第七章一维波动方程的解题方法与习题答案

第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案

第二篇数学物理方程

——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；

2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件

(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；

3、方程齐次化；

４、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）

1、来源

I．质点力学：牛顿第二定律Fmr

连续体力学

弦

2

u(r,t)

弹性体力学杆振动：22波动方程);

au(r,t)0(

2

t

(弹性定律)

膜

流体力学：质量守恒律：(v)0;

t

热力学物态方

程：

v1

(v)vpf0(Eulereq.).

t

II.麦克斯韦方程

DddD;EdlBdsEB;

Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.

Eu,BA,u,A

满足波动方程。

Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。III.热力学统计物理

热传导方程：

扩散方程：T

t

t

2

kT

2

D

0;

0.

特别:稳态（0

t

）

:

20(Laplaceequation).

IV.量子力学的薛定谔方程：

2

u

2.iuVu

t2m

2.分类

物理过程方程数学分类

振动与波波动方程2

u 1

2

u

22

at

双曲线

输运方程能量：热传导

质量：扩散u

t

20

ku

抛物线

1

稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型

二、数理方程的导出

推导泛定方程的原则性步骤：

（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。

（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”

---“无理取闹”（物理趣乐）。

（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。

（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。

（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。

Chapter7一维波动方程的傅里叶解

第一节一维波动方程-弦振动方程的建立

1.弦横振动方程的建立

（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）

（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征振动的物理量为各点的横向位移u(x,t)，从而速度为u t，加速度为u tt.

（2）立假设：①弦振动是微小的，1，因此，sintan，cos1，又

u x tan

u；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应，1

x

力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T(x,t)始终是沿弦的切向

2

(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x轴，外力线

密度为F(x,t)；④设弦的线密度（细长）为(x,t)，重力不计。

（3）取局部：在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量

2u

22

微元：(x,t)dx；微弧长：dsdxdu1dxdx

（即这一小段的

x

长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度x,t不随时间变化，

另外根据Hooke定律Fkx可知，张力T(x,t)也不随时间变化，我们把

它们分别记为x和T(x).

（4）找作用：找出弦段所受的力。

外力：F(x,t)dx，垂直于x轴方向；

张力变化：Tcos|x dxTcos|x T(xdx)T(x),x方向紧绷，

TTTuTuTux,垂直于x轴方向。

sin|x xsin|xx|x x x|x xd

dd

x

（5）列方程：根据牛顿第二定律

T，因x方向无位移，故T(xdx)T(x)T.

(xdx)T(x)0

( x)dxu tt F(x,t)dxTudxF(x,t)dxTu xx dx

x

x

T 即，uf(x,t)

u

tt，其中

xx

F(x,t)

f(x,t)是单位质量所受外力。

如果弦是均匀的，即为常数，则可写

T

a为弦振动的传播速度，则

u tt xx.

a(,)

2ufxt

自由振动(f0): 20

uau(齐次方程)。

ttxx

小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：

22

uau（齐次方程）

tt

其中a为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f时，其振动微分方程为：

22