人教版高中数学高二数学《平面向量的数量积》学案
平面向量数量积导学案(3课时)
平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案（1）学习目标：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何 意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.学习过程 一、课前准备 复习：1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 .2、向量数乘运算的定义是 . 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学探究1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。
② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点的）特别地：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。
探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关。
高中数学下学期 24平面向量的数量积教案 新人教A版必修4 教案
【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
四、变式演练,深化提高
练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?
布置作业
课本P108习题2.4A组第1,2,3题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)力F所做的功W=Fs cosθ.
(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.
(3)W=F·s.
二、信息交流,揭示规律
1.数量积的概念
|a|·|b|cosθa·b
问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.
问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘。
新人教A版必修二 平面向量的数量积 学案
2019-2020学年新人教A 版必修二 平面向量的数量积 学案1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角。
②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向共线；若θ＝180°，则a 与b 反向共线；若θ＝90°，则a 与b 垂直。
(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0。
②几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角。
(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2。
(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21。
(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22。
(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0。
(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22。
3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)。
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)。
人教A版高中数学《平面向量的数量积》导学案
2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos ，是F 与s 的夹角.新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca= c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e ⋅a = a ⋅e =|a |cos2 ab a ⋅b = 03当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a ba ⋅5|a ⋅b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升1.已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （ ）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1(-.条件甲：0AC BC ⋅=；条件乙：点C 的坐标是方程122=+y x 的解.则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.已知||22,||3,p q p ==与q 的夹角为4π，则以52,3a p q b p q =+=-为邻边的平行 四边形的较短的对角线长为 （ ）A.15B.15C.14D.16 4.把点(2,2)A 按向量(2,2)-平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC =， 则点C 的坐标为 .5.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a平移,得到22x y =的图象,且a b ⊥,)1,1(-=c，4=⋅c b ,则 =b.6.不共线向量a ，b 的夹角为小于120的角，且||1,||2a b ==，已知向量2c a b =+，求||c 的取值范围.7. 已知向量,a b 满足||||1a b ==，且||3||a kb ka b -=+，其中0k >.（1）试用k 表示a b ⋅，并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值；（2）当a b ⋅取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b x ππ==-∈. （1）求a b ⋅及；||a b +； （2）求函数()()(||a b f x R a b λλ⋅=∈+且0)λ≠的最小值.参考答案例1 （略） 例2 （略） 例3 （略） 例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y =≠33x y +=221(0)x y y +=≠.2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC ⋅=⇔ 2(1)(1)0x x y +-+=,∴0AC BC ⋅=⇔122=+y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b +为对角线时，其长度较短，6a b p q +=-.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC =-，可求得点C 的坐标为(0,2).5 )1,3(- 提示：由函数 5422+-=x x y 的图象按向量a平移,得到22x y =的图象，可得(1,3)a =--；设(,)b m n =，由a b ⊥和4=⋅c b 得：304m n m n --=⎧⎨-=⎩，解之得3,1m n ==-.6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b θ=+=+⋅+=+（其中θ为a 与b 的夹角）.∵0120θ<<, ∴1cos 12θ-<<, 13||5c <<, ∴||c 的取值范围为13,5). 7解：（1）2221||3||()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k k+-=+⇒-=+⇒⋅=->. ∴111()42a b k k ⋅=-+≤-,此时1cos 2θ=-，23πθ=. ∴21(0)4k a b k k +⋅=->，a b ⋅的最大值为12-，此时a 与b 的夹角θ的值为23π. （2）由题意，12a b ⋅=-，故22213||1()24a b λλλλ+=-+=-+， ∴当12λ=时，||a b λ+的值最小，此时1||02a b b +⋅=，这表明当1()2a b b +⊥.8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x ⋅=-=+=； 223333|||(coscos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x x a b +=+-=++-3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x =+-=+=.（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx λλ==-, ∵[,]64x ππ∈, ∴1cos 2cos x x-是减函数，①当0λ>时，()f x 的最小值为()04f π=；②当0λ<时，()f x 的最小值为()6f π=.综上，当0λ>时，()f x 的最小值为0；当0λ<时，()f x .。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
