电磁场有限元法
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12
选择插值基函数
使用线性三角形单元，在第e个单元内，e (x) 可以 近似为：
e (x, y) ae be x ce y
节点坐标带入：
1e ae be x1e ce y1e
e 2
ae
be x2e
ce y2e
e 3
ae
be x3e
ce y3e
解得：
3
e (x, y) Nie (x, y)ie
• 在电磁场计算中，矢量基函数已基本取代了标量基函数；
• 一般情况下，分为频域有限元法和时域有限元法。
1
有限元的基本思路
• 将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元 形式简单，数量有限；
• 根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数， 要求各基函数之间线性无关；
• 基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各 自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上， 定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于0；
残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数 求加权方法来得到方程的解。
5
里兹(Ritz)变分方法
LФ=f 的解等于下式泛函对 的解 泛函：
vj是定义在全域上的展开函数 cj是待定的展开系数
6
里兹(Ritz)变分方法
将试探函数代入泛函： 令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组
7
里兹(Ritz)变分方法
其中：(D )
②
3
Rie
e j
j 1
e x
Nie x
N
e j
x
y
N
e i
y
N
e j
y
Nie
N
e j
dxdy
e
N
e i
fdxdy
e
N
e i
D
ned
③ Re [K e ]ebege 0 16
组合成方程组
M
M
组合： Re ([Ke ] ebege) 0
e1
e1
3 3
其中：[K e ]
on 1
Neumann边界条件： n p on 1
混合边界条件：
( x
d dx
x
y
d dy
y) n
q
on 2
11
空间离散
1
这是二维区域离散的示意图。
1
2
4
2
黑色数字表示节点的全局编
3
4
码，红色数字表示三角形单
3
6
5
元的全局编号。
组成每个三角形单元的节点在三角形内有一组局 部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有 一一对应关系。
i 1
其中， Nie (x, y) 为插值基函数
13
插值基函数
N
e i
x,
y
1 2e
aie bie x cie y
i 1, 2,3
其中：
a1e x2e y3e y2e x3e ; a2e x3e y1e y3e x1e ; a3e x1e2e y3e y1e; b3e y1e y2e;
复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。
n E 0
n ( E) 0
4
求解边值问题两种经典方
• 里兹(Ritz)变分方法
用变分表达式(也称为泛函)表示边值问题，泛函 的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方 程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得 到近似解。
• 伽辽金(Galerkin)方法
3
有限元边值问题
典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域 边界上的边界条件来定义：
LФ=f
其中L为微分算符，f为激励或者强加函数，Ф是未知量。
在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波 动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。
(
1
r
E)
k02 r E
jk0 Z 0 J
边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件，也有
c1e x3e x2e c2e x1e x3e c3e x2e x1e
e 1 2
b1ec2e b2ec1e
第e个单元的面积
14
二维插值基函数的性质
性质1： Nie
x
e j
,
y
e j
ij
1 0
i j i j
性质2：当观察点(x,y)位于第i个结点的对边上时：
Nie x, y 0
• 优点1：具有灵活的离散单元，可以精确地模拟各种复杂的几 何结构，求解包含各种复杂形状、复杂媒质的电磁场问题。
• 优点2：所形成的方程组的系数矩阵为稀疏对称阵，利于求解。
• 缺点1：比积分方程法多一维，增加了未知量的数目。
• 缺点1：对于开放问题必须使用边界吸收条件截断计算空间， 增加了一定的计算复杂度。
背景知识
• 有限元法是近似求解数理边值问题的一种数值技术；
• 1968年开始用于求解电磁场问题；
• 有限元法的本质是将微分方程的求解转化为代数方程的求解；
里兹有限元法、伽辽金有限元法
• 最大特点：以适当的形式将解域划分为有限个单元，在每个单 元中构造子域基函数，利用里兹变分法或伽辽金法构造代数形 式的有限元方程。
i1 j1
e x
N
e i
x
N
e j
x
结论： 一个单元边的 e值与其相对结点处的值无关，
而由该边两端点处的 值确定。从而保证了单
元两侧解的连续性
15
用伽辽金法建立公式
① Rie
e
Nie
x
x
x
y
y
y
f
dxdy
e
x
Nie x
x
y
Nie y
y
Nie
dxdy
e Nie fdxdy e Nie D ned
则取加权函数选为：
因此：
得到： viLvjd{c} vi fd i 1,2,3, , N
在算符L为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。
10
二维标量场有限元分析过程
二维边值问题
d dx
x
d dx
d dy
y
d dy
f
(x, y)
Dirichlet边界条件： p
其中：
（应用算符L的自伴性质）
求解该方程组可以得到 LФ=f 的近似解
8
伽辽金(Galerkin)方法
——使用残数加权法求解微分方程 假设 是 LФ=f 的近似解，则得到非零的残数为：
残数加权方法要求
wi是所选择的加权函数
9
伽辽金(Galerkin)方法
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所 用的函数相同，这样可得到最精确的解。 假设近似解为：
• 求解的目标就是单元内这些特定的点或线上的电 场值。一旦已知，则单元内任一点的电场值都可 以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。
n
E e Nieeie
i 1
2
区域离散的概念
为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的 剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形单元剖 分；对于三维问题，采用的是四面体单元：
选择插值基函数
使用线性三角形单元，在第e个单元内，e (x) 可以 近似为：
e (x, y) ae be x ce y
节点坐标带入：
