （3.1.2）因此，⎰⎰∞∞-∞∞-+=+==)()sin()()cos( )][sin()][cos( )][exp()(x dF tx i x dF tx tX iE tX E itX E t X ϕ⎰∞∞-=)()exp(x dF itx （3.1.3）于是，X 的特征函数也可以称为对分布函数)(x F 的富立埃-斯蒂阶变换。
因为对任意R t ∈， )cos(tX 和)sin(tX 均为有界连续函数，故)][cos(tX E 和)][sin(tX E 均为有限，因此，任意随机变量的特征函数总是存在的。
随机向量的特征函数：如果),,,(21m X X X X =是m 维随机向量，则其特征函数定义为)]}({exp[)(2211n n X X t X t X t i E t +++= ϕ⎰⎰∞∞-∞∞-+++=),,,()](exp[ 212211n n n x x x dF x t x t x t i （3.1.4）● 当X 为离散随机变量时，其特征函数为∑==kk kX p itxitX E t )exp()][exp()(ϕ （3.1.5）此处)(k k x X P p ==。
● 当X 为连续随机变量时，其特征函数为⎰∞∞-== )()exp()][exp()(dx x f itx itX E t X ϕ （3.1.6）显然，随机变量特征函数的计算需要进行复数运算（复数求和）或者进行实变复值函数的积分。
求特征函数的公式
求特征函数的公式特征函数是概率论中的一个重要概念，它是随机变量的一种表现形式。
特征函数能够描述随机变量不同的特性和属性，同时也是各种数学方法和统计学方法的基础。
在进行随机变量的分析和求解时，往往需要先求出其特征函数，根据特征函数来推导随机变量的概率分布函数、矩等基本性质。
因此，本文将详细介绍求特征函数的公式和相关知识。
一、什么是特征函数？特征函数是一种与随机变量（或者随机向量）相关的函数，它能够完整地描述该随机变量的全部性质和特征。
特征函数是唯一的，具有一致性、可加性、正定性、连续性等性质。
特别是对于连续性随机变量，它的特征函数具有很好的解析性质。
因此，特征函数被广泛应用于概率论、数学统计、信号处理、图像处理等领域。
特征函数是一个复值函数，定义为：$$\varphi_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$$ 其中，$t$是实数、$i$是虚数单位(即$i^2=-1)$，$X$是一个随机变量。
特征函数的实部和虚部分别对应着随机变量的余弦变换和正弦变换的性质。
如果随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，那么特征函数可以用$f_X(x)$来表示：$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$二、特征函数的性质1、一致性如果两个随机变量$X$和$Y$有相同的分布，则它们的特征函数是相同的，即$\varphi_X(t)=\varphi_Y(t)$。
2、可加性如果$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于它们各自特征函数的乘积，即$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
3、正定性对于特征函数$\varphi(t)$的任何一个复数系数$c_1,c_2,...,c_n$和任意实数$t_1,t_2,...,t_n$，有：$$\sum_{k,l=1}^nc_k\overline{c_l}\varphi(t_k-t_l)\geq0$$其中，$\overline{c_l}$表示$c_l$的共轭复数。
第2章 随机变量-特征函数
2
t
+j
t t
2
二、特征函数的性质
性质1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | ( t ) | (0) 1;
( 2) ( t ) ( t ).
性质1.2 设X 的特征函数为 X ( t ) , 则Y aX b 的特征函数为
Y ( t ) e X (at )
e
jtX
f ( x )dx
, a x a ,
jtx
其他
( t ) e
a
a
1 1 jtx dx = e 2a 2ajt
xa x a
1 = sin at at
当t=0时，
(t 0)
e f ( x )dx =1
0
( 0 )
例1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特 征函数.
Z ( t ) e (a1 t , a2 t ).
jtb
性质2.4 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的 特征函数恒等.
三、相互独立随机变量的特征函数 定理2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为
( X 1 , X 2 , , X n )
的特征函数
j ( t1 X 1 t 2 X 2 t n X n )
随机变量 (a1 X b1 , a 2Y b2 ) 的特征函数为
( t1 , t 2 ) e
性质2.3
j ( t1b1 t 2b2 )
(a1 t1 , a2 t 2 ).
