斜交桥梁锥坡的设计_pdf

斜交桥梁锥坡的设计
O
图一
筑
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2 斜交桥梁锥坡的设计 2.1 平面设计原理
Hale Waihona Puke ρ2图二我们取图一所示左侧锥坡 OAB 为研究对象,放大后如图二。过 A 点作 AC∥OB，过 B 点作 BC∥OA，AC、BC 的交点为 C，则 OACB 为一平行四边形。可以证明，中心为 O， 经过 A、B 点的椭圆，当 AC、BC 分别在 A、B 与其相切时，该椭圆有且只有一个。设此 椭圆的长、短轴为 a、b，建立如图所示坐标系，OA 与 x 轴的夹角为θ，则只要求出 a、b、 θ即可求出平面上此椭圆的方程及位置。此时 CA 的延长线为溜坡坡脚线，CB 的延长线
筑
坡度为 1:m,横桥向 CB 填土坡度为 1:n， ∠AOB = γ ，如 2.2 所述设 OA=ρ1=mh0，OB=
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m2 cos2 θ 0 − n 2 cos2 (γ − θ 0 ) m2 sin2 θ 0 − n 2 cos2 (γ − θ 0 )
WW
θ
W.
ZH
UL
ON
a 其中： t A = arctg ( tgθ A ) b π π ab π abπ 讨论：当 θ A = 时 t A = ， SOAB = ⋅ = 2 2 2 2 4 1 此即为 椭圆面积，所以整个椭圆的面积为：abπ 4 3.2 椭圆锥体体积的计算. 3.2.1 椭圆锥体体积公式的推导.
3
=
其中： t A = arctg ( 同理可得： VC − 0 BD = 其中 SOBD
a t B = arctg 0 tg (γ − θ 0 ) b0
CB 的倾角分别为 aA、αB，OA’=ρ1’ OB’=ρ2’， ∠A' OB' = γ = ∠AOB ，OC’=h1 其它条件 同 3.2.1 条.
CO
M
为路基坡脚线。 2.2 平面设计参数的推导 根据 2.1 所述,假设 OA=ρ1,OB=ρ2, ∠AOB = γ 为已知,同时假设 OA 位于第一象限而 γ 为锐角,椭圆长短轴分别为 a、b，OA 与 x 轴的夹角 ∠AOD = θ ，我们来进行椭圆参数 a、b 及θ的推导。 由已知参数可知，A 点坐标为： x A = ρ1 cosθ 、 y A = ρ1 sin θ B 点坐标为： xB = ρ 2 cos(γ − θ ) 、 yB = − ρ 2 sin(γ − θ ) 因为 A、B 为椭圆上两点，将 A、B 点坐标分别代入椭圆方程 x2 y 2 + = 1 可得： a 2 b2
所以: a = ρ1 cos 2 θ + λ sin 2 θ ………………..(7)
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WW
γ
W.
即θ角为γ角的一半，OC 与 x 轴重合 2，当γ为钝角时如图三，可先将γ转换成与其相对应的补角，其它参数不变，再代 入（5） 、 （6） 、 （7）式即可得出所需要的参数 a、b、θ。
2.3 平面的精确定位 2.3.1 主点坐标的计算 仍以图二为例可知： A 点的坐标： x A = ρ1 cosθ A 、 y A = ρ1 sin θ A B 点的坐标： xB = ρ1 cos(γ − θ ) 、 yB = − ρ1 sin(γ − θ ) D 点的坐标： xD = a 、 yD = 0 E 点的坐标： xE = 0 、 yE = b
G.
CO
2 2
2
2
2
2
M
（1）—（2）式得：
ρ1 cos 2 θ − ρ 2 cos 2 (γ − θ )
a2
2
ρ 1 sin 2 θ − ρ 2 sin 2 (γ − θ )
b2
2
=0
⇒
ρ 1 cos 2 θ − ρ 2 cos 2 (γ − θ ) a2 = − .......... .....( 4 ) 2 2 b2 ρ 1 sin 2 θ − ρ 2 sin 2 (γ − θ ) ρ 1 cos 2 θ − ρ 2 cos 2 (γ − θ ) ρ 1 sin 2 θ − ρ 2 sin 2 (γ − θ )
M
d ρ1'= ρ1 − sin α A 则 d ρ 2 '= ρ 2 − sin α B 其中αA、αB 可由式 tgα A = 1 1 , tgα B = 求得。 m n 将ρ1’ρ2’及γ分别代入（5） 、 （6） 、 （7）式得：
θ1 =
1 ρ '2 sin 2γ arctg 2 2 2 2 ρ1 ' + ρ 2 ' cos 2γ
G.