1e ae be x1e ce y1e
e 2
ae
be x2e
ce y2e
e 3
ae
be x3e
ce y3e
解得：
3
e (x, y) Nie (x, y)ie
• 在电磁场计算中，矢量基函数已基本取代了标量基函数；
• 一般情况下，分为频域有限元法和时域有限元法。
1
有限元的基本思路
• 将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元 形式简单，数量有限；
• 根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数， 要求各基函数之间线性无关；
• 基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各 自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上， 定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于0；
残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数 求加权方法来得到方程的解。
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里兹(Ritz)变分方法
LФ=f 的解等于下式泛函对 的解 泛函：
vj是定义在全域上的展开函数 cj是待定的展开系数
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里兹(Ritz)变分方法
将试探函数代入泛函： 令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组
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里兹(Ritz)变分方法
其中：(D )
②
3
Rie
e j
j 1
e x
Nie x
N
e j
x
y
N
e i
y
N
e j
y
Nie
N
e j
dxdy
e
N
e i
fdxdy
e
N
e i
D
ned
③ Re [K e ]ebege 0 16
组合成方程组
M
M
组合： Re ([Ke ] ebege) 0
e1
e1
3 3
其中：[K e ]
on 1
Neumann边界条件： n p on 1
混合边界条件：
( x
d dx
x
y
d dy
y) n
q
on 2
11
空间离散
1
这是二维区域离散的示意图。
1
2
4
2
黑色数字表示节点的全局编
3
4
码，红色数字表示三角形单
3
6
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元的全局编号。
组成每个三角形单元的节点在三角形内有一组局 部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有 一一对应关系。
i 1
其中， Nie (x, y) 为插值基函数
13
插值基函数
N
e i
x,
y
1 2e
aie bie x cie y
i 1, 2,3
其中：
a1e x2e y3e y2e x3e ; a2e x3e y1e y3e x1e ; a3e x1e2e y3e y1e; b3e y1e y2e;
复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。
n E 0
n ( E) 0
4
求解边值问题两种经典方
• 里兹(Ritz)变分方法
用变分表达式(也称为泛函)表示边值问题，泛函 的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方 程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得 到近似解。
• 伽辽金(Galerkin)方法
3
有限元边值问题
典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域 边界上的边界条件来定义：
LФ=f
其中L为微分算符，f为激励或者强加函数，Ф是未知量。
在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波 动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。
(
1
r
E)
k02 r E
jk0 Z 0 J
边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼(Neumann)条件，也有
c1e x3e x2e c2e x1e x3e c3e x2e x1e
e 1 2
b1ec2e b2ec1e
第e个单元的面积
14
二维插值基函数的性质
性质1： Nie
x
e j
,
y
e j
ij
1 0
i j i j
性质2：当观察点(x,y)位于第i个结点的对边上时：
Nie x, y 0
• 优点1：具有灵活的离散单元，可以精确地模拟各种复杂的几 何结构，求解包含各种复杂形状、复杂媒质的电磁场问题。
• 优点2：所形成的方程组的系数矩阵为稀疏对称阵，利于求解。
• 缺点1：比积分方程法多一维，增加了未知量的数目。
• 缺点1：对于开放问题必须使用边界吸收条件截断计算空间， 增加了一定的计算复杂度。
背景知识
• 有限元法是近似求解数理边值问题的一种数值技术；
• 1968年开始用于求解电磁场问题；
• 有限元法的本质是将微分方程的求解转化为代数方程的求解；
里兹有限元法、伽辽金有限元法
• 最大特点：以适当的形式将解域划分为有限个单元，在每个单 元中构造子域基函数，利用里兹变分法或伽辽金法构造代数形 式的有限元方程。
i1 j1
e x
N
e i
x
N
e j
x
结论： 一个单元边的 e值与其相对结点处的值无关，
而由该边两端点处的 值确定。从而保证了单
元两侧解的连续性
15
用伽辽金法建立公式
① Rie
e
Nie
x
x
x
y
y
y
f
dxdy
e
x
Nie x
x
y
Nie y
y
Nie
dxdy
e Nie fdxdy e Nie D ned
则取加权函数选为：
因此：
得到： viLvjd{c} vi fd i 1,2,3, , N
在算符L为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。
10
二维标量场有限元分析过程
二维边值问题
d dx
x
d dx
d dy
y
d dy
f
(x, y)
Dirichlet边界条件： p
其中：
（应用算符L的自伴性质）
求解该方程组可以得到 LФ=f 的近似解
8
伽辽金(Galerkin)方法
——使用残数加权法求解微分方程 假设 是 LФ=f 的近似解，则得到非零的残数为：
残数加权方法要求
wi是所选择的加权函数
9
伽辽金(Galerkin)方法
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所 用的函数相同，这样可得到最精确的解。 假设近似解为：
• 求解的目标就是单元内这些特定的点或线上的电 场值。一旦已知，则单元内任一点的电场值都可 以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。
n
E e Nieeie
i 1
2
区域离散的概念
为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的 剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形单元剖 分；对于三维问题，采用的是四面体单元：