初二数学中的一次函数找规律
八年级数学一次函数知识点总结
千里之行，始于足下。
八年级数学一次函数知识点总结
一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b为常数。
一次函数的特点是：
1. 直线的图像：一次函数的图像是一条直线，因为它的函数关系是线性的。
2. 斜率和截距：a表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
3. 变量：x表示自变量，y表示因变量，即函数的值。
一次函数的关系：
1. y = ax + b表示函数关系，其中a表示斜率。
斜率是指函数图像上任
意两点之间的垂直距离与水平距离的比值。
2. 直线的方程：直线的方程可以由两点确定，也可以由斜率和一个已知点来确定。
常用的直线方程有点斜式（y - y1 = m(x - x1)）、斜截式（y = mx + b）和一般式（Ax + By + C = 0）。
3. 平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等，垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
一次函数的应用：
1. 实际问题：一次函数可以用于描述线性关系的实际问题，如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。
2. 线性方程组：一次函数可以用于解决线性方程组的问题，通过求解方程组的交点可以得到函数的解。
总结：
一次函数是数学中最简单的函数之一，它以直线的形式描述了变量之间的
线性关系。
理解一次函数的概念和特点，掌握直线方程的表示和应用，能够解
决实际问题和线性方程组等数学应用。
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一次函数规律谈 初二董义刚
认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系特级教师董义刚一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线,正比例函数y=kx（k≠0）的图像也是一条直线。
所以，正比例函数除了是特殊的一次函数外，它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系。
其关系具体表现如下：1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像平移得到。
平移的规律：①当b＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，得到；上下平移的位置在常数项；②当b＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移|b|个单位，得到；上下平移的位置在常数项；③当n＞0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图像向右平移n个单位，得到一次函数y=k（x-n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx-kn+b。
左右平移的位置在底数x 中；④当n＞0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图像向左平移n个单位，得到一次函数y=k（x+n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx+kn+b。
左右平移的位置在底数x 中；例1、将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是：。
A、y＝2x＋2B、y＝2x－2C、y＝2(x－2)D、y＝2(x＋2)解析：根据上面的平移规律第三条，得到的解析式为：y＝2(x－2)，所以，我们应选择C。
2、一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像平行一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像平行的条件：k1= k2，与常数项b没有关系。
例2、已知，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，并且经过点A（3，2），求函数的解析式。
分析：因为一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以，一次函数中的k=2，只须把点A的坐标代如解析式，求出b 的值就得到完整的函数解析式了。
一次函数对称规律
一次函数对称规律
本文将介绍一次函数的对称规律。
一次函数可以表示为y=ax+b 的形式，其中 a 和 b 是常数，x 和 y 分别表示自变量和因变量。
对于一次函数，存在以下两种对称规律：
1. x 轴对称
当 a=0 时，一次函数为 y=b。
此时，函数图像是一条水平直线，与 x 轴平行。
对于该函数，它在 x 轴上具有对称性，即当 y=b 时，函数图像在 x 轴上对称。
2. 直线 y=x 对称
对于任意一次函数 y=ax+b，当交换 x 和 y 的位置，并将新的函数表示为 x=ay+b，其函数图像为原函数图像关于直线 y=x 对称的图像。
这是因为将 x 和 y 交换后，原来在 x 轴上的点会被映射到直线 y=x 上，而原来在直线 y=x 上的点也会被映射到 x 轴上，从而实现对称。
以上就是一次函数的对称规律，可以通过对称性来简化一些计算或者求解问题。
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一次函数的一些规律总结 2018.4.13 张琼
一次函数的一些规律总结
理解基础：二维点坐标是有序实数对，可以表示固定的变量x和y之间的关系，又因为自变量x的取值范围和x轴上的点可以一一对应，所以可以用坐标系中无数个点构成的线来表示函数的变量关系，所以点在直线上就满足直线关系式，满足直线关系式的点，就在直线上。
1.Y=kx+b(k≠0，b任意，其中b=0是正比例函数)，图像是一条直线
2.确定一次函数图像，需要两个点
3.与x轴交点（-b/k，0）
与y轴交点（0，b）
确定正比例函数，用（0，0）点，和任意一点即可
4.K相同，直线平行，k1*k2=-1，两直线垂直
5.K>0，x增大，y随之增大，图像是“撇”形状
K<0，x增大，y随之减小，图像是“捺”形状
b是一次函数y=kx+b与y轴交点纵坐标
通过这些性质即可判定直线的大体走向，从而判定直线经过哪些象限
简单记忆：大撇小捺b为纵
6.k绝对值越大，图像越抖
7.如果点（x，y）在直线y=kx+b上，坐标（x，y）满足一次函数的Y=kx+b关系
反之，如果点（x，y）坐标满足y=kx+b，则点在一次函数y=kx+b图像上
简言之：1.点在直线上，直线过点：直接把点坐标带入直线方程。
2.两直线交点的意义：这个点同时在这两条直线上，把点带入两个方程，同时满
足。
3.待定系数法确定解析式就是这个原理
4.养成固定思维反应，点在线上，俩字：代入
8.直线的平移
Y=kx+b
左加右减，上加下减
解释：向左移a个点位：y=k（x+a）+b
向右移a个单位：y=k（x-a）+b
向上移a个单位：y=（kx+b)+a
向下移a个单位：y=（kx+b)-a。
初二数学一次函数知识点总结
初二数学一次函数知识点总结一次函数是指形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数，a被称为一次函数的斜率，b被称为一次函数的截距。
一次函数的图像是一条直线，具有如下特点：1. 斜率：斜率a表示了直线的倾斜程度。
当a>0时，直线向右上方倾斜；当a<0时，直线向右下方倾斜；当a=0时，直线是水平的。
2. 截距：截距b表示了直线与y轴的交点，也就是直线在y 轴上的纵坐标。
3. 解析式：一次函数的解析式可以用来计算给定x值对应的y值，也可以用来计算给定y值对应的x值。
4. 增减性：当a>0时，一次函数是递增函数，即随着x的增大，y的值也增大；当a<0时，一次函数是递减函数，即随着x的增大，y的值减小。
