晶体几何学基础

在密堆六方晶格中密排面为{0001}，密排方向为<1120>
三种晶体结构参数总结
其他材料的晶体结构
将两个原子为一组，满足面心立方关系。
侧面原子不在中心
面心正方
三斜
晶体结构对性能的影响
1. 晶体结构对性能的影响
Comparison of crystal structures for (a) aluminum (FCC) and (b) magnesium (HCP). Contrast in mechanical behavior of (a) aluminum (relatively ductile) and (b) magnesium (relatively brittle) resulting from the atomic-scale structure
2
h k l 2 a
2 2
2
h k l 四方晶系： 2 2 2 a c d hkl 2 2 2 1 h k l 正交晶系： 2 2 2 2 a b c d hkl 1
2 2 2
晶面夹角的计算公式
h1h2 k1k2 l1l2
2 2 2 h12 k12 l12 h2 k2 l2
晶带正空间 与倒空间对 应关系图
(h1k1l1 )
倒空间
(h3k3l3 )
(h2 k2l2 ) (h1k1l1 )
(uvw)*
纯金属常见的晶体结构
结构特点:以金属键结合，失去外层电子的金属离子与 自由电子的吸引力。无方向性，对称性较高的密堆 结构。 常见结构：体心立方 bcc Body-centered cubic 面心立方 fcc Face-centered cubic 密堆六方 hcp Hexagonal close-packed
* | r110 |
cos
H 2 K 2 L2 2 * | r101 | a a
11 1 0 0 1 2 2 1 2
H 1 H 2 K1 K 2 L1 L2
2 2 2 H 12 K12 L1 H2 K2 L2 2
课堂习题
根椐点阵特征周期性，绘出晶带其它的倒易点。
晶带与倒易面
已知两个晶面（h1k1l1）, （h2k2l2）,即可利用晶带轴定律， 求出晶带轴。
h1 k1 l1 u:v:w= h2 k2 l2
h1 k1 l1 h2 k2 l2
例（－1 0 2）面与（－3 4 2）面的晶带轴计算。
晶带与倒易面
正空间
ruvw
(h3k3l3 )
(h2 k2l2 )
体心立方
3.致密度：晶胞中所包含的原子 所占有的体积与该晶胞体积之比 称为致密度。致密度越大, 原子 排列紧密程度越大。体心立方晶 胞的致密度为：68％ 4.配位数：晶体结构中任一原子 与最近邻且等距离的原子数目。 BCC：8个
体心立方
原子位置 立方体的八个顶角和体心
体心立方中原子排列
面心立方
晶体结构中的间隙
体心立方四面体间隙 位于两个体心原子和两个顶角原子所组成的 四面体中心，数目为12。 rB / rA = 0.29
晶体结构中的间隙
密排六方：与面心立方结构相比，这两种结构的八面体和四面体的 形状完全相似，但位置不同，八面体间隙 rB / rA = 0.414 四面体间隙 rB /rA = 0.225
立方晶系中点阵常数与晶面的关系
(100)
d(100) a
2 2
intersects with
1 0 0
2
a
a at 1 b at c at
a at 1/2 b at c at a at 1 b at 1 c at
\ (100)
(200)
a
intersects with
2）正点阵中，晶面（hkl）的面间距dhkl是其同名倒易矢量 长度ghkl的倒数，即dhkl=1/ghkl; （证明）
倒易点阵中，晶面（uvw）*的面间距duvw*是正点阵中同 名矢量长度ruvw的倒数，即duvw*＝1/ruvw。
课堂习题
1. 试求出立方晶系[111]晶带的倒易点阵平面。
解： 利用晶带定律：HU+KV+LW=0 ⅰ，用试探法，根椐晶带定律找出不共线的的两个倒易点。 代入晶带定律检证 110 101 ⅱ，利用公式计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。
倒易点阵与正点阵
正点阵 晶胞基矢： a, b, c 点阵矢量： r ua vb wc
倒易点阵 晶胞基矢： a*, b*, c* r* ha * kb * lc * 倒易点阵矢量：
它的端点是hkl倒易阵点，如果h,k,l取遍所有整数值， 既构成无穷尽的倒易点阵，正如正空间点
阵矢量的端点处的阵点构成正点阵一样。
钝角。
倒易点阵的作法
首先求基矢，然后利用基矢绘图。 由a,b,c,α,β,γ求a*,b*,c*,α*,β*,γ*进而求倒易点阵. 同样可求 得b*,c*。
b c c a * * a b (b c )(c a ) (c c )(b a ) V V cos * * * abc2 sin sin | a b | bc sin ca sin V V cos cos cos 同样可求 得α *, β *。 sin sin
（110）面原子平面排列示意图 [111]
晶体结构中的间隙
晶体结构中的间隙
1．面心立方.八面体间隙：位置是立方体的正中心和每一个棱边中心， 其数目=1+12×1/4=4 棱边长
2 a a a 2 2 2
2 2
设原子半径为rA，间隙中能容纳的最大圆球子半径rB，则rB / rA = 0.414
晶体学基础
晶面间距
倒易点阵
三种典型的晶体结构
晶面间距
晶面间距(d)：两个相邻的平行晶面间的垂直距离。 对立方晶系而言：
d
a h k l
2 2 2
一般是晶面指数数值越 小，其面间距较大，并 且其阵点密度较大，而 晶面指数数值较大的则 相反。
晶面间距
晶面间距(d)公式：
立方晶系：
1 d hkl
C
B
C
B A A
C
B A
C
B
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
密排六方结构原子堆垛示意图
