2021高二数学寒假作业同步练习题：空间向量与立体几何大题专项练习
高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题(2021年整理)
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东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8小题,每小题5分,共40分）1、若a ，b ,c 是空间任意三个向量, R λ∈，下列关系式中,不成立的是( ）A ．a b b a +=+B ．()a b a b λλλ+=+C ．()()a b c a b c ++=++D ．b a λ= 2、给出下列命题①已知a b ⊥,则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅;②A 、B 、M 、N 为空间四点,若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 共面;③已知a b ⊥，则,a b 与任何向量不构成空间的一个基底；④已知{},,a b c 是空间的一个基底,则基向量,a b 可以与向量m a c =+构成空间另一个基底。
正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3、已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么3a b +等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4、1,2,,a b c a b ===+且c a ⊥，则向量a b 与的夹角为（ )A ．30B ．60C ．120D ．1505、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-且2a b ⋅=,则x 的值是( ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6、若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,则能使//l α的是（ ）A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==-B ．()()1,3,5,1,0,1a n ==C ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--D ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=7、在平面直角坐标系中， (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折成120的二面角后，则线段AB 的长度为（ ）A ．2B ．211C ．32D ．428、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1中点，则E 到平面ABC 1D 1的距离是（ ）A ．32 B ．22 C ．12D ．33 二、填空题(本大题共6小题,每空5分，共30分）9、已知123F i j k =++，223F i j k =-+-，3345F i j k =-+，若123,,F F F 共同作用于一物体上，使物体从点M （1,—2，1)移动到N(3，1，2），则合力所作的功是 。
2021-2021学年高二数学(理科)寒假作业训练10空间向量与立体几何
寒假训练10空间向量与立体几何[2021·中山一中]如下图，在四棱锥中，，，，，〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设，求二面角的余弦值． 【答案】〔1〕见解析；〔2． 【解析】〔1〕证明：∵，，∴． ∵，，，∴， ∵，∴平面．又平面，∴平面平面．〔2〕以为原点，建立空间直角坐标系如下图，那么，，，，∴，， 设平面的法向量为，那么，即，令，解得，E ABCD -AB CD ∥90ABC ∠=︒224CD AB CE ===120BCE ∠=︒DE =BCE ⊥CDE 4BC =E AD B --AB CD ∥90ABC ∠=︒CD BC ⊥4CD =2CE =DE =222CD CE DE +=CD CE ⊥BCCE C =CD ⊥BCE CD ⊂CDE BCE ⊥CDE C C xyz -()4,0,2A ()4,0,0B ()E -()0,0,4D ()4,0,2AD =-()2AE =--ADE ()1,,x y z =n 1100AD AE ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 420520x z x z -+=--=⎧⎪⎨⎪⎩1x =2y z x⎧==⎪⎨⎪⎩()1=n显然平面的一个法向量为， ∴一、选择题1．[2021·浙江学考]对于空间向量，．假设，那么实数〔〕 A ．B ．C ．1D ．22．[2021·黔东南州期末]在空间中，点关于平面对称的点为，点到平面的距离为〔〕 A B ．1C ．2D ．33．[2021·台州期中]在长方体中，，线与所成角的余弦值为〔〕 ABCD ．4．[2021·浙江模拟]如图，在平行六面体中，为，的交点． 假设，，，那么向量〔〕A ．B ．C ．D ．5．[2021·眉山一中]，，，那么以下向量是平面法向量的是〔〕ABD ()20,1,0=n 121212cos ,⋅==n n n n n n E AD B --()1,2,3=a (),4,6λ=b ∥a b λ=2-1-()1,2,3A xOy 'A 'A xOz 1111ABCD A B C D -1AB BC ==1AA 1AD 1DB 151111–ABCD A B C D M 11A C 11B D AB =a AD =b 1AA =c BM =1122-++a b c 1122++a b c 1122--+a b c 1122-+a b c ()1,0,0A ()0,1,0B ()0,0,1C ABCA ．B ．C ．D ． 6．[2021·眉山一中]假设直线的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，那么直线与平面所成的角等于〔〕 A ．B ．C ．D ．或7．[2021·吉安期末]点，，，点，假设平面，那么点的坐标为〔〕 A ．B ．C ．D ．8．[2021·深圳模拟]在如下图的坐标系中，为正方体，给出以下结论:①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为〔〕 A ．1B ．2C ．3D ．49．[2021·临汾一中]如图，在正方体中，假设是线段上的动点， 那么以下结论不正确的选项是〔〕()1,1,1-⎛ ⎝⎭()1,1,1-⎝⎭l 120︒l α120︒30︒60︒60︒30︒()0,1,0A ()1,0,1B --()2,1,1C (),0,P x z PA ⊥ABC P ()1,0,2-()1,0,2()1,0,2-()2,0,1-1111ABCD A B C D-1DD ()0,0,11BC ()0,1,111ABB A ()0,1,01B CD ()1,1,11111ABCD A B C D -M 11A CA ．三棱锥的正视图面积是定值B ．异面直线，所成的角可为C ．异面直线，所成的角为D ．直线与平面所成的角可为10．[2021·兰州期中]在正方体中，是的中点，那么直线与平面所成角的正弦值为〔〕 A ． BC ． D11．[2021·贵州调研]为正方体，那么二面角的余弦值为〔〕 ABCD12．[2021·书生中学]如图，在长方体中，，在棱上，且，那么当的面积最小时，棱的长为〔〕ABC ．2 D二、填空题13．[2021·醴陵二中]向量，，，假设平面，那么的值是______．M ABD -CM AB π3CM BD π2BM ABCD π31111ABCD A B C D -E 1C C BE 1B BD 1111ABCD A B C D -11B A C A --1111ABCD A B C D -1AB =BC M 1CC 1MD MA ⊥1MAD △1CC ()1,5,2AB =-()3,1,2BC =(),3,6DE x =-DE ∥ABC x14．[2021·定远县期中]如图，在正方体中，有下面结论：①平面； ②平面；③与底面④与为异面直线．其中正确的结论的序号是________．15．[2021·浙东北期中]在正方体中，异面直线与的所成角为_____，二面角的大小为_____．16．[2021·佛山一中]如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，那么的取值范围是___________．三、解答题17．[2021·西宁四中]如图，矩形所在平面外一点，平面，，，，、分别是、的中点．〔1〕求证：平面； 〔2〕求证：；〔3〕求与平面所成的角的大小．1111ABCD A B C D -AC ∥11CB D 1AC ⊥11CB D 1AC ABCD 1AD BD 1111ABCD A B C D -1A D 1CD 1B AC D --1111ABCD A B C D -O BD P 1CC OP 1A BD αsin αABCD P PA ⊥ABCD 1AB =2BC =2PA =E F AB PC EF ∥PAD CD EF ⊥EF ABCD18．[2021·百色调研]如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形． 〔1〕求证：；〔2〕假设，求二面角的正弦值．P ABCD -ABCD DAP △DA DP =ABP △PA BD ⊥2BA BD ==D PC B --寒假训练10空间向量与立体几何一、选择题 1．【答案】D【解析】∵空间向量，．假设，那么， ∴，应选D ． 2．【答案】C【解析】设所求的点为，∵点与点关于平面的对称， ∴、两点的横坐标和纵坐标相等，而竖坐标互为相反数，即，，， 得坐标为．∴点到平面的距离为2．应选C ． 3．【答案】B【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体中，，∴，，，，，， 设异面直线与所成角的为，那么， ∴异面直线与B ． 4．【答案】A【解析】由题意，向量．应选A ． 5．【答案】B【解析】，，设平面的法向量为，()1,2,3=a (),4,6λ=b ∥a b 1231462λ===2λ=()',,A x y z ()',,A x y z ()1,2,3A o x y A 'A 1x =2y =3z =-'A ()1,2,3-'A o x z D DA x DC y 1DD z 1111ABCD A B C D -1AB BC ==1AA ()1,0,0A (1D ()0,0,0D (1B (1AD =-(1DB =1AD 1DB θ11112cos 2AD DB AD DB θ⋅===⋅1AD 1DB ()11111122BM BB B D BB BA AD ++==+()111222=+-+=-++c a b a b c ()1,1,0AB =-()1,0,1AC =-ABC (),,x y z =n那么，取，，，那么，与共线的向量为，应选B ． 6．【答案】B【解析】设直线与平面所成的角为，那么，应选B ． 7．【答案】C【解析】∵，，．∵，，∴，∴，解得．∴．应选C ． 8．【答案】C【解析】∵，，故①正确； ，，故②正确；直线平面，．故③正确；点的坐标为，与平面不垂直，故④错．应选C ． 9．【答案】D【解析】对于，三棱锥的主视图为三角形，底边为的长，高为正方体的高， 故棱锥的主视图面积不变，故A 正确；对于，分别以，，为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系， 设正方体边长为1，，，，， ∴，，∴，时，方程有解，∴异面直线，所成的角可为，故B 正确． 对于，连结，，，那么，∵，∴，00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩1x =1y =1z =()1,1,1=n n ⎛ ⎝⎭l αθ1209030θ=︒-︒=︒()1,1,1AB =---()2,0,1AC =(),1,PA x z =--PA AB ⊥PA AC ⊥0PA P AB AC A =⋅⋅=1020x z x z -+=⎧⎨--=⎩12x z =-⎧⎨=⎩()1,0,2P -11DD AA ∥()10,0,1AA =11BC AD ∥()10,1,1AD =AD ⊥11ABB A ()0,1,0AD =1C ()1,1,11AC 1B CD A M ABD -AB B AB AD 1AA A (),,1M a a ()1,0,0B ()0,0,0A ()1,1,0C ()1,1,1CM a a =--()1,0,0AB =c ,os CM AB 12=-CM AB π3C AC BD 1A C BD AC ⊥11AC A C ∥11BD A C ⊥又∵，于是平面，∵平面，∴，故C 正确；对于，结合中的坐标系，可得面的法向量为，， ∴即直线与平面所成的角可为是错误的，应选D ． 10．【答案】B【解析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，那么，，，， ∴，，，设平面的法向量为，∵，，∴，令，那么，∴， 设直线与平面所成角为，那么B ． 11．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，1BD CC ⊥BD ⊥11A C C CM ⊂11A C C BD CM ⊥D B ABCD ()0,01=,n ()1,,1BM a a =-cos BM =,n cos BM ==,n BM ABCD π3D DA x DC y 1DD z ()0,0,0D ()2,2,0B ()12,2,2B ()0,2,1E ()2,2,0BD =--()10,0,2BB =()2,0,1BE =-1B BD (),,x y z =n BD ⊥n 1BB ⊥n 22020x y z --=⎧⎨=⎩1y =()1,1,0=-n 10cos ,5BE BE BE ⋅==⋅n n n BE 1B BD θ10sin cos ,5BE θ==n D DA x DC y 1DD z设正方体的棱长为1，∴，，，， 那么，，， 设平面的法向量为，那么，令，得，设平面的法向量为，那么，令，得，设二面角的夹角为，那么C ． 12．【答案】A【解析】如下图，建立空间直角坐标系，，设，，，，，，∵，∴，即，1111ABCD A B C D -()1,0,0A ()11,0,1A ()1,1,0B ()10,1,1C ()111,1,0AC =-()10,0,1AA =-()10,1,1AB =-11AC A (),,x y z =n 11100A C x y A A z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 1x =()1,1,0=n 11A C B (),,a b c =m 1110A C a b AB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m 1a =()1,1,1=m 11B AC A --αcos α⋅===m n m n()0,0,0D ()0,1,M t ()10,0,D z )A ()0,0z t z ≥≥≠()10,1,MD z t =--()AM t =-1MD MA ⊥()110MD AM t z t ⋅=-+-=1z t t -=111122AMD S AM MD ==⨯△12=， 当且仅当，时取等号，∴，应选A ．二、填空题 13．【答案】【解析】∵平面，∴存在事实，，使得， ∴，解得．故答案为． 14．【答案】②③④ 【解析】①∵平面，∴平面错误，∴①错误．②连结，，那么，又∵面， 故，，故面，进而得到，同理可证， 又∵于点，故得到平面，∴②正确．③∵在底面的射影为，∴是与底面所成的角， 设正方体的边长为，那么，∴④由异面直线的定义可知，与为异面直线，∴④正确．故答案为②③④． 15．【答案】；【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，32==t =z =1CC z ==5DE ∥ABC m n DE mAB nBC =+335622x m nm n m n =+⎧⎪-=+⎨⎪=-+⎩5x =5AC11CB D C =AC ∥11CB D 1BC 11A C 11BC B C ⊥AB ⊥11BCC B 1AB B C ⊥1ABBC B =1B C ⊥1ABC 11AC B C ⊥111B D AC ⊥111B D B C 1B 1AC ⊥11CB D 1AC ABCD AC 1C AC ∠1AC ABCD a AC 11tan CC C AC AC ∠==1AD BD 60︒60︒D DA x DC y 1DD z设正方体中棱长为1，那么，，，，，，， 设异面直线与的所成角为，那么，∴， ∴异面直线与的所成角为．，，，，设平面的法向量，那么，取，得， 设平面的法向量，那么，取，得， 设二面角的大小为，那么，∴， ∴二面角的大小为．故答案为；．16．