2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷

2 若对任意 ，
，必存在
使得
，求数列 的通项公式．
（ ， ， 为常
，已知
，且
20. 若实数 满足 （ 1 ） 求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ） 设函数
1若
时，存在一个实数
，其中 ， ， 为实数．
，使得
既是
点（
是函数 的导函数），求实数 的取值范围．
2令
，若存在实数 ，使 ，
，
为正数的等比数列，求证：函数 存在不动点．
，
∴
．
2
由题意知， ，
，
数列，
， ，
故可设公比为 ，则
成各项都为正数的等比 ，
故方程
有三个根 ，
，
，
又∵
，
∴
为二次函数，
故方程
为二次方程，最多有两个不等根，
则，
，
中至少有两个值相等，
当
时，方程
有实数根 ，
12
也即函数 存在不动点，符合题意；
当
时，则
，
，故
，
又各项均为正数，则
，即
，
同上，函数 存在不动点，符合题意；
当
时，则
，
，
同上，函数 存在不动点，符合题意．
综上所述，函数 存在不动点．
13
，且
10. 已知实数 ， 满足
，
，则 的值为
．
则
的取值范围是
．
11. 若函数
是偶函数，则实数 的值为
．
12. 在
中，
，
，则
的值为
．
13. 已知函数
是
．
，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围
14. 已知 的取值范围为
，若关于 的不等式 ．
在
上恒成立，则
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15. 已知 （ 1 ） 求 的值． （ 2 ） 设函数
（2） 解析: （ 1 ）由
即 因为 （ 2 ）由 知， 所以
，
．
，得 ，所以
，所以 ，所以 ，
，
．
，即
．
令 所以函数
． ，得
的单调增区间是
16.（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析．
解析: （ 1 ）如图，连接 ，
，
，
．
因为
，
所以
，
又
所以
，
又
平面
，
所以
平面
．
（ 2 ）在平面
内过 作
，
平面
，
，
∴
，
，
所以函数
的值域为
．
7. 解析: 因为数列
为等差数列，
，
解得
，要求的：
． 8.
5
解析:
设铁皮扇形的半径和弧长分别为 、 ，圆锥形容器的高和底面半径分别为 、 ，
则由题意得
，由
得
；
由
得
；
由
得
；
由
．
所以该容器最多盛水
．
故答案为： ．
9.
解析:
∵
，
，
∴
． 故答案为： ．
10.
解析:
由条件可知，点
在由顶点
4.
解析:
由题意可知，抛物线的准线方程为
则
，解得
，
所以抛物线焦点到准线的距离为：
， ，
4
故答案为： ．
5.
解析:
因为输入 ，
，
，
，这个程序的意思是当
加，直到 大于或者等于 时输出 ．
因为
，所以
， 是 的次方的和，从 的 次方起 ，输出的 的值是 ．
6.
，
解析:
∵函数
，
要使函数有意义，
则
，
即
，
，
解得
，
，
组成的三角形区域内（图略），
从而
，
，
故
，
取
得
，
取
Байду номын сангаас
得
，
从而
．
11.
解析:
由已知得
，
6
则
，
即
恒成立，
．
12.
解析:
由
得，
，
即
，
所以
，
所以
．
故答案为： ．
13. 解析:
由已知得
，
令
，
．
令
，
．
根据分段函数图象可得，实数 的取值范围是
；
，
；
，
．
， ，
14. 解析:
由 设 则 所以
， ，
，
，
，即
．
7
15.（ 1 ） ．
于，
8
因为侧面
底面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
是锐角三角形，所以 与 不重合，
即 和 是平面
内的两条相交直线，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
17.（ 1 ） ．
（ 2 ）直线 与圆 相切，证明见解析．
解析:
（ 1 ）因为
，设直线 的方程为
由条件得，
，解得
即直线 的方程为
，
因为
，
，
所以
的不动点，又是
的不动
，
成各项都
【答案】 1.
解析: 集合 ，所以
，解得 ．
，因为真数要大于 ，所以 ，所以集合 满足的 的取值为
，解得
，又因为
，加上集合
，则
2.
解析:
∵
，
∴
．
故答案为：
．
3.
解析:
连续两次骰子的点数
的可能性一共有
种，满足在直线
，，，，，
， ， ， 一共有 种，所以概率是 ．
上方的点数可以是
，
为圆 内一
18. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形（矩形的一个边在三角形的边上），并 以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面，问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？
19. 设 数列 的前 项和，对任意
，都有
数）．
（1） 当
，
，
时，求 ．
（2） 当
， ， 时．
1 求证：数列 是等差数列．
，
．
，
，求函数 的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
， 交 于，
，点 在侧棱 上，且
．
2
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系 中，圆
，直线
点，弦 过点 ，过点 作 的垂线交 于点 ．
（1） 若
，求
的面积．
（ 2 ） 判断直线 与圆 的位置关系，并证明．
，即
，
所以
，
又因为直线 与直线 间的距离
的面积为
．
（ 2 ）直线 与圆 相切．
设
，则直线 的斜率
， ，
，即点 到直线 的距离为 ，所以 ，
因为
，所以直线 的斜率为
，
所以直线 的方程为
，
9
联立方程组
解得点 的坐标为
所以
由于
，
所以
所以
，即
18. 以 为底、 为高，且 解析: 设正三角形边长为 ，如图，
．
上纵坐标为 的一点到焦点的距离为 ，则该抛
5. 执行右边的程序框图，若
，则输出的 的值为
．
开始 输入
，
输出 结束
6. 函数
的值域为
．
7. 等差数列 中，若
，则
．
8. 现用一半径为
，面积为
的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚
度忽略不计，且无损耗)，则该容器的容积为
．
1
9. 已知 ，
， ，
， ，
，所以直线
， 与圆 相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以 为底、 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以 为底， 为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当 所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，
10
因为 所以以 为底、 为高，且
， 时，体积最大．
19.（ 1 ）
．
（ 2 ）1 证明见解析．
，所以
，所以
或
当
时，
，
，
，
所以 当
时，
不符合题意．
，
，
， ， ．
11
所以
满足题意，所以
．
20.（ 1 ）
．
（ 2 ）1
．
2 证明见解析．
解析:
（ 1 ）由题意可知
，
令
，
则
，
当
时，
， 为增函数，
当
时，
， 为减函数，
∴ 先增后减，有极大值为
，
∴函数
的不动点为
．
（ 2 ）1 由题意可知，
，
消去 ， 得
，
2
．
解析:
（ 1 ）当
，
，
时，
，①
当
时，
当
时，
，所以
．
，②
① ②得：
．因为
，所以
，所以
所以 所以
是以 为首项， 为公式的等比数列， ．
（ 2 ）1 当 当
，， 时，
时，
．④
．③
③ ④得：
，⑤
所以
，⑥
⑤ ⑥得：
．
因为
，所以
，即
所以 是等差数列．
2 因为
，所以
．
因为
，所以
，
所以
．
因为 ， ，
，所以
．
又因为
2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合
，
，则
．
2. 设复数
（ 为虚数单位），则 的共轭复数为
．
3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 ， 作为点 的横、纵坐标，则点 在直线
上
方的概率为
．
4. 在平面直角坐标系 中，若抛物线
物线的焦点到准线的距离为