高中数学 2.4《平面向量的数量积》学案 新人教A版必修4
第3课时平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b，过O点作＝，＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b的．当θ＝0°时，与b；当θ＝180°时，与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与b，它们的夹角为θ，则数量叫做与b的数量积（或内积），记作·b，即·b＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，则·b＝．3．向量的数量积的几何意义：|b|cosθ叫做向量b在方向上的投影(θ是向量与b的夹角)．·b的几何意义是，数量·b等于．4．向量数量积的性质：设、b都是非零向量，是单位向量，θ是与b的夹角．⑴·＝·＝⑵⊥b⑶当与b同向时，·b＝；当与b反向时，·b＝．⑷cosθ＝．⑸ |·b|≤5．向量数量积的运算律：⑴·b＝；⑵(λ)·b＝＝·(λb)⑶ (＋)·c＝例1. 已知||＝4，|b|＝5，且与b的夹角为60°，求：(2＋3b)·(3－2b)．解:(2＋3b)(3－2b)＝－4变式训练1.已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值．解:56例2. 已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<． (1) 若a ⊥b ，求θ；(2) 求|＋b |的最大值．解：(1)若⊥，则0cos sin =+θθ即1tan -=θ 而)2,2(ππθ-∈，所以4πθ-= (2))4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=++=+ 当4πθ=时，+的最大值为12+变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．证明：222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+⋅-=-=+-+=a b ∴+ 与a b -互相垂直（2）k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++,a k →-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=--, 21k a b k →+=+21a kb k →-=+,=cos()0βα-=，2πβα-= 例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC 是哪类三角形．解:设BC 的中点为D ，则(-)(2-+)＝0⇒2·＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形.变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 . 解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-⋅=⊥例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝528，求cos(82πθ+)的值.解:+＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25128 化简：cos 257)4(=+πθ 又cos 225162)4cos(1)82(=++=+πθπθ ∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ<0 ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ＝－54 变式训练4.平面向量13(3,1),(,22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)x a t b =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.解：由13(3,1),(,22a b =-=得0,||2,||1a b a b ⋅=== 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-⋅-+=-+⋅--⋅+-=33311(3),()(3)44k t t f t t t =-=- 角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝，或b ＝．3．应根据定义找两个向量的夹角。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
《平面向量的数量积及平面向量的应用》学案
学习过程课堂导入一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．物理学当中的做功在数学中叫做什么？是如何表示的呢？复习预习1.两个向量的夹角概念及求法2.平面向量基本定理及其坐标表示方法3.平面向量的坐标运算法则知识讲解考点1 平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.考点2 向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c考点3 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22例题精析【例题1】【题干】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF ＝2，则AE·BF的值是________．【答案】2【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0,2)，C(2，2)．设F(x,2)(0≤x≤2)，由AB·AF＝2⇒2x＝2⇒x＝1，所以F(1,2)，AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.【例题2】【题干】(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．【解析】(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0. ∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2＋a ·b ＋a ·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32， |a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cos θ＝(a＋b＋c)·a|a＋b＋c||a|＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.【例题3】【题干】在直角三角形ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，求k的值．【解析】(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132. 综上可得k 的值为－23或113或3±132.【例题4】【题干】在△ABC中，已知2AB·AC＝3|AB|·|AC|＝3|BC|2，求角A，B，C的大小．【解析】设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ·AC ＝3|AB |·|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6. 