CO
M
由式（7）得： b = mh 所以： VC −OAD = ∫ =
cos 2 θ 0 + λ0 sin 2 θ 0 λ0
h0 abt A t m 2 h0 cos 2 θ 0 + λ 0 sin 2 θ 0 2 dh = A h dh 0 2 2 ∫0 λ0
t A m 2 (cos 2 θ 0 + λ 0 sin 2 θ 0 ) 1 3 h0 ⋅ h 0 3 2 λ0 t A m 2 (cos 2 θ 0 + λ 0 sin 2 θ 0 ) 6 λ0 ⋅ h0
γ
图五
如图五，C-OAB 为椭圆锥体，C 为锥顶，OC=h0 为椭圆锥体高度，设顺桥向 CA 填土
ρ2=nh0，椭圆 OAB 其它参数为：a0、b0、θ0、λ0、tA、tB，意义同前。
1 n2 sin2γ 由式（5）得： θ0 = arctg 2 2 2 m + n cos2γ
由式（4）得： λ0 = −
γ
WW
ρ
o
W.
1
ZH
θ
UL
ON
γ
G.
1 引言 正、斜交桥（涵）台锥坡一般在平面上的投影呈 1/4 椭圆或椭圆的一部份，设计中往 往被人们所忽略，图纸上只给出简单的几何尺寸，工程量的计算也与实际有很大出入，造 成设计不清、施工混乱。公路施工手册《桥涵》上册关于正、斜交桥台锥坡的放样给出了 实际施工中放样的几种方法，正交时有：支距法、纵横等分图解法、双点双距图解法、坐 标值量距法，而斜交锥坡有：坐标值量距法、经纬仪设角法等，但对椭圆参数的推导阐述 也比较模糊。本文根据焦晋高速公路实际施工中的桥梁锥坡的特点，用高等数学的方法推 导出任意角度下桥台锥坡椭圆的基本参数及工程量精确计算的公式。 如图一所示为一斜桥锥坡平面图，桥台为埋置式肋台，桥梁斜交角度为γ。锥坡顺桥 向坡度为 1:m 横桥向坡度为 1:n。我们以锥坡中心 O 为椭圆中心作过 A、B 两点的椭圆， 在 A 点该椭圆与横向相切，在 B 点该椭圆与顺桥向即路线方向相切，OAB 为椭圆的一部 分，这样所做的椭圆与桥梁在纵横向达到协调一致。
Xi、Yi------椭圆上任意一点 i 的大地坐标
如图四，椭圆的长短轴仍分别为 a、b，OAB 为椭圆的一部分， ∠AOB = θ A
x = a cos t 由椭圆参数方程 y = b sin t y b sin t b a = = tgt ⇒ t = arctg ( tgθ ) x a cos t a b 这里 x,y 为椭圆上任意一点直角坐标,θ为该点与 O 点的连线与 x 轴的夹角,t 为该点的 椭圆离心角。 a 当 x = x A = a cos t A 时θ=θA t = t A = arctg ( tgθ A ) b 知： tgθ = 当 x = xB = a 时，θ=θB=0, 由式(10)可知: t=tB=0
2 2
将（4）式代入（3）式得： ctg θ = − tg (γ − θ ) ⋅ 将上式整理后可得：
1 ρ sin 2γ θ = arctg ( 2 2 2 )......... .......( 5) 2 ρ1 + ρ 2 cos 2γ 令： a2 =λ， b2
2
则： a 2 = λb 2 代入（1）式整理后得： b = ρ1 cos 2 θ + λ sin 2 θ ……………..(6) λ
图六
γ θ
WW
W.
1 SOBD h0 3 abt = 0 0 B …………………….(13) 2
ZH
UL
a0 tgθ 0 ) b0
ON
G.