【答案】 【解析】由题意可得：直线于平面所成的角的取值范围是，1111ABCD A B C D -()11,0,1A ()0,0,0D ()0,1,0C ()10,0,1D ()1,0B 1,()11,0,1A D =--()10,1,1CD =-1A D 1CD θ11111cos 22A D CD A D CD θ⋅===60θ=︒1A D 1CD 60︒()11,0,1DA =()0,1,0DC =()11,1,1CA =-()1,0,0CB =1DCA (),,x y z =n 100DA x z DC y ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪=⎩=n n 1x =()101=-,,n 1BCA (),,x y z =m 10CA x y z CB x ⎧⋅-+=⎪⎨⋅===⎪⎩m m 1y =()011=,,m1B AC D --α1cos 2α⋅===m n m n60α=︒1B ACD --60︒60︒60︒⎤⎥⎣⎦OP 1A BD α111ππ2,,2AOA C OA ⎡⎤⎡⎤∠∠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不妨取．在中，，， ∴的取值范围是．三、解答题17．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析；〔3〕． 【解析】〔1〕证明：如图，建立空间直角坐标系，那么，，，，， ∵为的中点，为的中点，∴，，∴，，， ∴，∴与，共面， ∵平面，∴平面；〔2〕证明：，∴，∴； 〔3〕解：∵，， ∴，∴， ∵平面，∴是平面的法向量， ∴与平面所成的角为．2AB =1Rt AOA△111sin AA AOA A O ∠===()111111sin sin 2sin 22sin cos C OA AOA AOA AOA AOA π∠=-∠=∠=∠∠2==>sinα⎤⎥⎣⎦45︒A xyz-()0,0,0A ()1,0,0B ()1,2,0C ()0,2,0D ()0,0,2P E AB F PC 1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1,12F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1,1EF =()0,0,2AP =()0,2,0AD =()12EF AP AD =+EF AP AD E ∉PAD EF ∥PAD ()1,0,0CD =-()()1,0,00,1,10CD EF ⋅=-⋅=CD EF ⊥()0,1,1EF =()0,0,2AP=2cos 2,EF AP EF AP EF AP⋅==,45EF AP =︒AP ⊥ABCD AP ABCD EF ABCD ,9045EF AP ︒︒-=18．【答案】〔1〕见解析；〔2． 【解析】〔1〕证明：取中点，连，，，∵，为等边三角形，∴，， 又，∴平面，又∵平面，∴．〔2〕解：∵，为中点，结合题设条件可得，∴，∴．如图，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，那么，，，， 得，，，，设平面的一个法向量，那么，即，∴．设平面的一个法向量， 由，即，∴．∴． 设二面角的平面角为，那么由图可知， ∴AP M DM BM DA DP =ABP △PA D M ⊥PA BM ⊥DMBM M =PA ⊥DMB BD ⊂DMB PA BD ⊥2BA BD ==M AP 1DM =BM =222BD MB MD =+M D M B ⊥MP MB MD x y z ()1,0,0A -()0B ()100P ,,()001D ,,()101DP =-,,()1DC AB ==,()10BP =-,()101BC AD ==,,DPC ()1111,,x y z =n 1100DP DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 111100x z x -==⎧⎪⎨⎪⎩(1=n PCB ()2222,,x y z =n 220BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 222200x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩2=n 1212121cos ,7⋅==n n n n n n D PC B --αsin 0α>sin α==。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
2020-2021学年高二数学人教B版(2019)寒假作业(2)
2020-2021学年高二数学人教B 版（2019）寒假作业（2）空间向量在立体几何中的应用1.若平面,αβ的法向量分别为()2,3,5=--u ，()3,1,4=-v ，则( ) A.αβB.αβ⊥C.,αβ相交但不垂直D.以上均不正确2.在如图所示的坐标系中，六面体1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为()0,0,1； ②直线1BC 的一个方向向量为()0,1,1； ③平面11ABB A 的一个法向量为()0,1,0； ④平面1B CD 的一个法向量为()1,1,1. 其中正确结论的个数为( ) A.1B.2C.3D.43.已知平面α内的两个向量()1,1,1a =，()0,2,1b =-，且()4,4,1c ma nb =++-，若c 为平面α的法向量，则,m n 的值分别为( ) A.–1，2B.1，-2C.1，2D.-1，-24.在正四棱锥P ABCD -中，,M N 分别为,PA PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切2DM 与AN 所成角的余弦值为( )A.13B.16 C.18D.1125.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA AD AC ==，点F 为PC 的中点，则二面角C BF D --的正切值为( )A.3 B.3 C.3 D.236.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为( )A.12B.22 C.13D.167.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，则点1C 到直线CE 的距离为( ) A.133 5 68.若正四棱柱1111ABCD A B C D -31AB =，则直线1AB 与1CD 所成的角为（ ） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒9.已知三棱柱111ABC A B C -的棱长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成角的余弦值为( ) 35 7 D.3410.已知直线l 的方向向量(2,1,3)v =，且l 过(0,,3)A y 和(1,2,)B z --，则y =_____________，z =__________.11.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(1,2,0)A -，(2,1,6)B ，则向量AB 与平面xOz 法向量所成角的正弦值为_________________.12.在正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长都相等，E 为1BB 的中点，则平面AEC 与ABC 所成角的大小为_________________.13.如图所示，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，,1BD DC BD DC ⊥==，点E 在1AA 上，且11142AE AA ==，则点B 到平面1EDC 的距离为________________.14.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =，点M 是PD 的中点.（1）求证：PD BM ⊥.（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值.15.已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且1,,PD E F =分别为,AB BC 的中点. (1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离.答案以及解析1.答案：C 解析：(2,3,5),(3,1,4),=--=-∴u v u 与 v 既不平行也不垂直，故选C.2.答案：C解析：设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则111,(0,0,1)DD AA AA =；111,(0,1,1)BC AD AD =；直线AD ⊥平面11,(0,1,0)ABB A AD =；点1C 的坐标为1(1,1,1),AC 与平面1B CD 不垂直，∴①②③正确，④错误. 3.答案：A解析：(4,4,1)(,,)(0,2,)(4,4,1)(4,24,1)c ma nb m m m n n m m n m n =++-=+-+-=++--+ 由c 为平面α的法向量，得00c a c b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即310590m n m n ++=⎧⎨+-=⎩解得12m n =-⎧⎨=⎩.4.答案：B解析：如图所示.不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为2，易得其高为2.取底面正方形的中心为原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)A B C --，(1,1,0),(0,0,2)D P --，则112112,,,,,2222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以312132,,,,,22222DM AN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设DM 与AN 所成的角的大小为θ，则||1cos 6||||DM AN DM AN θ⋅==.故选B.5.答案：D解析：如图，连接BD 交AC 于点O ，连接,OF 四边形ABCD 为菱形，O ∴为AC 的中点，AC BD ⊥.F 为PC 的中点，OFPA ∴.PA ⊥平面,ABCD OF ∴⊥平面ABCD .以O 为原点，,,OB OC OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设1PA AD AC ===，则31133,,0,0,0,0,,0,,0,,0,022BD B F C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合图形可知，10,,02OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且OC 为平面BDF 的一个法向量.由3131,,0,,0,2222BC FB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可求得平面BCF 的一个法向量(1,3,3)=n .2127cos ,,sin ,7OC OC ∴〈〉=〈〉=n n ，23tan ,OC ∴〈〉=n .6.答案：C解析：如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,2,0)D E A C .连接1D E ，所以11(1,1,1),(1,2,0),(1,0,1)D E AC AD =-=-=-.设平面1ACD 的法向量为(,,)a b c =n ，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0,a b a c -+=⎧⎨-+=⎩所以2,.a b a c =⎧⎨=⎩令2a =，则(2,1,2)=n .所以点E 到平面1ACD 的距离1|212|1||33D E d ⋅+-===n n .故选C.7.答案：C解析：建立空间直角坐标系，如图，则(1,1,0)C，1(1,1,1)C，10,,12E⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,,12EC⎛⎫=-⎪⎝⎭，1(0,0,1)CC=，所以1CC在EC上的投影的数量为1231||114CC ECEC⋅==-++，所以点1C到直线EC的距离22114519||CC ECd CCEC⎛⎫⋅=-=-=⎪⎪⎝⎭.故选C.8.答案：C解析：∵正四棱柱1111ABCD A B C D-的体积为3，1AB=，∴13AA，以D为原点，DA 为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),3),(0,1,0),3)A B C D，11(0,1,3),(0,3)AB CD==-，设直线1AB与1CD所成的角为θ，则11111cos244AB CDAB CDθ⋅===⋅⋅，又090θ︒<≤︒，∴60θ=︒，∴直线1AB与1CD所成的角为60︒．故选C．9.答案：D解析：如图，设BC 的中点为O ，连接1,AO AO ，由题意知1A O ⊥平面,ABC AO BC ⊥，则以O 为坐标原点，分别以1,,AO OC OA 所在直线为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为2a ，则22221143OA AA AO a a a =-=-=，1(3,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B a A a --.所以2111133cos ,cos ,224AB AA a AB CC AB AA a a AB AA ⋅====⋅.10.答案：32-；32解析：因为直线l 的方向向量(2,1,3)v =，且l 过(0,,3)A y 和(1,2,)B z --，(1,2,3)AB y z ∴=----=(2,1,3)λ，12233y z λλλ-=⎧⎪∴--=⎨⎪-=⎩，解得123232y z λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.11.7解析：设平面xOz 的法向量为(0,,0)(0)t t =≠n .因为(1,3,6)AB =，所以3cos ,4||||||ABt AB t AB ⋅〈〉==n n n .因为,[0,π]AB 〈〉∈n ，所以237sin ,14||t AB t ⎛⎫〈〉=-= ⎪⎝⎭n . 12.答案：π6解析：设正三棱柱各棱长均为2，以AC 中点O 为坐标原点，以,OB OC 所在直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)=n .由(0,1,0)OA =-，(3,1,1)AE =得平面AEC 的一个法向量为2(1,0,3)=-n ，123cos ,∴=n n ，12π,6∴=n n ，∴平面AEC 与ABC 所成角的大小为π6.13.答案：5解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2),1,1,2D A B C C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11(0,1,2),1,1,2DC DE ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.设平面1EDC 的一个法向量为(),,x y z =n ， 则110,220,DE x y z DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩n n 取1z =，解得5,22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5,2,12⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭n .∴点B 到平面1EDC 的距离5||52||35DB d ⋅===n n .14.答案：（1）PA ⊥平面,ABCD AB ⊂平面,ABCD PA AB ∴⊥.四边形ABCD 为矩形，,,AB AD AD PA A AD ∴⊥=⊂平面,PAD PA ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥，PAD △为等腰直角三角形，M 是PD 的中点， ,,AM PD ABAM A AB ∴⊥=⊂平面,ABM AM ⊂平面ABM ，PD ∴⊥平面ABM ，又BM ⊂平面ABM ，PD BM ∴⊥.（2）如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,1,1)A P B C D M . (1,2,0),(0,1,1),(1,0,0)AC AM CD ∴===-.设平面ACM 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由,AC AM ⊥⊥n n 可得200x y y z +=⎧⎨+=⎩.令1z =，得21x y ==-，.(2,1,1)∴=-n . 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则||6sin |cos ,|||||16CD CD CD α⋅=〈〉===⨯n n n .∴直线CD 与平面ACM 6. 15.答案：(1)建立以点D 为坐标原点，,,DA DC DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.则()()()110,0,1,1,0,0,0,1,01,,0,,1,,022P A C E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1111,,0,1,,1,1,,02222EF PE DE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 设平面PEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,EF PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即110,2210.2x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 令2x =，则2,3y z ==，所以()2,2,3=n .所以点D 到平面PEF 的距离||317||449DE d ⋅===++n n . (2)因为10,,02AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点A 到平面PEF 的距离||17||17'AE d ⋅===n n 所以直线AC 到平面PEF 17.。
