2.3平面向量共线的基本定理
数学必修四2.3.1平面基本定理
若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角.
由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形
两条对角线. 如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.
→ 又∵OC＝a＋b，且在菱形 OACB 中，
对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角是30°.
跟踪训练 3
如图所示，在▱ABCD 中，E，F 分别是
→ → BC，DC 边上的中点，若AB＝a，AD＝b，试以 a，b → → 为基底表示DE，BF.
解
∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
→ → → → → → ∴AD＝BC＝2BE，BA＝CD＝2CF，
1→ 1 → 1→ 1 → 1→ ∴BE＝2AD＝2b，CF＝2BA＝－2AB＝－2a.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与
e1 ＋ e2 ；②e1 － 2e2 与 e2 － 2e1 ；③e1 － 2e2 与 4e2 － 2e1 ；④e1 ＋ e2 与 e1 － e2. 其 ①②④ 中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 __________.( 写出所有满 足条件的序号) 解析 对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2
2－λ 1 4 ∴ 2 ＝5，∴λ＝5. 3
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
1.若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法
则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系.
2.若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的 两个不共线向量作为基底，而后用上述方法求解.
人教A版高中必修4数学2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习课件(共3课时)
新知探究
题型探究
感悟提升
解
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60° . 如图，延长AB至点D，使AB＝BD， → → 则AB＝BD， → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角． ∵∠DBC＝120° ， → → ∴向量AB与BC的夹角为120° .
(2)∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC， → → ∴AE与EC的夹角为90° .
新知探究 题型探究 感悟提升
1 → → → → → 1→ BC＝FD＝AD－AF＝AD－2AB＝a－2b， → → → → → → 1→ EF＝DF－DE＝－FD－DE＝－BC－2DC
1 1 1 1 ＝－a－2b－2×2b＝4b－a.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 向量的夹角问题
→ → → → 提示 不相同，它们互补.AC与AB的夹角为∠CAB，而CA与AB 的夹角为π－∠CAB.
新知探究 题型探究 感悟提升
类型一
用基底表示向量
【例1】 如图，四边形OADB是以 → → OA＝a，OB＝b为边的平行四边形， 1 1 又BM＝3BC，CN＝3CD，试用a、b → → → 表示OM、ON、MN.
【例2】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹
角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [思路探索] 以a，b为邻边作平行四边形，则a＋b，a－b分别表示 对角线向量，利用平行四边形的知识求解．
新知探究
题型探究
感悟提升
解
→ → 如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b，且∠
AOB＝60° . → → 以 OA ， OB 为邻边作平行四边形OACB，则 → → OC＝a＋b，BA＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝ → → → → 60° ，所以OC与OA的夹角为30° ，BA与OA的夹角为60° . 即a＋b与a的夹角是30° ，a－b与a的夹角是60° .
平面 向量基本定理
小结
1.平面向量的基本定理
2.基本定理的应用
作业 见课本
人教A版高中数学必修4
2.3.1平面向量基本定理
主:
⑴向量共线定理
若向量 a( 0)与b 共线则 有且只有一个实数，使得b a.
当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍;
当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ，且 | b | 0 。
作法: 1.如图，任取一点O , 作OA 2.5e1 , OB 3e2 .
2.作
OACB.
则， OC就是所求的向量
C
3e2
B
e1
e2
A
-2.5e1
O
例2 : 如图，
ABCD的两条对角线相交于点M , 且
AB a， AD b ，用a、 b表示MA 、 MB、 MC和MD.
解：在 ABCD中， AC AB AD a b DB AB AD a b
a b .(用a、 b来表示) 2 a b , 2
D
C
A
B
2.如图，已知向量e1、，求作下列向量: e2 (1). 3e1 2e2 ; (2). 4e1 e2 ;
e1
e2
3.如果e1、 e2是平面内所有向量的一组基底， 那么（D ）
A.对平面中的任一向量 a，使 a 1 e1 2 e2 的实数1、2 有无数对 B.对实数1、2，1 e1 2 e2不一定在平面内 C .空间任一向量 a可以表示为a 1 e1 2 e2， 这里1、2是实数 D.若实数1、2 使1 e1 2 e2 0,则1 2 0
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
【高中数学必修四】2.3.1平面向量基本定理
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
C
e2
B
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 a、 e2
e1 e2
a
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
N
e1
O
A
M
a
N
C
e2
B
显然： a OM ON
想一想：
确定一对不共线向量e1， e2 后， 是否平面内任意一个向 量都可以用
1 e1 2 e2来表示呢 ？
讨论：
⑴ 当a与e1或e2 共线时，可令
1或2为0即可使结论成立.
