反常积分敛散性的导数自比法

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§4-5 反常积分

第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广182§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)柯西-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是：积分区间是有限区间，而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分，其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分)，或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限，而是变上限或变下限积分作为函数时的极限.1.奇异积分按照正常积分，函数在区间]1,0(上不可积，因为它在区间]1,0(上是无界函数(图4-30).可是对于任意正数1ε<，函数在区间[,1]ε上是可积的，而且有极限1100lim limxεεεε++→→=⎰0lim(22ε+→=-=我们将把这个极限值称为函数]1,0(上的奇异积分，并记成1x⎰1lim2xεε+→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰它在几何上表示由曲线y=竖直线1=x和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为2单位平方).一般地，设函数)(xf在(左开右闭)区间],(ba上连续，而在点a近旁无界[这样的点a就称为函数)(xf的奇点](图4-31).我们形式上就定义奇异积分为()d lim()db ba af x x f x xεε+→+=⎰⎰所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称奇异积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，()dbaf x x⎰仅是一个记号.例201d(0,)()bax a bx aμμ><-⎰01lim d()baxx aμεε++→=-⎰，其中当1μ=时，图4-31图4-30§4-5 反常积分（奇异积分和无穷积分）1831d ln()ln()ln (0)bb a a x x a b a x aεεεε+++=-=--→+∞→-⎰当1μ>时，111d ()()1bb a a x x a x a μμεεμ-++=---⎰111()(0)1b a μμεεμ--+⎡⎤=--→+∞→⎣⎦- 当1μ<时，111d ()()1bb a a x x a x a μμεεμ-++=---⎰111()1b a μμεμ--⎡⎤=--⎣⎦-1()(0)1b a μεμ-+-→→-综上所述：当1<μ时，奇异积分1d ()ba x x a μ-⎰收敛；当1≥μ时，奇异积分1d ()bax x a μ-⎰发散.【注】当0≤μ时，1d ()bax x a μ-⎰是正常积分.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等，都可以转移到奇异积分上来.例如，若函数)(x f 在区间],(b a 上连续(a 是奇点)，)(x F 是它的一个原函数，则有()d ()()()bb aaf x x F x F b F a +==-⎰其中)(lim )(x F a F ax +→+=. 而且，当有极限)(lim )(x F a F ax +→+=时，奇异积分收敛；当没有极限)(lim )(x F a F ax +→+=时，奇异积分发散.因此，例20就可以做成1d ()ba x x a μ-⎰(1)1d ln()bb aaxx a x aμ++=====--⎰ln()()b a =---∞=+∞(*)1d ()bax x a μ-⎰(1)111d ()1()bbaaxx a x a μμμμ++≠-====---⎰11()(1)1()(1)1b a b a μμμμμμ--⎧->+∞=+∞⎪-⎪=⎨-⎪<⎪-⎩事实上，奇异积分与正常积分是相通的．．．．．．．．．．．．．，因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分，反过来也是如此.例如，(*)在扩充实数系中，规定±∞=±∞+)(x .第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广1841x ⎰(奇异积分)1[212d 1t t t +⎰(正常积分)同样，若函数)(x f 在(左闭右开)区间),[b a 上连续且点b 是奇点(图4-32)，则也可形式上定义奇异积分()d lim()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例20 那样，可以证明奇异积分1d ()()bax a b b x μ<-⎰当1<μ时收敛，而当1≥μ时发散. 积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点，当奇异积分收敛时，就可以像正常积分那样去计算.例如111arcsin arcsin 1arcsin(1)x x--==--⎰22ππ⎛⎫=--=π ⎪⎝⎭,或111022arcsin x x x-==⎰⎰2arcsin 10=-=π,(偶函数的积分)或12[sin ]12d x t x t t ππ=--π-π=======π⎰⎰⎰.(换元积分法)函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如，若点),(b a c ∈是函数)(x f 的奇点，而且函数)(x f 在区间),[c a 和],(b c 上连续，则可形式上定义奇异积分()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰请注意，只有当右端两个奇异积分都收敛时，才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说，只要右端至少有一个积分是发散的，则左端的积分就是发散的.因为奇异积分实际上是函数的极限，所以有下面的结论：⑴若奇异积分()d ba f x x ⎰和()d bag x x ⎰都收敛，则[]()()d baf xg x x αβ±⎰也收敛，且有[]()()d ()d ()d bbb aaaf xg x x f x x g x x αβαβ±=±⎰⎰⎰(线性运算性质)⑵若奇异积分()d baf x x ⎰和()d bag x x ⎰中有一个收敛，另一个发散，则[]()()d baf xg x x ±⎰必发散.图4-32§4-5 反常积分（奇异积分和无穷积分）185但是请读者注意，若奇异积分()d ba f x x ⎰和()d ba g x x ⎰都发散时，则[]()()d baf xg x x ±⎰有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个奇异积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法设函数)(x f 在区间],(b a 上连续(a 是奇点).若有某个正数1<μ和某个正数A ，使()()()A f x a x b x a μ≤<≤- (4-22)则奇异积分()d baf x x ⎰收敛；相反，若有某个1μ≥和某个正数A ，使()()()A f x a x b x a μ≥<≤- (4-23)则奇异积分()d baf x x ⎰发散.