高考专题复习——一元二次不等式及其解法

(A)［0,3］
(B)(0,3)
(C)(-∞,0］∪［3,+∞)
(D)(-∞,0)∪(3,+∞)
【解析】选A.依题意有3x-x2≥0，解得0≤x≤3，即定义域为
［0,3］.
3.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是 ( 1 , 1)，则a+b=( ) 23
(A)10
(B)-10
(C)14
(D)-14
(3)错误.只有当a>0时才成立，当a<0时，若方程 ax2+bx+c=0没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为 空集. (4)错误.还要考虑a=0的情况，不等式ax2+bx+c≤0在R上恒 成立的条件是a=0,b=0,c≤0或a<0且Δ=b2-4ac≤0. (5)正确.当抛物线开口向下时，在x轴下方一定存在图象，因此 ax2+bx+c<0的解集一定不是空集. 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
【解析】选D.由题意a 0, x1 12是, x方2 程13ax2+bx+2=0的 两个根，所以 1 1 b , 1解得1 a=2-, 12，b=-2,故
2 3 a 23 a a+b=-14，选D.
4.不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围 是_______. 【解析】依题意，应有Δ=(-m)2-4×4×1≤0, 即m2-16≤0，解得-4≤m≤4. 答案：［-4,4］
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b24ac≤0. ( ) (5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式 ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( ) 【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知 函数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知 结论是正确的.
【加固训练】若函数f(x)=
x 4 的定义域为R，则实
mx2 4mx 3
数m的取值范围是( )
(A)(-∞, 3 )
(B)［0, 3 )
4 (C)( 3 ,+∞)
4 (D)(- 3 , 3 )
4
44
【解析】选B.依题意mx2+4mx+3≠0对一切x∈R恒成立.当m=0
显然成立；当m≠0时应有Δ=16m2-12m<0，解0 得m 3 . 综 4
答案:{x|-2<x<1}
【规律方法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将 不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0 的关系．
【变式训练】(1)(2013·绍兴模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集 为(-2,1),则不等式ax2+(a+b)x+c-a<0的解集为( ) (A)(-∞,- 3 )∪( 3 ,+∞) (B)(-3,1) (C)(-1,3) (D)(-∞,-3)∪(1,+∞)
一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的最高次数是_2_的不等式叫做一 元二次不等式.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 表
判别式 Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图
象
Δ>0
Δ=0
Δ<0
判别式 Δ=b2-4ac
{x | 2＜x＜0}. a
考向 2 一元二次不等式的恒成立问题 【典例2】(1)(已知函数f(x)=x2+ax+3. 当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.
【思路点拨】(1) 可直接利用判别式Δ≤0求解.
(2)f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0，要使x∈R时，x2+ax+3-a≥0恒成 立， 应有Δ=a2-4(3-a)≤0，即a2+4a-12≤0， 解得-6≤a≤2.
实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，不合题意，从而有
a＋2＞0，
＝42－4a＋2a－1＜0，
解得
a＞－2，
a
2
a
6＞0，
所以 aa＞ ＜－ －32，或解a＞得2，a＞2. 故a的取值范围是(2，＋∞)．
3.(2013·绍兴模拟)已知函数
f
x
x2, x 0, 2x 1, x＞0,
若f(x)≥1,则x的取值范围是( )
(A)(-∞,-1］
(B)［1,+∞)
(C)(-∞,0］∪［1,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［1,+∞)
【解析】选D.当x≤0时，由x2≥1,得x≤-1;
当x＞0时，由2x-1≥1,得x≥1.
上，实数m的取值范围是［0, 3). 4
1.(2013·宁波模拟)函数 f x x2 3x lg(x2 5x 4)
的定义域是( )
(A)［0,1)
(B)［0,1］
(C)［0,4)
(D)(4,+∞)
【解析】选A.依题意有
x
x
2
2
3x 解 0得，
5x 4 0，
所以0≤x<1，即函数定义域是［0,1).
1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为( )
(A)(-∞,-2)∪(3,+∞) (B)(-∞,-3)∪(2,+∞)
(C)(-2,3)
(DБайду номын сангаас(-3,2)
【解析】选B.原不等式可化为x2+x-6>0，
即(x+3)(x-2)>0，所以x>2或x<-3，
即解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).
2.函数f(x)= 3x x2 的定义域为( )
一元二次方 程
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
有两相异实数根
x1
b 2a
,
x2
b 2a
(x1 x2 )
_{_x_|_x_<_x_1或__ _x_>_x_2_}_
_{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}_
Δ=0
【解析】选D.由题意,∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,1),
∴a<0,-2+1=- b ,(-2)×1= ,c
a
a
∴b=a,c=-2a,
∴不等式ax2+(a+b)x+c-a<0为ax2+2ax-3a<0,
∴x2+2x-3>0,∴(x+3)(x-1)>0,
∴x<-3或x>1.
(2)解关于x的不等式(1－ax)2＜1.
(D)( 1 , 3 ) 22
(2)(2013·广东高考)不等式x2+x-2<0的解集为
.
【思路点拨】(1)根据不等式解集的端点与相应方程的两根 之间的关系,建立方程组求得a,b的值,再解不等式f(-2x)<0. (2)本题考查二次不等式的解法,注意应用口诀“小于取中间”. (3)首先对a的符号进行分类讨论,在每一种情况中,如果有必 要再按照根的大小进行讨论.
综上可知，x∈(-∞,-1］∪［1,+∞).
4.(2013·衢州模拟)已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实
数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
(A)(2，+∞)
(B)(-2,+∞)
(C)(-∞,-3)
(D)(-∞,-3)∪(2,+∞)
【解析】选A.原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切
【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，
即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈ ；
当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2x(x－2)＜0， a
即 0＜x＜2； a
当a＜0时，2＜x＜0. a
综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式
解集为{x | 0＜x当＜a2}＜；0时，不等式解集为 a
考向 1 一元二次不等式的解法
【典例1】(1)(2013·大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)，
如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3)，则不等式
f(-2x)<0的解集是( )
(A)(-∞, 3 )∪( 1 ,+∞)
2
2
(C)(-∞, 1 )∪( 3 ,+∞)
2
2
(B)( 3 , 1 ) 22
0 x 3， x 4或x 1，
2.(2013·温州模拟)若函数f(x)=x2+ax-3a-9对任意x∈R恒有
f(x)≥0，则f(1)等于( )
(A)6
(B)5
(C)4
(D)3
【解析】选C.依题意得a2-4(-3a-9)≤0,即a2+12a+36≤0，所以
(a+6)2≤0,必有a=-6,这时f(x)=x2-6x+9,故f(1)=4，故选C.
【规范解答】(1)选A.不等式f(x)>0，
即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以
a 0，
1 a
解1，得
a 1， b 3，
b 3，
于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即为
(2x-1)(-2x-3)<0，
解得 x 或1 x 3 .
2
2
(2)x2+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,解集为{x|-2<x<1}.
Δ<0
有两相等实 数根x1=x2= b
2a
没有实数根
_{_x_∈__R_|_x_≠__ b}
_R_
2a
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)，则必有a>0.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，则方程 ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2+bx+c>0的解集为R.( )