5. 零点：一次函数的零点是指使得f(x) = ax + b等于零的x值，即当f(x) = 0时，x的值称为一次函数的零点。
6. 平行线：两个一次函数的斜率相等时，它们的图像是平行的。
7. 垂直线：当a = 0时，直线是水平的，它与x轴垂直。
8. 点斜式：一次函数的点斜式是指通过给定点(x1, y1)且斜率为a的直线的解析式，可以表示为y - y1 = a(x - x1)。
9. 截距式：一次函数的截距式是指通过给定点(x1, y1)且直线与y轴的交点为b的直线的解析式，可以表示为y = ax + b。
10. 一次函数的表示形式：一次函数可以通过解析式，点斜式或截距式来表示，它们之间可以相互转化。
11. 应用：一次函数在实际生活中具有广泛的应用，例如用来描述线性关系、计算直线的斜率和截距、求解实际问题等等。
以上是一次函数的主要知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
如需更详细的解释或其他数学知识点的总结，请告诉我。
苏科版八年级数学上册 第六章一次函数 找规律问题训练
八上第六章一次函数找规律问题训练一、选择题A1A2A3…B1B2B3…y=x1.如图,在平面直角坐标系中,点,,,都在x轴上,点,,,在直线上,△OA1B1△B1A1A2△B2B1A2△B2A2A3△B3B2A3…,,,,,,都是等腰直角三角形,如果OA1=1B2018,则点的坐标是( )(22 018,22 018)(22 017,22 017)(22 016,22 016)(22 015,22 015)A. B. C. D.A1B1C1O A2B2C2C1A3B3C3C2….A1A2A3…C1C2 2.正方形,,,按如图的方式放置点,,,和点,,C3…y=x+1A6,分别在直线和x轴上,则点的坐标是( )(31,32)(32,33)(64,32)(63,64)A. B. C. D.l1⊥x(1,0)l2⊥x(2,0)l3⊥x(3,0)……3.如图,直线轴于点,直线轴于点,直线轴于点,直线l n⊥x(n,0).y=x l1l2l3…l n A1A2轴于点函数的图象与直线、、、、分别交于点、、A3…A n y=2x l1l2l3…l n B1B2B3、、；函数的图象与直线、、、、分别交于点、、、…B n.△OA1B1S1A1A2B2B1S2、如果的面积记作,四边形的面积记作,四边形A2A3B3B2S3…A n−1A n B n B n−1S n S2018=的面积记作,,四边形的面积记作,那么( )2017.52018.5A. B. 2018 C. D. 20194.如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点y=x(8,4)落在函数的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为,阴S1S2S3…S n S12()影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、,则的值为243244245246A. B. C. D.5.如图,在平面直角坐标系中,,,,都是等腰直角三角形其11OA P ∆212A A P ∆323A A P∆….直角顶点,,,均在直线上,,,的P 1(3,3)P 2P 3…y =−13x +4.11OA P ∆212A A P ∆323A A P∆…面积分别为,,,,根据图形所反映的规律, S 1S 2S 3…S 2019=()A.B. C. D. 9×(14)20189×(14)20199×(12)20189×(12)20196.如图,在x 轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,分5.别过这些点作x 轴的垂线与三条直线,,y =ax y =(a +1)x 相交,其中则图中阴影部分的面积是(y =(a +2)x a >0. )A. 12.5B. 25C. 12.5aD. 25a二、填空题7.正方形,,按如图所示放置,点、、在直线A 1B 1C 1O A 2B 2C 2C 1A 3B 3C 3C 2…A 1A 2A 3…上,点、、在x 轴上,则的坐标是______．y =x +1C 1C 2C 3…A n8.在平面直角坐标系中,直线l ：与x 轴交于点,如图所示依次作正方形y =x−1A 1、正方形、、正方形,使得点、、、在直A 1B 1C 1O A 2B 2C 2C 1…A n B n C n C n−1A 1A 2A 3…线l 上,点、、、在y 轴正半轴上,则点的坐标是______．C 1C 2C 3…B n 9.赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴,大正方形的顶点、、、、、在直线上,顶点、B 1C 1C 2C 3…C n y =−12x +72D 1、、、在x 轴上,则第n 个阴影小正方形的面积为______．D 2D 3…D n10.如图,有一条折线,它是由过,,组成的折A 1B 1A 2B 2A 3B 3A 4B 4…A 1(0,0)B 1(2,2)A 2(4,0)线依次平移4,8,12,个单位得到的,直线与此折线恰有,且为整…y =kx +22n(n ≥1数个交点,则k 的值为______．)11.如图：在平面直角坐标系中,直线l ：与x 轴交于点,如图所示依次作正方y =x−1A 1形、正方形、、正方形,使得点、、、在A 1B 1C 1O A 2B 2C 2C 1…A n B n C n C n−1A 1A 2A 3…直线l 上,点、、、在y 轴正半轴上,则C 1C 2C 3…点的坐标是______．B 2018A1B1C1O A2B2C2C1A3B3C3C2A1A2A3…C1 12.将正方形,,按如图所示方式放置,点,,,和点,C2C3…y=x+1B2019,,分别在直线和x轴上,则点的横坐标是______．13.如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点y=x(8,4)落在函数的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为,阴S1S2S3…S n S n.(影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、,则的值为______用含n的代数式表示,n为正整数)△OAB1△B1A1B2△B2A2B3…14.如图所示放置的,,,都是边长为a的等边三角形,点AB1B2B3…A2016在x轴上,点O,,,,都在同一条直线上,则点的坐标是_____________．。
一次函数关于某直线对称的规律
一次函数关于某直线对称的规律一次函数是指具有形式为y = ax + b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
当我们探讨一次函数关于某直线对称的规律时，我们需要考虑直线的方程和函数的性质。
假设我们有一条直线，其方程为y = mx + c，其中m和c为常数。
现在，我们来研究一次函数y = ax + b关于这条直线的对称规律。
首先，我们可以将一次函数写成一般形式y = ax + b = (a/m)x + (b - (a/m)c)，这里我们假设m不等于0。
现在，我们来探究这一函数关于直线y = mx + c的对称规律。
根据对称性质，如果一点P(x, y)位于直线y = mx + c上方，那么它的对称点P'必然位于直线y = mx + c的下方，并且P和P'的中点一定位于直线y = mx + c上。
我们以直线y = mx + c的中点为原点，建立直角坐标系。
对于直线上面的任意一点P(x, y)，其对称点P'的坐标为P'(-x, -y)。
根据对称性质，我们可以得出关于一次函数关于直线y = mx + c对称的规律如下：1. 如果函数的斜率a等于直线的斜率m，那么函数关于直线对称。
也就是说，如果a = m，则对于任意点P(x, y)，该点与其对称点P'(-x, -y)关于直线y = mx + c对称。
2. 如果函数的斜率a的倒数等于直线的斜率m的倒数，那么函数关于直线对称。
也就是说，如果a/m = -1，则对于任意点P(x, y)，该点与其对称点P'(-x, -y)关于直线y = mx + c对称。
需要注意的是，上述规律只适用于斜率不为零的情况。
