流体力学相似原理与
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流体力学相似原理与
速度比尺 时间比尺 则
加速度比尺
u
up um
t
tp tm
u
up um
lp lm
tp tm
l t
a
ap am
lp lm
t
2 p
t
2 m
lp lm
( t p )2 tm
l
2 t
由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速
度比尺，即
v
vp vm
f l22v
此处 1 ，v 1 l ， 则
f
l22v
l2 l2
1
故
Fp Fm 1.50kN
§5－4 量纲分析
量纲和量纲和谐原理 量纲分析法
一、量纲(dimension)和量纲和谐原理
1、量纲
表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。
a
l
2 t
则
f
3l
l
2 t
l2
l t
2
l22v
即
Fp
p
l
2 p
v
2 p
Fm mlm2 vm2
上式可写成
Fp Fm
p
l
2 p
v
2 p
m
l
2 m
vm2
—— 无量纲数
在相似原理中称为牛顿数Ne ∴ (Ne)p (Ne)m
流量：
Qp Qm
vp Ap vm Am
vl2
或
Qm
工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析
弹性力比： k F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' k k 2 K l F
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy
F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy
F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
流体力学第五章相似原理和量纲分析
vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
p Eu
v 2
Eu p
v 2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
k kl3kg
v
v
gl1 2 gl1 2
kv kl kg
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： Fr Fr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kF
F F
dvx dvx
/ dyA / dyA
k kvkl
F ma V dv dt F ma Vdv dt
F
F
l2v2 l 2v2
kF 1
k
k2 l
k2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： Ne Ne
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kF
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析
几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提
二、运动相似
❖ 流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。
v3' 3
v1'
v2'
1
2
3
v3''
v1 v1
v2 v2
v3 v3
v v
kv
v1''
1
2
kv——速度比例尺
v2''
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
时间比例尺 加速度比例尺
1/ p
7.5k,kpkv2'
0.001207, kv 4416(Pa)
22.5, 有
F F ' F ' 1.261104(N)
kF
k
k
2
l
k
2
v
M M ' 2030(N m)
k
k
3k
l
2
v
第五节 量纲分析法
❖一、量纲分析的概念和原理 ❖ 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。 ❖而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。
如何进行模型实验： (1) 几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理(无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。
完全相似：两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 部分相似：满足部分相似准则数相等。
近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
2 1 2 2
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
流体力学龙天渝相似性原理和因次分析
Pp
式 中 L、 V 、 P均 为 定 性 量
❖ 将方程组无量纲化，也即将〔１０－１６〕式代入〔１０
－１５〕式，得并整理方程组得：
u x
x
u y y
u z z
0
u x
u x x
u y
u x y
u z
u x z
P V
2
p x
VL
2 u x x 2
2 u x y 2
❖
着黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力，那么模 F型n流动Fp中n 也F同Gn样的F作In 用 着FEn黏性力、压力、重力、惯
F性m力、Fp弹n 性F力Gm。相F应Im 的FEm
❖重 式同 成力 中名比、 ，力 例惯 成 ，、性比 即P力 、例、 G，、弹是I性 、 指力 F原分 。 型别流表动示和黏模性型力流、动压的力同、名力
Eu
p x
1 Re
2 u x x 2
2 u x y 2
Hale Waihona Puke 2 u x z 2u x
u z x
u y
u z y
u z
u z z
1 Fr
Eu
p z
1 Re
2 u z x 2
2 u z y 2
2 u z z 2
❖ 式中Eu,Re,Fr即分别为上述的准那么数欧拉数，雷诺数和弗 汝得数。自然，如果我们考虑的是可压缩流体，还将出现马 赫数Ｍａ。 相似理论的第一定理表明：两个相似的现象，它们的同名相 似准数必定相等，即相同名称的相似准数相等。 相似理论的第二定理阐明：由定性物理量组成的相似准数， 相互间存在着函数关系。在考虑不可压缩流体流动的动力相 似时，决定流动平衡的四种力，黏滞力、压力、重力和惯性 力并非都是独立的，根据力的平行四边行法则，其中必有一 力是被动的其中必有一力是被动的，只要三个力分别相似， 则第四个力必然相似。 相似理论的第三定理告诉我们：两个现象相似的充分必要条 件除了由基本规律导得的相似准数相等外，还包括单值性条 件相似。所谓单值性条件是指把某一现象从无数个同类现象 中区分开来的条件。单值性条件相似包括包括几何相似，边 界条件和初始条件相似，以及由单值性条件所导出的相似准 数相等。
土木工程-流体力学-完整版- 相似原理与量纲分析
