欧几里得整环

欧几里得整环
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
欧几里得整环。

在抽象代数中。

欧几里得整环是一种能作辗转相除法的整环。

凡欧几里得整环必为主理想环。

中文名,欧几里得整环。

欧几里得性质,能作辗转相除法的整环。

条件,主理想环。

定义。

一个欧几里得整环是一整环D 及函数。

使之满足下述性质：若而。

则存在使得 a = bq + r。

而且或者r = 0。

或者v < v。

若 a 整除b。

则。

函数v 可设想成元素大小的量度。

当时可取v: = | x | 。

例子。

欧几理得整环的例子包括了：整数环。

v = | x | 。

高斯整数环。

域上的多项式环与幂级数环。

离散赋值环。

v
定义为使的最大非负整数n。

其中表该离散赋值环的唯一极大理想。

利用辗转相除法。

可以证明欧几里得环必为主理想环。

此时理想由其中v-值最小的元素生成。

由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环。

Motzkin 证明了的整数环在 d = − 19, − 43, − 67, − 163 时并非欧几里得整环。

却仍是主理想环。

这方面的进一步结果详见以下文献。

定义
若而，则存在使得 a = bq + r，而且或者r = 0，或者v(r) < v(b)。

若 a 整除b，则。

函数v 可设想成元素大小的量度，当时可取v(x): = | x | 。

例子
整数环，v(x) = | x | 。

高斯整数环。

域上的多项式环与幂级数环。

欧几里得离散赋值环，v(x) 定义为使的最大非负整数n，其中表该离散赋值环的唯一极大理想。

利用辗转相除法，可
以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中v-值最小的元素生成。

由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。

并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了的整数环在 d = − 19, − 43, − 67, − 163 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。

这方面的进一步结果详见以下文献。

各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。