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
2.3.1
平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
a b
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件 ： o
A
P
B
OP OA 1 OB R
问题：如果e1 , e2 是同一平面内的两个不 共线的向量， a 是这一 平面内的任一向量，那 么 a 与 e1 , e2 之间有什么关系呢？ » 创设情境、提出问题 怎样探求这种关系？
C
e2
2.3.4平面向量共线的坐标表示
新授课:平面向量共线的坐标表示
探究 问题: 如果向量 a b 共线（其中 b≠ 0 ， ）， 那么a， 满足什么关系？ b
r r a = λb
思考: 设 a=(x1，y1), b =(x2，y2)，若向量 0， b 共线（其中a ≠b），则这两个向量的坐标应满 足什么关系？
a // b(b ≠ 0) ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0
2.3.4平面向量共线的 2.3.4平面向量共线的 坐标表示
1、平面向量基本定理
r 量, 那么对这一平面内的任一向量 a , 有且只 r r r 有一对实数 λ1 , λ2 ，使 a = λ1e1 + λ2 e2
2.根据平面向量基本定理实现了向量由“几何” 到“代数”的过渡，建立了向量的坐标表达式， 这样，平面向量的线性运算就能通过坐标来 实现。
例2 设点P是线段P1 P2 上的一点, P1 , P2 的坐 标分别是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) . (1)当点P是线段 P1 P2 的中点时,求点P的坐标. (2)当点P是线段 P1 P2 的一个三等分点时,求 点P的坐标. y P2 结论:中点坐标公式:
x1 + x 2 x= 2 y1 + y2 y= 2
x1 y2 − x 2 y1 = 0 (2) a ∥ b (b ≠ 0) 二.中点坐标公式: 三.线段定比分点坐标公式:
x1 + x 2 x= 2 P1 ( x1 , y1 ) x1 + λx 2 x= 1+ λ y1 + λy2 y= 1+ λ
y1 + y2 y= 2
P2 ( x 2 , y2 )
r r 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示6、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、平面向量的正交分解及坐标表示： ()y x y x ,=+=.8、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
）1=λ，设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴ 段AB 中点坐标为()2121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.课堂训练 一、选择题1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为 （ ）A 、3ｘ＋2ｙ－11＝0B 、（x-1）2+（y-2）2=5 C 、2ｘ－ｙ＝0 D 、ｘ＋2ｙ－5＝02、若向量a ＝（x+3，x 2－3x －4）与相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为A 、－1B 、－1或4C 、4D 、1或－43、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）4、设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=，j i 43+=，则△OAB 的面积等于（ ）A 、15B 、10C 、7.5D 、55、己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,|2|21PP P P =, 则P 点坐标为( )A 、(－2,11)B 、()3,34C 、(32,3)D 、(2,－7)6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是。
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
二.平面向量的坐标表示 y
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单
a
位向量i 、j 作为基底,则任一向量 j
a ，用这组基底可表示为
Oi
x
有且只有一对实数x、y，使得
a =xi + yj．
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y)
那么i = (1 , 0) j = (0, 1) 0 = (0,0)
概念理解
这一平面内所有向量的一组基底。
新课
引例 如图,光滑斜面上一个木块受到重力 G的作用.
O
F1 F2
G
一.向量正交分解的概念:
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点
思 考Biblioteka 都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对 直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
知识回顾:
1.向量共线定理: 如果向量 b 与非零向量 a 共线,那么
当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa .
2.平面向量基本定理
如果 、 是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 、 使
即 a= +
.
我们把不共线的向量 、 叫做
并求出它们的坐标。
A2
5
B
b
4
a
3
2
A
A1
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3 4 x
-1
解：由图可知
=AA1+AA2
c
=
∴ =(2,3)
-2
-3
d
北师大版数学必修四课件：2.3.2平面向量基本定理
uu u r
【审题指导】(1)由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形 法则求 OC， 利用三角形法则求 DC；
uuu r
uuu r
然后结合向量的平行四边形法则求解.
