三角函数的周期性、奇偶性及对称性

三角函数的周期性、奇偶性及对称性

考点一 三角函数的周期性

[典例] (1)(优质试题·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x

1＋tan 2x

的最小正周期为( )

A.π

4 B.π2

C ．π

D ．2π

(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1

________．

[解析] (1)由已知得f (x )＝tan x

1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪

⎫sin x cos x 2＝sin x

cos x cos 2x ＋sin 2x

cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π

2＝π.

(2)由题意知1<πk <2，即π

2

[解题技法]

1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；

(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π

|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π

|ω|；

(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．

2．有关周期的2个结论

(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.

(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.

[专题训练]

1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4中，

最小正周期为π的所有函数为( )

A ．①②③

B ．①③④

C ．②④

D ．①③

解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π

2＝π；

由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；

函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③.

2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．

解析：依题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

ωπ8－π4＝0，

即ωπ8－π

4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，

所以0<8k ＋2<10，得－1

4

而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，

所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.

答案：π

考点二 三角函数的奇偶性

[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为

( )

A.π

6 B.π

3 C.5π6

D.2π3

[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，

所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x －π3＋φ是偶函数，

所以－π3＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋5π

6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π

6. [答案] C

[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法

三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．

[专题训练]

1．(优质试题·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π4，π2上单调递增

的奇函数是( )

A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2

B ．y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π2

D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－x

解析：选C y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π2＝

sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎢⎡⎦⎥

⎤

π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故

选C.

2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3－3x ＋θ

＝－2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3x －π3－θ，

因为函数f (x )为奇函数， 所以－π

3－θ＝k π，k ∈Z ， 即θ＝－k π－π

3，k ∈Z ， 故tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3

考点三 三角函数的对称性