【精选】随机过程的非线性变换

无惰性时不变非线性系统
无惰性系统：输出 Y(t) 在 t1 时刻的特性完全由 X(t) 在t1 时刻的特性决定，而不取决于 X(t) 在其他时刻 的特性，这样的系统称为无惰性系统。 特点：系统不含惰性元件。
时不变系统：Y (t ) g[X (t )]
典型的无惰性时不变非线性系统

g(x1)g(x2 ) fX (x1, x2, )dx1dx2
X(t)
Y=g(x)
Y(t)
已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：输出的统计特征。 方法：直接根据定义求解。 特点：简单、直观。
1. 概率密度
y g(x) 单调
X(t)
Y=g(x)
Y(t)
fY ( y, t) | J | f X (x, t)
y g(x) 不单调
fY ( y, t) | J1 | fX (x1,t) | J2 | fX (x2 ,t)
前提条件：y g(x) 可以在 x 0 处用台劳级数展开
y g(x) a0 a1x a2 x 2 ....
ak

1 d kh(x) k ! dxk
均值： E[Y (t)] E[a0 a1X (t) an X n (t) ]
相关函数：Y (t1) a0 a1X (t1) an X n (t1) Y (t2 ) a0 a1X (t2 ) an X n (t2 )
其中： J1 dx1 / dy J2 dx2 / dy
2. 均值和自相关函数 X(t)
Y=Xg((tx)的) 一维概率Y(密t) 度
E Y (t) E{g[ X (t)]}


g(x)
fX
( x, t )dx
fXBaidu Nhomakorabea
(x)
E Y (t1)Y (t2 ) E{g[ X (t1)]g[ X (t2 )]} f X (x1, x2 , )
ak

1 d kh(x) k ! dxk
特点： 输出的一、二阶矩是由输入的k阶矩决定的 只能近似计算 用多项式表示非线性关系时，当它的幂次超过3 次，计算十分复杂
1. 变换法的基本公式

若非线性函数关系满足
| g(x) | dx

F () g(x)e jxdx 非线性系统的转移函数
(1)限幅系统
y
x | x | A
A
y


A
x A
A x A
-A
A
－A
x
典型的无惰性时不变非线性系统
(2)强限幅系统
A x0
y


0
x0
A x 0
y A
x －A
典型的无惰性时不变非线性系统
(3)平方律检波 y
y bx2 b 0
x 0
y x2
(1) 求输出过程Y(t)的一维概率密度； (2) 求Y(t)的均值、方差、相关函数及功率谱密度；
fY ( y) | J1 | f X (x1) | J2 | f X (x2 )
E Y (t) E{g[X (t)]}

g(x) f X (x,t)dx
E X1X2 X3X4 E(X1X2)E(X3X4) E(X1X3)E(X2 X4) E(X1X4)E(X2X3)

g(x1)g(x2 ) fX (x1, x2 , t1, t2 )dx1dx2
X(t)的二维概率密度
若输入 X (t) 二阶严平稳 则输出广义平稳的。
例1：假定全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随
机过程，其方差为 2，求输出的一维概率密度和均值。
x x0 y | x | x x 0
y g(x) 1 F()e jxd
2
若非线性函数不绝对可积，则转移函数用拉氏变换。
F (s) g(x)esxdx
s j
y g(x) 1 j F (s)esxds
2 j j
RY () E{Y (t )Y (t)} E{g[X (t )]g[X (t)]}
的，初相是随机的，在【－，】上均匀分布，噪声N(t)
是正态平稳过程，相关函数为 RN ( ) 2e 。求输出信
号Y(t)的均值、相关函数。
前提条件： y h(x) 可以在 x 0 处用台劳级数展开
y h(x) a0 a1x a2 x 2 ....
X(t)
Y=g(x)
Y(t)
已知：输入的统计特性和系统的非线性特性 求解：输出的统计特征。 难点： 对线性系统，只需知道系统的特性函数和输入随机过程的数 字特征；对非线性系统，还需已知输入过程的一、二维分布律， 甚至高维分布律或高阶矩。
对一般非线性系统（动态非线性系统或称为有惰性非线性系 统）的特性描述，甚至测量都非常困难。
y 0
fY ( y,t) | J1 | f X (x1,t) | J2 | f X (x2, t)
fY ( y) | J1 | f X (x1) | J2 | f X (x2 )
E Y (t) E{g[X (t)]}

g(x) f X (x)dx
例2：若X(t)为零均值高斯平稳过程，相关函数、功率谱 密度已知，非线性系统传输特性为
RY [t1,t2 ] E[Y (t1)Y (t2 )] E[a02 a0a1X (t1) X (t2 )]
例3：非线性器件具有抛物线性质，即
g(x) b1x b2 x2
输入随机信号是彼此不相关的正弦信号与噪声之和，
X (t) S(t) N(t)
正弦信号 S(t) a cos(0t ) ，幅度a与角频率 0是恒定
典型的无惰性时不变非线性系统
(4)全波线性检波
x x0 y | x | x x 0
y x
0
典型的无惰性时不变非线性系统
(5)半波线性检波
y

(x
|
x
|)
/
2

x 0
x0 x0
y x
0
4.1 非线性变换的直接分析法 4.2 非线性系统分析的级数展开法 4.3 非线性系统分析的变换法