第七节 指数式与对数式

第7 课 指数与对数

【考点导读】

1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；

2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；

3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；

4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．

【基础练习】

1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠

=3π-； 238=____4____； 3

481-=127

； log 1a =___0_____； log a a =____1____；

l o g 4=__－4__．

2.化简下列各式：(0,0)a b >>

（1）2

1

1

1333324()3a b

a b ---÷-=6a -； （2）2222

(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+． 3.求值：（1）35

log (84)⨯=___－38____；

（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+=____1____；

（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．

4.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则18lg

25=___－0.14_____(结果保留2位小数) ． 5.（1）方程3

42115x -=的解集为_____16________；

（2）方程32142568x x +-=⨯的解集为79

； （3）方程1)3(lg lg =++x x 的解集为_____2____．

【范例解析】

例1. 化简求值：

（1）若13a a -+=，求11

22

a a --及442248a a a a --+-+-的值；

（2）若3log 41x =，求332222

x x

x x --++的值． 分析：先化简再求值．

解：（1）由13a a

-+=，得11222()1a a --=，故11221a a --=±； 又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438

a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x

=；则33227414223x x x x x x ---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．

例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35

+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．

分析：化为同底．

解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1

lg

810lg8=+=； （2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．

例3.已知35a b c ==，且112a b

+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示．

解：由35a b c ==，得

1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b +=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >

，c ∴=

点评：三个方程三个未知数，消元法求解．

例4.设a ，b ，c 为正数，且满足222

a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b

+-+

++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a ，b ，c 的值． 分析：运用对数运算性质化简证明．

（1）证明：左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b

+++-+++-=+=⋅ 2222()2log log 1a b c ab ab ab

+-====右边． （2）解：由4log (1)1b c a ++=得30a b c -++=①；由82log ()3

a b c +-=得4a b c +-=②； 又222a b c +=③；联立①②③得6a =，8b =，10c =．

点评：证明恒等式问题一般由复杂到简单．

【反馈演练】

1．若21025x =，则10x -=15

． 2．设lg321a =，则lg 0.321=3a -．

3．已知函数1()lg 1x f x x

-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x x

x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）． 5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12

． 6．方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___0或1___．

7．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．

8．若正整数m 满足m m 10210

5121<<-，m =则155．)3010.02(lg ≈ 9．若11251

1(,1)()11log log 33n n n Z +∈+∈，则n =_2___．

10．已知2lg lg lg 2x y x y -=+

的值． 解：由已知得2lg(

)lg()2x y xy -=，∴2()2x y xy -=，即2260x xy y -+=，2()610x x y y ∴-⋅+=，解

得：3x y =±02x y ->，0x >且0y >，0x y ∴>>

，从而3x y =+

1=．