第七章一维波动方程的解题方法与习题答案
一维波动方程的解
一维波动方程是描述一维波动现象的偏微分方程，其一般形式为：
∂²u/∂t²= c²∂²u/∂x²
其中，u(x,t)是波动的位移或振幅，c是波速。
解一维波动方程的一般步骤是将其转化为一个简单的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通过求解这个方程得到波动的解析表达式。
这里介绍两种求解方法：
分离变量法
假设u(x,t) 可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)，代入原方程得到：
X''(x)/X(x) = (1/c²) T''(t)/T(t)
由于左边的方程只涉及x，右边的方程只涉及t，因此两边必须都等于一个常数k²，即：X''(x)/X(x) = k²
T''(t)/T(t) = k²c²
分别解上面两个方程，得到：
X(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
T(t) = C sin(ckt) + D cos(ckt)
其中，A、B、C、D 是待定常数，可以根据边界条件和初值条件确定。
将上述两个函数代回原方程，得到波动的解析表达式：
u(x,t) = Σ[An sin(nπx/L) + Bn cos(nπx/L)] sin(ncπt/L)
其中，An、Bn 是待定常数，L 是波动区间的长度，n 为正整数。
第七章 波动方程初值问题
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
第七章一维波动方程的解题方法与习题答案
第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I．质点力学：牛顿第二定律Fmr连续体力学弦2u(r,t)弹性体力学杆振动：22波动方程);au(r,t)0(2t(弹性定律)膜流体力学：质量守恒律：(v)0;t热力学物态方程：v1(v)vpf0(Eulereq.).tII.麦克斯韦方程DddD;EdlBdsEB;Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.Eu,BA,u,A满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。
III.热力学统计物理热传导方程：扩散方程：Ttt2kT2D0;0.特别:稳态（0t）:20(Laplaceequation).IV.量子力学的薛定谔方程：2u2.iuVut2m2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程2u 12u22at双曲线输运方程能量：热传导质量：扩散ut20ku抛物线1稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter7一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程-弦振动方程的建立1.弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。
复变函数第二部分课后答案
⎧ utt = a 2u xx (1 < x < 2, t > 0) ⎪ ⎪ u (0, t ) = u (l , t ) = 0(t ≥ 0) ⎪ (0 ≤ x ≤ 1) ⎧ hx ⎨ ⎪ u ( x, 0) = ⎨ h(2 − x) (1 ≤ x ≤ 2) ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ut ( x, 0) = 0
1
2
解：其付氏解为：
∞ u (r ,θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + B n sin nθ )r n 2 n =1
，
α sin ϕ An = 1 n ∫02π f (ϕ )cos nϕdϕ = 1 2π A cos nϕ dϕ = nA π −α π ∫0 πl 其中：
= 2 A sin nα nπ
u rr + r u r + r uθθ = 0 。
⎧ + 1u + 1 u =0 ⎪u rr r r r 2 θθ ⎪ ⎨ ⎧ A, θ < α , (− π ≤ θ ≤ π ) ⎪u (1,θ ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0, θ ≥ α ⎪ ⎩ ⎩ 2、 求解狄利克雷问题 ， 其中 A，α 为
已知常数。
∞
0
2 ∞ − a 2 µ 2t e π ∫0
sin x π dx = x 2。 sin µ cos( µ x)d µ µ
u ( x, t ) = u (0, 0) =
2 sin µ e0 cos(0) d µ = 1 ∫ π µ ，
即：
2 ∞ sin µ dµ =1 π ∫0 µ
2 ∞ sin x ∫0 x dx = 1 令 x = µ ，则有： π ∞ sin x π dx = ∫ 0 x 2 得证。 即：
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
一维波动方程的达朗贝尔公式ppt
u f ( )
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
其中 f1, f2 都就是任意二次连续可微函数。
4
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
式(9、1、6)就就是方程(9、1、1)得通解。
4 SaMt
(at)2
或简记成 u(M ,t) 1 0 dS 1 1 dS
4 a t SaMt r
4 a SaMt r
上式称为三维波动方程得Poisson公式。
18
例2 求解定解问题
utt a22u x, y, z , t 0,
u
t0
x3
y2z,
ut t0 0.
