《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学详解
人教A版 ·数学 ·选修1-2
第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
探究3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅 1＋i 1 速简捷、少出错的效果．比如(1± i)2＝± 2i， i ＝－i， ＝i， 1－i 1－i a＋bi 1 3 1 3 ＝－i， ＝b－ai，(－ ± i)3＝1，( ± i)3＝－1，等 i 2 2 2 2 1＋i 等．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【解析】
i1－i 1＋i 1 1 i 因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点(2，2)在第一象限．故选A.
【答案】 A
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
题型二 共轭复数
) 要点2 设z＝a＋bi，那么z的共轭复数 z ＝ a－bi(a，b∈R．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
1．复数乘法满足怎样的运算律？
答：①z1· z2＝z2· z1；②(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)；③z1(z2＋z3)＝z1· z2 ＋z1· z3
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 3 1 (2)(－ 2 －2i)12＋( )8. 1－ 3i
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
高考调研北师大版数学必修51-2-1.2高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
1．等差数列的公差与直线斜率的关系． 答：(1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k ＝f（x2）x2－－fx（1 x1）(x1≠x2)．当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上 式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，如 am，an 是 等差数列{an}的任意两项，由 an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜 率公式得 d＝ann－－mam.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 设四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，
①
（a－d）（a＋d）＝40.
②
由①，得 a＝123.代入②，得 d＝±32.
∴四个数为 2，5，8，11 或 11，8，5，2.
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又∵c1＝11，∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399， ∴cn＝12n－1≤302，即 n≤25.25.又∵n∈N*， ∴所给两数列共有 25 个共同项．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
探究 3 在方法一中为什么 an＝bm，而不是 an＝bn？这是因 为 an＝bn 的意思是数列{an}和数列{bn}中的序号及数值都分别相 等的项，这就歪曲了题意，题目只能要求数值相等即可，在方法 二中，要注意 cn 是{an}与{bn}的共同项，因此，cn≤b100，而 a100 ≤302＜b100，因此，只要，cn≤302.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
探究 2 在等差数列中，若下标成等差，则项成等差．
高考调研衡水重点中学同步精讲精练数学必修52 4 1
要点 1 等比数列的概念
如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的 比 等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
要点 2 通项公式
(1)等比数列的通项公式 an＝ a1·qn－1 . (2)公式的推广： an＝am· qn－m .
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
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第二章 数 列
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第二章 数 列
高考调研
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2．4 等比数列(第一课时 ) 等比数列的概念及通项公式
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第二章 数 列
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授人以渔
课后巩固
课时作业
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
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要点 3 等比中项
(1)定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 为 等比数列 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
(2)关系式： G2＝ab，即 G＝ ± ab .
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
新课标 A版 ·数学 ·必修5
1．等比数列中是否有等于 0 的项？公比是否能为 0? 答：没有；不能．
??a
?
??a
1＋a 3＝5， 1a 3＝4，
解得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1.
当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12.
故 a n＝2n－1 或 a n＝23－n.
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
新课标版数学必修五(A版)作业13高考调研精讲精练
课时作业(十三)1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64答案 A解析 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.2．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C解析 ∵S 15＝15a 8＝90, ∴a 8＝6.3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7 D ．不存在 答案 B解析 ∵d ＜0，∴a 3＝－a 9，∴a 3＋a 9＝0. 又a 3＋a 9＝2a 6, ∴a 6＝0.又d ＜0，∴S 5或S 6最大．4．等差数列{a n }中，前n 项和S n ＝an 2＋(a －1)·n ＋(a ＋2)，则a n 等于( ) A ．－4n ＋1 B ．2an －1 C ．－2an ＋1 D ．－4n －1 答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，且S n ＝an 2＋(a －1)·n ＋(a ＋2)，∴a ＋2＝0，a ＝－2，∴S n ＝－2n 2－3n. ∴a n ＝－4n －1.5．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和是( ) A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2C.n （n ＋5）2D.n （n ＋7）2答案 C解析 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋a n 2＝3＋2n ＋12＝n ＋2，∴{b n }前n 项和T n ＝n （3＋n ＋2）2＝12n(n ＋5)．6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 值是( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18答案 B解析 a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.7．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B解析 由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×982＝99.∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列． ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3＝33(48－46)＝66. 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5答案 D解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.9．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为( ) A ．7 B ．8 C ．11 D ．16 答案 C10．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为( ) A ．16 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)＞0，S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＜0，∴a 8＞0且d ＜0，∴S 8最大．11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列，设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 12．(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.选C.13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝______． 答案 10解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，可得3(a 1＋a n )＝93.∴a 1＋a n ＝31.又S n ＝n （a 1＋a n ）2， ∴155＝31n2， ∴n ＝10.14．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 答案 5或615．(1)(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.求数列{b n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5. ②当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 （n ＝1），2n －1 （n ≥2）.16．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110. 解析 (基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝－110.17．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解析 (1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d>0，S13＝13a 1＋13×122d<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d>0， ①a 1＋6d<0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入①，②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d>0，3＋d<0，解得－247<d<－3.(2)S 6的值最大，理由如下：由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1答案 D。
新课标版数学必修五(A版)作业6高考调研精讲精练
课时作业(六)1．已知方程x 2sinA ＋2xsinB ＋sinC ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析 由Δ＝0，得4sin 2B －4sinAsinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac. 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解 答案 C解析 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析 由S △ABC ＝32，得12AB ·ACsinA ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2acosB ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 方法一：由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac ＝c.所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b.则△ABC 是等腰三角形．方法二：由正弦定理，得2×2RsinAcosB ＝2RsinC ，即2sinAcosB ＝sinC.又sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝2sinAcosB ，所以sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝sinC.又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sinC.所以sin(A －B)＝0.又0<A<π，0<B<π，则－π<A －B<π.所以A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．5．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4答案 A解析 由S ＝12|AB →|·|AC →|·sinA ＝3，得12×4×1×sinA ＝3，∴sinA ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，∴cosA ＝12.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cosA ＝4×1×12＝2.6．