证当满足条件(4-22)时，则有μμμ)(2)()()()(0a x A a x A x f a x A x f -≤-+≤-+≤)(b x a ≤<于是，对于任意正数a b -<ε，根据积分单调性，有10()d 2d ()()bba a Af x x A x x a x a μμεε++⎡⎤≤+≤⎢⎥--⎣⎦⎰⎰112()2d 1()baA b a Ax M x a --≤==--⎰μμμ其中右端是与ε无关的正常数，即作为ε的函数()()d ()ba Ag f x x x a μεε+⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰)0(a b -<<ε有上界；又当+→0ε时，函数)(εg 是增大的，所以有极限(单调有界原理)0lim ()g εε+→=lim ()d ()ba A f x x x a μεεε+→+⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦⎰()d ()baAf x x x a μ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰)1(<μ 因此，也有极限0lim()d ba f x x εε+→+⎰lim ()d ()()ba A A f x x x a x a μμεε+→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰ lim()d ()ba Af x x x a μεεε+→+⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰0lim d ()ba A x x a μεε+→+--⎰()d ()baA f x x x a μ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰d ()baA x x a μ--⎰即奇异积分()d baf x x ⎰收敛.其次，当条件(4-23)满足时，函数)(x f 不变号[因为)(x f 是连续函数]，不妨认为第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广186 ()0f x >)(b x a ≤<.根据例20，则有()d lim()d bbaa f x x f x x εε+→+=⎰⎰(1)1lim d ()ba A x x a μμεε+≥→+⎡⎤≥====+∞⎢⎥-⎣⎦⎰即奇异积分()d baf x x ⎰发散.我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限b 是奇点的情形.作为习题，请你证明下面的柯西判别法：设函数()f x 在区间),[b a 上连续(b 是奇点).若有某个正数1<μ和某个正数A ，使()()()Af x a x b b x μ≤≤<- 则奇异积分()d baf x x ⎰收敛；相反，若有某个1μ≥和某个正数A ，使()()()A f x a x b b x μ≥≤<-则奇异积分()d baf x x ⎰发散.例21研究奇异积分10x ⎰的敛散性.解点0和点1都是奇点.为了研究它的敛散性，需要把它分成两个积分，使每一个积分只含有一个奇点，即1x =⎰1/2x +⎰11/2x ⎰（0是奇点）（1是奇点）在右端第一个积分中，因为102x ⎛⎫=≤<≤ ⎪⎝⎭根据柯西判别法，所以右端第一个积分收敛；在右端第二个积分中，因为112x ⎛⎫=≤≤< ⎪⎝⎭（注意上限1是奇点）根据柯西判别法，所以右端第二个积分也收敛.因此，奇异积分1x ⎰收敛.2.无穷积分在计算某些几何量或物理量时，有时会遇到无限区间上的“积分”，即()d af x x +∞⎰，或()d bf x x -∞⎰，或()d f x x +∞-∞⎰它们都不是正常积分中那种积分和的极限，而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线21y x =与O x 轴和直线1x =围成的无界图形的面积，规定为极限§4-5 反常积分（奇异积分和无穷积分）187211d x x +∞=⎰211limd bb xx →+∞⎰11lim bb x →+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭1lim 11b b →+∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(单位平方) 是合理的.再如放置在原点O 处带有正电量q 的点电荷，在它周围产生有静电场(图4-34).今有单位正电荷，它到原点的距离为a ，并在电场力的作用下移动的距离为r 时，电场力所做的功为211d a raqx q a a r x μμ+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰因为通常把无穷远处的电位看作零，所以点a 处的电位是211()limd lim a rr r aqq U a x q a a r a x μμμ+→+∞→+∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭⎰还有，当用换元积分法计算正常积分时，经过换元有时也会遇到无穷积分.例如，tan 2212d d 1sin (1)x t x t xt ⎡⎤=⎢⎥π+∞⎣⎦=====++⎰⎰]d 12d ,12[sin 22t tx tt x +=+=因此，我们有必要来定义无穷积分.虽然这种积分不是用积分和的极限定义的正常积分，但是它与正常积分是相通的.设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续.形式上就定义无穷积分为()d lim()d bb aaf x x f x x +∞→+∞=⎰⎰所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称无穷积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，()d af x x +∞⎰仅是一个记号.类似地，也可形式上定义无穷积分()d lim()d bba af x x f x x →-∞-∞=⎰⎰和()d lim()d lim()d ()d ()d cb c a b accf x x f x x f x x f x x f x x +∞+∞→-∞→+∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰并且规定：图4-33O· q · a a +r· x图4-34第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广188+∞-∞⎰()d f x x 是收敛的，当且仅当-∞⎰()d cf x x 和+∞⎰()d cf x x 都是收敛的.请读者注意，不能把其中的无穷积分()d f x x +∞-∞⎰理解为极限()d lim()d aa af x x f x x +∞→+∞-∞-=⎰⎰因为右端极限存在时，而左端的无穷积分有可能不收敛.例如li ms i n d 0aa a xx -→+∞=⎰，但s i n d x x +∞-∞⎰不收敛.例22ed limed limd (e)b bxxxb b x x x x x +∞---→+∞→+∞==-⎰⎰⎰lim e e b x x b x --→+∞⎡⎤=--⎣⎦lim e e 10011b bb b --→+∞⎡⎤=--+=++=⎣⎦ 注意，其中()lim e (0)0b b b -→+∞-∞⋅=是根据洛必达法则.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式，也可以转移到无穷积分上来.若函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，)(x F 为它的一个原函数，则()d ()()()aaf x x F x F F a +∞+∞==+∞-⎰其中记号)(lim )(x F F x +∞→=+∞.若有极限)()(lim +∞=+∞→F x F x ，则无穷积分()d af x x +∞⎰是收敛的；否则，它就是发散的.因此，例22就可以直接做成ed ed [e e ]1xxx x x x x xx +∞+∞+∞----==--=⎰⎰其中原函数在上限的值当然是指它在无穷远处．．．．．．)(+∞的极限．．．.