2022-2021学年上学期高二数学寒假作业 07(人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何)
作业范围:选修2-1第三章空间向量与立体几何姓名:_______ 学校:_______ 班级:_________时间: 100分钟分值:120分第Ⅰ卷一、选择题(本题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14答案1．已知向量()1,1,0a=，()1,0,2b=-，且ka b+与2a b-相互垂直，则k的值为（）A．B．15C．35D．75】2021-2022学年广西桂林市一中高二下期中数学试卷【答案】D考点：空间向量垂直的充要条件．【题型】选择题【难度】较易2．若()()2,3,,2,6,8a mb n==且,a b为共线向量，则m n+的值为（）A．7 B．52 C．6 D．】2021-2022学年广西桂林市一中高二下期中数学试卷【答案】C【解析】由,a b为共线向量得23268mn==，解得4,2m n==，则6m n+=．故选C．考点：空间向量平行的充要条件．【题型】选择题【难度】较易3．向量＝（2,4,x）,＝（2,y,2），若||＝6，且⊥，则x＋y的值为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1】2021-2022学年新疆兵团农二师华山中学高二下学前考试理科数学试卷【答案】C考点：空间向量的坐标运算及垂直的性质.【题型】选择题【难度】较易4．已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则AC与AB的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°】2021-2022学年福建省晋江市季延中学高二上学期期末理科数学试卷【答案】C【解析】设AC与AB的夹角为θ，()1,1,0AC=-，()0,3,3AB=，cosθ∴312232AC ABAC AB⋅==⨯，60θ∴=︒.考点：向量夹角.【题型】选择题【难度】较易5．已知()1,2,1A-，()5,6,7B，则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．()0,1,1B．()0,1,3-C．()1,0,3-D．()1,0,5--】2021-2022学年福建省三明市A片高二上学期期末理科数学试卷【答案】D【解析】直线AB与平面xOz交点的坐标是()0,M x z，，则()1,2,1A zM x-=-+，又AB=（4，4，8），AM与AB 共线，∴AM AB λ=，即14,24,18,x z λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得1x =-，5z =-，∴点()1,0,5M --.考点：空间中的点的坐标. 【题型】选择题 【难度】较易6．若平面α的一个法向量为()()()1,2,2,1,0,2,0,1,4,,n A B A α=-∉B α∈，则点A 到平面α的距离为（）A ．1B ．2C ．13D ．23】【百强校】2022-2021学年黑吉两省八校高二上期中数学（理）试卷 【答案】C 【解析】由于()()1,0,2,0,1,4A B -，所以(1,1,2)AB =--，所以点A 到平面α的距离为22212413122AB n d n⋅--+===++，故选C ．考点：空间向量的应用． 【题型】选择题 【难度】较易7．在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，设,,OA a OB b OC c ===，则OD 可表示为（） A ．a c b +- B ．2a b c +- C ．b c a +- D ．2a c b +-】【百强校】2022-2021学年黑吉两省八校高二上期中数学（理）试卷 【答案】A考点：空间向量的线性运算． 【题型】选择题 【难度】较易8．点()2,3,4关于xOz 平面的对称点为（）A.()2,3,4-B.()2,3,4-C.()2,3,4-D.()2,3,4-- 】2021-2022学年陕西延川县中学高一下学期期中数学（理）试卷 【答案】C考点：空间中点的坐标. 【题型】选择题【难度】较易9．已知)1,2,2(=−→−AB ，)3,5,4(=−→−AC ，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是（）A.)6,2,1(-B.)1,1,2(-C.)2,2,1(-D.)1,2,4(-】2021-2022学年陕西延川县中学高二下学期期中数学（理）试卷 【答案】C【解析】设平面ABC 的法向量为()z y x n ,,= ，则,,n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩那么220,4530,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩那么2:)2(:1::-=z y x ，满足条件的只有C ，故选C. 考点：空间向量. 【题型】选择题 【难度】较易10．已知(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，若c b a ,,三向量共面，则实数λ等于（） A ．627 B ．637 C ．647 D ．657】2021-2022学年安徽省淮南二中高二下学期期中理科数学试卷【答案】D考点：空间向量共面的性质及方程思想. 【题型】选择题 【难度】较易11．已知)2,0,4(A ，)2,6,2(-B ，点M 在轴上，且到B A ,的距离相等，则M 的坐标为（） A ．)0,0,6(- B ．)0,6,0(- C ．)6,0,0(- D ．)0,0,6( 】【百强校】2021-2022学年福建省厦门一中高一6月月考数学试卷 【答案】A【解析】由于点M 在轴上，所以可设(),0,0M x ，又MA MB=，所以()()()()()()2222224000220602x x -+-+-=-+-+-，解得6x =-，所以(6,0,0)M -.考点：空间两点间距离公式.【题型】选择题 【难度】一般12．在四周体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AC z AD y AB x AG ++=，则x ＋y ＋z ＝（）A ．31B ．21C ． 1D ．2】2021-2022学年山西省孝义市高二上学期期末考试理科数学试卷 【答案】C【解析】()1122AG AB BG AB BE AB AE AB AB=+=+=+-=()1122AC AD AB ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦,整理得AD AC AB AG 414121++=,所以21=x ，41==z y ，所以1=++z y x ，故选C.考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】一般13．若平面α、β的法向量分别为1n ＝(2,3,5)，2n ＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均有可能】【百强校】2021-2022学年海南省文昌中学高二上期末理科数学试卷 【答案】C考点：两平面的位置关系，用向量推断两平面的位置关系． 【题型】选择题 【难度】一般14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）MC1CB1D1A1ABDA.1122a b c-++B.1122a b c++C.1122a b c--+D.1122a b c-+】2021-2022学年河南三门峡市陕州中学高二上其次次对抗赛理科数学卷 【答案】A【解析】依据向量加法的运算法则，可得111=2BM BB B McBD c 111222BA BC a b c .考点：空间向量的表示. 【题型】选择题 【难度】一般 第II 卷二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 15．已知向量()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则=k ________．】【百强校】2021-2022学年山西太原五中高二上学期期末理科数学试卷【答案】32-【解析】由于()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，所以(4,7,0),(2,2,0)AB k AC k =--=--，又由于A 、B 、C 三点共线，所以存在实数λ使得AB AC λ=，所以42,72,k k λλ-=-⎧⎨-=-⎩解得7,22,3k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以=k 32-．考点：向量的坐标运算和向量共线定理． 【题型】填空题 【难度】较易16．设点B 是A (2，－3, 5)关于平面xOy 对称的点，则线段AB 的长为 . 】2022-2021学年广东省广州六中高一上学期期末考试数学试题 【答案】10考点：空间中点的坐标和两点之间的距离. 【题型】填空题【难度】较易17．在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，||8DA =，||6DC =，1||3DD =，则11D B 的中点M 的坐标为__________，||DM =_______．】2021-2022学年福建省八县一中高一上学期期末考试数学试卷 【答案】(4,3,3)；34考点：中点坐标公式，空间中两点的距离公式. 【题型】填空题 【难度】较易18．已知空间单位向量1231223134,,,,,5⊥⊥⋅=e e e e e e e e e ，若空间向量123x y z =++m e e e 满足：14⋅=m e ，233,5⋅=⋅=m e m e ，则x y z ++=________，=m ________．】【百强校】2021-2022学年浙江省金华十校高二上学期调研数学试卷 【答案】34【解析】由于1223134,,5⊥⊥⋅=e e e e e e ，空间向量123x y z =++m e e e 满足：14⋅=m e ，233,5⋅=⋅=m e m e ，所以123112321233()4,()3,()5,x y z x y z x y z ++⋅=⎧⎪++⋅=⎨⎪++⋅=⎩e e e e e e e e e e e e 即44,53,45,5x z y x z ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得0,3,5,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以8x y z ++=，=m 34考点：向量的数量积的运算及向量的模的计算． 【题型】填空题【难度】一般19．若直线的方向向量()1,1,1a =，平面α的一个法向量()2,1,1n=-，则直线与平面α所成角的正弦值等于_________。
人教A版高二寒假作业1：空间向量和立体几何
人教A 版高二寒假作业1：空间向量和立体几何【基础巩固】1.(2022·河南省·联考题)下列关于空间向量的说法中错误的是()A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量B.直线可以由其上一点和它的方向向量确定C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量2.(2022·浙江省杭州市·月考试卷)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形．若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13AA =，则1AC 的长为()A.29 B.27 C.42 D.5 3.(2022·广东省肇庆市·月考试卷)在空间直角坐标系Oxyz 中，与点关于平面xOz 对称的点为()A. B. C. D.4.(2021·广东省中山市·月考试卷)设,,x y R ∈向量(,1,1)a x = ，(1,,1)b y = ，(2,4,2)c =- 且a b ⊥ ，//b c ，则||a b += ()A.22 B.3 C.10 D.45.（多选）(2022·山西省·期中考试)下列命题中正确的是()A.,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B.已知为空间的一个基底，若m a c =+ ，则也是空间的基底C.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为2(2,0,)3n =- ，则直线//l αD.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =- ，则直线l 与平面α所成角的正弦值为556.（多选）(2022·湖北省·期中考试)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O ，P 分别是AC ，SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则()A.OM AP⊥B.存在点M ，使//OM 平面SBCC.存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D.点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值7.(2021·全国·月考试卷)已知{}123e e e ，，为空间的一个基底，若123a e e e =++ ，123b e e e =+- ，123c e e e =-+ ，12323d e e e =++ ，且d a b c αβγ=++ ，则αβγ++的值为__________.8.(2022·浙江省温州市·月考试卷)如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，过点A 作一个平面分别交,,PB PC PD 于点E ，F ，G ，若31,52PE PF PB PC ==，则PG PD的值为__________.9.(2022·山东省·期末考试)如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD 和矩形CDEF 所在的平面互相垂直，AD DC ⊥，//AB DC ，4AB AD DE ===，8.CD =M 为AD 的中点，在DE 上是否存在一点P ，使得//MP 平面BCE ？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．10.(2021·广东省东莞市·期中考试)(1)在空间直角坐标系中，已知平面α的法向量，且平面α经过点0000(,,)P x y z ，设点(,,)P x y z 是平面α内任意一点.求证：000()()()0.a x xb y yc z z -+-+-=(2)我们称(1)中结论000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=为平面α的点法式方程，若平面α过点123(2,1,4),(1,3,2),(0,2,3)M M M ---，求平面α的点法式方程.【拓展提升】11.（多选）(2021·湖南省·联考题)正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，且，过P 作垂直于平面11BDD B 的直线l ，分别交正方体1111ABCD A B C D -的表面于M ，N 两点.下列说法不正确的是()A.1BD ⊥平面1DMB NB.四边形1DMB N 面积的最大值为C.