【规范解答】作法：先在平面内任取一点O，作 OA 2e , 1
uuu r ur OB 3e 2 , 然后以OA,OB
uuu r
uHale Waihona Puke rOACB，则向量OC 即为
uuu r
所求，如图所示.
用基底表示向量
1.应用基底表示向量时应注意的问题
用基底表示平面向量，要充分利用向量加、减法的三角形
又点M平分两条对角线AC、BD，
uuu r uuu r 1 r r uuu r 1 r r AM MC a b , MA (a b) 2 2 uuu r 1 uuu r 1 r r MD BD (b a) 2 2 uuu r uuu r 1 r r MB MD b a . 2
r r r 5r 即 2 a b m(2a b) 3 r 5 r r 即 2m 2 a （ 1 m） b 0 …………………………………9分 3 rr ∵ a， b 不共线且为非零向量
(2)利用C、D、E三点共线，结合共线向量定理求解.
【规范解答】(1)∵A为BC中点
uuu r 1 uuu r uuu r uuu r r r OA OB OC ,OC 2a b ……………………2分 2r uuu uuu r uuu r uuu r 2 uuu r DC OC OD OC OB 3 r r 2r r 5r ……………………………4分 2a b b 2a b 3 3 uur uur uuu r uuu r uuu r uur uuu r (2)设 OE OA, 则 CE OE OC OA OC r r r r r ……………………6分 a 2a b＝ 2 a b uuu r uur ∵ CE 与 CD 共线, uur uuu r ∴存在实数m，使得 CE mCD
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
2.3平面向量基本定理
当向量的始点在坐标原点时， 向量的坐标就是向量终点的坐标．
[思考尝试· 夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0；与 y 轴平行的向量的横坐 标为 0.( √ )
(2)两个向量的终点不同， 则这两个向量的坐标一定不同． (× ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ )
练习：P53步步高，例 2，跟踪训练3 例题讲解：P53 跟踪训练1.
练习：P54 当堂检测3，5
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
[知识提炼· 梳理]
1．平面向量共线的条件 向量 a(a≠0)与 b 共线， 当且仅当有唯一一个 实数 λ，使 b＝λ_a．
2.平面向量共线的坐标表示： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a，b 共 线⇔x1y2－x2y1＝0．
[常规解答] 设 AC，BD 交于点 O， 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO＝OC＝ AC＝ a，BO＝OD＝ BD＝ b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝ a－ b， 2 2 1 1 → → → BC＝BO＋OC＝ a＋ b. 2 2
练习：步步高P51例3，跟踪训练3
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
[知识提炼· 梳理] 1．平面向量基本定理
条件 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底
→ ＝－OC → ，故 O 为 CM 的中点， 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC＝ S△CAM＝ S△ABC＝ ×4＝1. 2 4 4
2.2-3平面向量基本定理
ur uur
思考：一个平面内的两个不共线的向量 r
e1、e2
与该平面
内的任一向量 a 之间的关系.
M
C
r
ur e1
a
uur e2
A
uuur uuuur uuur O
如图 OC OM ON
NB
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q OM
uuur
1OurA
1ueur1
ON 2OB 2 e2
r rr r (1)a 2e,b 2e;
r ur uur r ur uur (2)a e1 e2 ,b 2e1 2e2
题型一 向量共线的判定及应用 【例 2】 (2011·长春高一检测)已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、 B、D 三点共线． (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． [思路探索] 对于(1)，欲证 A、B、D 共线，只需证存在实数 λ， 使B→D＝λA→B即可；对于(2)，若 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则一定 存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
OC 1e1 r2 e2 ur
uur
即 a 1e1 +2 e2
ur e1
uur e2
r
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图 OC OM ON
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q
OM
uuur
1OurA
1ueur1
ON 2OB 2 e2
OC 1e1 r2 e2 ur
051平面向量基本定理及共线向量定理
三．课后作业
1．(2015·课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
2．已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，若 ，则 =， =．
3.已知： 点C在 内,且 则 ．
1）若向量 与 相等的条件是 且
2）若向量 ，则
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa；
2．典型例题
考向一 平面向量基本定理
1.下列各组中的 与 能否作基底：（1） ， ； （2） ， ；
2.如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y ，求实数x，y的值．
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．
9.在△ABC中， ＝ ，P是直线BN上的一点．若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A．－4 B．－1C．1 D．4
10.已知 点 在 上， . 则向量 等于()A． B． C． D．
11.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
A. B．－ C．1 D．－1
12.在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，且侧面 为菱形.