类似地，像下面这样的演算也是合法的，即2211d d arctan 2211x xxx x+∞+∞+∞-∞-∞-∞ππ⎛⎫===--=π ⎪++⎝⎭⎰⎰ 或222111d 2d 2d 111x x xx x x+∞+∞+∞-∞==+++⎰⎰⎰02arctan 22x+∞π==⋅=π（偶函数的积分）正常积分中的换元积分法和分部积分法，也可以转移到无穷积分上来.例如，若函数()f x 和()g x 都有连续导数，则有()d ()()()()d ()aaaf xg x f x g x g x f x +∞+∞+∞=-⎰⎰因此，例22也可以做成§4-5 反常积分（奇异积分和无穷积分）189ed d (e)[e](e )d xxxx x x x x x +∞+∞+∞+∞----=-=---⎰⎰⎰e1x+∞-=-=例23 在含参数μ的无穷积分1d (0)ax a xμ+∞>⎰中，若1μ>，则11111d 11x x aax xaxμμμμμ+∞=+∞--===--⎰；若1μ≤，则1(1)ln 1d 1(1)1x x a x ax a x x x x μμμμμ=+∞+∞==+∞-=⎧==+∞⎪=⎨<=+∞⎪-⎩⎰因此，当1μ>时，它收敛；当1≤μ时，它发散.因为无穷积分实际上也是函数的极限，根据函数极限的运算性质，所以有下面的结论：⑴ 若无穷积分()d a f x x +∞⎰和()d a g x x +∞⎰都收敛，则[]()()d af xg x x αβ+∞±⎰也收敛，且有[]()()d ()d ()d aaaf xg x x f x x g x x αβαβ+∞+∞+∞±=±⎰⎰⎰(线性运算性质)⑵ 若无穷积分()d a f x x +∞⎰和()d ag x x +∞⎰中有一个收敛，另一个发散，则[]()()d af xg x x +∞±⎰必发散.但是请读者注意，若无穷积分()d a f x x +∞⎰和()d ag x x +∞⎰都发散时，则[]()()d af xg x x +∞±⎰有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个无穷积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，像奇异积分那样，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续(0)a >.若有某个正数1>μ和某个正数A ，使)0()(+∞<≤<≤x a xA x f μ(4-24)则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛；相反，若有某个正数1μ≤和某个正数A ，使()(0)A f x a x x μ≥<≤<+∞ (4-25)则无穷积分()d af x x +∞⎰发散.第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广190 证当满足条件(4-24)时，有μμμxA xA x f xA x f 2)()(0≤+≤+≤ )0(+∞<≤<x a于是，对于a b >，根据积分单调性，有110()d 2d 2d bbaaaA f x x A x Ax x x x μμμ+∞⎡⎤≤+≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰121Aa M μμ-==-(常数)即作为上限b 的函数()()d baA g b f x x x μ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰)0(+∞<<<b a 有上界；又当+∞→b 时，函数)(b g 是增大的(因为被积函数是非负的)，所以有极限(单调有界原理)lim ()limb b g b →+∞→+∞=()d baA f x x x μ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰()d aA f x x x μ+∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰因此，也有极限lim()d limbb b af x x →+∞→+∞=⎰()d b aA A f x x x x μμ⎧⎫⎡⎤+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰lim()d b b aA f x x x μ→∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰lim d bb aA x xμ→+∞-⎰)1(>μ()d aA f x x x μ+∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰d aA x xμ+∞-⎰【因为右端两个积分都是收敛的】即无穷积分()d af x x +∞⎰收敛.其次，当条件(4-25)满足时，函数)(x f 不变号，不妨认为)(0)(a x x f ≥>.于是有1()d lim()d lim d bbb b aaaf x x f x x Ax x μ+∞→+∞→+∞⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰1d aA x xμ+∞==+∞⎰（例23）即无穷积分()d af x x +∞⎰发散.例24 研究积分2e d x x +∞--∞⎰的收敛性.解见图4-35，在概率论中称函数2()e x x ϕ-=为标准正态分布的密度函数.为了讨论无穷积分2ed x x +∞--∞⎰的收敛性，需把它分成两个积分，即2ed x x +∞--∞⎰2ed x x --∞=+⎰2e d x x +∞-⎰在右端第二个积分中，根据不等式e 1(0)xx x ≥+≥，则有22e 1xx ≥+，所以图4-35§4-5 反常积分（奇异积分和无穷积分）191222110e 1ex x x-≤=≤+因此，对于任意0b >，有222110ed d d 11bbx x x x xx+∞-≤≤≤++⎰⎰⎰arctan 2x+∞π==注意到积分2e d bx x -⎰关于上限b 是单调增大的，根据函数极限的单调有界原理，必有极限22limed e d bx x b x x +∞--→+∞=⎰⎰即2e d x x +∞-⎰收敛.又积分2ed x x --∞⎰2()ed t x t t +∞=--====⎰2e d x x +∞-⎰所以2ed x x --∞⎰也收敛.因此，2e d x x +∞--∞⎰收敛.因为概率论中用到无穷积分2e d x x +∞--∞⎰，所以称它为概率积分(历史上称它为欧拉—泊松积分).在节后的附录中，进一步证明了2e d x x +∞--∞=⎰.【注】概率论中用到的是下面的结论.设函数()t ϕ在任意有限区间上可积分，且无穷积分()d xt t ϕ-∞⎰对任意(,)x ∈-∞+∞都收敛，则在概率论中就用()()d xF x t t ϕ-∞=⎰定义连续型随机变量的分布函数.等读者学习到§5-1时，就能够像正常积分那样证明：⑴函数()F x 是连续函数；⑵若()t ϕ在点x 是连续的，则()F x 在点x 可微分且()()F x x ϕ'=.3.绝对收敛和条件收敛在正常积分中，若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积(相反的结论不成立).可是在反常积分中，结论恰好相反.譬如在奇异积分中，若()d baf x x ⎰收敛（*），则()d baf x x ⎰也收敛(相反的结论不成立).这个结论的证明与柯西判别法的证明是一样的.事实上，不妨设a 为函数()f x 的奇点.因为0()()2()f x f x f x ≤+≤，所以作为ε的函数()()()d b a g f x f x x +⎡⎤=+⎣⎦⎰εε(0)b a <<-ε当0+→ε时单调增大有上界，因此有极限00lim ()lim()()d ()()d b b a ag f x f x x f x f x x ++→→+⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰εεεε（*）有时称函数()f x 在[,]a b 上绝对可积。