若四边形1DMB N 的面积为，则14λ=D.若12λ=，则四棱锥1B DMB N -的体积为12.(2022·湖北省武汉市·月考试卷)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为__________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为__________.13.(2022·浙江省绍兴市·月考试卷)如图，//AD BC 且22AD BC ==，AD CD ⊥，平面ADGE ⊥平面ABCD ，四边形ADGE 为矩形，//CD FG 且2 2.CD FG ==(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)若CF 与平面ABCD 所成角的正切值为2，求直线AD 到平面EBC 的距离．14.(2021·河北省·历年真题)图1是由矩形ADEB 、Rt ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ︒∠=，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B CG A --的大小.1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间向量的基本概念，属于基础题.根据空间向量的基本概念，逐项判断即可.【解答】解：空间任意三个不共面的向量可以构成空间的一个基底，故C 错误.根据空间向量的概念可知，其余选项正确.故选.C 2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查空间向量的运算，空间向量的模，属于基础题.利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解.【解答】解：根据空间向量的运算法则，易得11AC AB AD AA =++ ，又1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13AA =，底面是边长为2的正方形，所以222111||()AC AC AB AD AA ==++ 222111222AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅ 1144902232232922=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故1||AC = 故选.A 3.【答案】A【解析】【分析】本题考查在空间直角坐标系Oxyz 中，与点(,,)x y z 关于平面xOz 对称的点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.根据在空间直角坐标系Oxyz 中，与点(,,)x y z 关于平面xOz 对称的点为(,,).x y z -即可求出答案.【解答】解：因为点，则其关于平面xOz 对称的点为故选：.A 4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于基础题.根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得x ，y ，可得，解得，再由模长公式求解.【解答】解：(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===- ，因为,//a b b c ⊥ ，则，解得，所以，则，所以故选.B 5.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于拔高题．不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A 、B ，若直线的方向向量与平面α的法向量垂直，则线面平行，可判断C ，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断.D 【解答】解：对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+ ，则,,a b m 也不共面，则也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)00303e n ⋅=⨯-+⨯+⨯=，则e n ⊥ ，若l α⊂/，则//l α，但选项中没有条件l α⊂/，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，cos ⟨,e n⟩||||5e n e n ⋅== ，则直线l 与平面α所成角的正弦值为5，故D 对；故选：.ABD 6.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断A 、C 、D ，根据线面平行的判定定理判断.B 【解答】解：四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O ，P 分别是AC ，SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设2SA AB ==，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(2,0,0)B ，(1,1,1)P ，(0,2,0)D ，(0,0,2)S ，(1,1,0)O ，由M 是棱SD 上的动点，设(0,,2)M λλ-，(02)λ，(1,1,1)AP = ，(1,1,2)OM λλ=--- ，1120AP OM λλ∴⋅=-+-+-= ，OM AP ∴⊥，故A 正确；当M 为SD 中点时，OM 是SBD 的中位线，//OM SB ∴，OM ⊂/ 平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，//OM ∴平面SBC ，故B 正确；(2,0,0)AB = ，(1,1,2)OM λλ=--- ，若存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒，则||3cos302||||AB OM AB OB ︒⋅==⋅ ，化简，得23970λλ-+=，无解，故C 错误；点M 到平面ABCD 的距离12d λ=-，(0,,2)AM λλ=- ，(0,2,0)AD = ，点M 到平面SAB 的距离：2||22||AM AD d AD λλ⋅=== ，∴点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为：1222d d λλ+=-+=，是定值，故D 正确．故选.ABD 7.【答案】1【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理，属于中档题.由题意，a ，b ，c 为三个不共面的向量，所以由空间向量基本定理得到123()()()d e e e αβγαβγαβγ=++++-+-+ ，进行求解即可.【解答】解：由题意，a ，b ，c 为三个不共面的向量，所以由空间向量基本定理可知必然存在惟一的有序实数对{,,}αβγ，使得.d a b c αβγ=++ 123123123()()()d e e e e e e e e e αβγ∴=++++-+-+ 123()()().e e e αβγαβγαβγ=++++-+-+ 又12323d e e e =++ ，，则 1.αβγ++=故答案为：1.8.【答案】34【解析】【分析】本题考查空间向量的应用，属于中档题.连接AC ，BD ，并交于点O ，连接PO ，则PO ⊥面ABCD ，AC BD ⊥，以O 为坐标原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，(a 、0)b >，进而写出PB 、PC 、PD 、PA 坐标，可得PE ，PF ，由,,,A E F G 四点共面有PA xPE yPF zPG =++ ，其中1x y z ++=，设(01)PG PD λλ=<< ，求λ值即可得答案.【解答】解：在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，BD ，并交于点O ，连接PO ，则PO ⊥面ABCD ，AC BD ⊥，以O 为坐标原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，(a 、0)b >，则(0,,)PB a b =- ，(,0,)PC a b =-- ，(0,,)PD a b =--，(,0,)PA a b =- ，333(0,,)555a b PE PB ∴==- ，1(,0,)222a b PF PC ==-- ，由题意,,,A E F G 四点共面，则有PA xPE yPF zPG =++ ，其中1x y z ++=，设(0,,),(0,1)PG PD a b λλλλ==--∈ ，33(,0,)(0,)(,0,)(0,,)5522a b a b a b x y z a b λλ∴-=-+--+--33(,,)2552ay ax bx by a z b z λλ=-----，由方程组，即，解得34λ=，所以3.4PG PD =故答案为3.49.【答案】解：以DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(4,4,0)B ，(0,8,0)C ，(0,0,4)E ，(0,8,4)F ，(4,4,0),(4,4,4)BC BE ∴=-=-- 设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z = ，，即，令1x =，可得(1,1,2)n =，(2,0,0)M ，设(0,0,)P a ，(04)a ，P 为DE 上一点，则(2,0,)MP a =- ，//MP 平面BCE ，,(2,0,)(1,1,2)220 1.PM n PM n a a a ∴⊥∴⋅=-⋅=-+=⇒= ∴当1DP =时，//MP 平面.BCE 【解析】本题考查用空间向量证明直线与平面平行，考查空间想象能力，计算能力．属于中档题.以DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)(04)P a a ，P 为DE 上一点，求出平面BCE 的一个法向量，再求出 1.a =推出//MP 平面.BCE 10.【答案】解：(1)证明： 平面α经过点0000(,,)P x y z ，点(,,)P x y z 是平面α内任意一点，0P P α∴⊂，为平面α的法向量，0P P u ∴⊥ ，0=0P P u ∴⋅ ，000(,,)(,,)0x x y y z z a b c ∴---⋅=，000()()()0.a x xb y yc z z ∴-+-+-=(2)设平面α的法向量为(,,)u x y z = ，123(2,1,4),(1,3,2),(0,2,3)M M M --- ，21(3,4,6)M M ∴=- ，23(1,1,5)M M =- ，则，，令1z =-，则14,9x y ==，∴平面α的法向量为(14,9,1).u =- 由(1)可知，平面α的点法式方程为：14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即149150.x y z +--=【解析】本题考查新定义问题，考查平面的法向量，属于一般题.(1)因为为平面α的法向量，所以0P P u ⊥ ，即0=0P P u ⋅ ，代入坐标化简即可证明；(2)设平面α的法向量为(,,)u x y z = ，则，推导出平面α的法向量代入(1)中的结论即可得到平面α的点法式方程.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定、点线、点面距离和棱锥的体积，属于一般题.建立空间直角坐标系利用空间向量坐标依次分析选项即可求解.【解答】解：因为1BD 与1B D 不垂直，所以1BD 与平面1DMB N 不垂直，A 不正确;如图，以1D 为坐标原点，11D A ，11D C ，1D D 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系1D xyz -，则，，，1(0,2,0)C ，111(2,2,2),(2,2,0)DB A C =-=- ，因为1DP DB λ= ，所以因为11A C ⊥平面11BDD B ，所以可设11MP PN A C μ== ，则，若M ∈平面11ADD A ，则λμ=，即，，102λ<；若M ∈平面11.ABB A 则1λμ+=，即，，1 1.2λ<因为1MN B D ⊥，所以四边形1DMB N 的面积当12λ=时，四边形1DMB N 的面积最大，且最大值为，点B 到直线1B D 263=，即点B 到平面1DMB N 的距离为263，故四棱锥1B DMB N -的体积1268333V =⨯=，故B 正确，D 不正确;若四边形1DMB N 的面积为则或，解得14λ=或34，故C 不正确.故选.ACD12.【答案】17【解析】【分析】本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于拔高题．首先可证1BD AC ⊥，在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，可得1.BD EF ⊥记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，在1BB 上取一点G ，由10BD EG ⋅= ，求出G 点的位置，从而得到动点M 轨迹，即可求出动点M 的轨迹围成的图形的面积，显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值.【解答】解：如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以AC ⊥平面11BDD B ，又1BD ⊂平面11BDD B ，所以1.BD AC ⊥在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1.BD EF ⊥记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则，，在1BB 上取一点G ，记为，于是1(8,0,6)BD =- ，(3,).EG t =- 由12460BD EG t ⋅=-+= ，得4t =，即12BG GB =，所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．由题意得FG ==3344EF AC ==⨯=动点M的轨迹围成的图形的面积为显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大．因为，，所以1(MC =-，1||MC == 因为直线AC 的一个方向向量为(0,1,0)n =，所以cos ⟨1,MC n⟩11||||MC n MC n ⋅=== 即异面直线1MC 与AC所成角的余弦值为17故答案为：；1713.【答案】(1)证明： 四边形ADGE 为矩形，AD DG ∴⊥，又平面ADGE ⊥平面ABCD ，平面ADGE ⋂平面ABCD AD =，DG ∴⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C，设DG t =，则(2,0,)E t ，(0,1,)F t ，(0,0,)G t ，3(0,,22t M ，(1,0,)N t ，设0000(,,)n x y z = 为平面CDE 的一个法向量，则000002020n DC y n DE x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，00y =，取02z =-，则0x t =，可得0(,0,2).n t =- 又3(1,,22t MN =- ，可得00MN n t t ⋅=-= ，则0MN n ⊥ ，又MN ⊂/平面CDE ，//MN ∴平面CDE ；(2)解：//AD BC ，AD ⊂/平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，//AD ∴平面EBC ，则直线AD 到平面EBC 的距离等于D 到平面EBC 的距离．由(1)知，DG ⊥平面ABCD ，则DCF ∠为CF 与平面ABCD 所成角，依题意，tan 2DCF ∠=，可得2DG =，则(2,0,2)E ，(1,0,0)BC =- ，(1,2,2).BE =- 设平面BCE 的一个法向量为111(,,)n x y z = ，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11z =，得(0,1,1).n = (0,2,0)DC = ，则2cos ,2||||n DC n DC n DC ⋅<>===⋅ ，即直线DC 与平面BCE所成角的正弦值为.2∴点D 到平面EBC的距离为22DC ⨯=，即直线AD 到平面EBC【解析】本题考查利用空间向量证明直线与平面平行，训练了利用空间向量法求点到平面的距离，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由已知可得DG ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的一个法向量0n ，再求出MN 的坐标，证明00MN n ⋅= ，可得0MN n ⊥ ，结合MN ⊂/平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；(2)由//AD BC ，AD ⊂/平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，得//AD 平面EBC ，则直线AD 到平面EBC 的距离等于D 到平面EBC 的距离，再由已知求得(2,0,2)E ，进一步求出平面BCE 的一个法向量，再求出直线DC 与平面BCE 所成角的正弦值，即可求得点D 到平面EBC 的距离．