设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ), a1 , a 2 , b 为任
随机变量特征函数
随机变量特征函数随机变量特征函数是概率论中的一个重要概念，它在描述随机变量的性质和特征上起着至关重要的作用。
特征函数是指一个随机变量的复数形式的函数，可以完整地描述该随机变量的分布特性。
在本文中，我们将深入探讨随机变量特征函数的定义、性质以及应用。
一、随机变量特征函数的定义随机变量特征函数是指对于一个随机变量X，其特征函数被定义为一个复数函数φ(t)，其中t为实数。
特征函数φ(t)的表达式为E(e^(itX))，即随机变量X的期望值e^(itX)的复数形式。
1. 对于任意实数t，特征函数φ(t)的值为复数；2. 对于任意实数t1和t2，特征函数φ(t1+t2)等于φ(t1)φ(t2)的乘积；3. 特征函数φ(0)等于1；4. 若两个随机变量X和Y具有相同的特征函数φ(t)，则它们的分布函数相同；5. 若一个随机变量X的特征函数φ(t)处处有界，则X的分布是有界的。
三、随机变量特征函数的应用1. 利用特征函数可以求得随机变量的矩和矩母函数。
通过对特征函数进行n次求导并令t=0，可以得到随机变量的n阶矩。
2. 利用特征函数可以推导出随机变量的分布。
由于特征函数与分布函数之间存在一一对应的关系，因此通过特征函数可以确定随机变量的分布。
3. 利用特征函数可以进行随机变量的卷积运算。
对于两个随机变量X和Y的卷积运算，可以通过将它们的特征函数相乘得到结果的特征函数，从而确定卷积运算的分布。
四、随机变量特征函数的实例分析以二项分布为例，假设一个试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，进行n次独立重复试验，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
我们可以求出X的特征函数为φ(t)=(e^(itp))^n。
对于一个服从参数为n和p的二项分布的随机变量X，它的特征函数为φ(t)=(e^(itp))^n。
我们可以利用特征函数来计算X的矩和矩母函数。
例如，X的一阶矩为E(X)=φ'(0)，即特征函数在t=0处的一阶导数。
第2节、随机变量的特征函数
§2 随机变量的特征函数
证：
(t )
(n)
eitx f ( x)dx
itx
e f ( x)dx 上式第二个等号成立，需要加条件
dn (t ) n dt
d n eitx f ( x)dx dt n
(9)
x f ( x)dx
这里第四个等号成立用到了随机变量X与Y的独立性。 (6) 设随机变量X的n阶原点矩存在，则它的特征函数可以微 分n次，且有 (0) i EX EX n i n ( n) (0) 或 (8) (8)式表明随机变量X的n阶原点矩可以利用它的特征函数在原点 的n阶导数获得。
( n) n n
k
§2 随机变量的特征函数
由（2）式可见，连续随机变量的特征函数 (t )是分布密度f(x) 的傅里叶积分，简称F积分。（3）式表明随机变量的特征函数 (t ) 是分布函数F(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯积分，或F-S积分。傅里叶 积分在数学中和工程技术上是一个强有力的工具。后面将看到它 在概率论中的作用。 下面计算一些重要分布的特征函数。 例1. 单点分布 设随机变量X的分布为P{X c} 1 ，其中c是常 数。由（1）式，有
itx
存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（FourierStieltjes）积分，简称F-S积分。
二、特征函数
先引进复随机变量。 定义: 如果X与Y都是概率空间(Ω, F, P)上的实值随机变量， 则 Z X iY 称为复(值)随机变量，其中 i 1 。 复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为 EZ=EX+iEY 其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。 若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机变量。
第2节随机变量的特征函数
第2节随机变量的特征函数随机变量的特征函数是描述随机变量分布的一种数学工具，它能够唯一地确定一个随机变量的分布。
特征函数是一个复数函数，它的定义是随机变量的期望指数幂的 Fourier 变换。
对于一个随机变量X，它的概率密度函数或概率质量函数记为f(x)，其特征函数记为φ(t)。