高等数学(上)：D5_5反常积分审敛法

根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
15
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分 b f ( x) d x (a为瑕点)收敛, 则反常积分 a
b f ( x)d x 收敛, 称为绝对收敛 . a
例7 判别反常积分
的敛散性 .
解
此处
x
0 为瑕点,
因 lim
1
x4
ln
x
0, 故对充分小
x0
的 x, 有
二、无界函数反常积分的审敛法
三、函数
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 证
若函数
x
F(x) a f (t)d t 则反常积分 f ( x)d x收敛.
a
F( x)在[a,)上单调递增有上界，
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x) lim f (t) d t
x x aຫໍສະໝຸດ 存在 , 即反常积分 f ( x)d x收敛 . a
综上所述 , (s) I1 I2 在 s 0上收敛.
18
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证 (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
x s1e x d x
0
0
s(s)
注意到: (1) ex d x 1 0
时,有
(0 s 1)
(证明略)
20
(4) (s)的其他形式
令 x u2,得
(s) 2 eu2 u2s1 d u (s 0) 0
再令 2s 1 t , 即s 1 t , 得应用中常见的积分 2
uteu2 d u 1 1 t (t 1)

反常积分的审敛法共25页

Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
反常积分的审敛法
16、一样。 ——赫拉克利特 17、人类对于不公正的行为加以指责，并非因为他们愿意做出这种行为，而是惟恐自己会成为这种行为的牺牲者。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强者做什么事都横行霸道。— —奥维德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含义是财富。— —爱献生

二维无界连通域上反常积分敛散性的判别准则

２准备工作
定义２．１设Ｄ是平面上一个无界连通区域，二元函数ｆ（ｘ，Ｙ）在Ｄ上有定义且在Ｄ上任意有界可求面积区域上可积．记Ｎ（ｚ，Ｙ）是Ｄ上任一点．连通的有限区域是Ｄ内任意光滑曲线ｒ所围成的，
工Ｊ
（１）
（２）
存在．对于任一从Ｄ中划分出的区域Ｄ，当，ｚ充分大时有ＤｃＤ，从而有
（Ｎ）ｄ ≤
上ＪＬＩ
ｎ
（Ｎ）ｄ，
由公式（１）有
（Ｎ）ｄ艿≤ 工．（３）
同时由公式（１）对于任意的ｅ＞０，存在竹。 ∈ Ｎ，使得『ｆ，（Ｎ）＞卜一ｅ．对于当原点到ｒ，的距离相当
二重积分的工作不多见．在文献［９］中，刘继成和王湘君优化了教材［３］中反常二重积分的内容，理顺了本文将通过区域的合理细致划分，分别就角形区域、带形区域、负幂函数区域的刻画，利用列维定理
二元函数的反常积分，利用列维定理，得到了一些新的判别准则．
［关键词］二元函数反常积分；无界域；敛散性；绝对收敛
［中图分类号］Ｏ１７２．２
［文献标识码］Ｃ
［文章编号］１６７２ — １４５４（２０１７）０３ — ００８９ — ０６

反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分目录摘要..............................................................。

(1)关键词………………………………………………。

.……。

….…………。

.1引言-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2一、预备知识......................................。

...。

. (2)1.无穷限反常积分…………………………。

.…….…。

…………….。

22.瑕积分........................。

..........。

(3)3。

反常积分的性质........................。

...........。

(3)二、反常积分的收敛判别法.....................................。

.. (4)1无穷积分的收敛判别 (4)（1)。

定义判别法......................。

......。

...................。

(4)（2）。

比较判别法.....................。

............................。

(4)（3）。

柯西判别法.....................。

.. (5)(4)阿贝尔判别法。

…………………..……。

…。

……………。

6（5)。

狄利克雷判别法.............................。

. (7)2瑕积分的收敛判别......................。

........................... ...。

§6.2反常积分判敛法

§6.2反常积分判敛法复习：1．反常积分⎪⎩⎪⎨⎧无界函数的反常积分无穷限的反常积分2．P 积分⎰∞+ apxdx 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

