随机变量的数学期望与方差

限时作业62 随机变量的数学期望与方差

一、选择题

1.下列说法中，正确的是( )

A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值

B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平

C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平

D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值

解析:离散型随机变量X的均值反映了离散型随机变量×取值的平均水平,随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.

答案:C

则D(X)等于( )

A.0

B.0.8

C.2

D.1

解析:根据方差的计算公式,易求V(X)＝0.8.

答案:B

3.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )

A.0.5和0.25

B.0.5和0.75

C.1和0.25

D.1和0.75

解析:∵X服从两点分布，

∴X的概率分布为

D(X)＝0.52×0.5+(1－0.5)2×0.5＝0.25.

答案:A

4.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k q1－k(k＝0,1,p+q＝1)，则EX与DX依次为( )

A.0和1

B.p和p2

C.p和1－p

D.p和p(1－p)

解析:根据题意，EX＝0×q+1×p＝p,DX＝(0－p)2q+(1－p)2p＝p(1－p)或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以EX与DX依次为p和p(1－p)，选D.

答案:D

5.已知X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，则n与p的值分别是( )

A.100,0.08

B.20,0.4

C.10,0.2

D.10,0.8

解析:由于X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，即np＝8,np(1－p)＝1.6，

可解得p＝0.8，n＝10，应选D.

答案:D

二、填空题

6.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X.

其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上)

解析:②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.

答案:①②④

7.设l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率等可能地取2

5,3,22-

--,0,22,3,25,

用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望EX ＝__________. 解析:设直线方程为y ＝kx+1，则点(0，1)到直线的距离1

12

+=

k X ，将k 取

2

5

,3,22-

--0,22,3,25代入，分别求得距离为32,21,31,1,31,21,32,由于l 的斜率

取什么值是等可能的，

因此771737273=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .

答案:7

4

8.一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位;当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X ，则E(X)＝__________. 解析:所有可能出现的情况分别为

硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为x 1＝－4,此时概率16

11=

p ; 硬币3次反面向上而1次正面向上，则青蛙停止时坐标为x 2＝－1,此时概率

16

121)21(33

42=⨯⨯=C p ;

硬币2次反面向上而2次正面向上，则青蛙停止时坐标为x 3＝2,此时概率

16

1)21()21(222

43=⨯⨯=C p ;

硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为x 4＝5,此时概率

16

4)21()21(311

44=⨯⨯=C p ;

硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为x 5＝8,此时概率16

1)2

1

(4

45=

⨯=C p , ∴E(X)＝x 1p 1+x 2p 2+x 3p 3+x 4p 4+x 5p 5＝2. 答案:2

三、解答题

9.设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X 1和X 2(单位：cm),其分布列为：

求EX 1,EX 2,DX 1,DX 2，并分析两门火炮的优劣. 解:根据题意，有EX 1＝82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2＝89, EX 2＝(82+86.5+90+92.5+94)×0.2＝89， DX 1＝(82－89)2×0.2+(83－89)2×0.2+(90－89)2×0.2+(92－89)2×0.2+(98－89)2×0.2＝35.2， DX 2＝(82－89)2×0.2+(86.5－89)2×0.2+(90－89)2×0.2+(92.5－89)2×0.2+(94－89)2×0.2＝18.5. ∵EX 1＝EX 2，故两门火炮的平均性能相当，

但DX 1＞DX 2，故乙火炮相对性能较稳定，则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定. 10.设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为4

3，遇到红灯(禁止通行)的概率为

4

1

.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，X 表示停车时已经通过的路口数，求： (1)X 的概率分布及期望EX;

(2)停车时最多已通过3个路口的概率. 解:(1)X 的所有可能值为0，1，2，3，4,

用A k 表示“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”，

则P(A k )＝

4

3

(k ＝1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立. 故P(X ＝0)＝P(1A )＝4

1

,

P(X ＝1)＝P(A 1·2A )＝163

4143=⨯,

P(X ＝2)＝P(A 1·A 2·3A )＝649

41)43(2=⨯

P(X ＝3)＝P(A 1·A 2·A 3·4A )＝25627

41)43(3=⨯,

P(X ＝4)＝P(A 1·A 2·A 3·A 4)＝256

81

)43(4=,

256

2564256364216140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX .

(2)P(X ≤3)＝1－P(X ＝4)＝256

175

256811=-. ∴停车时最多已通过3个路口的概率为256

175

.

11.(2009广东汕头统测，理20)NBA 总决赛采用7场4胜制，即若某队先取胜4场则比赛结束.由于NBA 有特殊的政策和规则，能进入决赛的球队实力都较强，因此可以认为，两个队