已知锐角三角形的边长分别是3，5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x< 5 B ．4<x<30 C ．1<x<4 D ．4<x<34 答案 D解析 若5最大，则32＋x 2－52>0，得x>4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x<34. 又2<x<8，则4<x<34.7．已知△ABC 中，cosA ＝35，cosB ＝45，BC ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．6B ．12C ．5D ．10 答案 A解析 ∵0<cosA ＝35<cosB ＝45<1，∴A ，B 都为锐角，则sinA ＝1－cos 2A ＝45，sinB ＝1－cos 2B ＝35，∴sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝45×45＋35×35＝1，∴角C 为直角．∵BC ＝4，∴AB ＝BC sinA ＝445＝5，AC ＝ABsinB ＝5×35＝3，∴S △ABC ＝12×3×4＝6.8.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD＝3，则BD 的长为( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 ∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°，∴sin ∠BAC ＝sin(∠BAD ＋90°)＝cos ∠BAD ＝223，又∵AB ＝32，AD ＝3，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos ∠BAD ＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.故选C.9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b ＝( )A ．1＋ 3 B.1＋32C.2＋32D ．2＋ 3 答案 A解析 由12ac ·sin30°＝32，得ac ＝6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos30°＝(a ＋c)2－2ac －3ac ＝4b 2－12－63，∴b ＝3＋1.10．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．答案 45°，30°，105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cosA ＝22，A ＝45°，sinB ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA＝________． 答案33解析 由正弦定理，得 (3sinB －sinC)cosA ＝sinAcosC. 化简得3sinBcosA ＝sin(A ＋C)． ∵0<sinB ≤1，∴cosA ＝33. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．答案 5 3解析 连接BD ，由余弦定理，得BD 2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，∴BD ＝2 3. ∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，∴∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23＋12×2×2×sin120°＝5 3. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求y ＝sin 2A ＋sin 2C 的取值范围； (3)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解析 (1)由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0，整理得， a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12∵0<B<π，∴B ＝2π3.(2)y ＝sin 2A ＋sin 2C ＝1－cos2A 2＋1－cos2C2＝1－12(cos2A ＋cos2C)∵A ＋C ＝π－B ＝π3，∴C ＝π3－A ，∴cos2A ＋cos2C ＝cos2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2A ＝12cos2A ＋32sin2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6. 又0<A<π3，∴π6<2A ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤1. ∴－12≤－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6<－14，∴12≤y<34.(3)由(1)知，B ＝2π3，则cosB ＝－12＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－b 2－2ac2ac，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac ·sinB ＝334.14.在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得 cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsinB.∴AB ＝AD·sin ∠ADB sinB ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.►重点班·选做题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sinA ＋sinB 的最大值．解析 (1)由题意可知12absinC ＝34·2abcosC ，所以tanC ＝ 3.因为0<C<π，所以C ＝π3.(2)由已知sinA ＋sinB ＝sinA ＋sin(π－C －A) ＝sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝sinA ＋32cosA ＋12sinA ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号， 所以sinA ＋sinB 的最大值是 3.16．(2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值．解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得bsinA ＝asinB ，又由bsinA ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得asinB ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sinB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tanB ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝7，故b ＝7.由bsinA ＝acos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sinA ＝37.因为a<c ，故cosA ＝27.因此sin2A ＝2sinAcosA ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B)＝sin2AcosB －cos2AsinB ＝437×12－17×32＝3314.1．如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，cos ∠ADC ＝23，cos ∠BAD ＝33，AD ＝2，则BA 的长为( )A.143＋4213B ．73＋4 C.3＋47 D ．7＋47答案 A解析 由题意得，cos ∠ADB ＝－23，sin ∠ADB ＝73，sin ∠BAD ＝63，sin ∠B ＝sin(∠BAD ＋∠ADB)＝63×⎝⎛⎭⎫－23＋33×73＝21－129， 在△ABD 中，由正弦定理，可得221－129＝AB73，∴AB ＝143＋4213.故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值． 解析 (1)因为cos A 2＝255，所以cosA ＝2cos 2A 2－1＝35，所以sinA ＝45.又由AB →·AC →＝3，得bccosA ＝3，所以bc ＝5. 所以S △ABC ＝12bcsinA ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，所以b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝20，所以a ＝2 5.1．(2018·课标全国Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29 D ．2 5答案 A解析 因为cosC ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcosC ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A. 2．(2017·山东，理)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC ＋cosAsinC ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2B D ．B ＝2A 答案 A解析 由题意可知sinB ＋2sinBcosC ＝sinAcosC ＋(sinAcosC ＋cosAsinC)＝sinAcosC ＋sinB ，所以cosC ·(2sinB －sinA)＝0，因为该三角形为锐角三角形，所以cosC ≠0，即2sinB －sinA ＝0，由正弦定理得a ＝2b.故选A.3．(2017·课标全国Ⅰ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinB ＋sinA ·(sinC －cosC)＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 因为sinB ＋sinA(sinC －cosC)＝0，所以sin(A ＋C)＋sinAsinC －sinAcosC ＝0，所以sinAcosC ＋cosAsinC ＋sinAsinC －sinAcosC ＝0，整理得sinC(sinA ＋cosA)＝0，因为sinC ≠0，所以sinA ＋cosA ＝0，所以tanA ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理，得sinC＝c·sinA a＝2×222＝12，又0<C<π4，所以C ＝π6.故选B. 4．(2016·课标全国Ⅲ，理)在△ABC 中， B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝csin π4＝22c ，则a＝322 c.在△ABC 中，由余弦定理，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c.由余弦定理，可得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010.故选C.5．(2014·课标全国Ⅱ，理)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理，可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理，可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝ 5.故选B.6．(2018·课标全国Ⅰ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinC ＋csinB ＝4asinBsinC ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________． 答案233解析 由bsinC ＋csinB ＝4asinBsinC ，得sinBsinC ＋sinCsinB ＝4sinAsinBsinC ，因为sinBsinC≠0，所以sinA ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833⎝⎛⎭⎫－833舍去，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝12×833×12＝233.7．(2018·北京，文)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________． 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12acsinB ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accosB ，所以tanB ＝3，因为0°<∠B<180°，所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<33，所以c a ＝sinCsinA＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sinA ＝sin 2π3cosA －cos 2π3sinAsinA ＝32tanA ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞)．8．(2017·课标全国Ⅱ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2bcosB ＝acosC ＋ccosA ，则B ＝________． 答案π3解析 方法一：依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2accosB ＝ac>0，cosB ＝12.又0<B<π，所以B ＝π3.方法二：依题意得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sinCcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB>0，因此cosB ＝12，又0<B<π，所以B ＝π3.9．(2017·课标全国Ⅲ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________． 答案 75°解析 由正弦定理得sinB ＝bsinC c ＝6sin60°3＝22，所以B ＝45°或135°，因为b<c ，所以B<C ，故B ＝45°，所以A ＝75°.10．(2016·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝45，cosC＝513，a ＝1，则b ＝________． 答案2113解析 在△ABC 中，∵cosA ＝45，cosC ＝513，∴sinA ＝35，sinC ＝1213.∴sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ＝35×513＋1213×45＝6365.