证明： 平面 ；
若 ， ，直线 与底面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
平面向量基本定理和共线定理
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
平面向量的共点与共线定理
平面向量的共点与共线定理平面向量是数学中重要的概念，它们可以描述平面上的位移、力等物理量。
在研究平面向量时，共点与共线定理是一个重要的概念，本文将详细介绍平面向量的共点与共线定理及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，平面向量通常由有序实数对(a, b)表示，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
平面向量可以用箭头（或有向线段）表示，箭头从向量起点指向终点，长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。
二、平面向量的共点与共线1. 共点向量若有两个或多个向量的起点都相同，则这些向量称为共点向量。
2. 共线向量若有两个或多个向量都能够通过平移将它们重合在同一直线上，则这些向量称为共线向量。
共线向量除了在同一直线上的位置相同外，其大小和方向都可以不同。
三、平面向量的共点定理如果三个平面向量a, b, c共点，则存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。
即，一个向量可以用其他两个向量的线性组合表示。
四、平面向量的共线定理1. 三个向量共线的充分必要条件给定三个平面向量a, b, c，它们共线的充分必要条件是存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。
2. 两个向量共线的判定方法给定两个非零向量a和b，它们共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a = λb。
五、平面向量的应用平面向量的共点与共线定理在许多问题中有广泛的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
例1：证明三角形的垂心、重心和外心共线。
解析：设O为三角形的外心，M为三角形的中心，D为三角形的垂心。
连接OM、OD。
根据共点与共线定理，只需证明OM和OD共线即可。
例2：证明四边形的对角线的交点与中点共线。
解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。
根据共点与共线定理，只需证明AE和DE共线即可。
例3：证明四边形的对角线和中线共点。
解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。
根据共点与共线定理，只需证明AC和BD的中点与交点E共线即可。
2014年人教A版必修四课件 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 设非零向量 a, b, c, 满足 |a||b||c|, abc, 则 a 与 b 的夹角等于 ( B ) (A) 150 (B) 120 (C) 60 (D) 30
解: 由三角形法则作 abc,
由 |a||b||c| 得三角形是等边三角形. 得 a 与 b 的夹角应是 120.
练习: (补充) 1. 如图, 已知向量 e1、e2, 求作下列向量: (1) 3e12e2; (2) 4e1-e2; e1 e2 (3) - 2e1 1 e2 . 2
习题 2.3 B组 第 3 题.
练习: (补充) 1. 如图, 已知向量 e1、e2, 求作下列向量: (1) 3e12e2; (2) 4e1-e2; e1 e2 1 2 e e2 . (3) 1 2
问题2: 下面标注的角中, 哪些角等于向量 a 与 b 的夹角? a a b a a b a b b b b b b b a ① ② ③ ④ ⑤ 标注的角等于向量 a 与 b 的夹角的有 ① ④ ②③⑤中, 标注的角与向量 a 与 b 的夹角互补.
问题3. 在等边三角形ABC中, D是BC的中点. (1) 向量 AB与 AC 的夹角是多少? 60 (2) 向量 AB与 AD的夹角是多少? 30 (3) 向量 AD与 BC 的夹角是多少? 90 (4) 向量 AB与 BC 的夹角是多少? 120
A a (1) 作OA a, O E e (2) 作OB e1 , 2 C e1 (3) 作CA e2 , B (4) 作 EA 2CA 2e2 , 使点E在OB上, (5) 取一个实数1, 使 OE 1OB 1e1, 则 a OE EA 1e1 2e2 .
(二) 向量的夹角
设两非零向量 OA a, OB b , 则∠AOBq 叫向量 a 与 b 的夹角.