2.1 相似原理原型/模型流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则2.2 模型实验模型律的选择及模型设计2.3 量纲分析基本量纲、导出量纲、无量纲量量纲分析法：Π 定理（Theorum ）、瑞利法（Rayleigh ）2.4 2.4 基本方程的无量纲化基本方程的无量纲化第 2 章 相似原理和量纲分析（ Similarity and Dimensional Analysis)2.2 模型实验2.2.1 模型律的选择为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。
事实上，很难达到独立准则同时满足。
一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。
通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。
因此，主要作用力则是黏滞力或重力。
若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。
例如有压管流。
若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。
例如明渠流。
【例2】求水泵输出功率的表达式。
【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。
（1）找出与水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，于是有f（N, γ , Q, H）= 0（2）指数积关系式N= Kγa Q b H c（3）量纲式dim N = dim(γa Q b H c)（4）用基本量纲表示各物理量量纲ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c （5）根据量纲和谐原理求量纲指数M： 1 = aL： 2 = -2a+3b+cT：-3 = -2a-b解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。
（6）整理方程得N = KγQHK 为由实验确定的常数。
问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立3 个方程求解量纲指数。
因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。
流体力学第五章 相似原理和量纲分析
3
第五章 相似原理和量纲分析
流动的物理现象常受到各种因素的影响，对于简单的现象可以通过简化，建 立运动微分方程，求得精确解。
对于大量复杂的流动现象，理论分析本身就比较困难，由于流动边界条件的 复杂性，往往难以用数学形式准确表达和求解。
因此必须结合实验，才能使理论分析深入进行。 如果没有正确的理论指导，不知需要测定哪些物理量和应该如何整理实验数 据——虽然能获取大量数据，却无法找出影响现象本质的因素，使实验带有 盲目性。
kq
qV qV
l / t l
3
3
kl
3
V
k l kv
2
/t
kt
运动粘度比例尺
k
l / t l
2
2
kl
2
k l kv
/t
kt
角速度比例尺
k
v / l v/l
kv kl
过程装备与控制工程教研室
10
第五章 相似原理和量纲分析 三、动力相似
过程装备与控制工程教研室
16
第五章 相似原理和量纲分析
任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma
原型
F ma Va
模型
F ma V a
F F
m a ma
V a Va
kv kl
2
k F k kV ka k kl
——模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流
场完全相似的重要特征和条件
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
流体静力学-相似原理与量纲分析
性力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模型与原型用同一种流体时， 1 ，则：
v
1
l
（b）
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
三、压力相似准则
2、实验法：是指对某一正在发生的现象或正在 进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再通过对 取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规 律及其相互间的依变关系。
实验法可分为原型测试和模型实验两类。 原型测试法：就是对正在运行的设备及过程进行实际
测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优化提出 改进依据。
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图10-2 速度场相似
第一节 流动的力学相似
时间比例尺:
t
tn tm
速度比例尺:
ln
v
vn vm
tn lm
tm
l t
加速度比例尺:
Ca
v' a' t'
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运 动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所 起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=ul/= ul/
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模型与原型用同一种流体时， 1 ，则：
v
1
l
（b）
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
三、压力相似准则
2、实验法：是指对某一正在发生的现象或正在 进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再通过对 取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规 律及其相互间的依变关系。
实验法可分为原型测试和模型实验两类。 原型测试法：就是对正在运行的设备及过程进行实际
测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优化提出 改进依据。
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图10-2 速度场相似
第一节 流动的力学相似
时间比例尺:
t
tn tm
速度比例尺:
ln
v
vn vm
tn lm
tm
l t
加速度比例尺:
Ca
v' a' t'
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运 动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所 起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=ul/= ul/
《流体力学》课件 4.10 相似原理
p x
2
u
2 l
2u 2
u
x
y
w
z
2
p l
1
p y
2
u
2 l
2
2
ut
w t 2
2 u
l
u
w x
w y
w
w z
2
p l
1
p z
2
u
2 l
2w 2
对比流(3)和(2)，则必有：
u
2 u
p
u
t
l
l
2 l
l ut
p
2 u
ul
1
Sr
l ut
，Eu
p
u 2
，Re
ul
Sr1 Sr2，Eu1 Eu2，Re1 Re2
