2.4_正交多项式和最佳平方逼近

如果 a00 ( x) a11 ( x) an n ( x) 0 当且仅当a0 a1 an时成立,则称
0 ( x), 1 ( x), n ( x)在[ a, b]上是线性无关的.
第二章 插值与拟合
例2.17 函数组 {1, x , x n } ,其中 x i C[a, b] (i 0,1,, n)于[a, b] 线性无关。
第二章 插值与拟合
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
0, i j (i , j ) ai 0, i j
(2.4.3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集
i=0,1,…,m上的带权
{xi}
{ i}i=0,…m的正交多项式序列.
下面给出离散点上正交多项式的构造方法 .
4 2 5 3
( x) 4
3
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且 与原点对称。
第二章 插值与拟合
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。
Laguerre多项式可由三项递推公式
L ( x ) 1, L ( x ) 1 x , 1 0 ( 2.4.9) 2 L ( x ) (1 2n x ) L ( x ) n L ( x ), n 1,2,, n n1 n1
(2.4.7)
给出.它们是在区间 [-1,1]上的带权 (x)=1的正 交多项式.
第二章 插值与拟合
前几个Legendre多项式如下:
1 2 ( 3 x 1), 2 1 3 ( x ) ( 5 3 x ), P3 2 x 1 4 2 ( x ) ( 35 30 3), x x P4 8 1 5 3 ( x ) ( 63 70 x x 15x ). P5 8
第二章 插值与拟合
2.4.1 离散点集上的正交多项式
定义2.9 设有点集 {xi} i=0,1,…,m，函数 f (x) 和 g (x) 在离散意义下的内积定义为
( f , g ) i f ( xi ) g ( xi )
i 0
m
(2.4.1)
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x) 的2-范数定义为 (2.4.2) || f ||2 ( f , f ) 有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
x ( x ) e 给出。它们是在区间[0,+∞)上带权
的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下:
第二章 插值与拟合
L2 ( x ) x 2 4 x 2, L3 ( x ) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x ) x 4 16 x 3 72x 2 96 x 24 L4 ( x ) x 5 25x 4 200x 3 600x 2 600x 120
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx, f , g C[a, b]
a
b
第二章 插值与拟合
2.4.3连续函数的最佳平方逼近
连续函数空间C[a,b]上定义了内积（2.4.6） 就形成了一个内积空间。在Rn空间中任一向量都 可用它的线性无关的基表示。类似地，对内积空 间任一元素f (x)∈ C[a,b]，也可用线性无关的基 表示。 定义2.11 设0 ( x), 1 ( x), n ( x)在[ a, b]上连续,
第二章 插值与拟合
2.4.2 连续区间上正交多项式
连续区间上的正交多项式的概念与离散 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 的定义作相应的改变 。 定义2.10 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx, f , g C[a, b]

0，当i j , 且i , j 1 （ 1 ）(cosix, cos jx ) cosix cos jxdx ； ，当i j 0 0, 当i j , 且i , j 1 （ 2 ） (sinix, sin jx ) ； , 当i j 0
给出的多项式序列 Pk (x) 其中 (x , )
n k 0
(n m)
是正交多项式序列，
.
a
k

P P ,b (P , P )
k k k k
k

( P k 1, P k 1)
( P k, P k )
（2.4.5）
三项递推公式（2.4.4）是构造正交多项式的简 单公式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不 进一步讨论。
第二章 插值与拟合
2.4 正交多项式和最佳平方逼近
2.4.1 离散点集上的正交多项式
2.4.2 连续区间上正交多项式 2.4.3连续函数的最佳平方逼近
总结
第二章 插值与拟合
2.4 正交多项式和最佳平方逼近 正交多项式是数值计算中的重 要工具，这里只介绍正交多项式的 基本概念、某些性质和构造方法。 离散情形的正交多项式用于下节的 数据拟合，连续情形的正交多项式 用于生成最佳平方逼近多项式和下 章的高斯型求积公式的构造。它们 在数值分析的其他领域中也有不少 应用。
(2.4.8)
1 1 x
2
给出.它们是在区间[-1,1]上的带权 ( x) 的正交多项式.
第二章 插值与拟合
前几个第一类Chebyshev多项式如下:
T 2 ( x) T T T
3 4 5
1 2
x
2
1,
x 3 x, ( x ) 8 x 8 x 1, ( x ) 1 6 x 2 0 x 5 x.
（ 3 ） (sinix, cos jx) 0, i , j 1,2,, n
（ 4 ）（ 1 ， 1 ） dx 2 ；