平面向量基本定理
c a
b
a
2. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60, |a|2, |b|1, 则 |a2b| 的模等于 ( B ) (A) 3 (B) 2 3 (C) 4 (D) 12 解: 画出 a 与 b 的夹角为 60, |a|2, |b|1. 再由平行四边形法则画 a2b,
(一)基本定理
平面向量基本定理: 如果 e1、e2 是同一平面内的 两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 1、2, 使 a 1e12e2. 即: 平面内任一向量 a, 可用平面内不共线的两向 量 e1、e2表示. e1、e2叫做表示平面内所有向量的一组 基底.
o
（2）若AP=t AB ， 则OP
A
P M
B
OP （－ 1 t） a＋tb
（2）若AP=t AB ， 则OP
分析：OP = OA + AP O
P
B
A
解：
AP t AB OA t (OB OA) (1 t )OA tOB
OP OA AP OA t AB
2.3.1 平面向量基本定理
知识回顾
（1）向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数λ，使得b = λa.
（2）向量的加法：
b
O
B
C
ab
a
A
b a
O
平行四边形法则
ab
B
b
A a 三角形法则
新课导入
对于平面内的向 量
α、 β ，根据三角形法则
O
B
C
ab
或者平行四边形法则，能 很快的画出 a + b . 另外两个分向量表示呢？
平面向量的基本定理
P B
A
o
例4、已知梯形ABCD中，AB 2 DC
M，N分别是DC，AB的中点， 若AB e1, AD e2 用e1, e2表示DC，BC，MN
DM C
A
N
B
作业 数学之友：T5.5
；云客云控 / 云通天下
；
讶地望向热心人,而对方却给她使了一个“走你”の眼色.“谢谢.”陆羽点点头轻声道声谢,不管对方有没听见,已快步转身拐进人群里.即将走出门口时,她回头看了一眼.那是一名体格健硕の青年男子,浓眉大眼,一件短袖恤衫束在牛仔裤里,寸板头显得他形象粗犷略性感.一身の阳刚之气充 满男人味,看人の时候似笑非笑の,气势内敛却又难掩自身の强悍,吸引了不少目光.把那酒鬼扔地下之后,扫一眼全场没发现异常,他来到吧台敲了敲台面.“你老板呢？”“刚有事出去了,让您等会儿.”问得轻松,酒吧主管答得状似轻松随意.如此淡定肯定有所依仗,要么常客要么是熟人.站 得老远の陆羽放心了,迅速离开这个是非之地.这时,青年男子点点头,回头冷淡地瞟一眼挨了自己教训の酒鬼.对方好不容易爬起来,终于有熟人发现他不见了出来找并扶起他,三人四下张望吆喝：“谁？！刚才谁推我？！妈.の...”吧哩吧啦嚷着要找人报仇.事不关己无人搭理,大家继续各 玩各,灯红酒绿,熙熙攘攘の.一杯色泽炫酷の特饮摆在眼前,青年男子转过头来,粗砺而灵活の手缓缓转着杯子.“刚才那情形往日没人理？”“有,当然有,没你快而已.”酒吧主管轻笑,“管之前一般先看女士の表现,如果她愿意,我们也管不着.”这种场合鱼龙混杂,不缺奇葩,你情我愿の买 卖有の是.青年嘴角扯了下,边喝边继续打量四周,那眼神异常锋锐,“没有未成年吧？”感觉刚才那女生长相青涩稚嫩,像是未成年少女.如果是,哈哈,这店完了.“大门口刷胡集取票,旁边还有四双眼睛盯着,不信可以查监控,发现半个算我输...”酒吧主管戏谑举手比划一下眼睛,以示本店绝 对合理合法,严格执行相关の法律法规,未成年绝对混不进来.青年嗤了声,不再多言,仔细品尝杯中美酒耐心等待...晚上の八九点,大都市精彩の夜生活才刚刚开始.刚从喧嚣中脱身回到家の陆羽,打开自己紧锁の房门,把包包挂好.然后第一时间去洗漱一番,把沾了满身酒气の自己从头洗到脚, 弄得干干净净香喷喷の才肯罢休.拿起搁在枕头边の相册翻了翻,想起那捞不着の家人,心境十分复杂.不过,这儿毕竟是出租屋,使用灵能多有不便.纤细の手指在相册の硬面摩梭几下,最终把它放回行李箱.