当直线的斜率m为零时，直线是水平的，不会对函数产生对称性。
综上所述，我们得出了一次函数关于某直线对称的规律。
这一规律可以帮助我们理解和分析一次函数的性质，以及函数和直线的关系。
八年级数学《一次函数》知识点归纳与例题
八年级数学《一次函数》知识点归纳与例题一、知识点总结1、一次函数与正比例函数的定义：例如：y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的一次函数，特别地当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图象与性质（形状、位置、特殊点、增减性）①、形状：一次函数的图象是一条 ；画法：确定两个点就可以画一次函数图象。
②、位置：直线的位置是由k 、b 当k 0时，图象经过一、三象限； 当k 0时，图象经过二、四象限。
当b 0时，图象与y 轴相交于正半轴； 当b 0时，图象与y 轴相交于负半轴； 当b 0时，图象经过坐标原点。
x 轴和y 轴交点分别是④、性质：一次函数)0(≠+=k b kx y ，当k 0y 的值随x 值的增大而增大；当k 0y 的值随x 值的增大而减小。
3、待定系数法求函数解析式在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩⎨⎧b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b ，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做__________．4、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 ①、y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标． ②、y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围． ③、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点． 【知识拓展】1、两条直线的位置关系设直线 1和 ２的解析式为y ＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2则它们的位置关系由系数关系确定：① k 1≠k 2⇔ 1与 ２相交；② k 1＝k 2，b 1≠b 2⇔ 1与 ２平行；＋b一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象 如图，判断k 、b 符号。
专题13 一次函数中的找规律问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题13 一次函数中的找规律问题训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、选择题1．在平面直角坐标系中，点()11,1A -在直线y x b =+上，过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B ，作等腰直角三角形112A B B (2B 与原点O 重合)，再以12A B 为腰作等腰直角三角形212A A B ，以22A B 为腰作等腰直角三角形223A B B ，…按照这样的规律进行下去，那么2020A 的坐标为( )A ．()2019201921,2- B ．()2019201922,2- C ．()2020202021,2- D ．()2020202022,2- 【答案】B 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A 2（0，2），A 3（2，4），A 4（6，8），根据坐标的变化即可找出变化规律A n （2n -1-2，2n -1）．即可得出点A 2020的坐标． 【详解】解：∵点B 1、B 2、B 3、…、B n 在x 轴上，且A 1B 1=B 1B 2，A 2B 2=B 2B 3，A 3B 3=B 3B 4， ∵A 1（-1，1），∵A 2（0，2），A 3（2，4），A 4（6，8）， ，…，∵A n （2n -1-2，2n -1）．∵A 2020的坐标为（22019-2，22019）． 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出A n 坐标的变化规律，注意掌握解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】 解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+，设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又∵11OA B ，∵122B A B ，∵233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形， 2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．3．正方形1112A B C A ，2223A B C A ，3334A B C A ，…，按如图所示的方式放置，点123A A A ，…和点123B B B ，…分别在直线1y x =+和x 轴上．则点2020C 的纵坐标是（ ）A ．20202B ．20192C ．202021-D ．201921-【答案】B 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质确定点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5进而确定C 1，C 2，C 3，C 4，C 5的坐标并总结出点C n 的纵坐标的规律为2n -1（n 为正整数），将n=2030代入即可解答． 【详解】解：由题意可知，A 1纵坐标为1，A 2的纵坐标为2，A 3的纵坐标为4，A 4的纵坐标为8， A 1和C 1，A 2和C 2，A 3和C 3，A 4和C 4的纵坐标相同，∵C 1，C 2，C 3，C 4，,C 5,…C n 的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n -1 ∵2020C 的纵坐标为22020-1=22019． 故答案为B ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及找规律，找出C n 点纵坐标的规律为2n -1（n 为正整数）是解答本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……都是等腰Rt△，直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3……，均在直线y ＝﹣13x+4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……的面积分别为S 1，S 2，S 3……则S 2019的值为（ ）A ．201894 B ．201994 C ．401894 D ．401994【答案】A 【分析】分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D 、E ，∵P 1（3，3），且∵P 1OA 1是等腰直角三角形， ∵OC ＝CA 1＝P 1C ＝3， 设A 1D ＝a ，则P 2D ＝a ， ∵OD ＝6+a ，∵点P 2坐标为（6+a ，a ）， 将点P 2坐标代入y ＝﹣13x+4，得：﹣13（6+a ）+4＝a ， 解得：a ＝32，∵A 1A 2＝2a ＝3，P 2D ＝32， 同理求得P 3E ＝34、A 2A 3＝32，∵S 1＝12×6×3＝9、S 2＝12×3×32＝94、S 3＝12×32×34＝294、…… ∵S 2019＝201894．故选：A ． 【点睛】本题考查了几何类的规律题，掌握等腰直角三角形的性质、三角形面积的规律是解题的关键． 5． 已知：直线y=1n n +x+11n +（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2019（ ） A ．