由3|AB |·|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ·sin B ＝3sin 2A ＝34，∴sin C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34， 即sin C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34， ∴2sin C ·cos C ＋23sin 2C ＝3，∴sin 2C －3cos 2C ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.课堂运用【基础】1．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.5B.10C．2 5 D．102．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2 3 B.3 2C．－32 D. 33．已知圆O的半径为1，P A、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA·PB的最小值为() A．－4＋ 2 B．－3＋ 2C．－4＋2 2 D．－3＋2 2【巩固】4．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量k a－b垂直，则k＝________.5．(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.【拔高】6．下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量．其中正确的是________．7．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2. (1)若|AC |＝|BC |，求角α的值；(2)若AC ·BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．8．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝p m，AC＝q n(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．课程小结1.对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．。
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
平面向量的数量积教案(新人教必修
平面向量的数量积教案（新人教必修）第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，包括大小和方向。
通过图形和实例说明向量的表示方法，如箭头和坐标表示。
1.2 向量的长度和方向向量的长度（模长）的定义和计算方法。
向量的方向及其表示方法。
1.3 向量的加法和减法向量的加法和减法运算规则。
通过图形和实例说明向量的加法和减法。
第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义向量的数量积（点积）的定义和性质。
数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ。
2.2 数量积的性质和运算规则数量积的交换律、结合律和分配律。
数量积与向量长度的关系。
2.3 数量积的应用利用数量积判断两个向量的夹角。
利用数量积解决向量垂直和平方等问题。
第三章：向量的数量积的坐标表示3.1 坐标系中的向量二维和三维坐标系中的向量表示。
向量的坐标运算规则。
3.2 数量积的坐标表示向量的数量积的坐标表示公式：a·b = x1y1 + x2y2。
利用坐标表示进行数量积的计算。
3.3 数量积的坐标运算利用坐标表示进行向量的加法、减法和数量积的运算。
坐标系中向量的夹角和垂直问题。
第四章：向量的数量积的性质和应用4.1 数量积的性质数量积的奇偶性、对称性和守恒性。
数量积与向量垂直的性质。
4.2 数量积的应用利用数量积解决向量平行和共线问题。
利用数量积解决向量投影和夹角问题。
第五章：向量的数量积的综合应用5.1 数量积与线性方程组利用数量积解决线性方程组的解的存在性。
利用数量积判断线性方程组的解的情况。
5.2 数量积与几何图形利用数量积解决几何图形中的问题，如三角形、四边形等。
利用数量积判断几何图形的特点和性质。
5.3 数量积与物理应用利用数量积解决力学中的问题，如力的合成和分解。
利用数量积解决电磁学中的问题，如电场和磁场的合成。
第六章：向量的数量积的进一步应用6.1 投影向量介绍投影向量的概念和计算方法。
利用数量积计算向量的投影向量。
人教版高二数学必修四教案《平面向量的数量积》
教案【一】教學準備教學目標1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義;2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律;3.瞭解用平面向量的數量積可以處理垂直的問題;4.掌握向量垂直的條件.教學重難點教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用教學過程1.平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cosq叫a與b的數量積，記作a×b，即有a×b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).並規定0向量與任何向量的數量積為0.×探究：1、向量數量積是一個向量還是一個數量?它的符號什麼時候為正?什麼時候為負?2、兩個向量的數量積與實數乘向量的積有什麼區別?(1)兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定.(2)兩個向量的數量積稱為內積，寫成a×b;今後要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在實數中，若a?0，且a×b=0，則b=0;但是在數量積中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.教案【二】教學準備教學目標1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義;2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律;3.瞭解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題;4.掌握向量垂直的條件.教學重難點教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用教學工具投影儀教學過程一、復習引入：1.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使=λ五，課堂小結(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學思想方法有那些?(2)在本節課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
(完整版)5.3平面向量的数量积导学案
§5.3平面向量的数量积2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律学#科#网Z#X#X#K](1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2． a ·b >0是两个向量a ·b 夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a ，b 〉＝0，则a·b >0，而a ，b 夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC 中，AB →、BC →的夹角与角B 的关系． 3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1． 已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________. 答案 －3 2解析 a·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－22＝－3 2. 2． 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． 学_科_网Z_X_X_K]答案 32解析 由a ⊥b 知a·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直， ∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝32.3． 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案655解析 设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a·b|a||b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝1365＝655.4． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5． (2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1答案 C解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1,2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0，∴cos 2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝1－1＝0.题型一 平面向量的数量积的运算例1(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于 ( ) A ．6B ．5C ．4D ．3思维启迪：(1)由于∠C ＝90°，因此选向量CA →，CB →为基底． (2)先算出8a －b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出x . 答案 (1)D (2)C解析 (1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →) ＝－CB →·CA →＋CA 2→＝16. (2)∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30. ∴x ＝4.探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1 1解析 方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角 坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 题型二 向量的夹角与向量的模例2已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a·a . 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 学科 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案 C解析 |a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4， ∴|a ＋2b |＝2.题型三 向量数量积的综合应用例3已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos (β－α)＋1， |a －k b |＝1－2k cos (β－α)＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算中，a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB |＝1，|AC |＝1↓(一副三角板的两斜边等长) |DE |＝|BC |＝ 2↓(非等腰三角板的特点) |BD |＝|DE |sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD ＝45°＋90°＝135°) AD →在AB →上的投影即为x ↓x ＝|AB |＋|BD |cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD →在AC →上的投影即为y ↓y ＝|BD |·sin 45°＝62×22＝32. 解析 方法一 结合图形特点，设向量AB →，AC →为单位向量，由AD →＝xAB →＋yAC →知，x ，y 分别为AD →在AB →，AC →上的投影．又|BC |＝|DE |＝2，∴|BD →|＝|DE →|·sin 60°＝62.∴AD →在AB →上的投影 x ＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32， AD →在AC →上的投影y ＝62sin 45°＝32.方法二 ∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)AB →2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°.∴由BD →·AB →＝(x －1)AB →2， 得62×1×cos 45°＝(x －1)×12.∴x ＝32＋1. 同理，在BD →＝(x －1)AB →＋yAC →两边取数量积可得y ＝32. Zxxk答案 1＋32 32温馨提醒 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3．a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12C.12D ．1答案 D解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ZXXK] 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23C.23D.32答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. Zxxk 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 3 2解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.答案 －16解析 如图所示，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16.7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0， ∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12， ∴c ＝12b ＝(－1,3)．9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)．故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)． ZXXK] B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( )A. 3B.7C ．2 2D.23 ZXXK]答案 A解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2 ＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案2解析 a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ， Zxxk ∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________． 答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ZXXK] ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →⎣⎡⎦⎤BC →＋⎝⎛⎭⎫22－1AB →＝⎝⎛⎭⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝⎛⎭⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [1,4] 解析 如图所示， 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN →＝λCD →，DN →＝CN →－CD → ＝(λ－1)CD →，∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD → ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4； 当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1. ∴AM →·AN →∈[1,4]． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。
高中数学《2.5.1平面向量的数量积》导学案 新人教版必修4
2.5.1 平面向量的数量积一、课前自主导学【学习目标】1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。
