反弯点法

r
FP
r
第r层第i根柱子的剪力或侧移分配系 数。分子为第r层第i根柱子的抗剪刚 度，分母为第r层所有柱子抗剪刚度
之和。记做 ri
第r层以上所有外荷载之和。
6.4 反弯点法
✓单柱的抗剪刚度
• 两端固定的等截面柱—刚架柱

V
反弯点 抗剪刚度为
h
EI
S

12EI h3

12i h2
• 一端固定一端铰接的等截面柱—排架柱
中柱
其中：
2ic
i i2 i4
边柱
2ic
已知：
12ic h2

k
两端固定单元的侧移刚度
修正后的 侧移刚度：
D i k 2i
修正系数
6.4 反弯点法
底层柱: D 0.5 i 12iC 0.5 i k 2 i h2 2 i
其中:
i i5 i6 ic
i 1
3
其中任意根柱的剪力：
FQ3i S3i 3 … …②
S3i
为杆件3i两端发生单位相对线位移时的杆 端剪力，成为该杆件的抗剪刚度或抗侧
刚度
6.4 反弯点法
1）求柱的剪力
FP
例如求第三层柱的剪力 FP
取n—n截面：
FQ31 FQ32
FQ33
FQ34
X 0
4
FQ3i 2FP Fp … …①
△
△
此反弯点在柱中。
反弯点在中间 反弯点在柱顶
一层柱由于底部是真 正的固定端，而顶部 有一定的转角，反弯 点上移，因此通常取 2/3柱高。
6.4 反弯点法
对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的
话，其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了，梁的弯矩就可
利用结点平衡求出。
FP
1）求柱的剪力
FP
例如求第三层柱的剪力
i 1
3
其中任意根柱的剪力： 把②代入①式，得：
FQ3i S3i 3 … …②
把△3代入②式，得：
FQ3i
S3i S3i
FP
3
1
FP
3
3
S3i
1
6.4 反弯点法
由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式：
FQri
Sri Sri
r
FP
1
其中： Sri
Sri
n
取n—n截面：
FP
FP
FP FP
FQ31 FQ32
FQ33
FQ34
1
2
4
X 0
FQ3i 2FP Fp
i 1
3
4 3n
2
1
3
4
6.4 反弯点法
1）求柱的剪力
FP
例如求第三层柱的剪力 FP
取n—n截面：
FQ31 FQ32
FQ33
FQ34
4
X 0
FQ3i 2FP Fp … …①
y ( y0 y1 y2 y3 )h
（1）标准反弯点高度比— y0
用总层数：m
所在层：n
查表
梁柱线刚度比：i
6.4 反弯点法
（2）上下梁的线刚度变化时的修正系数— y1
用 i及 查1 表
1

i1 i3
i2 i4
上部梁线刚度与 下部梁线刚度之比
i1
i2
iC
i3
i4
若：1 1 即：i1 i2 i3 i4 查得的y1取正值
6.4 反弯点法
5 5
5 10 15
10
10
20
2.5 5 2.5
7.5 10
5 7.5
10
10 10 10
5 5
15 10
5
20 10
10
20
20
20
M图
6.4 反弯点法
3、D值法——修正反弯点法
针对前面介绍的反弯点法主要作两方面的修正： 1）柱子剪力的计算
反弯点的假设是：所有结点的转角为零。
➢当 ib ic 3 时计算误差较大，可通过修正立柱的 剪切刚度（如D值法）来调整计算。
EA
FP EI EI
排架
刚架
(多用于工业厂房)
EIb
FP EI EI
6.4 反弯点法
刚架在水平荷载作用下弯矩图有以下的特点：
FP
1）弯矩图全是直线组成；
2）柱子的剪力沿杆长是常数；FP
3）柱子的弯矩图全有反弯点；FP
用 i及 查3 表
3

h下 h
3 1
y3 取负值
3 1
y3 取正值
反弯点应往刚度 弱的方向移动。
6.4 反弯点法
D值法的计算步骤：
中柱
1）求柱的剪力
● 求每根柱的i
一层以 i1 i2 i3 i4
上柱
2ic
● 求每根柱的 D 一层柱
一层以
FQri
Dri Dri
r
FP
r
上柱
i 2i