3. 动力相似—牛顿相似准则
实物流动与模型流动受同种外力作用，而且对应点上 的对应力成比例。
F
F F
ma ma
Va V a
3 L
L
2 t
2 2
L
F
F F
2 2
L
L2 2 L2 2
Nu
F
L2 2
F
L2 2
Nu
二、相似准则惯性力重力2Lg
Fr
1.作用在流体上的力
惯性力
压力
2
p
1 Eu
惯性力=－质量×加速度
2. 粘性不可压缩流动动力学相似的充要条件
u x
y
w z
2
0
u t
u
u x
u y
w
u z
2
1
p x
2u 2
⑵
流体力学第五章 相似原理与量纲分析
Vm = Vp Lm Lp
模型流动特征长度不能太小
流体力学
近似模型法－弗劳德相似3
已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 在水池中实验船模长 3.05m 。 求船模应以多大速 在水池中实验船模长3.05m。求船模应以多大速 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 为20N，实物船所受阻力等于多少？ 为20N，实物船所受阻力等于多少？
V1 m V2 m = = V1 p V2 p
流体力学
针对描述运动状态的量
= CV
CV – 速度比例系数
运动相似2
流体质点通过对应距离的时间相似
tm Lm Vm CL = = Ct = tp CV Lp V p
流体质点的加速度 相似
am Vm tm CV = = Ca = ap Ct Vp t p
弗劳德相似
明渠流、兴波阻力问题
(惯性力)p (压力)p (惯性力)m
α
(重力)p
(压力)m
α
(重力)m
单值条件相似 仅有弗劳德准则为决定性准则
流体力学
近似模型法－弗劳德相似2
( Fr ) m = ( Fr ) p
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ gL ⎠ m ⎝ gL ⎠ p
一般情况下 g p = gm
可压缩流动
⎛V ⎞ = ⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠m ⎝ a ⎠ p
欧拉相似
压差起主要作用
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ ⎜ ρV 2 ⎟ = ⎜ ρV 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
(Eu )m = (Eu ) p
模型流动特征长度不能太小
流体力学
近似模型法－弗劳德相似3
已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 在水池中实验船模长 3.05m 。 求船模应以多大速 在水池中实验船模长3.05m。求船模应以多大速 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 为20N，实物船所受阻力等于多少？ 为20N，实物船所受阻力等于多少？
V1 m V2 m = = V1 p V2 p
流体力学
针对描述运动状态的量
= CV
CV – 速度比例系数
运动相似2
流体质点通过对应距离的时间相似
tm Lm Vm CL = = Ct = tp CV Lp V p
流体质点的加速度 相似
am Vm tm CV = = Ca = ap Ct Vp t p
弗劳德相似
明渠流、兴波阻力问题
(惯性力)p (压力)p (惯性力)m
α
(重力)p
(压力)m
α
(重力)m
单值条件相似 仅有弗劳德准则为决定性准则
流体力学
近似模型法－弗劳德相似2
( Fr ) m = ( Fr ) p
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ gL ⎠ m ⎝ gL ⎠ p
一般情况下 g p = gm
可压缩流动
⎛V ⎞ = ⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠m ⎝ a ⎠ p
欧拉相似
压差起主要作用
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ ⎜ ρV 2 ⎟ = ⎜ ρV 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
(Eu )m = (Eu ) p
5工程流体力学 第五章相似原理与量纲分析
MLt 2 ML3 x1 Lt 1 y1 L z1
对于M: 1 x1
对于L:
1 3 x1 z1 y1
对于t:
2 y1
4
F v2 D2
x1 1 y1 2 z1 2
§5-2 量纲分析法（续17）
同理： g 5 x2 v y2 Dz2
Lt 2 ML3 x2 Lt 1 y2 L z2
例如：
主要作用力
粘性力、压力、 重力、压力、
惯性力
惯性力
压力、粘 性力
弹性力、粘性力、 压力
§5-1 相似原理（续8）
1.雷诺准则（Re数) 作用力是粘性力时：
取管道直径
FI v2 L2 v L v L Re F v L
两种流动的雷诺数相等，则说明所受的粘 性力相似。
就解决了问题。
§5-2 量纲分析法（续14）
例：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力F和浆
径D，推进速度v，转速n ,重力加速度g,流体密度，
运动粘性系数 有关，求推力 F 的表达式。
解：（1）写出每一个参数的量纲：
F
ML t2
DL
v
L t
n
1 t
g
L t2
M L3
§5-2 量纲分析法（续19）
F
v 2 D2
f
gD v2
,
vD
, nD v
余下的问题就是求 f ( ) 函数关系，用实验的
方法找出 f ( ) 函数关系。将实验数据与 gD ,
,
nD
v2 组合起来，用试验数据回归成数学表
vD v
达式。
§5-2 量纲分析法（续20）
例：用 定理求紊流时管内的流动损失 h f。
对于M: 1 x1
对于L:
1 3 x1 z1 y1
对于t:
2 y1
4
F v2 D2
x1 1 y1 2 z1 2
§5-2 量纲分析法（续17）
同理： g 5 x2 v y2 Dz2
Lt 2 ML3 x2 Lt 1 y2 L z2
例如：
主要作用力
粘性力、压力、 重力、压力、
惯性力
惯性力
压力、粘 性力
弹性力、粘性力、 压力
§5-1 相似原理（续8）
1.雷诺准则（Re数) 作用力是粘性力时：
取管道直径
FI v2 L2 v L v L Re F v L
两种流动的雷诺数相等，则说明所受的粘 性力相似。
就解决了问题。
§5-2 量纲分析法（续14）
例：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力F和浆
径D，推进速度v，转速n ,重力加速度g,流体密度，
运动粘性系数 有关，求推力 F 的表达式。
解：（1）写出每一个参数的量纲：
F
ML t2
DL
v
L t
n
1 t
g
L t2
M L3
§5-2 量纲分析法（续19）
F
v 2 D2
f
gD v2
,
vD
, nD v
余下的问题就是求 f ( ) 函数关系，用实验的
方法找出 f ( ) 函数关系。将实验数据与 gD ,
,
nD
v2 组合起来，用试验数据回归成数学表
vD v
达式。
§5-2 量纲分析法（续20）
例：用 定理求紊流时管内的流动损失 h f。
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2 p
v
2 m
g pl p gmlm
—— 无量纲量
佛汝德数
Fr
v2 gl