【重点、难点】向量数量积及其重要性质； 【温故而知新】 预习填空：1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤ ）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ= 时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90 ，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：如图，OA a = ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ= ．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ= 时，它是0；当0θ= 时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -（2）a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
（3）数量积的性质：图（2）111设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则①cos ||||a b a b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=- ；特别地：2||a a a ⋅=或||a = ||||||a b a b ⋅≤ ； ④a b ⊥ 0a b ⇔⋅=；⑤若e 是与b 方向相同的单位向量，则||cos e a a e a θ⋅=⋅=平面向量数量积的运算律1．交换律：a b b a⋅=⋅2．数乘结合律：b a ⋅）（λ =）（b a⋅λ = ）（b a λ⋅3．分配律：c b c a c b a⋅+⋅=⋅+)（说明：（1）一般地，）（（c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅) （2）ba c cbc a =⇒≠⋅=⋅0，（3）有如下常用性质：22a a =，))d c b a +⋅+（（＝c a ⋅＋d a ⋅＋c b ⋅＋d b ⋅2222)(b b a a b a +⋅+=+【我的困惑】二、课堂互动探究【例1】2.()1(,120,32220-==求与 解：（1）59422-=-=-=- （27====【例2】已知正ABC ∆的边长为2，设BC a = ，CA b = ，AB c = ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅ ．解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅122()362=⨯⨯-⨯=-．AB C【例3】（1）已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a+k b 与a -k b 互相垂直?（2）已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b|,求向量b 与a -b 的夹角.解:（1）a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )²(a-k b )=0,即2a -2k 2b =0.∵2a =9,2b =16,∴169-2k =0.∴k =±43.也就是说,当k =±43时,a+k b 与a -k b 互相垂直.（2）∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ²b +|b |2.∴a ²b =-21|b |2 b ²(a -b )=b ²a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2(a -b )2=a 2-2a ²b +b 2=|b |2-2³(21-)|b |2+|b |2=3|b |2∴|a -b |=3|b |.∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=65π. 【例4】（1）设向量c =m a +n b (m,n ∈R),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ²c=-4,且b 与c的夹角为120°,求m,n 的值.（2）已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解:（1）∵a ⊥c ,∴a ²c =0. 又c =m a +n b ,∴c ²c =(m a +n b )²c ,即|c |2=m a ²c +n b ²c .∴|c |2=n b ²c . 由已知|c |2=16,b ²c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b . ∵b ²c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |²4²(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ²c =m a 2-4a ²b ,∴8m -4a ²b =0,即a ²b =2m. 再由c =m a -4b ,得b ²c =m a ²b -4b 2.∴m a ²b -16=-4,即m a ²b =12. 联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4 （2）λ<68511--或λ>68511+- 【我的收获】三、三、课后知能检测1. 判断下列说法的正误，并说明理由.(1) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆是锐角三角形. （ 错 ）(2) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅>，则ABC ∆是钝角三角形. （ 对 ） (3) ABC ∆为直角三角形，则必有0AB BC ⋅=. （ 错 ）2. 在平面直角坐标系中，向量||4AB = ，AB 与x 轴正方向的夹角为120，则AB在x 轴、y 轴上的射影分别为 （ C ）A. B. 2,-- C. - D. 2,-3. 已知向量a b 、满足0a b ⋅= ，||1,||2a b == ，则|2|a b -=（ B ）A. 0B. 4D. 84. 设两个向量a 与b 的夹角为θ，a b ⨯为向量a 、b 的“外积”，其长度为||||||sin a b a b θ⨯= ，已知||1a = ，||5b = ，4a b ⋅=- ，则||a b ⨯=（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a 、b 满足：||1a = ，||2b = ，||2a b -= ，则||a b +=（ D ）A. 16. 已知(1,1)a =，且a 与2a b + 的方向相同，则a b ⋅ 取值范围是 (1,)-+∞ .7. 已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b 夹 角的取值范围是 ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8. 已知||2a = ，||1b = ，a 与b 的夹角为60，则2m a b =+ 与4n a b =- 的夹角θ的余弦值为 - .9. 设两个向量1e ，2e 满足1||2e = ，2||1e = ，1e 与2e 夹角为60，若向量1227te e + 与12e te + 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是1(7,()222---- 10. 设向量a 、b 、c 满足0a b c ++= ，()a b c -⊥ ，a b ⊥ ，若||1a =，求222||||||a b c ++ 的值【答案】411．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =- ， 1223b e e =-(1)求a b ⋅ ; (2)求a b + 与a b -的夹角【答案】 (1) 112a b ⋅= (2) 2π。
平面向量的数量积教案(新人教必修