20182019B ．20192020C ．20182038D ．20194040【答案】D 【分析】依次求出S 1、S 2、S 3，就发现规律：S n =12×()11n n +，然后求其和即可求得答案．注意()11111n n n n =-++．【详解】解：∵当n=1时，直线为y=12x+12， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，12），（-1，0），∵S 1=12×1×12=14；当n=2时，直线为y=23x+13， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，13），（-12，0），∵S 2=12×12×13=12×()1221⨯+；当n=3时，直线为y=34x+14， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，14），（-13，0）， ∵S 3=12×13×14=12×()1331⨯+；…， S n =12×()11n n +， ∵S 1+S 2+S 3+…+S 2019=12×（1-12+1231-+1341-+…+12019-12020）=12⨯（1-12020）=20194040故选：D ． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键． 6．如图，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1、12，过点A 1（1，－12）作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，……，依次进行下去，则A 2019的横坐标为（ ）A ．－21007B ．21008C ．－21008D ．－21009【答案】D 【分析】可根据点A 1坐标结合两条直线的解析式求出点23456,,,,A A A A A 这几个点的坐标，找出其横坐标的变化规律，再确定A 2019的横坐标 【详解】解：2A 点的横坐标与1A 的横坐标相同均为1，将21A x =代入y ＝x 得21A y =，可得31A y =，代入y ＝－12x 得32A x =-，依次类推可得23456(1,1),(2,1),(2,2),(4,2),(4,4)A A A A A ----， 观察可知其规律为01122123456(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,4)A A A A A A ----，且一四象限点的横坐标相同，二三象限点的横坐标相同.所以先确定点2019A 的所在象限.20194504......3÷=∴点2019A 在第三象限与点2020A 的横坐标相同202021010÷=∴点2020A 的横坐标为10101100922--=-所以点2019A 的横坐标为10092- 故选：D 【点睛】本题是平面直角坐标系中点坐标规律的探究题，找准点的变化规律是解题的关键.二、填空题7．如图，点()12,2A 在直线y x =上，过点作11//A B y 轴交直线12y x =于点1B ，以点1A 为直角顶点，11A B 为直角边在11A B 的右侧作等腰直角111A B C △，再过1C 点作过点22//A B y 轴交直线y x =和直线12y x =于2A ，2B 两点，以点2A 为直角顶点，22A B 为直角边在22A B 的右侧作等腰直角222A B C △，…，按此规律进行下去，则等腰直角n n n A B C 的边长n n B C 为_____．（用含正整数n 的代数式表示）【答案】132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成32倍扩大． 【详解】 解：点1(2,2)A 在直线y x =上， ∴点1B 横坐标为2，将2x =代入12y x =得1y =， ∴点1B 坐标为(2,1)．∵111A B C 为等腰直角三角形，1111211A B AC ∴==-=，∴点1C 坐标为(3,2)．11B C过1C 点作22//A B y 轴，2A ∴，2B 的横坐标为3，将3x =分别代入y x =与12y x =中得2A ，2B 的纵坐标分别为3，32， 即2(3,3)A ，23(3,)2B ，2233322A B =-=，2222B C B ∴==．点2C 坐标为9(,3)2．同理可得333()2B C =443()2B C =3()2n n n B C -∴=故答案为：3()2n - 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征及等腰直角三角形的性质，解题关键是通过计算找出点及边长变化规律．8．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,,n A A A A 在x 轴上，点123,,,,n B B B B 在直线3y x =上．若1(1,0)A ，且1122231,,,n n n A B A A B A A B A +都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为123,,,,n S S S S ，则2021S 可表示为____．【答案】2【分析】由等边三角形性质可知，A 1B 1∵A 2B 2…∵A n B n ，因为直线y =与x 轴的夹角∵B 1OA 1＝30°，∵OA 1B 1＝120°，可得出OA 1＝A 1B 1，A 1B 1＝1，∵OB 2A 2＝30°，…，∵OB n A n ＝30°，B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1，因为∵OB 1A 2＝90°，根据勾股定理可知B 1B 2=则S 1112=⨯=【详解】解：由等边三角形可知： A 1B 1∵A 2B 2∵…∵A n B n ， B 1A 2∵B 2A 3∵…∵B n A n +1，∵直线y =与x 轴的夹角∵B 1OA 1＝30°，∵OA 1B 1＝120°， ∵∵OB 1A 1＝30°， ∵OA 1＝A 1B 1， ∵A 1（1，0）， ∵A 1B 1＝1，同理∵OB 2A 2＝30°，…，∵OB n A n ＝30°， ∵B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1， 可知∵OB 1A 2＝90°，…，∵OB n A n +1＝90°，∵B 1B 2=B 2B 3＝…，B n B n +1＝2n ﹣∵S 1112=⨯S 2122=⨯⨯=，…，S n ＝22n ﹣∵当n =2021时，0202142S =故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一次函数函数图像点的坐标特征，合理利用函数图像上点的坐标规律是解决本题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，函数3y x =和yx =-的图象分别为直线1l ，2l ，过点(1,0)作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，…，依次进行下去，则点6A 的坐标为________；点2022A 的坐标为________．【答案】(27,27)-， ()101110113,3- 【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可找出点A 2022的坐标．【详解】解：当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∵点A 1的坐标为（1，3）；当y ＝﹣x ＝3时，x ＝﹣3，∵点A 2的坐标为（﹣3，3）；同理可得：A 3（﹣3，﹣9），A 4（9，﹣9），A 5（9，27），A 6（﹣27，27），A 7（﹣27，﹣81），…， ∵A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）．∵2022＝505×4+2，∵点A 2022的坐标为()101110113,3-， 故答案为：（﹣27，27），()101110113,3-． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）”是解题的关键．