14.【答案】证明：(1)由已知得在图2中，//AD BE ，//CG BE ，//AD CG ∴，AD ∴，CG 确定一个平面，A ∴，C ，G ，D 四点共面，由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，BE 、BC 为平面BEGC 内两条相交直线，AB ∴⊥面BCGE ，AB ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE；解：(2)作EH BC ⊥，垂足为H ，EH ⊂ 平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，平面BCGE ⋂平面ABC BC =，EH ∴⊥平面ABC ，由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ︒∠=，1BH ∴=，EH =以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H xyz -，则(1,1,0)A -，(1,0,0)C，G )，CG = ，(2,1,0)AC =- ，设平面ACGD 的法向量(,,)n x y z = ，则020CG n x AC n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取3x =，得(3,6,n = ，又平面BCGE 的法向量为(0,1,0)m =，cos ,||||2n m n m n m ⋅∴<>==⋅ ，由图可知二面角B CG A --的平面角为锐角，∴二面角B CG A --的大小为30.︒【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．⊥，AD CG，由此能证明A，C，G，D四点共面，推导出AB BE CG BE，从而//AD BE，//(1)推导出//⊥，从而AB⊥面BCGE，由此能证明平面ABC⊥平面BCGE；AB BC(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面BCGE与平面ACGD的法向量，即可求解二面角的大小．。
(2021年整理)高中数学空间向量与立体几何测试题
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空间向量与立体几何一.选择题1。
在下列命题中:①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线,则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知是空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x,y,z 使得p xa yb zc =++；其中正确的命题的个数是 （ ）（A ）0 （B ）1 （C)2 （D ）32。
与向量（-3，-4,5）共线的单位向量是 （ ）(A)（32222,,1052-）和（32222,,1052--）； (B ）（32222,,1052-)； （C)（32222,,1052）和（32222,,1052---）； （D ）（32222,,1052--）； 3. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M ∈平面ABC的充分条件是 （ ）（A)111222OM OA OB OC =++; （B ）1133OM OA OB OC =-+；(C ）OM OA OB OC =++; （D)2OM OA OB OC =--4。
高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)
高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。
人教A版新教材高二数学选修二空间向量与立体几何同步测试题
第 17 题： 【答案】（1）
【解析】（1）设
（2）
或
，由得：
上的点
能使 ，即
. （2）设
或
，所以点 的坐标为
第 18 题：
【答案】(1)
; (2)
.
【解析】(1)
,
,
(2)
,
,
,
，要使
，解之得
，所以 轴
为等边三角形需要
或
.
，解之得
,解得
.
四点共面, 存在唯一一对实数 使得
,
,解得
.
第 19 题： 【答案】见解析
,,
成立,故 A 错误. 对于 B,假设
共面,则存在实数
,使得
. 所以
即
,所以存在实数
共面,则存在实数
,使得
,使得假设
. 所以
解得
所以存在实数
使得假设成立,故 B 错误. 对于 C,假设
. 所以
不共面,故 C 正确. 对于 D,假设 ,所以
第 11 题： 【答案】C 【解析】
共面,则存在实数
,使得
,无解,所以不存在实数
示空间直角坐标系．
设
，则
，
． (1)∵
面
，∴
平面
. (2ห้องสมุดไป่ตู้∵
∴
.又
，
，∴
平面
.
第 22 题： 【答案】（1）证明略； （2）
，又
平面
，
，
【解析】
连接 ，
为菱形，
，
则△
为等边三角形．取 中点为 ， 中点为 ，连接 ， ，易知
，
，
而 ∥ ，则
高二数学寒假作业 专题10 空间向量及运算(测)Word版 含答案(寒假总动员)
专题10 空间向量及其运算【测一测】 一、选择题1．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形2．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c)的值为 ( ) A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析： ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3. 3．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB →,CD →，满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D.若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 【答案】A 【解析】试题分析：设向量a 、b 的夹角为θ，于是cos θ＝4－2＋23×3＝49，由此可得sin θ＝659.所以以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝2×12×3×3×659＝655．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由题意,m a m b ⊥⊥ ，则由0,0m a m b ⋅=⋅= ，()0m n m a b λμ⋅=⋅+= ，∴m n ⊥.6．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35 D.757．已知a ＝(1－t,1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)则|b －a|的最小值是( ) A.55 B.555 C.355 D.115【答案】C8．设OABC 是四面体，G1是△AB C 的重心，G 是OG1上一点，且OG ＝3GG1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z)为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 【答案】A 【解析】试题分析：OG1→＝OA →＋AG1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG1知，OG →＝34OG1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z)＝⎝⎛⎭⎫14，14，14. 9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a ，点M 在AC1上且11AM MC 2＝，N 为B1B 的中点，则｜MN ｜为( )(A)216 a(B)66 a (C)156 a(D)153a10．已知空间四边形OABC 中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 【答案】B 【解析】试题分析：12()23MN ON OM OB OC OA =-=+- 211322a b c=-++ . 二、填空题11.已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则()1AB BD BC2++等于_______.【答案】AG【解析】试题分析：因为G 是CD 的中点，连接AG ，BG .∴()1BG BD BC2=+ ，()1AB BD BC AB BG AG.2∴++=+=12. 已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝______13.空间四边形OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA 与BC 所成角的余弦值等于_______.14. 正方体ABCD —A1B1C1D1中，点E 、F 分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF →＋λA1D →＝0 (λ∈R)，则λ＝______.【答案】12-【解析】试题分析：连接111,C A C D ，因为EF 是中位线，则有12EF AD = ，故12λ=-. 二、解答题15. 如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD ＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长． 【解析】试题分析：构造向量，线段CD 的长就是CD，CD CA AB BD =++ ，15题16. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?。
高二上学期数学寒假作业-空间向量及其运用综合练习卷
高二年级寒假数学作业1.1 空间向量及其运用综合练习卷一、单选题1．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（ ）A ．111326a b c -+B ．111362a b c -+C ．111632a b c -+D ．111366a b c ++2．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，若线段12AC =1∠=DAA （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，给出下列各式：①()AB BC +1CC +．①()111AA A D +11D C +．①()1AB DD +11BC +．①()1AD CB +AC +．其中运算结果为向量1AC 的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若,a b 是平面α内的两个向量，则（ ） A ．α内任一向量p a b λμ=+(λ，μ①R) B ．若存在λ，μ①R 使a b λμ+＝0，则λ＝μ＝0C ．若,a b 不共线，则空间任一向量p a b λμ=+ (λ，μ①R)D ．若,a b 不共线，则α内任一向量p a b λμ=+ (λ，μ①R)5．已知空间向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，1a =，2b =，7c =，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1112,45,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠===，则1AC =（ ）A ．1B 3C ．9D ．37．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在空间直角坐标系O xyz -的x 轴上移动，点C 在平面yOz 上移动，则1OC OB ⋅的最大值是（ ） A ．2B ．21C ．442+D ．68．已知半径为1的球面上有,,,A B C D 四个点，1AB CD ==，且AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积最大值为（ ） A ．13B 3C 2D ．16二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量 C ．空间向量就是空间中的一条有向线段 D ．方向相同且模相等的两个向量是相等向量10．在正三棱柱111ABC A B C 中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．1111222AF AB AC AA =++ B ．存在点E ，使得AF BE ⊥ C ．三棱锥B AEF -3D ．直线AF 与平面11BCC B 21 11．（多选）在三维空间中，a b ⨯叫作向量a 与b 的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；①sin ,a b a b a b ⨯=.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．AB AD AD AB ⨯=⨯C ．6S BC AC =⨯D ．111AC A D ⨯与1BD 共线 12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AD AB AA ===，E ，F 分别是棱AD ，11B C 的中点，点P 在侧面11A ADD 内，且(,)xB x BP E yBF y +=∈R ，则三棱锥1P BB F -外接球表面积的取值可能是（ ）A ．10πB ．20πC ．12πD ．44π三、填空题13．若(,)AB CD CE R λμλμ=+∈，则直线AB 与平面CDE 的位置关系为____．14．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB a =，AD b =，1AA c =，，A 1C 1与B 1D 1的交点为E ，则BE =_____.15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA =a ，PB =b ，PC =c ，则BE =_____．16．如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为______.四、解答题17．已知向量a ，b ，c 不共面，453AB a b c =++，23AC a b c =++，675AD a b c =++．求证：B ，C ，D 三点共线．18．已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，①BAD ＝90°，①BAA ′＝①DAA ′＝60°.（1）求AC ′的长；（如图所示） （2）求AC '与AC 的夹角的余弦值．19．已知1e ､2e ､3e 是不共面的向量，且12323OP e e e =-+，1232OA e e e =+-，12332OB e e e =-++，123OC e e e =+-.(1)判断P ､A ､B ､C 四点是否共面；(2)能否用OA ､OB ､OC 表示OP ？并说明理由.20．如图所示，四边形ABCD 是矩形，//EF AB ，AB =4，EF =2，ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，G 是AD 上一动点，求FG 的长度的范围．21．如图，在三棱锥-P ABC 中，点D 为棱BC 上一点，且2CD BD =，点M 为线段AD 的中点．(1)以{},,AB AC AP 为一组基底表示向量PM ；(2)若3AB AC ==，4AP =，60BAC PAC ∠=∠=，求PM AC ⋅．22．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱11B C 上的动点.求向量AE 在向量AC 方向上投影的数量的取值范围.参考答案1--8DCDDC DDB 9．AD10．AC 11．ACD 12．BCD13．AB ⊂平面CDE 或//AB 平面CDE 14．1122a b c -++15．131222a b c -+16．217．222BC AC AB a b c =-=---，而444CD AD AC a b c =-=++， 所以2CD BC =-，故B ，C ，D 三点共线． 18．