平面向量的数量积教案（新人教必修）第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的长度和方向1.4 向量之间的加法和减法第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义2.2 数量积的性质2.3 数量积的计算公式2.4 数量积的坐标表示第三章：数量积的运算律3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律3.4 数量积与向量长度的关系第四章：数量积的应用4.1 投影向量4.2 向量的夹角4.3 向量垂直的条件4.4 向量组的线性相关性第五章：数量积的进一步应用5.1 向量的平行四边形法则5.2 向量的三角形法则5.3 向量的几何意义5.4 向量在几何中的应用案例第六章：数量积的性质与运算6.1 数量积的不变性质6.2 数量积与向量坐标的运算6.3 数量积与向量线性组合的关系6.4 数量积的逆运算第七章：向量垂直与数量积的关系7.1 向量垂直的定义7.2 数量积与向量垂直的关系7.3 向量垂直的应用7.4 数量积与角度的关系第八章：投影向量与数量积8.1 投影向量的概念8.2 投影向量的计算8.3 投影向量与数量积的应用8.4 投影向量在几何中的应用第九章：向量的数量积与坐标系9.1 坐标系中的数量积9.2 数量积在直角坐标系中的应用9.3 数量积与坐标变换的关系9.4 数量积在空间几何中的应用第十章：数量积的综合应用10.1 数量积与向量模长的关系10.2 数量积与向量夹角的关系10.3 数量积在几何中的综合应用10.4 数量积在物理中的综合应用重点和难点解析重点一：向量的概念回顾补充和说明：向量是具有大小和方向的数学对象，通常用箭头表示。
向量可以用起点和终点表示，也可以用坐标表示。
向量的长度称为模长，方向可以用箭头指向表示。
重点二：向量的数量积补充和说明：数量积是指两个向量的对应分量乘积之和，具有交换律、结合律和分配律。
数量积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为两向量夹角。
高中数学《2.5.1平面向量的数量积》导学案 新人教版必修
高中数学《2.5.1平面向量的数量积》导学案新人教版必修2、5、1 平面向量的数量积一、课前自主导学【学习目标】1、理解平面向量数量积的概念；2、掌握两向量夹角的概念及其取值范围；3、掌握两向量共线及垂直的充要条件；4、掌握向量数量积的性质。
【重点、难点】向量数量积及其重要性质；【温故而知新】预习填空：1、向量的夹角：已知两个向量和（如图2），作，，则图（2）（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作、2、向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即、说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是、3、数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则、叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
（3）数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则①；②当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；③；④；⑤若是与方向相同的单位向量，则平面向量数量积的运算律1、交换律：2、数乘结合律：= =3、分配律：说明：（1）一般地，（2）（3）有如下常用性质：，＝＋＋＋【我的困惑】2、课堂互动探究【例1】已知：解：（1）（2）【例2】已知正的边长为，设，，，求、解：如图，与、与、与夹角为，∴原式、【例3】（1）已知||=3,||=4,且与不共线,当为何值时,向量+与-互相垂直?（2）已知,是两个非零向量,且||-||=|+|,求向量与-的夹角、解:（1）+与-互相垂直的条件是(+)(-)=0,即-=0、∵=9,=,∴=0、∴=、也就是说,当=时,+与-互相垂直、（2）∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2、∴|b|2=|a|2+2ab+|b|2、∴ab=-|b|2 b(a-b)=ba-b2=|b|2-|b|2=|b|2(a-b)2=a2-2ab+b2=|b|2-2()|b|2+|b|2=3|b|2 ∴|a-b|=3|b|、∵cos〈b,a-b〉=,得cos〈b,a-b〉=-、又∵〈b,a-b〉∈［0,π］, ∴〈b,a-b〉=、【例4】（1）设向量=m+n(m,n∈R),已知||=2,|c|=4,⊥,=-4,且b与的夹角为120,求m,n的值、（2）已知||=,||=3,与的夹角为45,且向量λ+与+λ的夹角为锐角,求实数λ的取值范围、解:（1）∵a⊥c,∴ac=0、又c=ma+nb,∴cc=(ma+nb)c,即|c|2=mac+nbc、∴|c|2=nbc、由已知|c|2=16,bc=-4,∴16=-4n、∴n=-4、从而c=ma-4b、∵bc=|b||c|cos120=-4,∴|b|4()=-4、∴|b|=2、由c=ma-4b,得ac=ma2-4ab,∴8m-4ab=0,即ab=2m、再由c=ma-4b,得bc=mab-4b2、∴mab-16=-4,即mab=12、联立①②得2m2=12,即m2=6、∴m=、故m=,n=-4（2）λ或λ【我的收获】3、三、课后知能检测1、判断下列说法的正误，并说明理由、(1)在中，若，则是锐角三角形、（错）(2)在中，若，则是钝角三角形、（对）(3)为直角三角形，则必有、（错）2、在平面直角坐标系中，向量，与轴正方向的夹角为，则在轴、轴上的射影分别为（ C ）A、B、C、D、3、已知向量满足，，则（ B ）A、B、C、D、4、设两个向量与的夹角为，为向量、的“外积”，其长度为，已知，，，则（ C ）A、B、C、D、5、已知向量、满足：，，，则（ D ）A、B、C、D、6、已知，且与的方向相同，则取值范围是、7、已知，且关于的方程有实根，则与夹角的取值范围是、8、已知，，与的夹角为，则与的夹角的余弦值为、9、设两个向量，满足，，与夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是10、设向量、、满足，，，若，求的值【答案】11、已知、是夹角为60的两个单位向量，， (1)求; (2)求与的夹角【答案】(1)(2)。
新人教A版必修二 平面向量的数量积 学案
2019-2020学年新人教A 版必修二 平面向量的数量积 学案1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b射影|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影，|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影几何意义a ·b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的射影|b |cos θ的乘积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 .知识拓展1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的射影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题组三 易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积为________． 答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的射影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， 由定义知，AB →在CD →方向上的射影为 AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．6 答案 C解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.2．(2018届“超级全能生”全国联考)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．－4答案 A解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4,0)，B (0,0)，C (0,6)，D (2,3)，设E (0，t )，BD →·AE →＝(2,3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0,6)＝16. 故选A.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)(2018届广州海珠区综合测试)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |等于( )A ．4B ．2 C. 2 D ．1 答案 D解析 由|a －2b |＝2，得(a －2b )2＝|a |2－4a·b ＋4|b |2＝4， 即|a |2－4|a||b |cos 60°＋4|b |2＝4，则|b |2－|b |＝0，解得|b |＝0(舍去)或|b |＝1，故选D.(2)(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|P A →＋3PB →| ＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min ＝5.