《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)

要点 2 三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝ sinC ；cos(A＋B)＝ －cosC ；
tan(A＋B)＝ －tanC ；
sin(A＋2 B)＝
C cos 2
；cos(A＋2 B)＝
C sin2 ；
tan(A＋2 B)＝
C cot 2
.
第7页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
第16页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
(3)在钝角△ABC 中(不妨设 A 为钝角)，根据下图证明：sianA＝ sibnB＝sincC.
第17页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】 过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上 一点，根据正弦函数的定义知：
(2)在锐角△ABC 中，根据下图，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
第15页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】 根据三角函数的定义： sinA＝CbD，sinB＝CaD. ∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，在△ABC 中，sibnB＝sincC. ∴sianA＝sibnB＝sincC成立．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
探究 1 综上可知，对于任意三角形，均有sianA＝sibnB＝sincC， 此即正弦定理．
第20页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
思考题 1 如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，斜边 c 等于 Rt △ABC 外接圆的直径 2R，故有sianA＝sibnB＝sincC＝2R，这一关系 对任意三角形也成立吗？请你根据图 2 和图 3 对锐角三角形和钝 角三角形进行探索，并证明你的结论．
要点 3 应用正弦定理解三角形中的常见类型 (1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边； (2)已知三角形的两边与其中一边的对角，可以计算出另一边 的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．
第8页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．在△ABC 中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定 三角形解的个数？
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
授人以渔
第12页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
题型一 理解正弦定理 例 1 (1)在 Rt△ABC 中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦 函数的定义，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
第13页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
新课标A版 ·数学 ·必修5
(2)正弦定理的三种变形
①a＝2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；
②sinA＝2aR，sinB＝
b 2R
c ，sinC＝ 2R ；
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC .
第6页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CaD＝sinB.
第18页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，sibnB＝sincC. 故sianA＝sibnB＝sincC.
新课标A版 ·数学 ·必修5
第19页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
第9页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
答：已知△ABC 的两边 a，b 和角 A 解三角形时，有以下方 法：
根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sinB＝bsianA. 当bsianA>1 时，则无解； 当bsianA＝1 时，则有一解； 当bsianA<1 时，若 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐角，则有一 解；若 a<b，即 A<B，则有两解．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
第一章 解三角形
第1页
第一章 解三角形
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．1 正弦定理和余弦定理
第2页
第一章 解三角形
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．1.1 正Biblioteka Baidu定理(第一课时)
第3页
第一章 解三角形
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
授人以渔
课后巩固
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】 在 Rt△ABC 中，C＝90°， 由正弦函数的定义知： sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1. ∴sianA＝c，sibnB＝c，sincC＝c. ∴sianA＝sibnB＝sincC.
第14页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
第10页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
2．在△ABC 中，由 sinA>sinB 一定能推出 A>B 吗？
答：能推出． ∵sianA＝sibnB，又∵sinA>sinB， ∴a>b，根据大角对大边这一结论，得 A>B.
第11页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
课时作业
第4页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的 正弦 的比相等，即：
sianA＝sibnB＝sincC ＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)．
第5页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
第22页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
同理，sibnB＝sincC＝2R，即sianA＝sibnB＝sincC＝2R. 如图 3，当△ABC 为钝角三角形时，连接 BO 交圆 O 于 D， 连接 CD，∠A＝180°－∠D，所以sianA＝sin18a0°－D＝sinaD＝2R. 同理，sibnB＝sincC＝2R，即sianA＝sibnB＝sincC＝2R. 综上所述，对于任意△ABC，sianA＝sibnB＝sincC＝2R 恒成立．
第21页
第一章 1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】 如图 1，当△ABC 为直角三角形时，直接得到sianA ＝sibnB＝sincC＝2R(a、b、c 分别为△ABC 中角 A、B、C 的对边， R 为外接圆半径)．
如图 2，当△ABC 为锐角三角形时，连接 BO 交圆 O 于 D， 连接 CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD 中，sianA＝sinaD＝2R.