10．如图，直线y ＝x +4与y 轴交于A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3…在直线y ＝x +4上，点C 1，C 2，C 3，…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3…，S n ，则S n 的值为______（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】22n +1【分析】根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA 1，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．【详解】∵直线y ＝x +4的k ＝1，∵直线与x 轴的夹角为45°，∵直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x ＝0时，y ＝4，所以，OA 1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n 个正方形的边长为2n +1，∵S 1＝12×4×4＝422， S 2＝12×8×8＝622， S 3＝12×16×16＝822， …，S n ＝12×2n +1×2n +1＝2222n +＝22n +1． 故答案为22n +1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．11．如图，在平面直角坐标系中，点123n A A A A ⋯，，，，在 x 轴上，123n B B B B ⋯，，，，在直线 y x =上，若1(2,0)A ，且 1122231,,,n n n A B A A B A A B A +⋯都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 123,,,,n S S S S ⋯．则 n S 可表示为 _________ ．【答案】22n -【分析】直线y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=︒，可得2230OB A ∠=︒，⋯，30n n OB A ∠=︒，1290OB A ∠=︒，⋯，190n n OB A +∠=︒；根据等腰三角形的性质可知111A B =，2222B A OA ==，334B A =，⋯，12n n n B A -=；根据勾股定理可得12B B =23B B =⋯，1123n n n B B ，再由面积公式即可求解．【详解】解：∵112A B A 、∵223A B A ∵1n n n A B A +都是等边三角形，112233////////n n A B A B A B A B ，1223341////////n n B A B A B A B A ，直线3y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=︒，11120OA B ∠=︒， 1130OB A ∴∠=︒，111OA A B ，∵1(2,0)A ，112A B ，同理2230OB A ∠=︒，⋯，30n n OB A ∠=︒，2224B A OA ，338B A ，⋯，2n n n B A ，易得1290OB A ∠=︒，⋯，190n n OB A +∠=︒，1223B B ，2343B B ，⋯，12n n B B += 11223232S ，21443832S ，⋯，211223232n n n n S ；故答案是：22n -【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．12．正方形111A B C O ，2221A B C C ，2333A B C C 2333A B C C …按如图的方式放置，1A ，2A ，3A …和点1C ，2C ，3C …分别在直线2y x =+和x 轴上，则点3C 的横坐标是_________【答案】14【分析】先利用直线的解析式可求出点1A 的坐标，从而可得1OC 的长，再利用直线的解析式分别求出23,A A 的坐标，然后利用正方形的性质即可得．【详解】对于直线2y x =+，当0x =时，2y =，即1(0,2)A ，12OA ∴=，四边形111A B C O ，2221A B C C ，2333A B C C 都是正方形，11121223232,,OC OA C C C A C C C A ∴====，∴点2A 的横坐标为2，将2x =代入直线解析式得：224y =+=，即2(2,4)A ，12124C C C A ∴==，2112246OC OC C C ∴=+=+=，∴点3A 的横坐标为6，将6x =代入直线解析式得：628y =+=，即3(6,8)A ，23238C C C A ∴==，32236814OC OC C C ∴=+=+=，则点3C 的横坐标为14，故答案为：14．【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数图象上的点坐标等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．13．如图，已知直线a ：y=x ，直线b ：y=-12x 和点P(1，0)，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点P 1，过点P 1作x 轴的平行线交直线b 于点p 2，过点p 2作y 轴的平行线交直线a 于点p 3，过点p 3作x 轴的平行线交直线b 于点p 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的横坐标为_____________．【答案】10102【分析】点(1,0)P ，1P 在直线y x =上，得到1(1,1)P ，求得2P 的纵坐标1P =的纵坐标1=，得到2(2,1)P -，即2P 的横坐标为12(2)-=-，同理，3P 的横坐标为12(2)-=-，4P 的横坐标为24(2)=-，25(2)P =-，36(2)P =-，37(2)P =-，48(2)P =-⋯，求得221(2)n n n P P +==-，于是得到结论．【详解】 解：点(1,0)P ，1P 在直线y x =上， 1(1,1)P ∴，12//PP x 轴，2P ∴的纵坐标1P =的纵坐标1=， 2P 在直线12y x =-上， 112x ∴=-， 2x ∴=-，2(2,1)P ∴-，即2P 的横坐标为12(2)-=-，同理，3P 的横坐标为12(2)-=-，4P 的横坐标为24(2)=-，25(2)P =-，36(2)P =-，37(2)P =-，48(2)P =-⋯，221(2)n n n P P +∴==-，令212021n +=，则1010n =2021P ∴的横坐标为10101010(2)2=-，故答案为：10102．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点)A ，点()0,1B ，作第一个正方形111OA C B 且点1A 在OA 上，点1B 在OB 上，点1C 在AB 上；作第二个正方形1222A A C B 且点2A 在1A A 上，点2B 在12AC 上，点2C 在AB 上…，如此下去，其中1C 纵坐标为______，点n C 的纵坐标为______．n⎝⎭【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b则有：1bb+==⎪⎩，解得：31kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线仍的解析式是：y=1x-+设C1的横坐标为x，则纵坐标为y=1x-+∵正方形OA1C1B1∵x=y，即1x x=+，解得x==∵点C1同理可得：点C2=232⎛-⎝⎭∵点C n的纵坐标为n⎝⎭．n⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．。
初二数学中的一次函数找规律
一次函数与等比数列数统治着宇宙。
