高一函数单调性教案

§ 221函数的单调性

一、教学目标

1、通过对函数概念的认识，了解函数的单调性、单调区间的概念

2、使学生能用自己的语言来表述函数单调性的概念，并能根据函数的图象指出单调性, 写出单调区间

3、运用函数的单调性定义来证明一些简单函数的单调性

二、课型：新课程

三、课时：（略）

四、教学工具与教学方法

使用多媒体辅助教学工具；采用自主学习、合作探究的教学方法。

五、教学重点

函数单调性的概念

六、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性

七、教学过程

（一）知识导入

第2.1.1节开头的第三问题中，气温二是关于时间t的函数，记V - f（t）。观察这

个气温变化图（如图所示），问：

（1）从图中你能得出什么信息？

（2）说出在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？

（3）怎样用数字语言刻画上述时段内“随时间的增加气温逐渐升

高”这一特征？

讨论并与观察下例图象：

引出：什么是函数的单调性？单调区间？

（二）定义

设y = f （x）的定义域为A ,区间IJA。

如果对于区间丨内的任意两个值χ1 , χ2，当χ^ χ2时，都有

f （X Ib：: f （X2）

那么就说y = f （χ）在区间I上是单调增函数，I称为y = f（X）的单调增区间

-2 1

4

'24^t7h

若对于区间I内的任意两个值χ1, χ2，当χ1:：χ2时，都有

f （X I） f （X2）

那么就说y = f （X）在区间I上是单调减函数，I称为y = f（x）的单调减区间

如果y = f （x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y =

间I上具有单调性；单调增区间和单调减区间统称为单调区间

（三）例题讲解

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间：

2

（1）y - X 2

1

（2）y （X=O）

X

解:（1）函数图象如图（1）所示，单调曾区间为（-：：,0],单调减区间为[0厂：：）

（2）函数图象如图（2）所示，（」：,0）和（0「：：）是两个单调区间

注：先让学生练习，然后再讲解

1

例2：求证：函数f（X）1在区间（-：：,0）上是单调曾函数

X

证：设χ1,χ2为区间（」：，0）上的任意两个值，且X√χ2,则

X1X2 0，X1X2 0

因为

1 1

f(X1)一f(χj=(- -1)-(- -1)

X1 X2

X1 X2

f (X)在区

X< X2

X1X2

所以

f(χι) - f(X2厂：0

f (X Ih f (X2)

故f(x) 1在区间(-：：,0)上是单调曾函数

插入:

回到本节课刚开始讨论的图象，我们可以看出14时的气温为全天的最高气温，它表示

0~24时，气温于14时达到最大值。从中可以看出，图象在这一点的位置最高。由此可以定义函数的最大值和最小值：

设y = f(X)的定义域为A

如果存在χ0∙ A ,使得对于任意的x∙ A ,都有

f(x)Ef(χo)

y maχ= f(χ0)

那么称f(χ0)为y = f(x)的最大值，记为

如果存在χ0∙ A ,使得对于任意的x∙ A ,都有

f(x) - f(χo)

y mi n = f(χ0)

那么称f(χ0)为y = f(x)的最小值，记为

例3:求下列函数的最小值

⑴ y =χ2-2x

1

(2)y「X [1,3]

X

2

2

χ一2χ=(χ~1) -1--1 当且尽当X =1 时y = -1解：(1)因为y=

所以函数值取得最小值-1 ,即V =T

min

1 1 1 1

(2)因为对于任意实数[1,3],都有，且当X = 3时一

X 3 X 3

1 1

所以函数取得最小值—，即V =-

3 J fmin 3 y

例4：如图为函数V = f (x), X∙ [ -4,-7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。

注：先让学生自行练习

解：观察图象知，图象上最高点是（ 3, 3）,最低点

是 （ -1∙5, -2）。所以

V = 3, y

.

= -2

max

min

单调增区间为[一1.5,3] 一 [5,6];单调减区间为[一4,一1.5] [3,5] 一 [6,7] 练习题：

P

习题（让学生先练习，然后再讲解）

40

八、 小结

学习了函数的单调性、单调区间的概念，函数的最大值与最小值，以及简单的应用

九、 作业

P 习题2、3、4

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十、板书设计

黑板

(2)

在书写时，定义部分无论如何都不能擦去，例题部分当讲完题后不够写时可以擦去进 入下一题，当

要求学生上黑板做题时，擦去例题部分就可以了。

注意：必须保持黑板上书写整洁、清晰

黑板上引入

(1)