(1, sinix ) 0, (1, cosix ) 0, i 1,, n。
第二章 插值与拟合
完全类似于离散情况下的正交多项式的构造方法, 连续区间上的正交多项式序列同样可以由递推公式 (2.4.4)和(2.4.5)构造,其中内积按(2.4.6)式定义. 正交多项式的三项递推公式: n 设 {k ( x)}k [a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组，i ( x) 0 为 是首项系数为1的i次多项式，则 { k ( x )}满足递推公式: 0 ( x) 1 1 ( x ) x 1 k 1 ( x) ( x k 1 )k ( x) k 1k 1 ( x),(k 1,2,, n 1) ( x k , k ) ( k , k ) 其中 k 1 ， k 1 ( k , k ) ( k 1 , k 1 ) n （ k ( x )为首项系数 且于[a, b]带权函数( x)为正交多项式组 {k ( x)}k 0 ,

是唯一的。 为1的k次多项式）
第二章 插值与拟合
下面给出几种常用的正交多项式.
(1) 勒让德（Legendre）多项式.
n { P ( x )} 正交多项式记为 i i 0 ，由三项递推公式得
P 0 ( x ) 1, P1 ( x ) x, ( x ) (2n 1) xP n ( x ) n P n1 ( x ), k 1,2,, (n1)P n1
第二章 插值与拟合
例2.16 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1}
和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关 于该点集的正交多项式 P0 ( x), P1 ( x), P2 ( x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
( P0 , P0 ) i P0 2 ( xi ) 5
第二章 插值与拟合
给定点集{xi} i=0,1,…,m和权数{ i}i=0,…m ，并且
点集 {xi} i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
项递推公式
（2.4.4） P 0( x) 1, •P1( x) x a 0, P k 1( x) ( x a k ) P k ( x) b k P k 1( x), k 1, 2, n 1
2
个Hermite多项式如下：
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x ) 8 x 3 12 x , H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x ) 32 x 5 160x 3 120x .
它们的根都在区间（-∞，+∞）上的单根，并且与原点对称
它们的根都是在区间（0，+∞）上的单根。
第二章 插值与拟合
(4) Hermite 多项式
Hermite多项式可由三项递推公式
H 0 ( x ) 1, H 1 ( x ) 1, ( 2.4.10) H n1 ( x ) 2 xHn ( x ) 2nH n1 ( x ), n 1,2, 给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 ( x) e2 x 的正交多项式。前几
i n 设 { x }i 0 于[a，b]线性相关，即存在不全 为零的数 证明： 反证法
c0，c1， ，cn，使
Pn ( x) c0 c1 x cn x n 0对所有的 x [a，b]成立 ，
而Pn ( x)为次数 n的多项式，最多有 n 个 0 点，而上式说明 Pn ( x)有
i 0 4
( xP0 , P0 ) i xi P0 2 ( xi ) 2.5
i 0
4
( xP0 , P0 ) a0 0.5 ( P0 , P0 )
P 1 ( x) x a0 x 0.5
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第二章 插值与拟合
由此得
2 (P , P ) P i 1 ( xi ) 0.625 1 1 i 0
P 2 ( x)
它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称.
第二章 插值与拟合
(2)第一类Chebyshev多项式.
第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式
T 0 ( x ) 1,T 1 ( x ) x , T n1 ( x ) 2 xT n ( x ) T n1 ( x ), k 1,2,,
4
( xP 1, P 1 ) x P ( xi ) 0.3125
i 0 2 i i 1
4
从而有
( xP (P 1, P 1) 1, P 1) a1 0.5 , b1 0.125 , (P ( P0 , P0 ) 1, P 1)
2 P2 ( x) ( x a1 ) P ( x ) b P ( x ) ( x 0.5) 0.125 1 1 0
无穷多个 0点，矛盾。
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第二章 插值与拟合
对函数组 {k ( x)}n k 0的线性无关性,有如下定理.
定理2.9
0 ( x),1 ( x), n ( x), 在[a,b]上线性无
关的充要条件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中
( 0 , 0 ) Gn ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n ) .
a b
（2.4.6）
其中的 (x)0为给定的权函数。按连续意义下的内
积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满足条件(2.4.3),则称
它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交多项式序列。
第二章 插值与拟合
例2.17
三角函数组 1, cos x, sinx,, cosnx, sinnx 在[ , ] 上关于 权函数1的正交组。 事实上，