体心结构原子堆垛示意图
体心立方堆垛：密排面为（110） ABABAB不是最密排结构
A B A B A B A
A B A B B A
Leabharlann Baidu
A B A B A B A
A B A B A
A B A B A
BA A A
B
A A
B
A
立方晶系
cos
正方晶系
cos
h1h2 k1k2 l1l2 2 2 a c 2 2 2 h12 k12 l12 h2 k2 l2 2 2 2 2 a c a c
晶面间距
c b a
d100 d200
(100)
(200)
(110)
(110)
(111)
(102)
同素异构转变（多型性）
当外界条件（温度压 力）改变时，元素的晶 体结构可以发生转变， 这种性能称作同素异晶 性，或称多型性，这种 转变则称为同素异晶转 变或多型性转变，转变 的产物叫同素异晶体。
晶体结构
石墨的晶体结构
C60的晶体结构
金刚石的晶体结构
晶体结构X衍射图谱
石墨
金刚石
C60
a d(200) 2 2 2 2 2 0 0
\ (200)
(110)
a
intersects with
a d(110) 2 2 2 2 1 1 0
\ (110)
倒易点阵
1）倒易点阵概念
倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家 布拉未所采用，1921年爱瓦尔德发展了这种晶体学表 达方法。
La3Cu2VO9晶体的电子衍射图
倒易点阵的定义
假设给定一个基矢为a,b,c的正点阵，则必然有一个倒易 点阵与它相对应，记倒易晶胞的基矢为a*,b*,c*，两者之 间的关系为：
bc ca ab a* , b* , c* , a.(b c ) a.(b c ) a.(b c )
原子位置：立方体的八个顶角和每个侧面中心
具有这种晶格的金属有铝(Al)、铜(Cu)、镍 (Ni)、金(Au)、银(Ag)、γ- 铁(γ-Fe, 912 ℃～ 1394 ℃)等
面心立方中原子排列
四种具有面心立方点阵的晶体
(d)甲烷晶体
密堆六方
原子位置 12个顶角、上下底心和体内3个
金属：镁(Mg)、镉(Cd)、锌(Zn)、铍(Be)等
正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规 律，是物质空间或正空间。 倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射 强度的分布，是倒空间。
倒易点阵
倒易点阵是由正点阵派生出的几何图像，是晶体点
阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵结构与其电
子或X射线衍射斑点很好联系起来。 我们观测到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒 易点阵的投影。 倒易点阵已成为解释物质衍射现象、揭示晶体结构、 以及理论研究中不可缺少的手段和工具
晶体结构对性能的影响
成分 金刚石 石墨 C C
晶体结构 立方晶系 六方晶系
硬度 高 低
导电性 加工性能 不导电 导电 差 好
面心结构原子堆垛示意图
A层原子紧密排列，第二层可排B与C位置，但不可在 第二层上同时排B与C位置 [110] （111）面原子排列平面示意图 A A A A A A B B A A B A C A B C A B A C B A C B A A A A
r＝3/4a
体心立方
原子位置 体心立方晶格的晶胞中, 八个原子处于立方体的角上,一个原 子处于立方体的中心, 角上八个原子 与中心原子紧靠。
具有体心立方晶格的金属有钼 (Mo)、钨(W)、钒(V)、α -铁(α -Fe, <912℃)等。 体心立方晶胞特征：
晶格常数：a=b=c, α =β =γ =90°
分布将上式点乘a，b，c得到： a· a*= b· b*= c· c*=1 a· b*= a· c*= b· a*= b· c*= c· a*= c· b*= 0
倒易点阵的定义
c*
[001]*
c dab
(001)
b a
c*a, c*b; c* =(a, b构成的平行四边形的面积）/（晶胞体积） ＝1 /dab
正空间七大晶系在倒易空间它的晶系仍然不变。 正空间所有的矢量运算-埸论，在倒易空间均能用。
* * * a b* | a || b | cos *
正、倒点阵在晶体几何中的关系
对于一种正点阵，其倒易点阵是唯 一的，与基矢的选取无关.
正、倒点阵在晶体几何中的关系
1）正点阵中的一个方向[uvw]垂直与倒易点阵中的一个同 名晶面（uvw）*,即[uvw] ⊥ （uvw）*。 倒易点阵中的一个方向[hkl]*垂直于正点阵中的同名晶 面(hkl). [hkl]*⊥ (hkl) （证明）
倒易点阵与正点阵对应关系
a * a b * G 1 b c * c
a.a a.b a.c G b.a b.b b.c c.a c.b c.c
1）单位是互为倒易的，正空间长度单位为nm, 倒易空间的 长度单位为1/nm. 2）正点阵的晶胞形状是互为倒易的，长轴变短轴，锐角变
体心立方
1.晶胞原子数：每个晶胞包含的原子数 目。
BCC晶胞中, 角上原子同时属于8个相邻 的晶胞,因而每个晶胞占1/8；中心原子完 全属于这个晶胞。所以一个体心立方晶 胞所含的原子数为 2个。 2.原子半径：晶胞中相距最近的两个原 子之间距离的一半, 或晶胞中原子密度最 大的方向上相邻两原子之间距离的一半 称为原子半径(r)。BCC的r与a之间的关 系为：
晶体结构中的间隙
b.面心立方四面体间隙： 位于由一个顶角原子和三个面中心原子连接成的正四面体中心，数 目为8， rB / rA =0.225
晶体结构中的间隙
3．体心立方八面体间隙：位于立方体每个面中心和每根棱中间，数目 为6。间隙大小：<100> rB / rA = 0.15， <110> rB / rA = 0.633