3. q 积分⎰-baqa x dx )(及)()( b a x b dx baq<-⎰当1<q 时收敛；当1≥q 时发散。

6.2.1无穷区间反常积分判敛法定理1(比较判别法)设),[)( ),(+∞∈a C x g x f ，且)()(0x g x f ≤≤（),[+∞∈a x ），则（1）当⎰∞+ )(a dx x g 收敛时，⎰∞+ )(a dx x f 也收敛；（2）当⎰∞+ )(adxx f 发散时，⎰∞+ )(adxx g 也发散。

证明：设⎰∞+ )(adxx g 收敛A 于，∵)()(0x g x f ≤≤，∴a b ≥∀，有A dx x g dx x g dx x f b I ababa=≤≤=⎰⎰⎰∞+ )()()()(∵0)()(≥='b f b I ，∴)(b I 单调不减且有上界，故⎰+∞→+∞→=bab b dxx f b I )(lim)(lim 存在，即⎰∞+ )(adxx f 收敛。

（2）用反证法由（1）即得。

例1．判别反常积分的敛散性：（1）dxex⎰∞+-12解：∵xxee--<<20，而eedx ex x111=-=∞+-∞+-⎰，∴dxex⎰+∞-1收敛，故dxex⎰∞+-12也收敛，（2）⎰∞++0sin 1xx dx解：∵011sin 11>+≥+xxx ，而+∞=+=+∞+∞+⎰)1ln(1x xdx ，∴⎰∞++01xdx 发散，故⎰∞++0sin 1xx dx 也发散。

由于反常积分)0( >⎰∞+a xdx ap当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

因此在定理1中取pxx g 1)(=，即可得反常积分的极限判别法。

定理2(极限判别法)设),[)(+∞∈a C x f ，0)(≥x f ，且l x f x p x =+∞→)(lim ，则当（1）当1>p ，+∞<≤l 0时，⎰∞+ )(a dx x f 收敛；（2）当1≤p ，+∞≤<l 0时，⎰∞+ )(adxx f 发散。

反常积分敛散性的导数自比法

反常积分敛散性的导数自比法作者：吴旻诚来源：《科技传播》2012年第24期摘要本文给出了利用导函数性质判别反常积分敛散性的导数自比法，不但对形式作了推广，也对精度作了推广，最后将结论类比到无穷级数。

关键词反常积分；敛散性；导数；无穷级数中图分类号O17 文献标识码A 文章编号1674-6708（2012）81-0120-02在反常积分的比较判别法中，如何找寻恰当的函数与所要研究的函数进行比较是最关键的，而有时这也是最难的。

所以，能否有一种判别法，无需自己寻找比较的函数而恰当利用被积函数自身的性质，就能简便判别反常积分的敛散性成为本文的主要讨论内容。

又因为无穷级数与无穷积分的敛散性密切相关，故将无穷积分的结论推广到无穷级数中也是必要的。

1 无穷积分的导数自比法定理 1 设函数为定义在上的正值一阶可导函数，若存在常数及使得当时有，则无穷积分收敛；反之，若存在常数使得当时有，则无穷积分发散。

该定理有如下极限形式：设为定义在上的正值函数，且，则无穷积分：1）当时收敛；2）当时发散。

下面对极限形式给出证明，一般形式证明类似。

证明当时，对，存在，当时，有，即，两边积分有（是与有关的常数），化简得；而无穷积分当时收敛，从而收敛。

由比较判别法知收敛，即原无穷积分收敛。

当时，可特取，亦可证原无穷积分收敛。

当时，对，存在，当时，有，即，两边积分有（是与有关的常数），化简得，而无穷积分当时发散，从而发散。

由比较判别法知发散，即原无穷积分发散。

导数自比法不仅能因比式的形式化简一些相对较复杂的题目，而且能处理符合该判别法的抽象函数。

因篇幅所限，笔者就不举例了。

此外，定理1还有如下等价形式：推论1 设函数为定义在上的正值一阶可导函数，且，则无穷积分：1）当时收敛；2）当时发散。

2 高阶导数自比法在定理1中，若为恒正无穷小量，且存在常数及使得当时有，则由洛必达（L’Hospital）法则和极限存在的保序性，可得.以此类推，我们可以得到一般的结论：推论2 设为定义在上的正值n阶可导函数，且，若存在常数及使得当时有，其中表示的n 阶导函数。