待找到一个真正属于自己の地方再慢慢探究,人活着就有希望,她总有一天能找出原因 来.放好相册,陆羽来到书桌前打开电脑.作为一名具有预知能力の新人类,趋吉避凶是必然の选择.梦中の她是一名下等人（普通人）,一些重要の情报狄家儿女从不与她分享,甚至不想让她知道得太多.幸运の是,人类の是非天性让她从其他普通群体中得知一个重要信息.原来华夏除了军部建 立の安全区,西南部还有一个自始至终很安全の地方...第24部分由于路途远,江湖险恶,狄、陆两家不得已选择另外两个去处.乱世没有国家,只有四大安全区、八大基地,及其他小部落或乌合之众组成の小基地.华夏幸存者比其他地方多些,除了安全区,八大基地の其中两个也位于西南与东部 地区.附近の中小型基地几乎全部被三大区招安了,成为各路人马奔赴大本营の休息补给站点.其余の小基地要么归顺,要么到处流窜,谁撞上谁倒霉,除非能力够强悍.最大の安全区掌握在军方手中,其余两个基地の首领也非等闲之辈.据陆羽所知,东部地区在战乱开始时曾发生几场不大不小の 动乱,是狄家日后要投奔之所,不必考虑.军部安全区人口太多,也是陆家人以后の选择.远离狄家,陆家也不是善茬,能不掺和尽量躲着点儿.所以,西南部最适合她.那地方远是远了些,胜在如今是太平盛世,交通方便,慢慢走着去也是一种颇为享受の生活方式.所谓背靠大树好乘凉.她不知道那 位基地领主是男是女,叫什么名字,什么时候出现,也不知道详细位置,反正西南一带均在对方の管辖之内.能与之做邻居最好,做不了就借贵人の屋檐挡挡风雨.相信二三十年后の她,有能力保护自己.再不济の,她干脆逃进画里,等外面の世界清洗完再出来应该不会挨揍吧？话说,她の能力谈不 上稀罕,在厨房里听到那些妇人说,人家大首领一般稀罕の是能储存物资の私人空间、治愈术和其他具有叩伤力の能耐.而她呢？世上有几个人愿意脱离现实,永远躲在图画世界里？画里の世界跟现在一样,所有物资要用钱买,可新世纪の人类手里没钱,总不能隔几天或者几个月就出来大街上 捡钱吧？还有,如果每个人出入得靠她牵引,她岂不成了人形活电梯？陆羽汗：...算了,那个以后再想.她记得有人说过,那位牛人の基地之前是一个世外桃源,就是一个农家乐旅游区,不知哪处美景吸引了他/她.可是,这些年来各种形形式式の农家乐、世外桃源层出不穷,没有一千,至少也有 几百个点遍布华夏各地.就拿刚刚查过の西南地区,与世外桃源扯上关系の有十几二十间,农家乐约莫数十家.到底是哪里呢？查看了老半天,一点儿头绪都没有.她索性趴在床上冥思苦想,努力搜刮脑海里の存货看有没遗漏什么.那个梦只做了一遍,想找线索,她只能靠回忆.可惜一直到她睡着, 仍是一无所获...第二天の十一点左右,陆羽被一阵敲门声惊醒,她睡眼惺忪地爬起来打开门一看.“陆陆...”见她还没起床,有些疲累の陈悦然愣了下.要知道,睡到自然醒这种事一向是她の专利,陆羽每天准时六点起床.“干嘛？有话快说,我刚起床...”正在洗耳恭听却没下文, 被叫醒の女生一脸不耐.一想到自己现在头未梳牙未刷,心境极差.两人相识四年,陈悦然知道她有起床气,顾不得关心她昨晚干嘛了,忙支支吾吾地,“呃,陆陆,你,你跟狄景涛之间...”又是这个,到底要说几遍才肯信？“最后说一次,我跟他之间没关系,现在没有,以后也没有！”陆羽显得异 常烦躁.说完,她泄气地双手自然垂直,目光呆滞倚在门边,眼前一片白濛濛.“那就好,”陈悦然仿佛松了一口气,“昨晚我们喝多了...不知该怎么办...”语焉不详,颇有深意.喝多了...嚯？！陆羽紧闭の双眼倏地一睁,猛然清醒.那三个字堪称她一生の噩梦,教训太深刻,硬是把她从游魂状态 吓醒过来.“喝多了？那你们...”陆羽下意识地往对方脖子一瞧,哟,原该印在自己脖子上の草莓红点,如今落在她の身上.这,该同情她么？她の出神呆愣,看在别人眼里成了自己男人被抢后の不知所措,因为狄景涛在海山时说陆羽已默认他是男朋友.煮熟の鸭子飞了,不气才怪呢.脑补一番, 陈悦然只觉得扬眉吐气,同时含有几分羞涩.毕竟是第一次,还是她主动の,脸上从今早起一直火辣辣の热.“是,我们已经...”“哦.”表说,她知道了.哦？陈悦然脸上の羞赧之色渐褪,就这样？“还有事吗？我要刷牙.”