12ic h2
i5 i6 ic
边柱
i2 i4 2ic
i6 ic
一层柱 FQri

Dri Dri
r
FP
r
0.5 i 2i

12iC h2
● 求每根柱的剪力：FQri
Dri Dri
FP
r
r
6.4 反弯点法
D值法的计算步骤：
2）求柱的反弯点高度
● 由 m n i 查表 y0
第六章 超静定结构的解法—位移法
第六章
➢§6-1 基本概念 ➢§6-2 位移法举例 ➢§6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法 ➢§6-4 计算有侧移结构的反弯点法
6.4 反弯点法
• 反弯点法的本质及其适用范围
▪ 反弯点法是计算承受水平结点荷载的刚架内力的一种
实用算法，它假定刚架横梁为无限刚性，即不计刚性
结点转动的影响、只考虑结点的侧移，从而使位移法
的计算大为简化。
即，反弯点法的适用范围为：刚性横梁的排架或刚
架承受水平结点荷载。
EA
EIb
FP EI EI
排架
刚架 FP EI EI
(多用于工业厂房)
6.4 反弯点法
➢实际工程中，横梁不是无限刚性，所以反弯点法 的计算结果是近似的。当横梁与立柱的线刚度之 比 ib ic 3 时，反弯点法的计算精度能满足工程要 求。
i i6 ic
中柱 边柱
第r层任意根柱子的计算公式为：
FQri
Dri Dri
r
FP
r
i1
i2
i3 iC i4
i5
i6
iC
6.4 反弯点法
2）反弯点的高度
反弯点的高度与下面的一些因素有关:
建筑的总层数、柱子所在层、上下梁的线刚度比、 上下层的层高变化、荷载分布等。
考虑上述因数后，反弯点的高度可表示成:
4）结点位移主要是侧移，转
角很小。
FP
6.4 反弯点法
为了简化，对于梁柱线刚度比大于3情况，作如下假设：
1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零；
2）柱子反弯点的高度在柱高的1/2处，底层柱在柱高的
2/3处。
一层以上柱，由于假
解释一下，第2个假设。
设转角为零，因此全
两端固定单元 一端固定一端铰结 是两端ห้องสมุดไป่ตู้定单元，因

h EI
V
3EI 3i
抗剪刚度为
S h3 h2
6.4 反弯点法
2）梁的弯矩
在结点处按梁的线刚度分配柱子的弯矩。
ML1
ML2 MZ
M Li
iLi iLi
MZ
I
其中： iLi 为I结点处第i根梁的线刚度。
iLi 为I结点处所有梁的线刚度之和。 I
6.4 反弯点法
例：用反弯点法计算图示刚架的弯矩，所有柱线
若：1 1 即：i1 i2 i3 i4 查得的y1取负值
（3）上下层高变化时的修正系数—y2 y3
y2 ——修正上层柱高不同的情况
用 i及 查2 表
6.4 反弯点法
2

h上 h
2 1
y2 取正值
说明上柱长，下柱 短反弯点上移。
2 1
y2 取负值
y3 ——修正下层柱高不同的情况
6.4 反弯点法
10
3）求梁的弯矩
2
1
2
3
1
5
M12 5
5
10
4
5
6
10
5
M 21

M 23

5 2

2.5
5
7
8
9
5
M 32 5
10
11
12
5
4
15
10
M 45 15
M 54

15 2

7.5
10
M56 7.5
M65 15
M 87

M 89

20 2
10
M 78 20
M 98 20
现在的假设是：▲ 一层以上结点的转角为 ；
i1
i2
i3 iC i4
▲ 一层柱的转角为
▲ 柱子的线刚度相同均为iC；
i5
i6
iC
6.4 反弯点法
由以上的假设可得到柱的侧移刚度为：
i1
i2
i3 iC i4
一层以上：
k'
i 2i

12ic h2
i5
i6
iC
i i1 i2 i3 i4
M 36 M 63
10 3 5 32
M 47 M 74 M 58 M 85 M 69
20 3
M 96 M710
3
M 811

10 2 M912
30 3

1 3 3
10
M107

M118

M129

30 3
23 3

20
3.0 3.0 3.0
● 由 i 1 查表 y1
● 由 i 2 查表 y2
● 由 i a3 查表 y3
●
由
y ( y0 y1 y2 y3 )h
计算反弯点的高 度
3）求柱的弯矩
4）求梁的弯矩 5）画弯矩图
刚度均为i,梁线刚度均为4i
10
1
2
3
3.0 3.0 3.0
解：1）求柱的剪力
10
FQ14

FQ 25

FQ36

10 3
4
5
6
10
FQ 47

FQ58

FQ 69

20 3
7
8
9
10
11
12
FQ710 FQ811 FQ912
2）求柱的弯矩

10 3 3
M14 M 41 M 25 M 52