命题点2 求向量的夹角典例 (1)(2017·山西四校联考)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为__________________________． 答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)(2018届吉林百校联盟联考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为π3，向量e 1＋2e 2与2e 1＋λe 2的夹角为2π3，则λ等于( )A ．－23B ．－3C ．－23或－3D ．－1答案 B解析 依题意可得 |e 1＋2e 2|＝(e 1)2＋4e 1·e 2＋(2e 2)2＝7，同理，|2e 1＋λe 2|＝4＋2λ＋λ2，而(e 1＋2e 2)·(2e 1＋λe 2)＝4＋52λ，又向量e 1＋2e 2与2e 1＋λe 2的夹角为2π3，可知(e 1＋2e 2)·(2e 1＋λe 2)|e 1＋2e 2||2e 1＋λe 2|＝4＋52λ7×4＋2λ＋λ2＝－12，由此解得λ＝－23或－3，又4＋52λ<0，∴λ＝－3.思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①写出有关向量的坐标，利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 23 解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 题型三 平面向量与三角函数典例 (2017·广州海珠区摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的射影． 解 (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的射影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 跟踪训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b | 答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2018届河北武邑中学调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，则向量2a －b 与a 的夹角为( ) A ．135° B ．60° C ．45° D ．30°答案 C解析 由题意可得2a －b ＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)， 则|2a －b |＝32＋(－1)2＝10，|a |＝22＋12＝5，且(2a －b )·a ＝(3，－1)·(2,1)＝6－1＝5， 设所求向量的夹角为θ，由题意可得 cos θ＝(2a －b )·a |2a －b ||a |＝510×5＝22，则向量2a －b 与a 的夹角为45°.3．(2017·豫南九校联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1，故选B.4．(2018·乐山质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32答案 D解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5．(2017·沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 答案 B解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.8．(2018·银川质检)已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________.答案 6解析 a·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6. 9．(2018届长春普通高中一模)已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 2解析 因为平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以由题意可知，a ，b ，c 的夹角为120°，又|a |＝|b |＝1，|c |＝3，所以a·b ＝－12，a·c ＝b·c ＝－32，|a ＋b ＋c |＝1＋1＋9＋2×⎝⎛⎭⎫－12＋2×⎝⎛⎭⎫－32＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝2. 10．(2017·巢湖质检)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.11．(2018·贵阳质检)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且OA →＋AB →＋AC →＝0，则向量CA →在向量CB →方向上的射影为( )A ．3 B. 3 C ．－3 D ．－3 答案 B解析 △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且OA →＋AB →＋AC →＝0，∴OB →＝CA →，∴四边形OBAC 为平行四边形． ∵△ABC 的外接圆的圆心为O ， 半径为2，∴|OA →|＝|AB →|＝|OB →|，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形，且∠ABO ＝∠ACO ＝60°，因此，∠ACB ＝12∠ACO ＝30°，∴向量CA →在CB →方向上的射影为|AC →|×cos ∠ACB ＝2cos 30°＝3，故选B.14．(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)． 设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)， ∴BM →＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )， ∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a ) ＝2a 2－2a ＋2＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋32， ∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎡⎭⎫32，2.15．(2018届河北武邑中学调研)设a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 由题意结合a ⊥b ，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则由|c －(a ＋b )|＝|a －b |， 得|(x ，y )－(1,1)|＝|(1，－1)|， 由此可得(x －1)2＋(y －1)2＝2，即c 对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示．∵圆过原点，∴|c |的最大值为圆的直径22， 故选A.16．(2017·河北衡水模拟)已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______．答案 ±43解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →， ∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点， ∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2.∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。
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教学目标：
教学方法：
教学过程：
一．课前检测
1．已知直线上2y x =.点P 的横坐标为a ，有两个点A （-1，1），B （3，3），那么使向
量PA 与PB 夹角为钝角的充要条件为
2．已知||=6, ||=8, ⋅=22, 则|+|为
3．若=(2,3), =(4,-7)，则在方向上的投影为
4．已知．是非零向量且满足⊥-⊥-)2(,)2(,则与的夹角是
5．已知向量和的夹角为1200且||=2, ||=5则⋅-)2(=
6．已知正三角形ABC 的边长为4，则⋅＝
7．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=,则|2|-的最大值是 .