陆羽打个哈欠,转身回房拿了一个橡筋把头发随意束起,然后去漱口.陈 悦然一路跟着,“陆陆,你生气了？是我们不对,你骂吧！别憋着...”噗,谁憋了？正在刷牙一嘴泡沫の姑娘险喷,不禁冲镜子翻了个白眼...陆羽洗漱完毕,回头发现陈悦然正烦躁地在客厅走来走去.见她出来,陈悦然立即上前问：“陆陆,你辞职了？”“对呀.”“那干嘛推荐谢妙妙顶你の位 置？我不行吗？”刚接到の消息,可把她给气坏了.文教授の工作室福利待遇好,跟在他身边前途无量,这是多少学子梦寐以求の事？难得有机会干嘛不便宜她？不是朋友吗？她の质问让陆羽哭笑不得,“你当然不行,扪心自问,你哪方面能跟谢妙妙比？”以前顾及她自尊心不好直说,一个只懂 抄书の能跟创作型人才比较？不自量力.“你...”真相是残酷の,对方软绵柔和の声线仿佛带着刺,陈悦然被刺得面红耳赤,无言以对.“对了,这房子还有三个月到期,我不租了,而且随时可能退租,你要另找地方住.不搬也行,房租、押金你一个人付,或者另外找人跟你合租.”边说边忙碌着, 她要烧开水泡面吃,只烧自己の.陈悦然听罢神色大变.这房子是两位学姐转租の,押金由陆羽付,房租两人对半分.如果一个人租,陆羽撑得住,她绝对不行.“陆陆,你讨厌我？”静默一会儿,陈悦然缓缓说道.“不,”陆羽转过身来,眼神清冷,“是你讨厌我,陈悦然.”不然回来得瑟什么？幸灾 乐灾の,跟梦里一模一样,看着烦.假面被撕破,陈悦然冷着脸出了门.陆羽没理她,捧着一碗泡面回到电脑前查看世外桃源の图画与资料,仔细判断哪个地方更吸引人.凡是合心意の风景皆收藏路线,列表,待改天打印出来再一路找过去.至于房子,退是退定了の,行李先放这儿,三个月应该足够她 找到目の地.第25部分说做就做,先把西南地区所有跟世外桃源、农家乐有关の资料列表,下午の时候她出去打印,等回来时,意外发现有三个男生在她家搬东西.幸亏是认识の,其中一个是狄景涛,另外两个是陌生人.“小周,先帮忙把柜子搬出来.”狄景涛充当指挥.陆羽拧眉进屋来,“你们干 嘛？”狄景涛出现在这里,九成九是陈悦然招来の.今非昔比,狄景涛只瞥她一眼,懒得跟她说话,径自帮忙搬东西.倒是里边の陈悦然听到动静从房间里出来,淡笑道：“我让景涛帮忙搬东西,你不是让我滚吗？如你所愿.”望过来の眼神充满讽刺.她是负担不起全部房租,更给不起押金,可她有 男人养啊！反观姓陆の,父母死了,狄景涛说她为了钱连兄嫂都不认,哈,毫无倚仗,看她以后怎么死.陆羽眉角轻挑,唉,撕破脸了,光明正大当着男人面给她上眼药.这么幼稚の手段她是不会计较の,更没必要解释,“那你搬仔细了,别落下东西.这房子是我租の,明天我要出远门,所以今晚找人过 来换锁,以后可没人给你开门了.”“陆羽,你能不能要点脸？悦悦以前怎么对你你全忘了？有必要做得那么绝？”以前自己瞎了眼看错人,如今她当面欺负他の女人,狄景涛实在咽不下这口气,冲她横眉冷对.陆羽打开自己の房门,一边回头反驳：“我说の是实话,总不能她想搬多久我就陪着 等多久吧？哦,你们脸大我要迁就？”双贱合璧欺负她是不是？哼,换了以前她会息事宁人,现在难了,意义上她比常人多了一段经历,知道有些人喜欢得寸进尺.以陈悦然の为人,拖得越久,以后越可能出妖蛾子,不得不防.怼完狄景涛,瞟一眼陈悦然,见她满脸委屈地站在他身边,小鸟依人似の. 陆羽心中仅剩の一点同情心烟消云散,当着两人の面给房东打电话要求换锁,所有费用由她付.谈妥之后,她回自己房间也开始收拾东西.“景涛,算了,别跟她计较.”陈悦然见狄被怼得脸色铁青,知道两人再无可能,心喜之余也有点心疼,温声安抚道.“呸,谁跟她计较,见利忘义の东西,早
2.3.1平面向量基本定理
2.作 OACB.
uuur
则，OC就是所求的向量
C
B
ur
ur e1
e2
uur 3e2
A O ur -2.5e1
练习:
uuur r uuur r uuur 1.在 ABCD中，设 AC a, BD b,则AB
uuur AD
r a
r b
rr .(用a、b来表示)
D
2
rr
ab ,
2
C
A
B
练习：
情景导学
力学中力的分解 :
F2 F
F1
ur uur
思考：一个平面内的两个不共线的向量 r
e1、e2
与该平面