（1）可得AC '＝'AC CC +＝'AB AD AA ++，2AC '＝2AB AD AA '++＝22AB AD AA '+++2（AB AD AB AA AD AA ''⋅+⋅+⋅）＝42+32+52+2（4×3×0+4×1153522⨯+⨯⨯）＝85故AC ′的长等于AC '＝85（2）由（1）可知AC '＝AB AD AA '++，AC '＝85故AC AC '⋅＝（AB AD AA '++）⋅（AB AD +） ＝222AB AB AD AD AA AB AA AD ''+⋅++⋅+⋅ ＝2211424303545322+⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯＝852又AC ＝()AB AD +＝222AB AB AD AD +⋅+＝22403++＝5故AC '与AC 的夹角的余弦值＝AC ACAC AC '⋅'⋅＝852855=⨯85 19．(1)假设P ､A ､B ､C 四点共面，则存在实数x ､y ､z ， 使OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，即()()()12312312312323232e e e x e e e y e e e z e e e -+=+-+-++++-. 比较对应的系数，得到关于x ､y ､z 的方程组322123x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=-⎨⎪-+-=⎩，解得17530x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这与1x y z ++=矛盾，故P ､A ､B ､C 四点不共面； (2)能用OA ､OB ､OC 表示OP ，理由如下：若OA ､OB ､OC 共面，则存在实数m ､n ，使OA mOB nOC =+，同（1）可证，OA ､OB ､OC 不共面，即OP 是向量OA ､OB 与OC 的线性组合， 令OA a =，OB b =，OC c =，由123123123232e e e a e e e b e e e c⎧+-=⎪-++=⎨⎪+-=⎩，得1233547e a b ce a c e a b c ⎧=--⎪=-⎨⎪=--⎩，所以()()()1232323534717530OP e e e a b c a c a b c a b c =-+=----+--=--17530OA OB OC =--.20．连接AF ，过E 作//EH BF ，交AB 于点H ，如下图所示，易得四边形EFBH 为平行四边形，①2EF =，4AB =，①2AH =， 又2AE =，2EH =，①60EAH ∠=︒， 设(01)AG x AD x =≤≤，则(FG AG AF xAD AE =-=-+1)2EF xAD AE AB =--， ①212FG xAD AE AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2222124x AD AE AB x AD AE x AD AB AE AB =++-⋅-⋅+⋅ 2211144444224x x x ⎛⎫=++-+=-+ ⎪⎝⎭当12x =时，FG 取得最小值为110x =或x =1时，FG取得最大值为23 ①FG 的长度的范围是[11,23]．21．（1）①M 为线段AD 的中点，①12AM AD =，①2CD BD =，①13BD BC =，①PM PA AM =+12PA AD =+1()2PA AB BD =++11()23PA AB BC =++11()23PA AB BA AC ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦111()233PA AB AB AC =+-+1136AP AB AC =-++；（2）11()36PM AC AP AB AC AC ⋅=-++⋅21136AP AC AB AC AC =-⋅+⋅+AP AC cos PAC =-∠13AB AC cos BAC +∠216AC + 21111433332326=-⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯336322=-++=-．22．由已知E 为棱11B C 上的动点，设111(01).B E B C λλ=≤≤ 因为11111111AE AB B E AB B C AB BB B C λλ=+=+=++所以111111()AE AC AB BB B C AC AB AC BB AC B C AC λλ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅ 12cos 4512cos 451λλ︒︒=+⨯=+所以向量AE 在向量AC 2又01λ≤≤，112λ∴≤+≤，2222∴≤≤所以向量AE 在向量AC 方向上投影的数量的取值范围为22.⎡⎢⎣。
2021年高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题练习新人教版选修2-1
2021年高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题练习新人教版选修2-11．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)， b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为( ) A.15，12B ．5,2C ．－15，－12D ．－5，－2 2．在空间中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC 的大小为( )A ．45°B ．90°C ．120°D ．135°3．给出下列命题：①已知a ⊥b ，则a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝b ·c ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 四点共面；③已知a ⊥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则基向量a ，b 可以与向量m ＝a ＋c 构成空间另一个基底．其中正确命题的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 等于( )A ．15 B ．3 C ．－3 D ．55．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 36．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( ) A ．(－2,2,0) B ．(2，－2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0 7．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．08．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c9．已知点A (－3,4,3)，O 为坐标原点，则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( ) A.34B.35C.53D ．1 10．在三棱锥P ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A PB C 的平面角的正切值为( ) A. 6 B. 3 C.66 D.6211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12.已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6 13．已知a ＝(2，－1,1)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(11,5，λ)．若向量a ，b ，c 共面，则λ＝________.14．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________15．已知a ＝(2，－1,0)，b ＝(k,0,1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________16．如图所示，已知正四面体A BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成的角的余弦值为__________．17．如图所示，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN上，且MG →＝3GN →，设OG →＝x ·OA →＋y ·OB →＋z ·OC →，则x 、y 、z 的和为__________．18.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题：①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A —D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；③P 在直线BC 1上运动时，二面角P —AD 1—C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线．其中真命题的编号是________19.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．20.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离．21．(xx·济南模拟)已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．(1)求证：平面AEF∥平面BDGH.(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．22．(xx·江门模拟)，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋2，过A作AE⊥CD，垂足为E.F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D—AE—C 的平面角为135°.(1)求证：平面DCE⊥平面ABCE；(2)求直线FG与平面DCE所成角的正弦值．23．(xx·青岛模拟) 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC ＝2，BD＝23，E是PB上任意一点．(1)求证：AC⊥DE；(2)已知二面角APBD的余弦值为155，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．24. 如图，在多面体A1B1ABC中，△ABC和△AA1C都是边长为2的正三角形，四边形ABB1A1是平行四边形，且平面A1AC⊥底面ABC.(1)证明：A1B⊥AC；(2)在线段BB1上是否存在点M，使得过CM的平面与直线AB平行，且与底面ABC所成的角为45°？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．}24288 5EE0 廠39916 9BEC 鯬 P229284 7264 牤#28391 6EE7 滧36344 8DF8 跸B34920 8868 表19992 4E18 丘C。
北京市房山区房山中学高二数学 寒假作业 空间向量与立体几何 理
一、选择题1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．1123OM OA OB OC =++D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AGB ． −→−CGC ． −→−BCD ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222- 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．101013 若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ） A 2 B 2- C 2-或552 D 2或552- 14 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A 不等边锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形 15 若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A 取最小值时，x 的值等于（ ）A 19B 78- C 78 D 1419 16 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A 21B 22 C －21 D 0 二、填空题 1 若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则(23)(2)a b a b -+=__________________ 2 若向量,94,2k j i b k j i a ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________3 已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥b ，则=x ______；若//a b 则=x ______4 已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b 则实数=m ______，=r _______5 若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b 的夹角为____________6 若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________7 已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b ，c 表示N M ，则N M =_______________8 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为9．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．10．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m ，n 的夹角为 ．11．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．三、解答题1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD，且12PA AD DC===，1AB=，M是PB的中点（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小2 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =，E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；3、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．4、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点，（1）求证：⊥F D 1平面ADE ；（2）cos 1,CB EF ．D C B A Vz y xSB C D A 5、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.（1）证明 ∥PA 平面EDB ；（2）证明⊥PB 平面EFD ．6、如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．。
2021年高二数学空间向量与立体几何测试题【精华版】
高二数学空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（）A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．若向量且向量和垂直向量R b a nb a m ,(,、则)0（）A ．nm //B ．nmC ．nm n m 也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（）A.627B.637C.647D.6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CAa ，CBb ，1CC c ，则1A B（）A.ab c B. a b c C.ab c D. ab c6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角ba,为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则||||a b a b 是a 与b 共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a35,2,23（）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－110．已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP ，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333EM GDCBA第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =．12．12、若向量1,,2,2,1,2a b ，,a b 夹角的余弦值为89，则等于__________.13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为。