由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得b ＝asinB sinA ＝1×6365×53＝2113.11．(2015·北京，理)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC ＝________．答案 1解析 由正弦定理，得sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理，知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sinC ＝2sinAcosA sinC ＝2×sinA sinC ×cosA ＝2×46×34＝1. 12．(2015·重庆，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosC ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________． 答案 4解析 由3sinA ＝2sinB 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.13．(2016·上海，理)已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 答案733解析 设A 为△ABC 中最大的内角，由余弦定理得cosA ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A ＝120°，∴sinA ＝32.由正弦定理得2R ＝7sin120°＝1433，∴R ＝733. 14．(2015·湖北，理)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________ m.答案 100 6解析 依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理，可得600sin45°＝BCsin30°，即BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6m.15．(2019·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 答案 6 3解析 方法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得62＝(2c)2＋c 2－2×2c ×ccos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×43×23×sin π3＝6 3.方法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得62＝(2c)2＋c 2－2×2×cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.16．(2018·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC.解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB.由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB<90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD·DC·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.17．(2017·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为a 23sinA .(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解析 (1)由题设得12acsinB ＝a 23sinA ，即12csinB ＝a3sinA .由正弦定理，得12sinCsinB ＝sinA3sinA .故sinBsinC ＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC －sinBsinC ＝－12，即cos(B ＋C)＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bcsinA ＝a 23sinA，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c)2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.18．(2017·课标全国Ⅱ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.解析 (1)依题意，得sinB ＝8sin 2B2＝8·1－cosB 2＝4(1－cosB)．∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴16(1－cosB)2＋cos 2B ＝1，∴(17cosB －15)(cosB －1)＝0，∴cosB ＝1517.(2)由(1)可知sinB ＝817.∵S △ABC ＝2，∴12ac ·sinB ＝2，∴12ac ·817＝2，∴ac ＝172. ∵cosB ＝1517，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝1517，∴a 2＋c 2－b 2＝15，∴(a ＋c)2－2ac －b 2＝15， ∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2.19．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解析 (1)由已知可得tanA ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4ccos2π3， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.20．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 解析 (1)根据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.21．(2017·天津，理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝35.(1)求b 和sinA 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a>b ，故由sinB ＝35，可得cosB ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝13，所以b ＝13. 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝31313.所以b 的值为13，sinA 的值为31313.(2)由(1)及a<c ，得cosA ＝21313，所以sin2A ＝2sinAcosA ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2Acos π4＋cos2Asin π4＝7226.22．(2016·北京，理)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac. (1)求∠B 的大小；(2)求2cosA ＋cosC 的最大值． 解析 (1)由余弦定理及题设，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0<B<π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cosA ＋cosC ＝2cosA ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cosA －22cosA ＋22sinA ＝22cosA ＋22sinA ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<∠A<3π4，所以当∠A ＝π4时，2cosA ＋cosC 取得最大值1.23．(2019·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sinB －sinC)2＝sin 2A －sinBsinC. (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sinC.解析 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinBsinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc. 由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A<180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sinA ＋sin(120°－C)＝2sinC ，即62＋32cosC ＋12sinC ＝2sinC ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°<C<120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sinC ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60° ＝6＋24.24．(2019·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asin A ＋C2＝bsinA. (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解析 (1)由题设及正弦定理，得sinAsin A ＋C2＝sinBsinA.因为sinA ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a. 由正弦定理，得a ＝csinA sinC ＝sin （120°－C ）sinC ＝32tanC ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C<90°，故12<a<2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 25．(2019·北京，理)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cosB ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C)的值．解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12， 解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cosB ＝－12，得sinB ＝32.由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角． 所以cosC ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C)＝sinBcosC －cosBsinC ＝437.26．(2019·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝3c ，b ＝2，cosB ＝23，求c 的值；(2)若sinA a ＝cosB2b ，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值．解析 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cosB ＝23，由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sinA a ＝cosB2b，由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得cosB 2b ＝sinBb ，所以cosB ＝2sinB.从而cos 2B ＝(2sinB)2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B)，故cos 2B ＝45.因为sinB>0，所以cosB ＝2sinB>0，从而cosB ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cosB ＝255.1．(2013·课标全国Ⅰ，文)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．5答案 D解析 由23cos 2A ＋cos2A ＝0，得cos 2A ＝125.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cosA ＝15.∵cosA ＝36＋b 2－492×6b＝15，∴b ＝5或b ＝－135(舍)．故选D 项．2．(2015·重庆，理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________． 答案6解析 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝ABsin ∠BAD＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB<60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝180°－∠B －∠ADB ＝15°，∠DAC ＝15°，∠BCA ＝30°，所以BC ＝2，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BCcos120°＝（2）2＋（2）2－22×2×⎝⎛⎭⎫－12＝ 6.3．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，可求得BP ＝6＋2，在△QBC 中，可求得BQ ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．4．(2015·课标全国Ⅰ，文)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinAsinC. (1)若a ＝b ，求cosB ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac.又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c. 由余弦定理可得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac.因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.5．(高考真题·安徽卷，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B. (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．解析 (1)因为A ＝2B ， 所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正、余弦定理，得a ＝2b·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.。
高考调研北师大版数学必修51-3-2.1高考调研精讲精练
因为 q≠0，所以 2q6－q3－1＝0. 所以(q3－1)(2q3＋1)＝0.