——毕达哥拉斯 1.正方形......23331222111C C B A C C B A O C B A 、、按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn 的坐标是 ．2（2011四川内江，加试4，6分）在直角坐标系中，正方形1n n n n 23331222111...-C C B A C C B A C C B A O C B A 、、、、按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An 均在一次函数y kx b =+的图像上，点C1、C2、C3、…、Cn 均在x 轴上。
若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An 的坐标为 ．3．如图所示，已知：点(00)A ，，(30)B ，，(01)C ，在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 ．4.（2013北京平谷区一模）．如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111C B OA yxOC 1B 2A 2 C 3B 1A 3B 3A 1C 2（第1题图） （第2题图）然后延长11B C 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形211A OC A ；再以21A C 为边作正方形2221C B A C ，同样延长22B C 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形3212A C C A ；，再以32A C 为边作正方形3332C B A C ，延长33B C ，得到第三个梯形；……则第2个梯形3212A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A1，作正方形A1B1C1C ；延长C1B1交x 轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 ．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C 的对角线A1C 和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2 交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3 交于点M3；……，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点的坐标为Mn ．Oy x (A )A 1C1 12 B A 2A 3B 3 B 2 B 1 （第3题图）（第4题图）7.如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标分别为1，2，3，4，5，过这些点作x 轴的垂线与三条直线ax y =，x a y )1(+=，x a y )2(+=相交，则阴影面积是 。
初二数学一次函数知识点总结
初二数学一次函数知识点总结初二数学一次函数知识点总结数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等.下面是店铺整理的关于数学一次函数知识点总结，欢迎大家参考!一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的'是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
初二数学正比例反比例一次函数知识点总结
正比例、反比例、一次函数第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；x 轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x 轴上，y 轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y 轴上，若两个点关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。
原点（x ，y ） （x ，-y ）；（x ，y ） （-x ，y ）；（x ，y ） （-x ，-y ）对称1、 一次函数，正比例函数的定义（1）如果y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。
（2）当b ＝0时，一次函数y=kx+b 即为y=kx(k ≠0).这时，y 叫做x 的正比例函数。
注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
2、正比例函数的图象与性质（1）正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是过（0，0）（1，k ）的一条直线。
3、一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是必过点（0，b ）和点（－k b ，0）的一条直线。
注：（0,b ）是直线与y 轴交点坐标，（－kb ，0）是直线与x 轴交点坐标.x 轴 对称 y 轴 对称4、一次函数y=kx+b(k≠0, k b 为常数)中k 、b的符号对图象的影响（1）k>0, b>0⇔直线经过一、二、三象限（2）k>0, b<0⇔直线经过一、三、四象限（3）k<0, b>0⇔直线经过一、二、四象限（4）k<0, b<0⇔直线经过二、三、四象限5、对一次函数y=kx+b 的系数k, b 的理解。
（1）k(k ≠0)相同，b 不同时的所有直线平行，即直线l 1:y=k 1x+b 1；直线l 2:y=k 2x+b 2( k 1，k 2均不为零，k 1，b 1，k 2， b 2为常数)k 1=k 2 k 1=k 2l 1∥l 2平行 l 1与l 2重合b 1≠b 2 b 1=b 2（2）k(k ≠0)不同，b 相同时的所有直线恒过y 轴上一定点（0,b ），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=21x+3均交于y 轴一点（0，3） 6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k 不变，直线沿y 轴平移多少个单位，可由公式︱b 1－b 2︱得到，其中b 1，b 2是两直线与y 轴交点的纵坐标，直线沿x 轴平移多少个单位，可由公式︱x 1－x 2︱求得，其中x 1，x 2是由两直线与x 轴交点的横坐标。
初二数学一次函数知识点总结
初二数学一次函数知识点总结若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k 0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量)，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.知识点2 函数的图象由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x 轴的交点。