所以： VC −OAD =
1 S OAD h0 …………….(12) 3
CO
因为： SOAD =
2 2 a0b0t A 2 cos θ 0 + λ0 sin θ 0 = t Am 2 h0 ⋅ 2 2 λ0
2
即： ctgθ =
2
WW
W.
xA b2 ρ1 cosθ b 2 b2 ⋅ = − 2 ctgθ kA = − ⋅ 2 = − yA a ρ1 sin θ a 2 a
ZH
UL
+
2
对：
x2 y 2 dy x b2 + = 1 求导得： = − ⋅ a 2 b2 dx y a2
ON
2
ρ1 cos2 θ ρ1 sin2 θ xA yA + = ⇒ + = 1...........................( 1 1) a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 ρ2 cos2 (γ − θ ) ρ2 sin2 (γ − θ ) xB yB + = ⇒ + = 1...........(2) 1 a2 b2 a2 b2
0 0 ab sin 2t A ab sin 2t A ab 0 ab sin 2t A ab 0 ab (1 − cos 2t )dt = − ab ∫ sin 2 tdt = − − t + sin 2t ∫ tA tA 4 2 tA 4 4 4 2 tA ab sin 2t A abt A ab abt A + − sin 2t A = 4 2 4 2 即： SOAB = abt A ………………(11) 2
筑
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1 1 (12)+(13)得： VC − OAB = VC − OAD + VC − OBD = ( SOAD + SOBD )h0 = SOAB h0 ………(14) 3 3 3.2.2 桥梁锥坡土体及砌体体积的计算 如图六， 假设砌体厚度为 d， 土体锥坡 C’-OA’B’所在椭圆的长短轴分别为 a1、 b1 ， CA、
筑
ZH
UL
图三
θ =
1 1 sin 2γ 1 ) = arctg (tg γ ) = γ arctg ( 2 1 + cos 2γ 2 2
ON
讨论：1，当ρ1=ρ2 时，由（5）式可得：
G.
λ=−
ρ1 cos 2 θ − ρ 2 cos 2 (γ − θ ) …………..(8) 2 2 ρ1 sin 2 θ − ρ 2 sin 2 (γ − θ )
由式（6） 、 （7） 、 （11）得： t A = arctg (tgθ 0 λ 0 ) 在椭圆锥体 C-OAD 中，对于任意高度 h 处有：θ=θ0、λ=λ0、t=tA 均与高度无关为 定值，而 a、b 均为 h 的函数 由式（6）得： a = mh cos 2 θ 0 + λ0 sin 2 θ 0
此即为椭圆上任一点切线的斜率，对于 A 点其斜率为：
又因为 AC 在 A 点与椭圆相切，AC∥OB 故： k A = k AC = kOB
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b2 所以 ： − 2 ctgθ = tg (π − γ + θ ) = −tg (γ − θ ) a a2 tg (γ − θ ) …………….(3) b2
2
2
CO
至此椭圆参数可由(5)、 （6） 、 （7）式求得，其中：
M
其余各点可根据椭圆方程
x2 y 2 + = 1 逐一确定各点坐标（ xi ， yi ） a 2 b2
2.3.2 大地坐标参数的确定 根据路线大地坐标系及路线参数可计算出椭圆中心大地坐标（Xo,Yo）及相对坐标 系 x 轴即 OD 方向的方位角αOD 2.3.3 相对坐标转换为大地坐标 根据 2.3.1 所述计算的任意点坐标(xi,yi)可根据下式转换为大地坐标 X i X o cosα OD Y = Y + i o sin α OD sin α OD xi ⋅ ………(9) − cosα OD yi
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则： SOAB = S∆AOC + S ACB …………..(10)
WW
图四
W.
ZH
UL
θ
ON
G.
3 工程量的计算 3.1 部分椭圆的面积计算
CO
M
上式可计算 x 轴以上各点大地坐标。若点位于 x 轴以下,则以 yi = − yi 代入。
SOAB = = =
a 0 a cos t A ⋅ b sin t A ab cos t A sin t A +∫ ydx = + ∫ b sin td (a cos t ) a cos t A tA 2 2