高二数学寒假作业02 空间向量与立体几何大题(学生版)
高二数学寒假作业02 空间向量与立体几何大题一、巩固基础知识1．如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点。
(1)求证：AB MN ⊥，CD MN ⊥；(2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值。
2．如图所示，在三棱锥BCD A -中，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且4==BD BC ，24=AC ， 34=CD ， 45=∠ACB ，E 、F 分别为AC 、DC 的中点。
(1)求证：平面⊥ABD 平面BCD ；(2)求二面角C BF E --的正弦值。
3．如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，1A 在底面ABC 上的射影是棱BC 的中点O ，1AA OE ⊥于E 点。
(1)证明⊥OE 平面C C BB 11；(2)若AB AA 31=，求AC 与平面B B AA 11所成角的正弦值。
4．直三棱柱111C B A ABC -，10=AB ，8=AC ，6=BC ，81=AA ，点D 在线段AB 上。
(1)若//1AC 平面CD B 1，确定D 点的位置并证明；(2)当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值。
二、扩展思维视野5．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知ABCD 是平行四边形， 60=∠DAB ，PB AB AD ==，PA PC ⊥，PA PC =。
(1)求证：⊥BD 平面PAC ；(2)求二面角C PB A --的余弦值。
6．如图所示，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //， 90=∠=∠PAB ADC ，AD CD BC 21==，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为 90。
(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角A CD P --的大小为 45，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值。
人教B版高二寒假作业1：空间向量与立体几何 (1)
人教B 版高二寒假作业1：空间向量与立体几何【基础巩固】1.(2022·河南省周口市·月考试卷)在正方体1111ABCD A B C D -中，BC DC AB -+=()A.BDB.DBC.ADD.DA2.(2022·山东省东营市·单元测试)已知123,,e e e为空间三个不共面的向量，向量1233a e e e λ=++，1232b e e e μ=-++ ，若a 与b 共线，则λμ+=()A.3-B.3C.5-D.53.(2022·浙江省·月考试卷)点关于坐标平面Oxy 对称的点的坐标是()A.B.C.D.4.(2022·广东省茂名市·月考试卷)已知，，则等于()A.(0,34,10)B.(3,19,7)-C.44D.235.(多选)(2022·辽宁省·单元测试)已知1v ，2v分别为直线1l ，2l 的方向向量12(,l l 不重合)，1n ，2n分别为平面α，β的法向量(,αβ不重合)，则下列说法中，正确的是()A.1212////v v l l ⇔B.1212v v l l ⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥ 6.(多选)(2022·云南省·单元测试)已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则不正确的有()A.AB 与AC是共线向量B.AB的单位向量是(1,1,0)C.AB 与BC 夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是(1,-2,5)7.(2022·湖南省郴州市·月考试卷)已知AB 和CD 是异面直线，，，则AB 和CD 所成角的大小为__________.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是平面1111A B C D 的中心，则异面直线1AD ，OB 所成角的余弦值为__________BO 与平面11ABC D 所成角的正弦值为__________.9.(2022·福建省福州市·期末考试)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：//PB 平面AEC ；(2)若1AB =，2AD =，2AP =，求二面角D AE C --的平面角的余弦值．10.(2021·浙江省·专项测试)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1||||||2C C CB CA ===，AC CB ⊥，D ，E ，F ，G 分别是棱AB ，11B C ，CA ，11A C 的中点．(1)求线段EF 的长度；(2)求点E 到直线DG 的距离；(3)求点1B 到平面BDG 的距离．【拓展提升】11.(2022·河北省邯郸市·单元测试)若空间向量12,e e →→满足112|||2+|3e e e →→→==，则1e →在2e →方向上投影数量的最大值是()A.3B.0C.332-D.32-12.(多选)(2022·安徽省·单元测试)已知不共面的三个向量a ，b ，c都是单位向量，且夹角都是3π，则下列结论正确的是()A.{,,}a a b b c -+不是空间的一组基底B.{374,23,2}a b c a b c a b c ++++-++不是空间的一组基底C.向量a b c --的模是2D.向量a b c -- 和b 的夹角为34π13.(2021·湖南省·模拟题)已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -，若向量a分别与,AB AC 垂直，且||3a =，求向量a 的坐标__________.14.(2022·全国·单元测试)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12.C G GC = (1)证明：//EF 平面11.ABB A (2)若①三棱锥1C ABC -的体积为1;②1C C 与底面ABC 所成的角为60;︒③异面直线1BB 与AE 所成的角的大小为30.︒请选择一个条件求平面EFG 与平面11ACC A 所成二面角(锐角)的余弦值.1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．利用空间向量的线性运算法则求解．【解答】解：DC AB = ，BC AD =，.BC DC AB BC AD ∴-+== 故选.C 2.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量共线的条件和空间向量基本定理，属于基础题.根据题意可得a kb =，进而可得12312332e e e ke ke ke λμ++=-++ ，由空间向量基本定理即可求得结果.【解答】解：根据题意可知存在实数k ，使得a kb =，即1232ke ke ke μ=-++ ，由123,,e e e为空间三个不共面的向量，可得，解得，则 5.λμ+=-故选.C 3.【答案】C【解析】【分析】本题考查点关于平面Oxy 对称的点的坐标的求法，属于基础题．点(,,)a b c 关于坐标平面Oxy 对称的点的坐标为(,,).a b c -【解答】解：点(3,4,5)A -关于坐标平面Oxy 对称的点的横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为相反数，则点(3,4,5)A -关于坐标平面Oxy 对称的点的坐标为(3,4,5).--故选.C 4.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标运算，考查向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．先计算3a b + ，再计算(3).a ab ⋅+【解答】解：3(3,2,5)3(1,5,1)(3,2,5)(3,15,3)(0,17,2)a b +=-+-=-+-=，所以(3)(3)02175244.a ab ⋅+=-⨯+⨯+⨯=故选：.C 5.【答案】ABCD【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题.根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案.【解答】解：因为1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量12(,l l 不重合)，12,n n分别为平面,αβ的法向量(,αβ不重合)，A .1212////v v l l ⇔，故正确；B .1212v v l l ⊥⇔⊥，正确；C .12////n n αβ⇔正确；D .12n n αβ⊥⇔⊥正确.故选.ABCD 6.【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查空间向量的运算，即空间向量坐标形式的数量积运算、向量坐标形式的共线与利用向量的数量积运算求平面的法向量，属于基础题.分别表示出向量(2,1,0)AB = ，，即可以判断AB 与AC 是否共线，AB的单位向量，AB 与BC夹角余弦值，以及平面ABC 的法向量，逐个判断即可.【解答】解：.A 根据两个向量的坐标表示，可得(2,1,0)AB =，，则不存在实数λ使得AB AC λ= ，所以AB 与AC不共线，所以A 错误；B .(1,1,0)不是单位向量，所以B 错误；C .(2,1,0)AB =，，所以，所以C 错误;D .设平面ABC 的一个法向量是(,,)n x y z =，利用，可得，取1x =，则2y =-，5z =，则平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-，所以D 正确.故选.ABC 7.【答案】3π【解析】【分析】本题考查直线与直线所成角的向量求法，属于基础题.求出AB 与CD夹角的余弦的绝对值，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．【解答】解：已知AB 和CD 是异面直线，，，则，异面直线夹角范围是AB ∴和CD 所成角的大小为.3π故答案为.3π8.【答案】26【解析】【分析】本题考查利用空间向量求异面直线夹角与线面角的方法，建立适当的空间直角坐标系，转化为向量的夹角问题解决，属中档题.【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立坐标系，则(1,0,0)A ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，11(,,1)22O ，1(1,0,1)AD =-，11(,,1)22OB =-则从而异面直线1AD ，OB所成角的余弦值为2在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1DA ⊥平面11ABC D 故1(1,0,1)DA =是平面11ABC D 的一个法向量．又11(,,1)22OB =- ，BO ∴与平面11ABC D 所成角θ的正弦值为：sin |cos θ=〈1,OB DA〉故答案为2；69.【答案】解：(1)证明：连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接EO ，因为底面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，因为E 是PD 的中点，所以//.EO PB 又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；(2)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以(0,1,1)AE = ，(1,2,0).AC =设1(,,)n x y z =为平面AEC 的一个法向量，则11200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1z =，则1(2,1,1)n =-，又2(1,0,0)n =为平面DAE的一个法向量，设二面角D AE C--的平面角为θ，由图可知θ为锐角，由向量的夹角公式，可得1212cos||||3n nn nθ⋅===⋅，所以二面角D AE C--的平面角的余弦值为.3【解析】(1)连接BD，设BD AC O⋂=，连接EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到//EO PB，再利用线面平行的判定定理证明.(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量1(,,)n x y z=，又2(1,0,0)n=为平面DAE的一个法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解.本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.10.【答案】解：(1)以点C为坐标原点，CA，CB，1CC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．1||||||2C C CB CA===，(2,0,0)A∴，(0,2,0)B，1(0,0,2)C，1(0,2,2)B，1(2,0,2)A，由中点坐标公式可得(1,1,0)D，(0,1,2)E，(1,0,0)F，(1,0,2)G，||EF==(2)作EH DG⊥，设垂足为(,,)H x y z，设DH DGλ=，则(1,1,)(0,1,2)x y zλ--=-，所以1x=，1yλ=-，2zλ=，即(1,1,2).Hλλ-又0EH DG⋅=，即(1,,22)(0,1,2)540λλλ--⋅-=-=，所以4.5λ=即，所以点E 到直线DG的距离为||.5d EH ==(3)设平面BDG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则即取2x =得(2,2,1)n =，与(2,2,1)n =同向的单位法向量为，所以点1B 到平面BDG 的距离为102||3d BB n =⋅= 【解析】本题主要考查运用空间向量求解距离问题，属于中档题.11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间向量的数量积运算，投影数量，利用基本不等式求最值，属于中档题．对条件式子两边平方，用2||e →表示出12,e e →→的夹角θ的余弦值，代入投影数量公式，利用基本不等式得出投影数量的最大值．【解答】解：，，设12,e e →→的夹角为θ，，，222||27cos 12||e e θ→→+∴=-，1e →∴在2e →方向上投影数量为.2-=-当且仅当时取等号，1e →∴在2e →方向上投影数量的最大值为2-故选.C 12.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查空间向量的基本定理和空间向量数量积运算，属于中档题.由空间向量的基本定理以及空间向量数量积运算逐个分析判断即可.【解答】解：因为空间向量a ，a b - ，b c + 不共面，所以a ，a b - ，b c + 是空间的一组基底，A 错误;假设374a b c ++ ，23a b c ++ ，2a b c -++ 共面，则374(23)(2)(2)(3)a b c x a b c y a b c x y a x y b ++=+++-++=-++ (2)x y c ++ ，即32x y =-，73x y =+，42x y =+，解得2x =，1y =，所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B 正确;由题意，得向量a ，b ，c 为单位向量，且夹角都是3π，12a b a c c b ⋅=⋅=⋅= ，所以||a b c --==，C 错误;()a b c b --⋅ 21a b b c b =⋅--⋅=- ，设向量a b c -- 和b 的夹角为θ，则，又[0,]θπ∈，所以34πθ=，D 正确.