特征函数的定义为：φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[所有可能的x] e^(itx) f(x) dx其中，i是虚数单位，t是一个实数，e^是自然对数的底数。
特征函数有以下几个重要的性质：1.特征函数的值域为单位圆周，即，φ(t)，≤12.若X和Y是相互独立的随机变量，其特征函数分别为φX(t)和φY(t)，则X+Y的特征函数为φX+Y(t)=φX(t)*φY(t)。
3.若X和Y具有相同的分布，其特征函数分别为φX(t)和φY(t)，则X和Y具有相同的分布。
4. 如果X的特征函数为φ(t)，Y = aX + b，其中a和b是常数，则Y的特征函数为φ(at) * e^(itb)。
特征函数的这些性质使其在随机变量的推导和分析中非常有用，主要体现在以下几个方面。
首先，由特征函数可以求出随机变量的各阶矩（期望、方差等）。
根据特征函数的定义，我们可以得到随机变量X的期望E(X)=φ'(0)，其中φ'(0)表示特征函数关于t的导数在t=0处的值。
其次，特征函数还可以用于求出随机变量的分布函数。
根据特征函数的定义，我们可以得到随机变量X的分布函数F(x) = (1/2π)∫[-∞到t] φ(u)e^(iux) du，其中φ(u)e^(iux)是积分的被积函数。
此外，特征函数在中心极限定理的证明中也起到了关键作用。
中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和在n趋向于无穷大时，其分布趋向于高斯分布。
特征函数的性质2和性质3对于中心极限定理的证明起到了重要的作用。
总之，特征函数作为一种描述随机变量分布的数学工具，具有独特的优点和应用价值。
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，广泛应用于概率论和数理统计等领域。
特征函数可以用于确定随机变量的分布、刻画随机过程的性质以及进行概率计算等。
在本文中，我们将从定义、性质、应用等方面对随机变量的特征函数进行详细介绍。
一、定义设X是一个随机变量，其概率密度函数（或概率质量函数）为f(x)，特征函数定义为：ϕ(t) = E[e^(itX)]其中，i是虚数单位（i^2=-1）。
特征函数是一个复数函数，其自变量t也是复数。
特征函数的定义包含了随机变量本身的所有信息，因此可以通过特征函数来刻画随机变量的分布。
二、性质1.偶函数性质特征函数是一个偶函数，即ϕ(-t) = ϕ(t)。
这是由特征函数定义中的e^(itX)的形式决定的。
2.边界性质对于任意复数t，有，ϕ(t)，≤1、这是由特征函数的定义可以得到的结论。
3.一一对应性质如果两个随机变量的特征函数相等，即ϕ1(t)=ϕ2(t)，则两个随机变量具有相同的分布。
这个性质可以用来判定两个随机变量是否具有相同的分布。
4.完备性性质特征函数在一些条件下具有完备性，即可以唯一决定分布。
这个性质在数理统计中具有重要的应用。
三、应用1.分布的确定对于一个随机变量X，若其特征函数ϕ(t)已知，那么可以通过反演公式来求解X的分布。
即X的分布函数可以通过特征函数的逆变换来确定。
2.随机过程的性质刻画特征函数在随机过程中具有广泛的应用，可以用来刻画随机过程的独立性、平稳性、马尔可夫性等性质。
3.概率计算特征函数在概率计算中也非常有用，可以通过特征函数来计算随机变量的数学期望、方差以及高阶矩等。
四、示例为了更好地理解特征函数的应用，下面我们以一个简单的示例来说明。
假设一个随机变量X的概率密度函数为：f(x)=1/π(1+x^2)，如果，x，≤1那么该随机变量的特征函数为：ϕ(t) = E[e^(itX)] = 1/π∫[−1,1]e^(itx)f(x)dx将概率密度函数代入上式并计算积分，得到：ϕ(t) = 1/π∫[−1,1]e^(itx)/π(1+x^2)dx这个积分可以使用复变函数的技巧来求解，最终可以得到：ϕ(t)=e^(-，t，)由此，我们可以判定该随机变量X服从柯西分布。
1.4 随机过程的特征函数
6、随机变量X的n阶原点矩存在，则它的特征 函数可以微分n次，且有
n (0) (i)n E[ X n ] 或 E[ X n ] (i)n n (0)
1.7.4 特征函数与矩的关系
设随机变量X的概率密度 fX (x)，其特征函数为
X (t)
定义此多维随机变量的特征函数为
X1X2 Xn (t1, t2 tn ) E[eitX1itX2 ] itXn
简写为
X (t) E[eitTX ]
式中 t1,t2, ,tn 是实变量，t T 是t的转置，而
n
tT X t1X1 t2 X 2 tn X n ti X i i 1
泊松分布
设随机变量X的分布列为
p{X
k}
k
k!