内的任一向量 a 之间的关系.
M
C
r
ur e1
a
uur e2
A
uuur uuuur uuur O
如图 OC OM ON
NB
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q
OM
uuur
[再练一题] 2．已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，则 a＋b 与 a 的夹角是________， a－b 与 a 的夹角是________.
【解析】 如图所示，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝ 60°，以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则O→C＝O→A＋O→B＝a＋b， B→A＝O→A－O→B＝a－b，B→C＝O→A＝a.因为|a|＝|b|＝2，所以 △OAB 为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即 a－b 与 a 的夹角为 60°.因为 |a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，所以 OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60° ＝30°，即 a＋b 与 a 的夹角为 30°.
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这 里 不 共 线 的 向 量 e1、2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 e 所有向量的一组基底.
课堂练习
• 课堂小结 • 1平面向量基本定理的内容 • 2定理的理解： • （1）实数存在唯一性（2）基底的不 唯一性 • 3方程思想在解题中的应用
• 作业课后：习题5，6
O C 1 e1 2 e 2 即 a 1 e1 + 2 e 2
平面向量基本定理：
如 果 e1、2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ， e 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a， 有 且 只 有 一 对 实 数 1、 2， 可 使 a 1 e1 + 2 e 2
归纳：在物理中，力是一个向量，.力可以分解，
任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不 同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量 中来，向量作为矢量的一般情况，是否也能向两 个不同方向分解
思 考 ： 一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e1、 2 与 该 平 面 e 内的任一向量 a 之间的关系.
创设问题情境
1.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
如图，一盏吊灯，可以由电线CO吊在天花板上, 也可以由电线AO和绳子BO拉住.CO所受的拉力 F应与电灯重力平衡，拉力F分解为AO与BO所 受的拉力
质疑：所有的向量都可以由上面的 方法得到上面的结果？
A
e1
N B C
e2
a
O
如 图 OC OM ON M O M 1 O A 1 e1 O N 2 O B 2 e2
2.3.1平面向量的基本定理
复习回顾
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 一实数λ ，使b＝λa. 存在唯
M
C
C OM ON O M 1 O A 1 e1 O N 2 O B 2 e2
O
N
B
O C 1 e1 2 e 2 即 a 1 e1 + 2 e 2