故选.BD13.【答案】(1,1,1)或(1,1,1)---【解析】【分析】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，属于中档题．设向量(,,)a x y z = ，由垂直关系以及模的坐标运算得到方程组即可求解.【解答】解：设向量(,,)a x y z =，则(2,1,3)AB =-- ，(1,3,2)AC =- ，由向量a 分别与向量AB ，AC 垂直，得0a AB ⋅= ，且0a AC ⋅= ，即230x y z --+=①，且320x y z -+=②；又||3a = ，2223x y z ∴++=③，由①②③组成方程组，解得1x y z ===或1x y z ===-；所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1,1,1).---故答案为(1,1,1)或(1,1,1).---14.【答案】解：(1)如图①，取AB 的中点H ，连接1A H ，.HF 因为H ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//HF AC ，1.2HF AC =又E 为11A C 的中点，所以1//A E AC ，11.2A E AC =所以1//HF A E ，1HF A E =，故四边形1A HFE 是平行四边形，所以1//.EF A H 又EF ⊂/平面11ABB A ，1A H ⊂平面11ABB A ，所以//EF 平面11.ABB A (2)若选择①.如图②，在平面11ACC A 内，过点1C 作1C O AC ⊥，交AC 于点O ，连接.OB 又因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，且交线为AC ，所以1C O ⊥平面.ABC则12111121334C ABC ABC V S C O C O -=⋅=⨯⨯⋅= ，解得1C O =所以1CO ==，所以0为AC 的中点，.OB AC ⊥以O 为原点，OB ，OC ，1OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，B ，(0,1,0)C，1C，1(,,0)22F，(0,E -设(,,)G x y z ，因为113CG CC = ，所以1(,1,)(0,1,3x y z -=-，得0x =，23y =，3z =，即2(0,33G ，所以5(0,,33GE =-，1,,).263GF =-- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则令y =，则4x =，5z =，即(4,n =易知OB = 是平面11ACC A 的一个法向量.设平面EFG 与平面11ACC A 所成的角(锐角)为θ，则||453cos 53||||n OB n OB θ⋅===若选择②，如图②，在平面11ACC A 内，过点1C 作1C O AC ⊥于点O ，连接.OB 又因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，且交线为AC ，所以1C O ⊥平面ABC ，所以160C CO ∠=︒，从而可求得1C O =， 1.CO =以下步骤和①相同.若选择③.如图③，取AC 的中点O ，连接1C O ，BO ，则可知11EC AO OC ===，且1//EC AO ，所以四边形1AEC O 是平行四边形，所以1//.AE C O 又因为11//C C B B ，所以1OC C ∠等于异面直线1B B 与AE 所成的角，即130.OC C ∠=︒在1C OC 中，由正弦定理可知111sin sin C C OC OC C C OC =∠∠，即112sin 30sin C OC=︒∠，所以1sin 1C OC ∠=，所以190.C OC ∠=︒则可得1C O =以下步骤和①相同.【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及平面与平面所成角的向量求法，建立空间直角坐标系，由平面EFG 与平面11ACC A 的法向量求可得二面角余弦值，属于一般题。
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专题02 空间向量与立体几何大题专项练习一、巩固基础知识1．如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点。
(1)求证：AB MN ⊥，CD MN ⊥； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值。
【解析】(1)由题意可知三棱锥ABCD 为正四面体，过A 做底面BCD 的垂线，垂足为O ，连接BN ，则O 在BN 上， 过O 做直线CD PQ //，分别交BC 、BD 于P 、Q 两点，则OP 、ON 、OA 相互垂足，以O 为原点，OP 为x 轴，ON 为y 轴，OA 为z 轴，建系， 则)000(，，O ，)3600(a A ，，，)0330(，，a B -，)0632(，，a a C ，)0632(，，aa D -， )66630(a a M ，，-，)0630(，，aN ， 则)66330(a a MN -=，，，)36330(aa AB --=，，，)00(，，a CD -=， 033)36()66()33(330022=+-=-⨯-+-⨯+⨯=⋅a a a a a a AB MN ，00)66(033)(0=⨯-+⨯+-⨯=⋅aa a CD MN ，∴AB MN ⊥，CD MN ⊥； (2)2263)66()33(||2222aa a a a MN =+=-+=； (3))36630(a a AN -=，，，)66332(a a a CM ，，--=， ||||cos CM AN CMAN CM AN ⋅>=<，32)66()33()2()36()63(66)36()33(63022222-=+-+-⨯-+⨯-+-⨯+=a a a a a aa a a ， 从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32。
2．如图所示，在三棱锥BCD A -中，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且4==BD BC ，24=AC ，34=CD ， 45=∠ACB ，E 、F 分别为AC 、DC 的中点。
(1)求证：平面⊥ABD 平面BCD ； (2)求二面角C BF E --的正弦值。
【解析】(1)证明：由4=BC ，24=AC ， 45=∠ACB ，则：445cos 2442)24(422=⋅⋅-+= AB ，∴222AB BC AC +=，则 90=∠ABC ，BC AB ⊥，又平面⊥ABC 平面BCD ，平面 ABC 平面BC BCD =，⊂AB 平面ABC ， ∴⊥AB 平面BCD ，又⊂AB 平面ABD ，故平面⊥ABD 平面BCD ；(2)解：由BD BC =，点F 为DC 的中点，知CD BF ⊥，∵34=CD 知32=CF ，则23sin =∠FBC ，∴ 60=∠FBC ，则 120=∠DBC ， 如图所示以点B 为坐标原点，以平面DBC 内与BC 垂直的直线为x 轴， 以BC 为y 轴，以BA 为z 轴建立空间直角坐标系，则)000(，，B 、)400(，，A 、)040(，，C 、)220(，，E 、)0232(，，-D 、)013(，，F ， ∴)220(，，=BE ，)013(，，=BF ，平面CBF 一个法向量为)100(1，，=n ， 设平面BEF 的法向量为)(2z y x n ，，=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BF n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02203z y y x ，设1=x ，得一个法向量)331(2，，-=n ， 设二面角C BF E --的平面角为θ，则721|||||cos ||cos |212121=⋅=><=θn n n n n n ，，∴772sin =θ，则二面角C BF E --的正弦值为772。
3．如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，1A 在底面ABC 上的射影是棱BC 的中点O ，1AA OE ⊥于E 点。
(1)证明⊥OE 平面C C BB 11；(2)若AB AA 31=，求AC 与平面B B AA 11所成角的正弦值。
【解析】(1)证明：连接AO ，∵ABC ∆为正三角形，O 为BC中点，∴BC AO ⊥，∵BC O A ⊥1，O AO O A = 1，∴⊥BC 平面OA A 1，∴EO BC ⊥， 又1AA OE ⊥，B B AA 11//，∴B B OE 1⊥，又B BC B B = 1， ∴⊥OE 平面C C BB 11；(2)解：由(1)可知，BC O A ⊥1，OA O A ⊥1，BC OA ⊥，故分别以OA 、OB 、1OA 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2=AB ，则321=AA ，3=OA ，31=OA ，)003(，，A ， 则)013(，，-=AB ，)303(1，，-=AA ，)013(，，--=AC ， 设平面B B AA 11的法向量为)(z y x n ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AA n AB n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03303z x y x ，设3=x ，则3=y 、1=z ，则)133(，，=n ， 设AC 与平面B B AA 11所成角为θ，则13133|213)013()133(||cos |sin =⨯--⋅=><=θ，，，，，AC n ，∴AC 与平面B B AA 11所成角的正弦值为13133。
4．直三棱柱111C B A ABC -，10=AB ，8=AC ，6=BC ，81=AA ，点D 在线段AB 上。
(1)若//1AC 平面CD B 1，确定D 点的位置并证明； (2)当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值。
【解析】(1)当D 是AB 中点时，//1AC 平面CD B 1，证明如下：连接1BC ，交C B 1于E ，连接DE ，∵三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，∴侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线， ∴1//AC DE ，∵⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1，∴//1AC 平面CD B 1； (2)由10=AB ，8=AC ，6=BC ，得222BC AC AB +=，则BC AC ⊥， 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，则)006(，，B 、)080(，，A 、)880(1，，A 、)806(1，，B ，设)0(，，b a D (0>a ，0>b )， ∵点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即BA BD 31=，∴)086()06(3，，，，-=-b a ，∴4=a ，38=b ，∴)806(1，，-=C B ，)0384(，，=CD ，∴平面BCD 的法向量为)100(1，，=n ， 设平面CD B 1的法向量为)(2z y x n ，，=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00221n CD n C B 得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=--0384086y x z x ，设1=z ，则34-=x ，2=y ，1=z ，)1234(2，，-=n ， ∴61613||||cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，，设二面角1B CD B --的大小为θ，经观察θ为锐角， ∴二面角1B CD B --的余弦值为61613|cos |cos 21=><=θn n ，。
二、扩展思维视野5．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知ABCD 是平行四边形， 60=∠DAB ，PB AB AD ==，PA PC ⊥，PA PC =。
(1)求证：⊥BD 平面PAC ； (2)求二面角C PB A --的余弦值。
【解析】(1)证明：设2===PB AB AD ，O BD AC = ，连接OP ，则∵AD AB =，且 60=∠DAB ，∴四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，且32=AC ，2=BD ，1=BO ， 又∵PA PC ⊥，PA PC =，∴PCA ∆是等腰∆Rt ， ∴AC PO ⊥，6==PA PC，3=PO ，在POB ∆中，3=PO ，2=PB ，1=BO ，有222BO PO PB +=， ∴BO PO ⊥，即OP BD ⊥，又O OP AC = ，∴⊥BD 平面PAC ；(2)以O 为坐标原点，如图建系，则)000(，，O ，)003(，，A ，)010(，，B ，)003(，，-C ，)300(，，P ， 则)303(，，-=AP ，)013(，，-=AB ，)310(，，-=BP ，)013(，，--=BC ， 设平面PAB 的法向量为)(1111z y x n ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0303300111111y x z x AB n AP n ，令11=x ，则31=y 、11=z ，则)131(1，，=n ， 设平面PBC 的法向量为)(2222z y x n ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030300222222y x z y BC n BP n ，令12-=x ，则32=y 、12=z ，则)131(2，，-=n ， ∴53||||cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，，设二面角C PB A --的平面角为θ，经观察θ为钝角，则53|cos |cos 21-=><-=θn n ，。
6．如图所示，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //， 90=∠=∠PAB ADC ，AD CD BC 21==，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为 90。
(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由； (2)若二面角A CD P --的大小为 45，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值。
【解析】(1)由题意可知，在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行，如图，延长AB 、DC ，相交于点M (∈M 平面PAB )，点M 即为所求的一个点，理由如下：由已知，知ED BC //，且ED BC =，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴EB CM //， 又⊂EB 平面PBE ，⊄CM 平面PBE ，∴//CM 平面PBE ；(2)如图，由已知，PA CD ⊥，AD CD ⊥，A AD PA = ，∴⊥CD 平面PAD ，于是PD CD ⊥，PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，∴ 45=∠PDA ，又AB PA ⊥，∴⊥PA 平面ABCD ， 设1=BC ，则在PAD Rt ∆中，2==AD PA ，作⊥Ay 平面PAD ，以A 为原点，以AD ，AP 的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz A -，则)000(，，A，)200(，，P ，)012(，，C ，)001(，，E ，∴)201(-=，，PE ，)011(，，=EC ，)200(，，=AP ， 设平面PCE 法向量为)(z y x n ，，=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EC n PE n 得⎩⎨⎧=+=-002y x z x ，设2=x ，得)122(，，-=n ， 设直线PA 与平面PCE 所成角为α， 则311)2(222|||||cos |sin 222=+-+⨯=⋅=><=αAP n AP n AP n ，，∴直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为31。