一道反常积分敛散性解题过程剖析

Ａｎ＝，ｌｉＡ＝＋ｏ。
ｎ一＋ ∞
则反常积分
）与正项一一＋ｏｏ
ｒ．Ａ￣
－，
（）同敛散．
［收稿日期］２０１６－０７ — ０８［基金项目］国家自然科学基金资助项目（６１３６４０２０），２０１４年玉林师范学院教师教育研究专项课题（２ｏ１４ｘｊｊｓｊＹ１７），玉林师范学院２０１６自治区级大学生创新创业训练计划项目（２０１６１０６０６１２６）。［作者简介］曾夏萍（１９８５￣），女，广西平南人，硕士，玉林师范学院数学与统计学院讲师，研究方向：生物数学。
口曾夏萍，周阳群，梁志清，黄凤丽
（玉林师范学院数学与统计学院，广西玉林５３７０００）
［摘要］以一道反常积分敛散性的解题过程为例，通过在一定条件下积分与级数的内在联
系，将反常积分敛散性１＇７题转化为讨论无穷级数敛散性问题，从而判别出反常积分的敛散性．
１
＿＝１
ｓｉｎｔｌ收敛．
（号） ’ 一
也收敛．同理耋１＋（（ｎ＋１）万一戈）ａｌｓｉｎｘｉ因此当＞１，ｏ＜卢 ≤ｌ时，由引理１可知积分
因为当 ≥０时，有当ａ＞ｌ时，
１＋ａＩｓｉｎＩ一１
而积分
ｒ
出发散，由比较判别法知，发散．
高
考虑一一∑ ｏｏｎ／ｇ埘
＝ｌ ‘ …

反常积分判敛法

首先复习了反常积分的基本概念，包括无穷限的反常积分和无界函数的反常积分，并引出了P积分和q积分的敛散性条件。接着，详细阐述了无穷区间上反常积分的判敛法，通过比较判别法和极限判别法，给出了判别反常积分敛散性的有效手段。其中，比较判别法通过比较被积函数与已知敛散性的函数，来判断原函数的敛散性；而极限判别法则是通过求被积函数在积分区间端点处的极限值，来判断积分的敛散性。此外，还通过多个实例，具体展示了如何运用这些方法判别反常积分的敛散性，为读者提供了直观且实用的参考。最后，文档还拓展到了无界函数反常积分的判敛法，进一步完善了审敛法在反常积分领域的应用体系。

课件：反常积分判敛法

lim ( xa)q f ( x)l 。
xa
16
例 5．判别下列反常积分的敛散性：
（1） 1
dx
(k 2 1) (椭圆积分）
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
解： x1是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1
,(q
1 ,
l
1
)
x1 (1 x)(1k 2 x2 ) 2(1k 2 ) 2
I1
1 0
et
t
x1
dt
，
I2
et t x1 dt ，
1
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x1 时，I1 是常义积分，收敛的；
∵ lim (t 0)1x et t x1 lim et 1 ，
t0
t0
20
②当0 x1 时，有 q1 x1, l 1,
∴ I1
1 et t x1 dt 收敛。
0
③ x0时,
1
0
收敛。
例 2．判别下列反常积分的敛散性：自习
（1）
1 1 sinx2dx
解：∵
0sin
1 x2
1 x2
，而
1
1 x2
dx
收敛
，
∴
sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）
0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而
dx 0 1 x
ln(1
x)
0
，
∴

反常积分收敛发散怎么判断

反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。

第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。

第四，题目声明的反常点。

第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。

第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。

那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。

(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。

(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。

第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。

第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。

zt8专题八关于反常积分敛散性的判别

专题八关于反常积分敛散性的判别积分区间为无限，或被积函数为无界的积分，称为广义积分，它们是定积分的推广．在这里，主要就它们的敛散性判别答疑．问题1：一元函数反常积分的判别法常见的有哪些内容？都有些什么特点？有些什么关系？答：一元函数反常积分包含无穷限的反常积分和无界函数反常积分，对于无界函数反常积分通过适当的代换就可以转化为无穷限的反常积分。

这里只就无穷限的反常积分进行叙述，对于无界函数反常积分，有类似的结果。

判定反常积分的敛散性要点如下：⑴如()0f x ³，且lim ()0x f x ?=，可考察x ?时无穷小量()f x 的阶，若阶数1l >，则反常积分()af x dx + ò收敛；1l £时发散．⑵若()0f x ³，可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断．⑶若()0f x ³，可考察()af x dx + ò是否有界．⑷以上()0f x ³的条件，只要对于充分大的()x x a ³能保持成立即可． ⑸因()af x dx + ò与()af x d x + -ò同时敛散，故对()0f x £有类似的方法．⑹若x ? 时()f x 无穷次变号，则以上判别法失效，可考虑用Abel 判别法或Dirichlet 判别法．⑺用Abel 判别法，与Dirichlet 判别法判定为收敛，只是()af x dx + ò本身收敛．至于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑()af x d x + ò收敛还是发散．⑻以上方法无效，还可考虑用Cauchy 准则来判断．或 ⑼用定义，看极限lim()AA af x d x ?ò是否存在．⑽用分部积分法，或变量替换法变成别的形式，看是否能判定它的敛散性． ⑾用级数方法判定积分的敛散性． ⑿用运算性质判断敛散性，例如：若()a f x dx + ò，()ag x d x + ò收敛，则()()()af xg x d x + ±ò亦收敛．若()af x dx + ò收敛，()ag x d x + ò发散，则()()()af xg x d x + ±ò亦发散．⒀对于无界函数反常积分，以上各条都有类似的结论，第⑴条要特别注意，对于无界函数反常积分而言，此条应是x 趋向奇点时，()f x 为无穷大量，若无穷大量的阶数1l <则积分收敛，若阶数1l ³则积分发散．问题2：无穷限的反常积分有一个无穷级数相对应，那么无穷限的反常积分()af x dx+ò收敛与li m ()0x f x ?=的关系是否有无穷级数1nn u ¥=å收敛与limn n u=这样的关系呢？答：无穷限的反常积分()af x dx + ò收敛与lim ()0x f x ?=的关系和无穷级数收敛，通项趋于0的关系有很大的不同。