8．已知||22,||3p q ==，p 与q 的夹角为4
π，则以52,3a p q b p q =+=-为邻边的平行四边形的较短对角线长为
二．典型例题
例题1 已知OA =(6,-2), OB =(-1,2), 若OB OC ⊥,且BC ∥OA ,
(1)求BC (2).求BC 与OB 的夹角θ
例题2 已知向量1OP ．2OP ．3OP ，满足1＋2OP ＋3OP ＝0且｜1｜＝
｜2OP ｜＝｜3OP ｜＝1，求证：321P P P ∆为正三角形
例题3 已知向量=(cos 23x , sin 23x)．=(cos 2x ,-sin 2x )且]2
,2[ππ-∈x 求函数||)(x f +-⋅=的最值
例题4：已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120
（1） 求证：()a b c -⊥
（2）若1,(),ka b c k R ++>∈求k 的取值范围。
例题5（选讲） 已知向量a 与b 满足||||1,a b ==且||3||a kb ka b -=
+，其中0k > （1）试用k 表示a b ⋅，并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值。
（2）当a b ⋅取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+的值最小。
三．课堂小结
四．板书设计
五．教后感
班级_________________ 姓名___________________ 学号____________ 六．课外作业：
1．已知||2,||1a b ==，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ▲ 2．若非零向量,αβ满足αβαβ+=-，则αβ与所成角的大小为 ▲
3．已知向量||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角大小为 ▲
4．点P 是ABC ∆所在平面上一的点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则P 是ABC ∆的 ▲ 心。
5．已知a =(λ, 2λ),b =(-3λ, 2),如果a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围 ▲
6．已知下列命题：
（1）0AB BC CA ++=；
（2）若向量(3,4)AB =-，则AB 按向量(2,1)a =-平移后的坐标仍是(3,4)-；
（3）“向量b 与向量a 的方向相反”是“b 与a 互为相反向量”的充分不必要条件；
（4）已知点M 是ABC ∆的重心，则0MA MB MC ++= 其中正确命题的序号是 ▲
7．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,(),a b c -⊥a b ⊥,若||1a =,则222||||||a b c ++的值是
▲
8．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若||2,AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为 ▲
填空题答案：
1．_________________；2．___________________；3．___________________；
4．_________________；5．___________________；6．___________________；
7．_________________；8．___________________；
9．已知(3,2),(2,1),(3,1)a b c =-==，
（1）求a tb -的最小值及对应的实数t
（2）求a tb c -与共线时实数t 的值
10．平面内有向量)1,2(),1,5(),7,1(===OA ,点M 为直线OP 上的一个动点,
(1).当⋅取最小值时,求OM 的坐标. (2).当点M 满足(1)的条件和结论时,
求cos AMB ∠的值
11．已知(2cos ,tan()),(2sin(),tan())2242424
x x x x a b πππ=+=+-，令()f x a b =⋅，是否存在实数[0,]x π∈，使'()()0f x f x +=？若存在，求出x 的值；若不存在，请证明。