随机变量的特征函数

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1特征函数

容提要

1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下

(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i

itX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞

⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰

由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.

2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;

(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=

(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+

(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续

(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数

n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n

k n

j k z z t t ϕ

(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有

=-+--+2

)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21

lim

2

1dt t it e e T

T itx itx T ϕπ⎰-+∞→-

特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有

;)(21

lim

)()(2

112dt t it e e x F x F T

T itx itx T ϕπ

⎰-+∞→-=-

(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；

(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果

+∞<⎰

+∞

∞

-dt t )(ϕ,

则

dt t e x p itx )(21)(ϕπ

⎰

∞

+∞

--=

3. 常用的分布函数特征表

习题与解答4.1

1. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.

解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ

2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).

解 记q =1-p , 则

it

it

K it

it k k itk itx

qe pe q e pe p q

e e E t -====∑∑+∞

=+∞

=-1)()()(1

1

1

ϕ,

()

2

'

1)(it it

qe ipe t -=

ϕ,

4

2'

')

1()1(2)1()(it it

it it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1

)1()0(1)(2

'=-==ϕ,

242''21)1()1(2)1()0(1)(p

q

q q pq q p i X E +=--+-==ϕ,

2

2222)1(1)]([)()(p

q

p p q X E X E X Var =-+=

-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(r

k r p p r k k X P --⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--== ,1,

,k r r =+试求X 的特征函数.

解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为

,1)(X it

it

qe

pe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为

∏=-==r

j r

it

it x X qe pe t t j 1

)1()()(ϕϕ. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.

(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x

⎰∞-+=2

221

)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2

)(1x

a e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为

010

()22

itx ax itx

ax a a

t e e dx e

e dx ϕ+∞

--∞=⋅+

⋅⎰⎰

(cos sin )(cos sin )22

ax ax

a a

tx i tx e dx tx i tx e dx +∞

--∞=+⋅++⋅⎰⎰