反常积分的敛散性判定方法

内受古财经大教本科教年论文之阳早格格创做反常积分敛集性的判决要领做家陈志强教院统计与数教教院博业数教与应用数教年级2012级教号122094102指挥西席魏运导师职称熏陶最后结果75分目录纲要 (1)关键词汇 (1)弁止----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) (2) (3) (3)二、反常积分的支敛判别法 (4)1无贫积分的支敛判别 (4)(1).定义判别法 (4)(2).比较判别法 (4)(3).柯西判别法 (5)(4)阿贝我判别法 (6)(5).狄利克雷判别法 (7)2瑕积分的支敛判别.................................................. . (8)(1).定义判别法 (8)(2).定理判别法 (9)(3).比较判别法 (9)(4).柯西判别法 (9)(5).阿贝我判别法 (10)(6).狄利克雷判别法 (10)参照文件 (11)纲要正在很多本量问题中，要突破积分区间的有贫性战被积函数的有界性，由此得到了定积分的二种形式的推广：无贫限反常积分战瑕积分.咱们将那二种积分统称为反常积分.果为反常积分波及到一个支敛问题，所以反常积分的敛集性判决便隐得非常要害了.本文将对于反常积分的敛集性判决举止归纳归纳，并给出了相关定理的道明，举例道明其应用，那样将有帮于咱们机动的使用百般等价定理推断反常积分的敛集性.关键词汇：反常积分瑕积分极限敛集性弁止近些年此后，一些数教处事者对于反常积分敛集性的判别要领干了钻研并博得了许多要害的收达.如华东师范大教数教系编，数教分解（上册），对于反常积分积分的定义，本量的使用及道义其判别支敛性的要领.华中科技大教出版的数教分解表里要领与本领，也对于反常积分敛集性判别干了仔细的道解，还用图形的要领道明其意思.扩充出反常积分敛集性的等价定义，并通过例题道明其应用.稠密教者钻研的真量齐而广，真用性很下，更加是正在钻研敛集性的判别很明隐，那对于我现所钻研的论文题目提供了洪量的表里依据战参照文件，对于我完毕此次论文有很大的帮闲，但是绝大普遍文件不过对于其一种要领举止钻研，而本文将对于其举止归纳归纳，举例道明其应用.一、预备知识()f x 正在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 正在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()AaA f x dx→∞⎰ 存留，称反常积分 ()af x dx∞⎰支敛，可则称反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx∞-∞⎰收集.对于反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx ∞-∞⎰可类似的给出敛散性定义。

《反常积分》的计算与收敛性的判定小结与课件节选

《反常积分》的计算与收敛性的判定小结与课件节选1、定义法求积分值与判定积分的敛散性定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限基本思路与步骤：(1)通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；(2)对积分结果求极限；(3)根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。

2、反常积分收敛性的判定方法高等数学课程中判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分(1) 无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论(2) 无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。

【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。

【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。

【注4】具体内容与方法参考以下课件的部分内容和教材中的例题。

【注5】关于反常积分敛散性判定的基本思路、方法与步骤详细的讨论视频教学可以参见“第五届全国大学生数学竞赛初赛非数学竞赛试题解析”在线课堂中填空题第2题“一元函数反常积分敛散性判定的一般思路与方法”中的五个教学与学习视频！●第1节：无穷限反常积分敛散性判定的定义法●第2节：无穷限反常积分敛散性判定的比较法●第3节：无界函数的反常积分敛散性判定的定义法●第4节：无界函数的反常积分敛散性判定的比较法●第5节：反常积分敛散性判定的基本方法与步骤实例分析。

【反常积分】图解普林斯顿微积分15

【反常积分】图解普林斯顿微积分15第20 章反常积分：基本概念(Improper Integrals: Basic Concepts)反常积分是普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分, 本章的内容:•反常积分、收敛和发散的定义;•关于没有边界区域的反常积分;•关于比较判别法、极限比较判别法、p 判别法和绝对收敛判别法的理论基础.20.1 收敛和发散(Convergence and Divergence)如果积分∫baf(x)dx 中 f 不是有界的: 当 x 在区间 [a,b] 内, 函数 f 在区间有一条垂直渐近线的时候, 函数会在渐近线附近变得很大, 且没有界限, 这就使该积分成了反常积分(improper).积分区间如果是无界的, 如[0,∞) 或 (-∞,∞), 也使这个积分为反常积分.先来看第一种情况的图形:为了研究什么情况下一块无限区域的面积会是有限的, 我们需要使用极限. 观察下面动图:数ε 越小, 我们对这块无限区域的估算就越接近于真实值, 也就是当在 x=a 处有破裂点有:x=0 点有渐近线的函数, 很难区分, 需要分别对待每个积分.一个反常积分在有界区间的收敛和发散是由接近破裂点的走势决定的, 所以下面几个积分都是发散的.20.1.2 其他破裂点如果函数 f 在区间 [a,b] 内有破裂点 c, 需要把这个积分分成两部分[a,c] 和 [c,d], 并且只有当这两部分积分都收敛时候, 对 f 的积分才是收敛的. 如果任何一个发散, 那么整个积分都是发散的.为计算反常积分, 如果必要就把它分解. 每一部分最多只能有一个瑕点(problem spot), 而且该点要在积分的上下限上.下面反常积分在积分区间的瑕点是 x=0,1,2 , 就需要在这些瑕点之间选择一些数如 12和 32, 把原始的积分分成下面 5 个积分: 现在 5 个积分的瑕点都不超过一个, 可以分别进行分析. 但这5 个积分没有一个是收敛的!20.2 关于无穷区间上的积分(Integrals over Unbounded Regions)现在看当积分上下限有一个或同是无穷时的情况; 也就是说, 积分区间是无界的(unbounded). 用符号表示:20.3 比较判别法(理论)The Comparison Test20.4 极限比较判别法(理论)The Limit Comparison Test极限比较判别法需要两个近似的函数, 如两个函数在 x=a 是非常接近, 那么它们收敛或发散的行为是相同的.20.4.1 函数互为渐近线实际上, 可以对渐近等价函数做相乘, 相除, 幂运算或变量替换都是适用的. 但加减关系并不适用!20.4.2 关于判别法的陈述如果积分函数f(x), 它的瑕点仅仅在a 点, 那么反常积分收敛还是发散, 如果能找到一个渐进函数 g(x) 进行判别, 即 g 的结论也适用于 f 函数. 比如下面例子:20.5 p 判别法(理论)上面两种判别法基本策略都是选择一个能与函数 f 相比较的函数 g,(完)。