解:这里 0 x, y, z x3 y2z, 1 x, y, z 0
(9、1、11)
2
2a xat
——无限长弦自由振动得D’Alembert(达朗贝尔)公式。 6
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
( )d
2
2a xat
D’Alembert解得物理意义:
(9、1、11)
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解得物理意义。 此时式(9、1、11)给出
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
5
f1(x) f2 (x) (x) (9、1、8)
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
x 式(9、1、9)两端对 积分一次,得:
f1(x)
f2 ( x)
1 a
x
( )d C
0
(9、1、10)
第七章一维波动方程的傅氏解
第七章一维波动方程的傅氏解（20）一、内容摘要1．二阶线性偏微分方程可以分为如下四类：抛物型、双曲型、椭圆型和超双曲型方程。
抛物型：()2t xx yy zz u a u u u =++传导和扩散方程； 椭圆型：0xx yy zz u u u ++= Laplace 方程，稳态问题； 双曲型：()2tt xx yy zz u a u u u =++波动或弦振动方程。
2．一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就是要构成一个定解问题。
除了微分方程之外，构成定解问题还必须有边界条件和初始条件。
(1)初始条件：初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地描述该现象。
(2)边界条件：体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界条件确定.边界条件反应体系和外界的界面上的情况。
常见的边界条件可以分为三类：①第一类边界条件：()(),,,|,r B u x y z t f r t ∈=． ②第二类边界条件：()|,r B u f r t n∈∂=∂．③第三类边界条件：()()|,n r B u cu f r t ∈+=．上述三类边界条件,当函数(),0f r t =时,分别称为第一、第二、第三类齐次边界条件。
3．定解问题问题的分类：数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。
根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类： 初值问题：定解条件仅有初值条件； 边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。
4．分离变量法：（1）分离变量法的基本思想：将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，先从中求出一些满足边界条件的特解，然后利用叠加原理，作出这些解的线性组合，令其满足余下的初始条件，从而得到定解问题的解。
（2）分离变量法的特点：把偏微分方程化为常微分方程,从而使问题的求解得以简化。
《一维波动方程》课件
三维波动方程
描述空间波的传播
三维波动方程适用于描述在三维空间 中波的传播，例如声波、电磁波等。
物理应用广泛
三维波动方程在物理、工程等领域有 广泛的应用，如地震波传播、电磁波 传播等。
多维波动方程的解法
数值解法
对于多维波动方程，由于其复杂性， 通常采用数值解法来求解。常见的数 值解法包括有限差分法、有限元法等 。
解的物理意义
通过求解一维波动方程，可以得到波在空间中传播时的具体形式和性质，如波速、波长、振幅和相位 等。这些解具有明确的物理意义，可以用于描述和分析各种波动现象。
03
一维波动方程的解法
Chapter
分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为多个常微分 方程，逐个求解，得到波动方程的解。
VS
详细描述
03
三维波动方程
描述三维空间中波的传播和变化规律，一般形式为：∂²u/∂t² = c² *
(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) + f(x, y, z, t)。
02
一维波动方程的建立
Chapter
一维波动方程的推导
波动现象的观察
波动现象在自然界中广泛存在，如声波、光波和水 波等。通过对这些现象的观察，可以发现波动具有 传播、干涉和衍射等特性。
有限差分法
总结词
通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组，然后求解差分方程组得到波 动方程的近似解。
详细描述
有限差分法是一种通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组的方法。在 离散化的过程中，需要考虑差分方程的稳定性和精度。然后利用数值计算方法 求解差分方程组，得到波动方程的近似解。
04
波动方程习题答案
波动方程习题答案波动方程是物理学中一种重要的方程形式，描述了波动现象的传播和演变规律。
在学习波动方程时，经常会遇到一些习题，需要我们进行解答。
本文将针对波动方程的一些习题进行解答，帮助读者更好地理解和应用波动方程。
1. 一维弦上的波动问题考虑一根固定在两端的弦，当弦被扰动后，波动会沿着弦传播。
对于一维弦上的波动问题，可以通过波动方程进行描述。
波动方程的一般形式为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示弦上的位移，t表示时间，x表示弦上的位置，v表示波速。
对于给定的初值条件和边界条件，可以通过求解波动方程得到弦上的位移分布。