e，其中，
0
k 0,1, 2,... ， 特征函数为：
X (t)
E(eitX )
eitk
k 0
k
e
k!
e
k 0
eit k
k!
e e e eit
(eit 1)
均匀分布
X R(a, b) 时，(t) eb itx 1 dx a ba
eibt eiat
(b
a)it
1
t0 t0
指数分布
当 X E() 时，
(t) e itx e-xdx = e--itxdx
0
0
= -it
注：
'
t0
由此可得，求随机变量X的各阶矩，可以通过对 特征函数求导数的办法，而无需作非常繁杂的 积分运算。
特征函数和特征值
特征函数和特征值中的特定函数1. 特征函数1.1 定义在数学中，特征函数是一个从一个随机变量到复数域的映射。
对于一个随机变量X，其特征函数定义为：ϕX(t)=E(e itX)其中，E表示期望运算符，i是虚数单位。
1.2 用途特征函数在概率论和统计学中具有广泛的应用。
它可以唯一地确定一个随机变量的分布，并且可以用于推导和证明概率论中的一些重要定理。
具体来说，特征函数可以用于以下几个方面：•唯一性：对于连续型随机变量来说，它们的特征函数唯一地确定了它们的分布。
这意味着如果两个随机变量有相同的特征函数，则它们具有相同的分布。
•独立性：对于独立随机变量来说，它们的特征函数之积等于它们各自特征函数之积。
•中心极限定理：中心极限定理表明当独立同分布的随机变量求和时，其标准化后的和的分布趋近于正态分布。
特征函数可以用于证明中心极限定理。
•估计参数：特征函数可以用于估计随机变量的参数。
通过观察样本的特征函数，可以推断出随机变量的分布参数。
1.3 工作方式特征函数是通过对随机变量X的概率密度函数或概率质量函数进行傅里叶变换得到的。
傅里叶变换是一种将一个函数表示为一组正弦和余弦函数（即频谱）之和的方法。
具体地，给定一个连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，则其特征函数ϕX(t)可以通过如下公式计算：∞ϕX(t)=∫e itxf(x)dx−∞对于离散型随机变量X，其概率质量函数为p(x)，则其特征函数ϕX(t)可以通过如下公式计算：ϕX(t)=∑e itxp(x)x2. 特征值中的特定函数2.1 定义在线性代数中，特征值是一个方阵在线性变换下不改变方向的非零向量所对应的标量。
给定一个n×n的方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得满足以下方程：Av=λv则称λ为矩阵A的特征值，v为相应于特征值λ的特征向量。
2.2 用途特征值和特征向量在线性代数和各个领域中都有广泛的应用。
它们可以用于求解线性方程组、矩阵对角化、判断矩阵的性质等。
随机过程及应用：预备知识：特征函数
)
特征函数
令t=0，得 φ( k ) (0) j k E ( X k )
故
E ( X k ) j k φ( k ) (0)
2
Ex.9 随机变量X服从正态分布 N (a , ) 求 E( X ) 和 D( X ). 1 解
φ( t ) e 1 2 2 jat t 2 φ( t ) ( ja t )e 2
txjetxtxtx不等式613costxjetxcostxjetxcostxjetx性质52随机变量x的特征函数为特征函数ex8jatjat性质53随机变量x的特征函数一致地有一般性质54特征函数是非负定的函数即对任意正整数n任意复数z以上性质中一致连续性非负定性是本质性的
特征函数
预备知识5 特征函数
jt 2
jt
根据特征函数的惟一性定理, 知随机变量X 的分布律为 X 2 p 1/4 0 1/2 2 1/4
特征函数
四． 多维随机变量的特征函数 定义5. 4 二维随机变量(X, Y)的特征函数 定义为
φ(t1 , t 2 ) E[e
连续型
j ( t1 X t 2Y )
]
dF ( x, y )
1 e F ( x2 ) F ( x1 ) lim T 2π T
T
e jt
jtx2
φ( t )dt .