反常积分敛散性

+
0 xp xq
0 xp xq
1 xp xq
不妨设 min(p,q)=p, 因为
lim x p
x0
xp
1
xq

lim
x0
1

1 xq
p
=1
所以，瑕积分 1 dx 仅当 p<1 即 min(p,q)<1 时收敛；
0 xp xq
设 max(p,q)=q，由于
lim xq 1 lim 1 =1
1sin
2x dx
的瑕点，因为 lim
sin
2
x
lim sin x sin x 0，
0x
x x0
x x0
因此，积分 1sin 2xdx 是常积分，收敛的。
0x
这样，判断积分 sin 2xdx 敛散性只需判断积分 sin 2xdx 的敛散性。
0x
1x
即判断 1 (1 cos 2x)dx 的敛散性。
(注：此处 m<0 时是 x=0 是瑕点，为什么不加这个条件呢？因为当
m≥0 时是平常积分，收敛的，也就没有单独写出。)
因为 lim xnm xm arctan x lim xn arctan x
x
2 xn
x 2 xn
2
故 n m 1时， xm arctan xdx 收敛。
nx
因为
lim
x
1 n

2 m
m ln2 (1 x)
1
(此处有无穷小代换 ln(1+x)~x )
x0
nx
而 1

2
1（m，n

反常积分判敛法2011

f
xdx 发散时, a
gxdx 发散.
定理 2(比较判别法极限形式)
如果 f , g 在a,非负连续, 且 gx 0 ,
设
lim
x
f x gx

l
有限或
,那么
1
当l 0时 , f xdx 与 gxdx同敛散;
利用分部积分法可得：
x 1 x x,
又(1) 1,
故当x为正整数 n时, (n 1) n!
2. 函数定义域的扩充:
当 1 x 0时, x 1 0, ( x 1)有定义,
从而定义 ( x) ( x 1)
1 x 0
x
与无穷区间的审敛准则类似，有: (仅讨论 f , g 在[a,b)连续，b为奇点的积分）
定理4(比较判别法)
设 f , g 在[a, b)连续, lim f ( x) , lim g( x) ,
xb
xb
并且0 f x gx, x [a,b),
则
1
当
b
a
a
2
当l 0时 , 若 gxdx 收敛,则 f xdx
a
a
也收敛;
3
当l 时 , 若 gxdx 发散,则 f xdx
a
a
也发散.
常取p积分作为比较对象。
若取g( x)
1 xp
, 则由比较判别法可得使用起来比较方便的
a
g

x
dx
收敛
时,
b
a
f

x
dx
收
敛;
2

反常积分收敛判断

反常积分的收敛判断可以通过以下几种方法进行：
1.比较判别法：将原积分函数与已知函数进行比较，通过比较函数的大小关系来判断反常积分是否收敛。

如果原积分函数在某个区间内小于已知函数，则该积分收敛；如果原积分函数在某个区间内大于已知函数，则该积分发散。

2.极限判别法：将原积分函数拆分为两个积分，然后分别对它们的积分上限取极限，如果这两个极限都存在，且它们的和存在，则该积分收敛；否则，该积分发散。

3.绝对收敛法：如果原积分函数的绝对值在积分区间上可积，则该积分收敛。

这种方法适用于一些比较复杂的积分函数，但需要进行复杂的计算。

4.直接计算法（或称定义法）：通过直接计算反常积分来判断敛散性。

若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。

此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。

这些方法有各自的优点和适用范围，需要根据具体问题选择合适的方法进行判断。

反常积分敛散性的导数自比法

§4-5 反常积分

高等数学(上)：D5_5反常积分审敛法

反常积分的审敛法共25页

二维无界连通域上反常积分敛散性的判别准则

反常积分的敛散性判定方法

§6.2反常积分判敛法

反常积分敛散性的导数自比法

一道反常积分敛散性解题过程剖析

反常积分判敛法

课件：反常积分判敛法

反常积分收敛发散怎么判断

zt8专题八 关于反常积分敛散性的判别

反常积分的敛散性判定方法

《反常积分》的计算与收敛性的判定小结与课件节选

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