所以 (Fr ) p (Fr )m
上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，
它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个
流动一定是在重力作用下动力相似。
三、欧拉准则
作用在流体上的力主要是压力P。即：压力
P = pA
压力比尺
P
Pp Pm
p p Ap pm Am
2
pl
由于作用力F中只考虑压力P，因而 F = P，即
f P
于是可得 l22v pl2
化简得 欧拉数
p 2v
1
Eu
p
v 2
则
pp
p
v
2 p
pm
m vm2
—— 无量纲数
所以 (Eu) p (Eu)m
上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相
面积比尺
A
Ap Am
l
2 p
lm2
l2
体积比尺
v
Vp Vm
l
3 p
lm3
3l
由上式可知，几何相似是通过长度比尺λl来表示的。只要任一 对应长度都维持固定的比尺关系λl，就保证了流动的几何相似。
二、运动相似
运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。 要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都 维持固定的比例关系。
速度比尺 时间比尺 则
加速度比尺
u
up um
t
tp tm
u
up um
lp lm
tp tm
l t
a
ap am
lp lm
t
2 p
t
2 m
lp lm
( t p )2 tm
l
2 t
由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速
度比尺，即
v
vp vm
u
由上可知，运动相似是通过长度比尺λl和时间比尺λt来表示
比例关系。 即
f
Fp Fm
式中 Fp——原型某点上的作用力；
Fm——模型对应点上的作用 力。
由牛顿第二定律：F = ma = ρV a
则力的比尺为
f
Fp Fm
pVp a p mVm am
V a
因为
V 3l
a
l
2 t
则
f
3l
l
2 t
l2
l t
2
l22v
即
Fp
p
l
2 p
v
2 p
一、几何相似
几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而 且对应部分的线尺寸均成一定比例。
对应角相等 θp = θm 以角标p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。
线性尺寸成比例
l
lp lm
dp dm
式中λl——长度比尺；
lp——原型某一部位长度； lm——模型对应部位的长度。
的。长度比尺已由几何相似定出。
因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的 流速和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺λl和 时间比尺λt，就保证了运动相似。
三、动力相似
动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个
流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定
这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力 G = mg = ρVg
重力比尺
G
Gp Gm
pVp g p mVm gm
g 3l
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG
于是 l22v g 3l
化简得：
2v g l
1
或
v
§5－2 相似准则
雷诺准则 佛汝德准则 欧拉准则
§5－2 相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就
能够基本上反映出流体的运动状态。
一、雷诺准则
作用在流体上的力主要是粘性力。
牛顿内摩擦定律
粘性力 粘性力比尺
T A du A du
dy
dy
T
Tp Tm
p p Ap
du p dy p
m m Am
dum dym
l v
由于作用力仅考虑粘性力，F = T ，即 f T
于是
l2v2 l v
化简后 或者
l v 1
vpl p vmlm
p m
—— 无ห้องสมุดไป่ตู้纲数
即 雷诺数 (Re ) p (Re )m
上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动
力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则
现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。
由雷诺准则
lv 1
则
v
l
由佛汝德准则
2v 1 g l
Fm mlm2 vm2
上式可写成
Fp Fm
p
l
2 p
v
2 p
m
l
2 m
vm2
—— 无量纲数
在相似原理中称为牛顿数Ne ∴ (Ne)p (Ne)m
Ne
F
l 2v 2
上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个 流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。
在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数， 称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为相似准则。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
第五章 相似原理与量纲分析
流动相似 相似准则 模型试验 量纲分析
§5－1 流动相似
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件的相似
原型：流体实际流动的实物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的 代表物，称为模型。 模型试验：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成 模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模 型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。 关键问题：模型流体和原型流体保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、 各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似 的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这
两个流动一定是在压力作用下动力相似。
§5－3 模型试验
模型律的选择 模型设计
§5－3 模型试验
模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即
所谓模型律的问题。
一、模型律的选择
在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就
是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。