推论 1( 惟一性定理 ) 分布函数 F1(x) 和 F2(x) 恒等的充要条件是它们的特征函数 1 (t )和 2 ( t ) 恒等.(参见P245）
特征函数
推论2 若随机变量X的特征函数 ( t ) 在R上 绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密 度为
Ex.10 已知随机变量X的特征函数为
第一章 随机变量的特征函数4
2 2
五、联合特征函数
对二维随机变量， 对二维随机变量，可用类似的方法定义特征函数
φX (ω1,ω2)
=∫
∞ ∞ −∞ −∞
∫
fX (x1, x2)e
jω1x1+ jω2x2
dxdx2 1
f X ( x1, x2 ) 1 ∞ ∞ − jω1x1 − jω2 x2 = 2 ∫ ∫ φX (ω1,ω2 )e dω1dω2 4π −∞ −∞
jωX] = ∑eijωxi⋅ P{X = xi } f X ( x)dx
jωX
]= ∫ e
−∞
+∞
jωx
服从标准正态分布N(0,1)， 例：设随机变量X服从标准正态分布 设随机变量 服从标准正态分布 ，
f X ( x) =
求X的特征函数。 的特征函数。 的特征函数
1 e 2π
x2 − 2
二、 特征函数的性质 性质1： 性质 ：
第二节 随机变量的特征函数
一、 特征函数的定义 随机变量X的特征函数就是由 组成的一个新 随机变量 的特征函数就是由X组成的一个新 的特征函数就是由 的随机变量e 的数学期望， 的随机变量 jwX的数学期望，即
φ X (ω ) = E[e
jωX
]
离散随机变量和连续随机变量的特征函数分 别表示为
φX (ω ) = E[e φX (ω ) = E[e
∞
由此得到：特征函数与矩函数是一一对应的， 由此得到：特征函数与矩函数是一一对应的， 因此特征函数也称为矩生成函数。 因此特征函数也称为矩生成函数。
例：求两个数学期望和方差不同且互 相独立的高斯变量X 相独立的高斯变量 1，X2之和的概率 密度。 密度。
mY = m 1 + m 2
随机变量的特征函数
第四章 大数定律与中心极限定理4、1特征函数内容提要1、 特征函数得定义 设X 就是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 得特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 得特征函数)(t ϕ总就是存在得、2、 特征函数得性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ得共 轭;(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 就是常数、则);()(at e t X ibt Y ϕϕ= (4) 若X 与Y 就是相互独立得随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ就是非负定得,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 与n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )与)(t ϕ分别为X 得分布函数与特征函数,则对F (x )得任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )得任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量得分布函数有其特征函数唯一决定;(10) 若连续随机变量X 得密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3、 常用得分布函数特征表习题与解答4、11、 设离散随机变量X 得分布列如下,试求X 得特征函数、解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2、 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 得特征函数,并以此求E(X )与V a r(x )、解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ, ()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3.设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+试求X 得特征函数、解 设r X X X ,,,21 就是相互独立同分布得随机变量,且都服从参数为p 得几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 得特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p 、 又因为r X X X X +++= 21,所以X 得特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ、 4.求下列分布函数得特征函数,并由特征函数求其数学期望与方差、(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0)、解 (1)因为此分布得密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布得特征函数为010()22itx ax itx axa at e e dx e e dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰00(cos sin )(cos sin )22ax axa a tx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰ =.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布得密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x所以此分布得特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx ax tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)得数学期望不存在、注:⎰+∞∞-+=dx a x e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中得留数理论来计算,方法如下:t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5、 设),,(~2σμN X 试用特征函数得方法求X 得3阶及4阶中心矩、 解 因为正态分布),(2σμN 得特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==i X E ,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==iX E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 得3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6、 试用特征函数得方法证明二项分布得可加性:若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p)、证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 得独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正就是二项分布b(n + m, p)得特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P )、7、 试用特征函数得方法证明泊松分布得可加性:若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2)、证:因为 ,)(,)()1()1(21====ititeY eX e t e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正就是泊松分布 P (λ1+λ2)、得特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2)、 、8、 试用特征函数得方法证明伽玛分布得可加性:若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++、证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 