.不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点(0，0)，(1，k)即可.知识点3一次函数y=kx+b(k，b为常数，k 0)的性质(1)k的正负决定直线的倾斜方向;①k 0时，y的值随x值的增大而增大;②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小.(2)|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大①当b 0时，直线与y轴交于正半轴上;②当b 0时，直线与y轴交于负半轴上;③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.(4)由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同;①如图所示，当k 0，b 0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);②如图所示，当k 0，b③如图所示，当k﹤O，b 0时，直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的.另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.知识点4 正比例函数y=kx(k 0)的性质(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;(2)当k 0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;(3)当k 0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.知识点5 点P(x0，y0)与直线y=kx+b的图象的关系(1)如果点P(x0，y0)在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;(2)如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P(1，2)必在函数的图象上.例如：点P(1，2)满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P(1，2)在直线y=x+l 的图象上;点P (2，1)不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P (2，1)不在直线y=x+l的图象上.知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数y=kx(k 0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件(如一对x，y的值或一个点)就可求得k的值.(2)由于一次函数y=kx+b(k 0)中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值.知识点7 待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数.知识点8 用待定系数法确定一次函数表达式一般步骤(1)设函数表达式为y=kx+b;(2)将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组);(3)求出k与b的值，得到函数表达式.思想方法小结 (1)函数方法.(2)数形结合法.知识规律小结 (1)常数k，b对直线y=kx+b(k 0)位置的影响.①当b 0时，直线与y轴的正半轴相交;当b=0时，直线经过原点;当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交.②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交;当b=0时，直线经过原点;当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交.③当k O，b O时，图象经过第一、二、三象限; 当k 0，b=0时，图象经过第一、三象限;当b O，b。
八年级下册数学同步辅导一次函数探规律
利用一次函数探规律湖北 吴育弟一、以三角形为背景的坐标规律例1 如图1放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y =33x 上，则A 2020的坐标是 ． 分析：根据题意得出直线AA 1的解析式，求出A ，A 1，A 2，A 3的坐标，找到坐标变化规律，得出答案．解：如图1，过点B 1向y 轴作垂线B 1D ，垂足为D. 由题意，得A （0，2），AO ∥A 1B 1. 在Rt △A B 1D 中，AB 1=OA=2，AD=12OA=1，B 1D=22213-=.所以B 1的横坐标为3，A 1的横坐标为3.连接AA 1，可知所有三角形顶点A 1，A 2，A 3，…都在直线AA 1上. 因为点B 1，B 2，B 3，…都在直线y =33x 上，AO =2，所以直线AA 1的解析式为y A =33x +2. 所以A 1的纵坐标为3，即A 1（3，3）.同理可得A 2的横坐标为23，则A 2的纵坐标为4，即A 2（23，4）. 所以A 3（33，5），…，A 2020（20203，2022）．故填（20203，2022）． 二、以正方形为背景的坐标规律例2正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按图3所示方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y =x +1和x 轴上，则点B 6的坐标是 ．分析：首先利用直线的解析式，分别求得A 1，A 2，A 3，…的坐标，由此得出规律求出点A n 的坐标，即可求出点B 6的坐标．解：由题意，知当x =0时，y =1.所以OA 1=1，A 1B 1=OC 1=1. 所以A 1的纵坐标是1=20，横坐标是0=20﹣1；A 2的纵坐标是1+1=21，横坐标是1=21﹣1；A 3的纵坐标是2+2=22，横坐标是1+2=3=22﹣1；A 4的纵坐标是4+4=23，横坐标是1+2+4=7=23﹣1，即点A 4的坐标为（7，8）．由此可得A n 的纵坐标是2n ﹣1，横坐标是2n ﹣1﹣1，即点A n 的坐标为（2n ﹣1﹣1，2n ﹣1）． 所以点A 6的坐标为（25﹣1，25）．图2图1 A OB 1B 2 B 3A 1A 2D xy因为点B6的纵坐标与A6的纵坐标相等，横坐标与A7的横坐标相等，所以B6（26﹣1，25），即B6（63，32）．故填（63，32）．。
一次函数的规律
一次函数的规律
一次函数也称为线性函数，是一种数学函数的形式。
它的一般表
达式为y = kx + b，其中k和b是常数。
一次函数的图像为一条直线，具有以下特点：
1. 斜率k表示直线的倾斜程度，它决定了直线上每增加一个单位的x，y的增加量。
正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线平行于x轴。
2. 截距b表示直线与y轴的交点，也是直线在y轴上的数值位置。
当
b为正值时，直线位于y轴上方，当b为负值时，直线位于y轴下方。
一次函数可以用于描述线性关系，比如速度和时间之间的关系、
价格和数量之间的关系等。
通过确定斜率和截距，我们可以求解函数
的值和解释函数所描述的现象。
初二数学一次函数总结
一次函数 （ ）的图象是过点（0， ）且与直线 重合或平行的一条直线。
直线 可以看做由直线 平移 个单位长度得到（当 时，向上平移；当 时向下平移）。
一次函数总结
1、一次函数的定义
一般地，形如 （ ， 是常数， ）的函数，叫做一次函数。例如 ， 等都是一次函数。
2、一次函数图像及性质
函数
一次函数
解析式（ ）ຫໍສະໝຸດ 图象直线自变量的
取值范围
全体实数
图象的
位置
过一、二、三象限
过一、三、四象限
过第一、二、四象限
过第二、三、四象限
性质
随 的增大而增大
随 增大而减小
一次函数 之 探索规律
棕北中学八年级（上）数学培优资料（一次函数之探索规律）1.如图所示，直线3333+=x y 与y 轴相交于点D ，点A 1在直线3333+=x y 上，点B 1在x 轴上，且△OA 1B 1是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B 1作B 1A 2∥OA 1与直线3333+=x y 相交于点A 2，点B 2在x 轴上，再以B 1A 2为边作正三角形A 2B 2B 1，记作第二个正三角形；同样过B 2作B 2A 3∥B 1A 2与直线3333+=x y 相交于点A 3，点B 3在x 轴上，再以B 2A 3为边作正三角形A 3B 3B 2，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n 个正三角形的顶点A n 的纵坐标为2．如图，直线x y 3=，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 1011的坐标为，点A n 的坐标为．3．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝33x 上，则A 2014的坐标是．第1题图第2题图第3题图4．如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A （0，2），O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为．5.如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n +1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n +1作x 轴的垂线交一次函数x y 21=的图象于点B 1，B 2，B 3，…，B n +1，连接A 1B 2，B 1A 2，A 2B 3，B 2A 3，…，A n B n +1，B n A n +1依次产生交点P 1，P 2，P 3，…，P n ，则P n 的坐标是．6．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是，第n7．如图，在平面直角坐标系中，直线333-+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，点C 是线段AB 的中点，连接OC ，然后将直线OC 绕点C 逆时针旋转30°交x 轴于点D ，再过D 点作直线DC 1∥OC ，交AB 与点C 1，然后过C 1点继续作直线D 1C 1∥DC ，交x 轴于点D 1，并不断重复以上步骤，记△OCD 的面积为S 1，△DC 1D 1的面积为S 2，依此类推，后面的三角形面积分别是S 3，S 4…，那么S 1＝，若S ＝S 1+S 2+S 3+…+S n ，当n 无限大时，S 的值无限接近于．第4题图第5题图第6题图第7题图8．如图，已知A （4，0），点A 1、A 2、…、A n ﹣1将线段OA 进行n 等分，点B 1、B 2、…、B n ﹣1、B 在直线y ＝0.5x 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n ﹣1B n ﹣1∥AB ∥y 轴．记△OA 1B 1、△A 1A 2B 2、…、△A n ﹣2A n ﹣1B n ﹣1、△A n ﹣1AB 的面积分别为S 1、S 2、…S n ﹣1、S n ．当n 越来越大时，猜想S 1+S 2+…+S n 最近的常数是（）A ．1B ．2C ．4D ．89．如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a +1）x ，y ＝（a +2）x 相交，其中a ＞0．则图中阴影部分的面积是10．如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），…，直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）（其中n 为正整数）．函数y ＝x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…，A n ；函数y ＝2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…，四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积记作S n ，那么S 1＝，S 2＝，S 2015＝．11．如图所示，直线OP 经过点P （4，43），过x 轴上的点1、3、5、7、9、11…分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2…S n ，则S n 关于n 的函数关系式是．第8题图第9题图第10题图第11题图。
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一次函数与等比数列
数统治着宇宙。
——毕达哥拉斯 1.正方形
......23331222111C C B A C C B A O C B A 、、按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，
C2，C3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，
已知点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn 的坐标是
．
2（2011四川内江，加试4，6分）在直角坐标系中，正方形
1n n n n 23331222111...-C C B A C C B A C C B A O C B A 、、、、按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An
均在一次函数
y kx b =+的图像上，点C1、C2、C3、…、Cn 均在x 轴上。
若点B1的坐标为（1，1），
点B2的坐标为（3，2），则点An 的坐标为 ．
3．如图所示，已知：点(00)A ，，(30)B ，，(01)C ，
在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11
AA B △，第2个122B A B △，第3
个
233
B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 ．
4.（2013北京平谷区一模）．如图所示，直线
1+=x y 与y 轴交于点1A ，
以
1OA 为边作正方形111C B OA 然后延长
11B C 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形211A OC A ；再以21A C 为边作正方形
2221C B A C ，同样延长22B C 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形3212A C C A ；，再以3
2A C 为边作正方形
3
332C B A C ，延长
3
3B C ，得到第三个梯形；……则第2个梯形
3
212A C C A 的
面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．
y
x O C 1 B 2
A 2
C 3 B 1 A 3
B 3
A 1 C 2 O y x
(A )
A 1
C
1 1
2 B A 2
A 3
B 3 B 2 B 1 （第3题图）
（第2题图）
5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A1，作正方形A1B1C1C ；延长C1B1交x 轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C 的对角线A1C 和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2 交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3 交于点M3；……，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点的坐标为Mn ．
7.如图，在
x 轴上有五个点，它们的横坐标分别
为1，2，3，4，5，过这些点作x 轴的垂线与三
条直线
ax y =，x a y )1(+=，x a y )2(+=相交，
则阴影面积是 。
8．（10分）（2011•恩施州）2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn 和C1、C2、C3、…、Cn 分别在直线和x 轴上，
则第n 个阴影正方形的面积为 ．
A 1 A 3 A 2
B 1 B 2
B 3
M 1
M 2
M 3 C
O
x y O A
B
C D
A 1
B 1
C 1
A 2
C 2
B 2
x
y
（第4题图）
（第5题图） （第6题图）
9．（2010福建福州）如图，直线y＝3x，点A1坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，
以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为．
(第15题)。