3
因为
q≠1，所以
q3＝－12，所以
q＝－
4 2.
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课后巩固
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1．等比数列{2n}的前 n 项和 Sn＝( )
A．2n－1
B．2n－2
C．2n＋1－1
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探究 2 (1)“知三求二”的实质是方程思想． (2)当已知 a1，q(q≠1)及 n 时，用公式 Sn＝a1（11－－qqn）求和 比较方便；当已知 a1，q，an 时，则用公式 Sn＝a11－－aqnq求和．
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2．假如一个人得到了一条消息，他偷偷告诉了两个朋友，1 小时后这两个朋友又各自偷偷告诉了自己的两个朋友，如果每个 得到消息的人在 1 小时内把这一消息告诉两个朋友，计算一下， 24 小时后至多有多少人知道了这条消息？
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探究 3 若未证明{an}是递增数列，则 an 未必是前 n 项中值 最大的项．等比数列{an}，若 a1＞0，则 0＜q＜1 时是递减数列； q＞1 时是递增数列，q<0 时是摆动数列，这个结果是有用的．
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●思考题 3 在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36， Sn＞400，求正数 n 的取值范围．
衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)2-1-1
思考题 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，34，78，1156，3312，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)0,1,0,1,0,1，…； (4)－1，32，－13，34，－15，36，…； (5)3,33,333,3 333，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
探究 1 数列的主要特征是有序性，观察数列的前 n 项的变 化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数 列性质的重要方面．
1．{an}与 an 有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而 an 表示数列的第 n 项．
2．数列与数集有何区别？
答：集合中的元素具有确定性，无序性和互异性，而数列中 的数是按一定次序排列的，同一个数在数列中可以重复出现．次 序对于数列来说是十分重要的，有几个不同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不同．
(4)13，1，95，83，….
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)
A 为钝角 或直角
图形
a<bsi 关系式
nA
解个数 无解
a＝ bsinA 一解
bsinA a≥b a＞b a≤b
＜a＜b 二解 一解 一解 无解
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
思考题 3 (1)已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60°，那
么角 A 等于( )
要点 2 三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝ sinC ；cos(A＋B)＝ －cosC ；
tan(A＋B)＝ －tanC ；
sin(A＋2 B)＝
C cos 2
；cos(A＋2 B)＝
C sin2 ；
tan(A＋2 B)＝
C cot 2
.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
3 3× 2
3 2＝
2 2.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
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∴B＝45°或 135°，但 B＝135°时，135°＋60°>180°，这与 A
＋B<180°矛盾，∴B＝45°.
(3)由正弦定理，得
sinB＝bsianA＝4×3
3 2＝
2 3>1.
∴这样的角 B 不存在．
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
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2．在△ABC 中，由 sinA>sinB 一定能推出 A>B 吗？
答：能推出． ∵sianA＝sibnB，又∵sinA>sinB， ∴a>b，根据大角对大边这一结论，得 A>B.
高考调研北师大版数学必修51-2-2.1高考调研精讲精练
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题型三 含绝对值的等差数列的前 n 项和 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－，bn＝|an|，求 数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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【解析】 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－23n－2(n－1)2＋23(n－1) ＝4n－25， 令 n＝1，a1＝S1＝－21， ∴an＝4n－25，∴an－an－1＝4. ∴{an}为等差数列．
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课后巩固
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1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则 a1＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
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2．若一个等差数列的首项为 0，公差为 2，则这个等差数列
的前 20 项之和为( )
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答：确定了，理由如下：
数列{an}的前 n 项和为 Sn，项 an 与和 Sn 之间的关系：
当 n＝1 时，S1＝a1；
当 n≥2 时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
①
Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，
②
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答案 35 解析 设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列 仍为等差数列且 c1＝7，c3＝21，则 c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35， 即 a5＋b5＝35.
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高考调研北师大版数学必修53-2-2高考调研精讲精练
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5．若关于 x 的二次方程 2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0 的两根 同号，求 k 的取值范围．
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a≥3＋2 2或a≤3－2 2， ⇒a>－23，
a<－3， 解得 a∈∅，即不存在．
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(2)若两根均在(－1，1)之间，如上图 2 所示，则有
Δ≥0，
a≥3＋2 2或a≤3－2 2，
－1<－a＋2 1<1，⇒－ a>30<，a<1，
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
(3)问题即研究生产哪种产品年利润最大，可作差比较： (y1)max－(y2)max＝(1 980－200a)－460
>0 （3≤a<7.6）； ＝1 520－200a＝0 （a＝7.6）；
<0 （7.6<a≤8）. 所以，当 3≤a<7.6 时，投资生产甲产品 200 件可获最大年利 润；
g（x）
f（x）
f（x）·g（x）≤0，
≤0⇔
g（x）
g（x）≠0.
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(2)解分式不等式的基本步骤是： ①移项：将不等式右边变为 0. ②通分：化成标准分式不等式． ③转化：转化成整式不等式． ④按整式不等式的解法求解．
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(2)通分并整理得－x4＋x－5 7≤0，即4xx＋＋57≥0. 它等价于①4x＋7＝0 或②(4x＋7)(x＋5)>0. 由方程①得 x＝－74. 由不等式②得 x<－5 或 x>－74. ∴原不等式的解集为{x|x<－5 或 x≥－74}．
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1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余 弦 定 理
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝ a2＋c2－2accosB ， c2＝ a2＋b2－2abcosC .
题型四
判断三角形的形状
例 4 在△ABC 中，cos2A2＝b＋ 2cc(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，判断△ABC 的形状．
【解析】 方法一 在△ABC 中，∵cos2A2＝b＋ 2cc， ∴1＋2cosA＝2bc＋12，∴cosA＝bc. 又由余弦定理知 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋2cb2c－a2＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2.∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形．
பைடு நூலகம்
探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
思考题 4 (1)在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，能判断△ ABC 的形状吗？
(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
课后巩固
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列
等式不成立的是( ) A．a2＝b2＋c2－2bccosA C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 答案 D
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-1-2名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
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探究 3 (1)求 sinC 也可用下面方法： cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114，∴C 为锐角． sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理．
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2．在△ABC 中，a＝2，b＝5，c＝6，则 cosB 等于( )
5
65
A.8
B.24
19 C.20
D．－270
答案 A
解析 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝58.
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3．在△ABC 中，当 sin2A＋sin2B<sin2C 时，△ABC 的形状是 ()
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探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
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∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23.又 0°<A<180°，∴A＝30°.
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探究 1 本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角 时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由 于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解 三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余 弦定理．
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●思考题 2 有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 75°，在不
改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改
为 30°，则坡底要延长________m．( )
A．5
B．10
C．10 2
D．10 3
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【解析】 如右图，设将坡底加长
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2．如图所示，为了测量隧道口 AB 的长度，给定下列四组数 据，测量时应当用数据( )
A．α，a，b C．a，b，γ
B．α，β，a D．α，β，b
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答：C 由 a，b，γ利用余弦定理可求出 AB.
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§3 解三角形的实际应用举例
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要点 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰 角，在水平线下方的角叫俯角如图．
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要点 2 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方 位角为 α 如图．
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探究 1 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把 求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长 转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．测量长度、距离 是解三角形应用题的一种基本题型，在解这类问题时，首先要分 析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定 实际问题的解．
新课标版数学必修五(A版)作业24高考调研精讲精练
课时作业(二十四)1．若0<t<1，则不等式(x －t)⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x<tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x>1t 或x<tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x<1t 或x>tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t<x<1t答案 D2．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a<0)的解集为( ) A ．(－3a ，4a) B ．(4a ，－3a) C ．(－3，4) D ．(2a ，6a)答案 B3．不等式x （x ＋2）x －3<0的解集为( )A ．{x|x<0或x>3}B ．{x|x<－2或0<x<3}C ．{x|x<－2或x>0}D ．{x|－2<x<0或x>3}答案 B4．不等式ax 2＋5x ＋c>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x<12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6答案 B解析 由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a，x 1·x 2＝13×12＝ca.∴a ＝－6，c ＝－1.5．若关于x 的不等式ax －b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为( )A ．(－1，2)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 B解析 因为关于x 的不等式ax －b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，且ba ＝1，即a ＝b ，所以关于x 的不等式ax ＋b x －2>0可化为x ＋1x －2>0，其解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．6．不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为()答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.7．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3 D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3答案 B8．当x ∈R 时，不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是( )A ．m>2B ．m<2C ．m<0，或m>2D ．0<m<2答案 D9．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤34或x>2C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34≤x<2 D ．{x|x<2}答案 C解析 不等式3x －12－x ≥1，化为4x －32－x ≥0，∴34≤x<2.10．不等式x ＋2x>2的解集为________．答案 (0，＋∞)11．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________．答案 412．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________． 答案 {m|m ≤1或m ≥9}解析 方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得m ≤1或m ≥9.13．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是________．答案 (－3，1)∪(3，＋∞)解析 当x ≥0时，由x 2－4x ＋6>3解得x>3或0≤x<1；当x<0时，由x ＋6>3解得－3<x<0. 综上，不等式f(x)>f(1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)． 14．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解析 原不等式可化为（x －1）（x －5）（x ＋2）（x －6）>0，即(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.知(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)＝0的根为－2、1、5、6.将其标在数轴上，如图所示．所以原不等式的解集为{x|x<－2或1<x<5或x>6}．15．若不等式x 2－8x ＋20mx 2－mx －1<0对于一切x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析 合理等价变形，正确分类是解决问题关键． 由题x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4>0， 则原不等式等价于mx 2－mx －1<0成立． 那么，①当m ＝0时，－1<0不等式成立；②当m ≠0时，要使不等式成立，应有⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m 2＋4m<0，解之得－4<m<0.由①②可知，－4<m ≤0.16．若不等式(1－a)x 2－4x ＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a)x －a>0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解析 (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a<0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a)x －a>0，即为2x 2－x －3>0， 解得x<－1或x>32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x<－1或x>32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6. ►重点班·选做题17．已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a<0. 解析 ∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a<0，得(x －a)[x －(1－a)]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a>a ，即0≤a<12时，a<x<1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a<a ，即12<a ≤1时，1－a<x<a.综上，当0≤a<12时，原不等式的解集为{x|a<x<1－a}；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x|1－a<x<a}．1．设U ＝R ，M ＝{x|x 2－2x>0}，则∁U M ＝( ) A ．[0，2]B ．(0，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案 A2．不等式x ＋2x ＋1>2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，1)∪(0，＋∞) 答案 A3．设函数f(x)＝ax ＋2，不等式|f(x)|<6的解集为(－1，2)，试求不等式xf （x ）≤1的解集．解析 ∵|ax ＋2|<6，∴(ax ＋2)2<36， 即a 2x 2＋4ax －32<0.由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧－4aa2＝（－1）＋2，－32a 2＝（－1）×2，解得a ＝－4.∴f(x)＝－4x ＋2. 由x f （x ）≤1，得x－4x ＋2≤1.变形得5x －24x －2≥0. 它等价于(5x －2)(4x －2)≥0且4x －2≠0. 解得x>12或x ≤25.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x>12或x ≤25.4．已知不等式ax 2>3x －2的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a ，b ；(2)解不等式acx 2－(ac ＋b)x ＋b<0.解析 (1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0. 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式acx 2－(ac ＋b)x ＋b<0为cx 2－(c ＋2)x ＋2<0，即(cx －2)(x －1)<0. ①当c ＝0时，不等式为x －1>0，解集为{x|x>1}． ②当c>0时，不等式为⎝⎛⎭⎫x －2c (x －1)<0. c ＝2时，解集为∅；c>2时，2c <1，此时解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2c <x<1； 当0<c<2时，2c >1，此时解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x<2c .③当c<0时，不等式为⎝⎛⎭⎫x －2c (x －1)>0，此时不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x>1或x<2c . 综上所述：当c<0时，原不等式的解集为{x|x>1或x<2c }；当c ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<c<2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x<2c ；当c ＝2时，原不等式的解集为∅；当c>2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2c <x<1.。
新课标版数学必修五(A版)作业12高考调研精讲精练
课时作业(十二)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C解析 由⎩⎨⎧3（a 1＋4）2＝6，a 1＋2d ＝4，解得d ＝2.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 1＋a 101<0C ．a 1＋a 101＝0D ．a 1＋a 101的符号不确定答案 C解析 ∵S 101＝（a 1＋a 101）×1012，∴a 1＋a 101＝0.3．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝10，a 2－a 3＝2.则其前n 项和S n 为( ) A ．8＋n －n 2 B ．9n －n 2 C ．5n －n 2D.9n －n 22答案 B解析 ∵a 2－a 3＝2，∴公差d ＝a 3－a 2＝－2. 又a 1＋a 4＝a 1＋(a 1＋3d)＝2a 1－6＝10， ∴a 1＝8，∴S n ＝－n 2＋9n.4．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220答案 B解析 ∵{a n }是等差数列， ∴a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，又a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78， ∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝54.∴3(a 1＋a 20)＝54，∴a 1＋a 20＝18， ∴S 20＝20（a 1＋a 20）2＝180.5．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( ) A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15答案 C解析 由已知a 2＋a 8＋a 11＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d)＝3a 7为定值，则S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7也为定值．故选C.6．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是( )A ．137B ．217C ．267D ．347答案 B解析 记某连续7项为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，则 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝0，∴a 4＝0. ∴a 1＝a 4－3d ＝0－3×⎝⎛⎭⎫－57＝157. 7．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A8．(2015·课标全国Ⅱ，文)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 答案 A解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， 得3a 3＝3，则a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．72 B ．54 C ．36 D ．18答案 A10．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析 由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a m 2，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1得(2m －1)a m ＝38.故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.11．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________． 答案 13解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d)＝2，所以a 4＝13.13．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a 13b 13的值为________．答案745314．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知a n ＝3－2n.所以S n ＝n[1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35. 又k ∈N *，故k ＝7为所求． 15．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n. 解析 (1)方法一：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10×3＋10×9×42＝210.方法二：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4. 由a 4＋a 9＝50，即2a 1＋11d ＝50，得a 1＝3. 故S 10＝10×3＋10×9×42＝210.(2)S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 4＋a n －3）2＝n （6＋45）2＝510. ∴n ＝20.16．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________． 答案4178解析 ∵S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，∴a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝40＋180－2＝4178. 2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n.解析 (1)∵数列{a n }为等差数列， ∴a 20－a 10＝10d. ∴d ＝a 20－a 1010＝2.∴a n ＝a 10＋(n －10)d ＝30＋2(n －10)＝2n ＋10. (2)由(1)可得a 1＝12，代入等差数列前n 项和公式得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （12＋2n ＋10）2＝n(n ＋11)．又S n ＝242，所以n(n ＋11)＝242，解得n ＝11.。
高考调研北师大版数学必修51-3-1.2高考调研精讲精练
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
●思考题 3 三个互不相等的数成等差数列，若适当排列三 个数，又可成为等比数列，这三个数的和为 6，则这三个数为 ________．
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授人以渔
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
题型一 等比数列的性质 例 1 (1)在等比数列{an}中，已知 a4a7＝－512，a3＋a8＝124， 且公比为整数，求 a10. (2)若{an}为等比数列，且 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
1．等比数列的单调性． 答：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1(a1q≠0)， 当 a1>0，q>1 时，等比数列{an}是递增数列； 当 a1<0，0<q<1 时，等比数列{an}是递增数列； 当 a1>0，0<q<1 时，等比数列{an}是递减数列； 当 a1<0，q>1 时，等比数列{an}是递减数列； 当 q<0 时，等比数列{an}是摆动数列；当 q＝1 时，等比数列{an} 是常数列．
高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
题型三 等比数列与等差数列的综合问题
例 4 (1)已知等比数列{an}满足 a1＝3，且 4a1，2a2，a3 成等 差数列，则此数列的公比等于( )
A．1
新课标版数学必修五(A版)单元卷1高考调研精讲精练
第一章 章末测试卷(A)[时间：120分钟 满分：150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，下列等式不成立的是( ) A ．c ＝a 2＋b 2－2abcosC B.a sinA ＝bsinB C ．asinC ＝csinA D ．cosB ＝a 2＋c 2－b 22abc答案 D解析 很明显A ，B ，C 成立；由余弦定理得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以D 不成立．2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 答案 B解析 由S △ABC ＝33＝12×3×4sinC ，得sinC ＝32，又角C 为锐角，故C ＝60°.3．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27 D ．27 答案 B解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝76，所以b ＝219. 4．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 答案 D解析 由正弦定理得a sinA ＝b sinB .所以sinB ＝b a sinA ＝434sin30°＝32.又a<b ，则A<B ，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2，则三角形的最大内角是( ) A ．135° B ．120° C ．60°D ．90°解析a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，则长为a 2＋ab ＋b 2的边所对的角最大．由余弦定理，得cos α＝a 2＋b 2－（a 2＋b 2＋ab ）2ab ＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B解析 由p ∥q ，得(a ＋c)(c －a)＝b(b －a)，则b 2＋a 2－c 2＝ab.由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，所以C ＝π3. 7．在△ABC 中，已知a ＝2bcosC ，那么△ABC 的内角B ，C 之间的关系是( ) A ．B>C B ．B ＝C C ．B<C D ．关系不确定答案 B8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 答案 B9．在△ABC 中，cosAcosB>sinAsinB ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 答案 C10．在△ABC 中，已知sinB ＝1，b ＝3，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定 答案 D11．在△ABC 中，若A<B<C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( ) A ．8，10 B ．10，10 C ．8，12D ．12，8解析 ∵C ＝2A ，∴sinC ＝sin2A ＝2sinA ·cosA. 由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a·100＋c 2－a 22×10c，将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得c ＝10(舍去)或c ＝12，∴a ＝8. 12．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cosA ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0，b 2－c 2＝c 2＋bc ， 即b －c ＝c ，b ＝2c.cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－64c 2＝78，得c 2＝4，c ＝2，b ＝4.又sinA ＝158， ∴S ＝12bcsinA ＝12×2×4×158＝152.故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________． 答案 4 2解析 B ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a ＝sinA sinB b ＝sin30°sin45°×8＝4 2. 14．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________． 答案725解析 由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sinC ＝12，即12×8×5×sinC ＝12，则sinC ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.15．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为________m ，乙楼高为________m. 答案 2034033解析 如图所示，甲楼高为AB ，乙楼高为CD ，AC ＝20 m.则在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝20(m)，所以AB ＝ACtan60°＝203(m)，在△BCD 中，BC ＝40(m)，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC ＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，所以CD ＝sin ∠CBD sin ∠BDC BC ＝4033.16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________． 答案 60°解析 由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DCsin60°＝3－ 3.所以DC ＝2(3－1)．又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点， 则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1， 所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ， 所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3， 所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋ 3.所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cosBcosC －sinBsinC ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解析 (1)∵cosBcosC －sinBsinC ＝12，∴cos(B ＋C)＝12.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A)＝12.∴cosA ＝－12.又∵0<A<π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cosA. 则(23)2＝(b ＋c)2－2bc －2bc·cos2π3. ∴12＝16－2bc －2bc·⎝⎛⎭⎫－12.∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝12bc ·sinA ＝12×4×32＝ 3.18．(12分)在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cosC ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长． 解析 (1)由cosC ＝255，得sinC ＝55.sinA ＝sin(180°－45°－C)＝22(cosC ＋sinC)＝31010. 由正弦定理，知BC ＝AC sinB ·sinA ＝1022×31010＝3 2. (2)AB ＝AC sinB ·sinC ＝1022×55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理，知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cosB ＝1＋18－2×1×32×22＝13.19．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sinB ＝13.(1)求sinA 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解析 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0<A<π4.故cos2A ＝sinB ，即1－2sin 2A ＝13，sinA ＝33.(2)由(1)得cosA ＝63. 又由正弦定理，得BC sinA ＝AC sinB ，BC ＝sinAsinB ·AC ＝3 2.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sinC ＝12AC ·BC ·cosA ＝3 2.20．(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c ，0)． (1)若c ＝5，求sinA 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围． 解析 (1)方法一：∵A(3，4)，B(0，0)， ∴|AB|＝5，sinB ＝45.当c ＝5时，|BC|＝5，|AC|＝（5－3）2＋（0－4）2＝2 5.根据正弦定理，得|BC|sinA ＝|AC|sinB ⇒sinA ＝|BC||AC|·sinB ＝255. 方法二：∵A(3，4)，B(0，0)，∴|AB|＝5. 当c ＝5时，|BC|＝5，|AC|＝（5－3）2＋（0－4）2＝2 5. 根据余弦定理，得cosA ＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|＝55.sinA ＝1－cos 2A ＝255.(2)已知△ABC 顶点坐标为A(3，4)，B(0，0)，C(c ，0)， 根据余弦定理，得cosA ＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|.若∠A 是钝角，则cosA<0⇒|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c －3)2＋42]－c 2＝50－6c<0，解得c>253.21．(12分)如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60 °，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B ，D 间的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解析 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°， 所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA. 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝ACsin60°sin15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 (km)．故B ，D 间的距离约为0.33 km.22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足cosB cosC ＋b c ＝2ac .(1)求角C 的大小；(2)若边长c ＝3，求a ＋2b 的最大值．解析 (1)因为cosB cosC ＋b c ＝2ac，故cosBsinC ＋sinBcosC ＝2sinAcosC.也即sinA ＝2sinAcosC ，又sinA ≠0，所以cosC ＝12.又C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)a ＋2b ＝c sinC (sinA ＋2sinB)＝2[sin(B ＋C)＋2sinB]＝2⎣⎡⎦⎤12sinB ＋32cosB ＋2sinB ＝5sinB ＋3cosB ，令cos φ＝528，sin φ＝328，则a ＋2b ＝28sin(B ＋φ)，当B ＋φ＝π2时，(a ＋2b)max ＝28＝27.。
新课标版数学必修五(A版)作业17高考调研精讲精练
课时作业(十七)1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案 A解析 ∵S 5＝a 1（1－q 5）1－q，∴44＝a 1·[1－（－2）5]1＋2＝33a 13＝11a 1.∴a 1＝4.2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( ) A ．179 B ．211 C ．248 D ．275 答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又∵数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23.∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫2351－23＝211.3．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( ) A ．21 B ．42 C ．135 D ．170答案 D解析 q 2＝a 3＋a 4a 1＋a 2＝4，又q>0，∴q ＝2.∴a 1(1＋q)＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝23.∴S 8＝23×（28－1）2－1＝170.4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析 显然q ≠1，∴9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334 D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1（1－q 3）1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1⎝⎛⎭⎫14≠78，∴S n ＝a 1－a n q 1－q. ∴778＝14－78q1－q ，解得q ＝－12，78＝14×⎝⎛⎭⎫－12n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b(b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A解析 等比数列{a n }中，q ≠1时，S n ＝a 1·（q n －1）q －1＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝A·q n －A.8．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________．答案 15解析 设数列{a n }的首项为a 1，则S 4＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1241－12＝158a 1，a 4＝a 1·⎝⎛⎭⎫123＝18a 1，∴S 4a 4＝158a 118a 1＝15. 9．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2＝________． 答案 13(4n －1)解析 ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2，∴公比q ＝2. 又∵数列{a n 2}也是等比数列，首项为a 12＝1，公比为q 2＝4， ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1×（1－4n ）1－4＝13(4n －1)．10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________． 答案 2 2n ＋1－2解析 ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2.再根据a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20，有a 1＝2，∴a n ＝2n ，利用求和公式可以得到S n ＝2n ＋1－2.11．设数列{a n }是等比数列，公比为3，前80项之和为32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________． 答案 24解析 设a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝X ， 则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79＝32－X ， ∵公比为3，∴X32－X＝3，解得X ＝24.12．等比数列{a n }的公比q>0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________． 答案152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q>0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.13．等比数列{a n }中，a 6－a 5＝324，a 2－a 1＝4，则S n ＝__________． 答案 3n－1或（－3）n －14解析 ∵a 6－a 5＝(a 2－a 1)·q 4， ∴q 4＝3244＝81，∴q ＝±3.当q ＝3时，由a 1(q －1)＝a 1·(3－1)＝4，得a 1＝2. ∴S n ＝2（3n －1）3－1＝3n －1.当q ＝－3时，由a 1·(－3－1)＝4，得a 1＝－1. ∴S n ＝－1×[（－3）n －1]－3－1＝（－3）n －14.14．(2016·课标全国Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解析 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1. 15．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数． 解析 设该数列有2n 项即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝170， ①a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝85， ②①÷②，得q ＝2.∵S 2n ＝a 1·（q 2n －1）q －1，∴85＋170＝1×（22n －1）2－1.即22n ＝256＝28，∴2n ＝8. 即该数列的公比为2，项数为8.16．设等比数列{a n }的公比q<1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式． 解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 1（1－q 4）1－q＝5×a 1（1－q 2）1－q ，①②由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0. (q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q<1，解得q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解析 (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴2S 3＝S 1＋S 2， ∴q ＝1不满足题意．∴2a 1（1－q 3）1－q ＝a 1＋a 1（1－q 2）1－q，解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝－12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3，∴a 1＝4.∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1＋12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求数列{a n }的前8项和．解析 方法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1q n －1，由已知条件得a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，①a 3a 5＝(a 1q 3)2＝64，∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去． 将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝255；当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝85.方法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 42＝a 3a 5＝64，∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8. 因为{a n }是实数列，所以a 6a 4>0，故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4a 6＝±16. 公比q 的值为q ＝a 6a 5＝±2，当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝85.。
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【证明】 在 Rt△ABC 中，C＝90°， 由正弦函数的定义知： sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1. ∴sianA＝c，sibnB＝c，sincC＝c. ∴sianA＝sibnB＝sincC.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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课时作业
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的 正弦 的比相等，即：
sianA＝sibnB＝sincC ＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)．
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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要点 2 三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝ sinC ；cos(A＋B)＝ －cosC ；
tan(A＋B)＝ －tanC ；
sin(A＋2 B)＝
C cos 2
；cos(A＋2 B)＝
C sin2 ；
tan(A＋2 B)＝
C cot 2
.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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授人以渔
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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题型一 理解正弦定理 例 1 (1)在 Rt△ABC 中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦 函数的定义，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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2．在△ABC 中，由 sinA>sinB 一定能推出 A>B 吗？
答：能推出． ∵sianA＝sibnB，又∵sinA>sinB， ∴a>b，根据大角对大边这一结论，得 A>B.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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答：已知△ABC 的两边 a，b 和角 A 解三角形时，有以下方 法：
根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sinB＝bsianA. 当bsianA>1 时，则无解； 当bsianA＝1 时，则有一解； 当bsianA<1 时，若 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐角，则有一 解；若 a<b，即 A<B，则有两解．
要点 3 应用正弦定理解三角形中的常见类型 (1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边； (2)已知三角形的两边与其中一边的对角，可以计算出另一边 的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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1．在△ABC 中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定 三角形解的个数？
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探究 1 综上可知，对于任意三角形，均有sianA＝sibnB＝sincC， 此即正弦定理．
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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思考题 1 如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，斜边 c 等于 Rt △ABC 外接圆的直径 2R，故有sianA＝sibnB＝sincC＝2R，这一关系 对任意三角形也成立吗？请你根据图 2 和图 3 对锐角三角形和钝 角三角形进行探索，并证明你的结论．
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第一章 解三角形
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第一章 解三角形
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1．1 正弦定理和余弦定理
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第一章 解三角形
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1．1.1 正弦定理(第一课时)
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第一章 解三角形
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授人以渔
课后巩固
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(3)在钝角△ABC 中(不妨设 A 为钝角)，根据下图证明：sianA＝ sibnB＝sincC.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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【证明】 过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上 一点，根据正弦函数的定义知：
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同理，sibnB＝sincC＝2R，即sianA＝sibnB＝sincC＝2R. 如图 3，当△ABC 为钝角三角形时，连接 BO 交圆 O 于 D， 连接 CD，∠A＝180°－∠D，所以sianA＝sin18a0°－D＝sinaD＝2R. 同理，sibnB＝sincC＝2R，即sianA＝sibnB＝sincC＝2R. 综上所述，对于任意△ABC，sianA＝sibnB＝sincC＝2R 恒成立．
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(2)正弦定理的三种变形
①a＝2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；
②sinA＝2aR，sinB＝
b 2R
c ，sinC＝ 2R ；
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC .
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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【证明】 如图 1，当△ABC 为直角三角形时，直接得到sianA ＝sibnB＝sincC＝2R(a、b、c 分别为△ABC 中角 A、B、C 的对边， R 为外接圆半径)．
如图 2，当△ABC 为锐角三角形时，连接 BO 交圆 O 于 D， 连接 CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD 中，sianA＝sinaD＝2R.
(2)在锐角△ABC 中，根据下图，证明：sianA＝sibnB＝si1.1.1 第一课时
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【证明】 根据三角函数的定义： sinA＝CbD，sinB＝CaD. ∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，在△ABC 中，sibnB＝sincC. ∴sianA＝sibnB＝sincC成立．
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CaD＝sinB.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时
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∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，sibnB＝sincC. 故sianA＝sibnB＝sincC.
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第一章 1.1 1.1.1 第一课时