得独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正就是伽玛分布),(21λa a Ga +得特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++、9、试用特征函数得方法证明2χ分布得可加性:若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ证 因为2)21()(n X it t --=ϕ,2)21()(mY it t --=ϕ,所以由X 与Y 得独立性得2)()21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=ϕϕϕ,这正就是2χ分布2χ(n+m)得特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ10、 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~ =λ、试用特征函数得方法证明:∑==ni i n n Ga X Y 1),(~λ、证 因为1)1()(--=λϕitt i X ,所以由诸i X 得相互独立性得n Y 得特征函数为n Y itt n--=)1()(λϕ,这正就是伽玛分布),(λn Ga 得特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n 、11、 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下:+∞<<-∞-+⋅=x x x p ,)(1)(22μλλπ,其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,(1) 试证X 得特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布得可加性; (2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+,但就是X 与不独立; (3) 若n X X X ,,,21 相互独立,且服从同一柯西分布,试证:)(121n X X X n+++ 与X i 同分布、证 (1) 因为μ-=X Y 得密度函数为+∞<<-∞+⋅=x yx p ,1)(22λλπ,由本节第4题(2)知Y 得特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-、由此得μ+=Y X 得特征函数{}{}t t i t t i t t Y Y X λμϕμϕϕμ-===+exp )(exp )()(、下证柯西分布得可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,得柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1)(22=+∞<<-∞-+⋅=i x x x p i i μλλπ、若1X 与2X 相互独立,则(){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212121λλμμϕϕϕ+-+==+,这正就是参数为2121,λλμμ++柯西分布得特征函数、所以由唯一性定理知,21X X +服从参数为2121,λλμμ++得柯西分布、(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(ϕ,{}t t Y -=exp )(ϕ,所以 )2()()(2t t t X X Y X ϕϕϕ==+{}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ϕϕ=、 由于Y=X,当然X 与Y 不独立、此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+不能推得X 与Y 独立、(3) 设i X 都服从参数为λμ,得柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμϕ-=exp )(、由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 得特征函数为 []{}t t i n t nλμϕ-=exp )/(,即 ∑=n i i X n 11与X 1具有相同得特征函数,由唯一性定理知它们具有相同得分布、12、设连续随机变量X 得密度函数为p (x ),试证:p (x )关于原点对称得充要条件就是它得特征函数就是实得偶函数、证:记X 得特征函数为)(t X ϕ、先证充分性,若)(t X ϕ就是实得偶函数,则)()(t t X X ϕϕ=-或)()(t t X X -=-ϕϕ,这表明X 与-X 有相同得特征函数,从而X 与-X有相同得密度函数,而-X 得密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点就是对称得、再证必要性、若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同得密度函数,所以X 与-X 有相同得特征函数、由于-X 得特征函数为)(t X ϕ,所以)()(t t X X ϕϕ=-=________)(t X ϕ,故)(t X ϕ就是实得偶函数、13、设n X X X ,,,21 独立同分布,且都服从N (2,σϕ)分布,试求∑==ni iX n X 1___1得分布、解:因为X j 得特征函数为2/22)(t t i j e t σϕϕ-=,所以由诸X i 互相独立得___X 得特征函数为)2/(22))/(()(n t t i n i X e n t t σϕϕϕ-==这就是正态分布N (n /,2σϕ)得特征函数,所以由唯一性定理知∑==ni i X n X 1___1~N (n /,2σϕ)。
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第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数容提要1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3. 常用的分布函数特征表习题与解答4.11. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ,()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+试求X 的特征函数.解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为010()22itx ax itxax a at e e dx ee dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰(cos sin )(cos sin )22ax axa atx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰=.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx a x tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：⎰+∞∞-+=dx ax e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==iX E,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==i X E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 的3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 的独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).证：因为 ,)(,)()1()1(21====it ite Y eX et e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 的独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++.9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性：若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ。