知识点 函数的零点 方程的根 个数的讨论

学科：高等数学

第三章 微分中值定理

知识点35 函数的零点（方程的根）个数的讨论

相关概念、公式定理或结论●

定义 **● 定理 **● 结论 **

考频:3

知识点35 配套习题

例35.1(难度系数0.2) 证明方程恰有两个实根.44arctan 03

x x π

-+=

解析：只需证明函数恰有两个零点即可.领用零点4()4arctan 3

f x x x π

=-+

定理证明零点的存在性,利用单调性判断零点的个数

证明：令则，4()4arctan 3f x x x π=-+2

2243()111x f x x x

-'=-=++

令，得在上单调.且

()0f x '=x =()f x (,)-∞+∞

，，，.由零点定理可知

lim ()x f x →-∞=+∞(0f =803

f π

=

->lim ()x f x →+∞=-∞

，在上各有一个零点.即方程恰有()f x (,)-∞+∞44arctan 03

x x π

-+=两个实根.

例35.2(难度系数0.4)

求证：在内只有两个不同的实根.

0ln x x x e

=-⎰(0,)+∞解析：同例35.1

证明：令，则,故当时

0()ln x f x x x e

π

=-+⎰11'()f x x e

=-0x e <<,

,()0f x '>

时,，又，则存在,使得x e >()0,f x '<0

lim (),lim ()x x f x f x +

→+∞

→=-∞=-∞1(0,)x e ∈1()0,f x <且存在使得且，则由零点定理可知，在

2(,),x e ∈+∞2()0,f x <()0f e >()f x 内至少各有一个零点.

12(,),(,)x e e x 又在上单调递增，在上单调减少，所以在上()f x (0,)e (,)e +∞()f x (0,),(,)e e +∞分别只有一个零点，即方程在内只有两个不同的

实0ln x

x x e

=-⎰(0,)+∞根.

例35.3(难度系数0.6) 确定方程实根的个数.

ln (0)x ax a =>解析：要确定方程的实根个数，即判定函数的零点个数，利用()ln f x x ax =-单调性进行讨论即可.注意结合图像进行讨论.

解：令，讨论在有几个零点.考察单调性，由于

()ln f x x ax =-()f x (0,)+∞ ，10,011()0,10,x a f x a x x a x a ⎧

><<⎪⎪

⎪

⎛⎫'=-==

⎨ ⎪⎝⎭⎪

⎪

<>⎪⎩

则在处取得最大值，又因为,因此的图()f x 1x a =

11()ln 1f a a =-21

()0f x x

''=-<()f x 像可分为下列图35.1中的三种情形.

图35.1

因此方程的实根个数有下列三种情形：()0

f x =（1），即，恒有，无实根

.

11(ln 10f a

a

=-<1a e

>()0f x <

（2），即，由于，当时，，故只有

11(ln 10f a

a =-=1a e =(0,)x ∈+∞x e ≠()0f x <一个实根，即.

1

x e a ==（3），即，因为，故方程

11(ln 10f a a =->1

0a e

<<0lim (),lim ()x x f x f x +→+∞→=-∞=-∞在各只有一个实根，因此方程在恰有两个实根.

11

(0,),(,)a a

+∞(0,)+∞例35.4(难度系数0.4) 就的不同取值情况，确定方程在开区间

k sin 2

x x k π

-=内根的个数，并证明之.(0,)2

π

解析：构造辅助函数，利用驻点、极值和最值的求解，判定出

()sin 2

f x x x π

=-函数的取值范围为，然后再讨论与的关系即可.

()f x 0[,0)y k 0[,0)y 解：设，则在上连续.

()sin 2

f x x x π=-()f x [0,2

π

由得在内的唯一驻点.由于当

()1cos 0,2f x x π'=-=()f x (0,)2π02

arccos x π

=时，当时，所以在上单调减少，在

0(0,)x x ∈()0,f x '<0(,2

x x π

∈()0.f x '>()f x 0[0,]x 上单调增加，因此是在内的唯一的最小值点，最小值为

0[,]2x π0x ()f x (0,2

π

0000

()sin 2

y f x x x π

==-

又因为，故在内，的取值范围为 当

(0)()02

f f π==(0,2π

()f x 0[,0).y 即

0(,0),k y ∉或时，原方程在内没有实根；

0k y <0k ≥(0,)2

π

当时，原方程在内有唯一实根；

0k y =(0,)2

π

0x 当时，原方程在与内各恰有一实根，即原方程在0(,0)k y ∈0(0,)x 0(,)2

x π(0,2

π

内恰有两个不同的实根.

例35.5(难度系数0.4) 讨论曲线与的交点个数.

4ln y x k =+44ln y x x =+