具体的求解方法包括分离变量法、傅里叶级数法等。
2. 反射和折射问题当波动遇到界面时，会发生反射和折射现象。
这些现象可以通过波动方程的解来进行分析。
对于反射问题，我们可以考虑一个波从一个介质传播到另一个介质的情况。
根据波动方程和边界条件，可以求解出反射波和入射波的幅度和相位关系。
对于折射问题，我们可以考虑一个波从一个介质传播到另一个介质时发生的折射现象。
根据波动方程和边界条件，可以求解出折射波的传播方向和折射角。
3. 球面波问题当波动在空间中传播时，会形成球面波。
球面波是一种特殊的波动形式，可以通过波动方程进行描述。
对于球面波问题，我们可以考虑一个点源在空间中产生的波动。
根据波动方程和边界条件，可以求解出球面波的传播速度和幅度衰减规律。
4. 波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在声学中，可以通过波动方程来描述声波的传播和衰减规律。
在光学中，可以通过波动方程来描述光波的传播和干涉现象。
此外，波动方程还可以应用于地震学、电磁学、量子力学等领域。
在地震学中，可以通过波动方程来研究地震波的传播和地壳的结构。
在电磁学中，可以通过波动方程来描述电磁波的传播和电磁场的分布。
在量子力学中，可以通过波动方程来描述粒子的波动性质和量子态的演化。
一维波动方程
G
t , 于是波
4
动方程(2.1) 的通解为
u( x t ) F ( x at ) G( x at ) (2.4)
§2 一维波动方程
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 F 和 G , 由等式 (2.4)有 u( x 0) F ( x) G( x) ( x) (2.5)
§2 一维波动方程
9
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 u ( ) ( )d 1 ( ) 写成 其中1 ( )是 的任意函数. 若令 2 ( ) ( )d , 上式可
u( ) 1 ( ) 2 ()
§2 一维波动方程
11
《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
于是Cauchy问题的解可写成
xy xy ( ) xy xy ( ) u( x y) ( xy) xy d 2 xy 3 2 d 2
利用分部积分法, 它又可化为
xy 1 y x u( x y) ( xy) 2 2 y 4
x xy c1 c2 y
y 1, x 0
(2.10)
x xy y
§2 一维波动方程 8
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
1 u 0 2
(2.11)
w u
sup ( x) ( x) sup ( x) ( x) xR xR 时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u ( x t ) 与u( x t ) 满足
第七章 一维波动方程的傅氏解
n
| f 2 (t )
• 第三类边界条件：位移和速度的组合。在 边界上给出了未知函数u与u沿的外法线方 向的方向导数的线性组合的值，即
u (u ) | f3 (t ) n
•
f i (t )(i 1,2,3)都是定义在边界上 的已知函数，若 fi (t ) 0(i 1, 2,3) ，则称
问题称为混合问题。
弦振动的边界条件 (1)、边值条件（问题）：
u(0, t ) 0, u(l , t ) 0 （齐次）
(2)、初值条件（问题）：
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
(3)、混合问题：
utt a u xx (0 x l , t 0) (t 0) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0 u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) (0 x l ) t
高数知识回顾：
哈密尔顿算子，读作del
gradu u
ˆ ˆ ˆ i j k x y z divA A
rotA A
拉普拉斯算子
2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 x y x
2
2.0 预备知识－常微分方程
2.0 预备知识－常微分方程
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
定义：设 y1 ( x ), y2 ( x ) 为定义在 (a , b) 内的两个函数， 如果存在非零常数 k ,使得 y( x ) ky( x ),则称y1 ( x ), y2 ( x ) 线性相关，否则称 y1 ( x ), y2 ( x ) 线性无关.
7-1 一维波动方程的达朗贝尔公式 chen
t
( x, t )
依赖区间
O x − at
x + at x
退出
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
t
x=
t
t
x1
x=
O
x1
x2
x
O
x1
x2
决定区间
影响区间
在区间[ x1 , x2 ]上给定初始条件,就可以在其决定 区间域中决定初值问题的解.
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
退出
因为在特征线 x − at = C 2 上,右行波 u2 = f 2 ( x − at ) 的振幅取常数值 f 2 (C 2 ) ,在特征线 x + at = C1 上,左行波 u 1 = f1 ( x + at )的振幅取常数值 f1 (C1 ) ,且这两个数值随 特征线的移动(即常数 C i ( i = 1, 2) 的改变)而改变,所以波 动实际上是沿特征线传播的.
⎧ uxx + 2uxy − 3u yy = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪u | y=0 = 3 x , uy | y=0 = 0 ⎩
y > 0, −∞ < x < +∞
−∞ < x < +∞
先确定所给方程的特征线.为此写出它的特征方程: 它的两族积分线为:
(dy )2 − 2dxdy − 3(dx )2 = 0
主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数由此可以看出在xt平面上斜率为的两族直线常数对一维波动方程的研究起着重要的作用我们称其为一维波动方程ttxxttxx主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数因为在特征线上右行波的振幅取常数值在特征线上左行波的振幅取常数值且这两个数值随特征线的移动即常数的改变而改变所以波动实际上是沿特征线传播的
第七章数理方程教材
一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初 始条件，因此本征解并不是定解问题的解。
为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解 进行线性叠加，从而形成如下的通解式:
可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边 值条件。若要使其满足初始条件，那么
(x)和(x)的傅氏展开
根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中 待定常数
再假设初始条件为 那么完整的定解问题为:
小结:
1. 定解问题: 描述物理现象的偏微分方程+定解条件; 2. 微元法建立偏微分方程: 在系统中任选一微元,将有
关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然 后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高 阶小量,就可得到所需的偏微分方程; 3. 定解条件: 边界条件+初始条件(+附加条件);
则w(x)必须满足条件：
求解以上定解问题很容易求出：
根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以 确定待定系数
§7.5 有阻尼的波动问题 例10 两端固定弦的小阻尼振动问题
f (x,t)x
弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。 ( , 为常数)
类似于本章例1的推导可以得到：
（阻尼因子）
解：采用分离变量法，设
代入边界条件后得: ，若要使 ，那么
相应的本征函数为： 因此该问题的本征解为:
管乐器中空气的本征振动角频率为： 当n=0时，对应于最低频率ν 0（基频）。 当n>1时，相应的本征振动频率是n次谐频。
管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐频。
分离变量法解题的四步:
1. 设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条 件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征 值问题)和相应的边界条件;
第七章一维波动方程的傅氏解
第七章 一维波动方程的傅氏解1．今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由振动，它的初始位移为()()⎩⎨⎧≤<-≤≤=2x 1 ,21x 0 ,x h hx x ϕ，初速度为0，试求其傅氏解，其中h 为已知常数。
解法1，（1）此问题归结为定解问题：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≥==<<=(3))(0 0,,0,(2) )0( 0,,0,0(1))(0 2L x x x u x x u t t L u t u L x u a u t xx tt ψϕ其中()()⎩⎨⎧≤<-≤≤=2x 1 ,21x 0 ,x h hx x ϕ（2）求其定解问题的傅氏解，应用分离变量法a 变量分离 设方程的解为()()x X x T u =代入（1）得X X aT T ''"=令 λ==X X aT T ''"于是得()()⎪⎩⎪⎨⎧===+0000"L X X x X λ （()00=X ，()0=L X 由（2）得到）(5) 02"= +T a T λB 解特征值问题()()(4) 0000"⎪⎩⎪⎨⎧===+L X X x X λ（a ）0<λ 时,方程(4)的通解为()x x Be Ae x X λλ---+=其中AB 为任意常数. 当0=x 时 ()B A X +==00当L x =时, ()x x Be Ae L X λλ---+==0所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+---00x x Be Ae B A λλ因为011≠=∆---x x e e λλ 所以A=B=0 ,所以当0<λ时特征问题(4)只有平凡解.(b)当0=λ时特征问题也有平凡解. (c) 当0>λ时,方程0"=+x X λ的通解为()x B x A x X λλsin cos += 代入边界条件(2)得()00100=⋅+⋅==B A x ,所以A=0()0sin 0sin 1cos =⇒=+=L B L B A L x λλλ 为使()0≠x X 应有0≠B ,所以0sin =L λ 所以 ,3,2,1 ==n n L πλ满足上面等式的λ值称为特征值,记为n λ既 ,2,1 222==n Ln n πλ 相应与的函数()x L n B x X n n πsin =称为特征函数有时记为()x Ln x X n πsin = C 解不构成特征值问题的常微分方程02"=+T a T n λ 其通解为()t La n D t L a n C t T n n n ππsin cos += 于是我们得到方程（1）满足边界条件（2）的可分离变量的一系列特解：()()()x L n t L a n D t L a n C x X t T t x u n n n n n πππsin sin cos ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+== d.由叠加原理得形式解：()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1sin sin cos ,n n n x L n t L a n D t L a n C t x u πππ e.由Fourier 级数确定n n D C ,()()∑∞===0sin0,n n x Ln C x x u πϕ ()()∑∞===1sin 0,n nt x Ln L a n D x x u ππψ 所以()ξξπξϕd Ln L C L n ⎰=0sin 2()()⎰⎰==L n d Ln a n d L n a n L L D 0sin 2sin 2ξξπξψπξξπξψπ ()2sin 82sin 22sin 22221021ππππn n h xdx n x h dx n hx C n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰ 因为()0=x ψ 所以0=n D 所以()∑∞==1222sin 2cos 2sin 8,n x n t a n n n h t x u ππππ 解法2 设傅氏解为 ()∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1sin sin cos ,n n n n x L n t L a n D t L a n C t x u πππ 其中()() ,2,1sin 2sin 200=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰n d L n a n D d L n L C L n L n ξπξξψπξπξξϕ 由此计算出()2sin 82sin 22sin 22221021ππππn n h xdx n x h dx n hx C n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰⎰ 0=n D 故()∑∞==1222sin 2cos 2sin 8,n x n t a n n n h t x u ππππ 2.将前题之初始条件该为()()()⎩⎨⎧≤≤+<<-+=11101 1x x h x x h x ϕ 试求其傅氏解。
一维波动方程的推导
一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。
弹簧的劲度系数（又称“倔强系数”）为k：
其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。
施加在位于x+h处的质点m上的力为：
其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，代表根据
胡克定律计算的弹簧作用力。
所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h处质点的运动方程为：
式中已注明u(x) 是时间t的显函数。
若N个质点间隔均匀地固定在长度L = N h的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：
取极限N, h就得到这个系统的波动方程：
在这个例子中，波速。
数理方法 第七章 一维波动方程的付氏解
第二节 齐次方程混合问题的分离变数解法 §7.2.1分离变数法 例：两端固定的弦的自由振动
utt
a2uxx ,(0
x
l,t
0)
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0)
(7.1) (7.2)
u(
x
,
0)
(
x
),
ut
(
x
,
0)
(
x
),
(0
x l)
(7.3)
代表的是驻波,称为弦的本征振动，其波矢量为kn ,
圆频率为n ,1 称为基频.其余称为谐频（泛音）
波长为：n
2
a
n
2
kn
2l n
n次谐波（泛音）波节的位置在：
sin n x 0 x m l m n ,(m 0,1, 2,L , n)
l
n2
相邻波节间距 l / n n / 2
初始条件通常通过未知函数及其导数在自变量的 一个特定点的值给出。
如：
y f ( x, y),
(1).
y
|x0
2
y py qy f ( x)
(2).
y
|x0
3
y
|x0
4
2.弦振动方程的定解条件
2.1 初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
nl
l
0
(
)sin kn
d
2
n a
l
0
2021年数理方法课件 精美PPT 07第7章 一维波动方程的傅里叶解
两边除以 ρΔx， 然后取极限Δx→0:
utt ( x, t) =
T0
uxx(x, t) +
f
( x, t )
➢ 弦振动的泛定方程 ut t = a2ux x + f
u(x,t) ➔ x 处的质元在 t 时刻相对平衡位置的位移 f(x,t) ➔ t 时刻 x 处单位质量所受的横向外力
a = T0 / : 弦中横波的波速 T0 ➔ 初始张力，ρ➔质量线密度
• 整个系统初始状况的表达式称为初始条件 • 对弦振动，泛定方程为 ut t = a2 2u + f
需给出弦在初始时刻 t=0 的位移和速度： u( x,0) = ( x), ut ( x,0) = ( x)
• 泛定方程出现时间的 n 阶偏导数时需要 n 个初始条件
• 对物理量的稳态分布，无初始条件
lxntalnbtalnatxunnn??????sinsincos1??????????????lndxlxnxula0sin02??lxnblanxunnt????sin001????????????????202sincos14ldxlxnxnlh??????????????????????lxlxlhhlxxlhxu22220200ll2xux0h分离变量法得出解的一般形式bn0lxntalnnnhtxun????????sincossin????????12228222sincos14lnnnlhan??????????????????2020cos1coslldxlxnlnxlnlxni????????????20sinldxlxnxi??对奇数n计算积分202sin2cos2llnlxnnlnl??????????????22sinlnn??????2sin822????nnh???回顾
6.2 一维波动方程的特征线法
Φ(−at) + Φ(at) = 0
at
x + at
at
Φ( x), Ψ( x)¡¢ Nhomakorabea£
¡
¤
¥
−at
∫ Ψ(α )dα = 0
是奇函数
§
¦
¨
©
u ( x,0) = φ ( x ), ut ( x,0) = ψ ( x ), 0 < x < ∞ ⇒ Φ ( x ) = φ ( x), Ψ ( x ) = ψ ( x ), 0 < x < ∞
1 1 u ( x, t ) = ∫ψ (2aτ + x − at ) dτ + ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 2 0
1 1 1 u ( x, t ) = ψ ( α ) d α + ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ∫ 2a x − at 2 2
x + at
t
弦振动方程的半无解问题(Page 118, 习题6第 4 题)
utt − a 2u xx = 0, 0 < x < ∞, t > 0 u (0, t ) = 0, t ≥ 0 u ( x,0) = φ ( x), u ( x,0) = ψ ( x), 0 < x < ∞ t
沿特征线 x + at = c1 化简定解问题得
dv = 0, t > 0 dt v ( 0 ) = ψ ( c1 ) + a φ ′ ( c1 )
一维波动方程的解法
一维波动方程的解法波动现象是自然界和人类生活中广泛存在的一种现象，它具有许多重要的物理意义，例如声波、光波等。
一维波动方程是描述波动的重要方程之一，本文将介绍一维波动方程的解法。
一、一维波动方程的基本形式和意义一维波动方程的基本形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}=0$$其中，$u(x,t)$表示波动的幅度，$c$表示波速。
这个方程描述了介质中的一种波动现象：波动传播速度为$c$，波动在媒质中沿$x$轴方向的传播，波动的幅度随时间$t$的变化而变化。
在声波和电磁波中，$u$分别是空气压力和电场强度，$c$分别是声速和光速。
二、1. 分离变量法分离变量法是一种基本的解法，其思想是将波动方程中的未知函数$u(x,t)$表示成仅包含$x$的函数和仅包含$t$的函数的乘积形式：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将$u(x,t)$代入一维波动方程中，得到：$$\frac{T''(t)}{c^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2$$其中，$\lambda$是一个常数。
由此可得到两个关于未知函数的简单微分方程：$$T''(t)+\lambda^2c^2T(t)=0$$和$$X''(x)+\lambda^2X(x)=0$$其中，第一个微分方程的解为：$$T(t)=A\cos(\lambda ct)+B\sin(\lambda ct)$$其中，A、B是常数。
第二个微分方程的解为：$$X(x)=C\cos(\lambda x)+D\sin(\lambda x)$$其中，C、D是常数。
因此，一维波动方程的通解为：$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(\lambda_n x)\cos(\lambda_n ct)+b_n\sin(\lambda_n x)\sin(\lambda_n ct)$$其中，$\lambda_n=n\pi/L$，$L$为介质的长度，$a_n$和$b_n$是待定常数。
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第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I．质点力学：牛顿第二定律Fmr连续体力学弦2u(r,t)弹性体力学杆振动：22波动方程);au(r,t)0(2t(弹性定律)膜流体力学：质量守恒律：(v)0;t热力学物态方程：v1(v)vpf0(Eulereq.).tII.麦克斯韦方程DddD;EdlBdsEB;Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.Eu,BA,u,A满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。
III.热力学统计物理热传导方程：扩散方程：Ttt2kT2D0;0.特别:稳态（0t）:20(Laplaceequation).IV.量子力学的薛定谔方程：2u2.iuVut2m2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程2u 12u22at双曲线输运方程能量：热传导质量：扩散ut20ku抛物线1稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter7一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程-弦振动方程的建立1.弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。
表征振动的物理量为各点的横向位移u(x,t)，从而速度为u t，加速度为u tt.（2）立假设：①弦振动是微小的，1，因此，sintan，cos1，又u x tanu；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应，1x力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T(x,t)始终是沿弦的切向2(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x轴，外力线密度为F(x,t)；④设弦的线密度（细长）为(x,t)，重力不计。
（3）取局部：在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。
质量2u22微元：(x,t)dx；微弧长：dsdxdu1dxdx（即这一小段的x长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度x,t不随时间变化，另外根据Hooke定律Fkx可知，张力T(x,t)也不随时间变化，我们把它们分别记为x和T(x).（4）找作用：找出弦段所受的力。
外力：F(x,t)dx，垂直于x轴方向；张力变化：Tcos|x dxTcos|x T(xdx)T(x),x方向紧绷，TTTuTuTux,垂直于x轴方向。
sin|x xsin|xx|x x x|x xdddx（5）列方程：根据牛顿第二定律T，因x方向无位移，故T(xdx)T(x)T.(xdx)T(x)0( x)dxu tt F(x,t)dxTudxF(x,t)dxTu xx dxxxT 即，uf(x,t)utt，其中xxF(x,t)f(x,t)是单位质量所受外力。
如果弦是均匀的，即为常数，则可写Ta为弦振动的传播速度，则u tt xx.a(,)2ufxt自由振动(f0): 20uau(齐次方程)。
ttxx小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：22uau（齐次方程）tt其中a为振动的传播的速度。
当单位质量所受外力为f时，其振动微分方程为：22uauf（非齐次方程）tt2.定解问题第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内3第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：初始条件泛定方程&定解条件边界条件衔接条件自然条件。
3.初始条件u(x,t)(x)，即已知初位移(x)和初速度(x)t0u(x,t)(x).tt4.边界条件i.第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。
ii.第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为(0,)0或(,)0utultxxiii.第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：u(0,t)hu(0,t)0xNote：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点x0和xl固定，用手将弦上的点xc(0cl)拉开使之与平衡位置的偏离为h（hl），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：u(0,t)0,u(l,t)04第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案由点xc的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：hx(0xc)，cu(x,0)(x)h(lx)，(cxl)lc显然，初速度为零：u(x,0)0t第二节齐次方程混合问题的傅里叶解——分离变量法本征值问题Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。
分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。
求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。
5.利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题分离变量法：把二元函数u(x,t)表示为两个一元函数相乘u(x,t)X(x)T(t)；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程2uau0，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微ttxx分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。
例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):2uau00xl,ttxxu0;u0,x0xlu(x);u(x).tt0t0注意这里的边界条件。
第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
设u(x,t)X(x)T(t)[取此特解形式，可得驻波解：T(t)是振荡函数，而与x无关，X(x)是幅度函数，与t无关],将此u(x,t)X(x)T(t)代入泛定方程，即得2X(x)T(t)aX(x)T(t).5第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案2XxTt 等式两端除以()()a，就有T(t)X(x) a 2XxT(t)().注意在这个等式中，左端只是t的函数，与x无关，而右端只是x的函数，与t无关。
因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数。
令这个常数为(参数)，即，T(t)X(x)a 2XxT(t)().由此得到两个常微分方程：T(t)a()0（7.1）2TtX(x)X(x)0（7.2）第二步，将u(x,t)原来的边界条件转化为X(x)的边界条件。
将此u(x,t)X(x)T(t)代入边界条件，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0，转化为X(x)的边界条件：X(0)0，X(l)0[因为T(t)不可能恒为0，否则u(x,t)恒为0]（7.3）这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。
在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解u(x,t)X(x)T(t)，导出了函数X(x)应该满足的常微分方程和边界条件，以及T(t)所满足的常微分方程。
分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。
第三步,求解本征值问题上面得到的函数X(x)的常微分方程定解问题，称为本征值问题。
其特点是：常微分方程X(x)X(x)0中含有一个待定常数，而定解条件X(0)0，X(l)0是一对齐次边界条件。
这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。
下面将看到，并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。
只有当取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解X(x).的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction).通过讨论分析得出只有0时，方程（7.2）的解才有意义。
因此，0时解（7.2）式得，6第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案X(x)AcosxBsinx.将这个通解代入边界条件（7.3），就有A0;A0;即AcoslBsinl0.Bsinl0.A和B不能同时为0，否则X(x)恒为零，u(x,t)恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义，但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，sinl0，即lnn1,2,3,.于是，只能取如下的一系列值：2nnn1,2,3,；相应的本征函数就是：lX n(x)sin nlx这里取B1，因为我们所要求的必然只是线性无关解。
不同的B值给出的是线性相关的。
由于同样的原因，我们也不必考虑n为负整数的情形。
这样求得的本征值有无穷多个，他们可以用正整数n标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为n和X n(x).第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：对于每一个本征值n，由T(t)a()0（7.1）解出相应的T n(t):2Tt2TtnnT(t)CcosatDsinatnnnll.因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:nnnu(x,t)CcosatDsinatsinxnnnllln1,2,3,.这样的特解有无穷多个n1,2,3,。