一类特殊椭圆型方程的弱解存在性
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在性 ．
般 来说 ， 究这 两 类 问 题 弱解 的存 在 性 ， 研 通
常 运 用 变 分 方 法 考 虑 问 题 的 相 应 变 分 泛 函 临 界 点
定理 １ 假 设 ｇ － （ ）∈ Ｌ Ｒ ） 且 ｇ ｚ ｚ （ ， （ ）≥ ０ ，
的存在 性 ， 问题 （ ） 应 的变分 泛 函为 ２ 对
第 ４ ６卷 第 ４ 期 ２１ Ｏ ２年 ８月
华 中师 范 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＡＺＨ０ＮＧ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ（ ｔ ｃ． Ｉ Ｎａ ．Ｓ ｉ ）
Ｖｏ１ ６ Ｎ ｏ ．４ ．４ Ａｕ ｇ． ２０ １２
ｌ∈Ｄ Ｒ） （） ，ｚ一。 “ （ ，ｚ一０ 。 Ｎ Ｉ ．
（ ）的变分 泛 函在 不 具 有 紧 性 的 情 况 下 相 应 的 临 １
（） ２
一
带 来 困难是 近年来 的热 门研 究 工作 ， 其代表 性文 章
界 点 的 存 在 性 结 果 ， 到 了 问 题 （ ）的 弱 解 存 得 １
摘 要 ： 用 扰 动 方法 证 明 了如 下 一 类 具 有 特 殊 非 线 性 项 的 椭 圆 型方 程 运
＜
￣Ａ ＋ （ “１ 户 －ｕ ｃ ＿¨＜＜ ｇ （ ）
ｌ ∈ Ｄ 。 ＲＮ） “（ 一 Ｏ，ｚｉ 。 “ ’（ ， ） ｝ 一 。．
在 ｇ ｚ ∈Ｌ Ｒ ， ｇ ｚ ≥ ｏ ｌ ｇ ｚ 一 ０ 则 存 在 正 数 ￡， ｅ （ ， ） ， 少 有 一 个 弱 解 （ ） （ ）且 （ ） ， ｉ （ ） ｍ ， 。 当 Ｅ ０￡ 时 至 。
问 题 （ ）对 应 的 变 分 泛 函 为 １
厂） 寺 『 一 （一 ｊ Ｉ 。 ｄ ｚ
｛Ｊ（ ￡－（ １ ｚ 二Ｒ１ ｇ） －） — ￣＋ （） ｄ ’ ｚｕ
ｆ（ ｏ ）一 ｅ （ ， － ） Ｇ
ｆ Ｒ （ ）（ ≤ ｚ ，ｏ Ｒ ｌ ＋ ｒ ≤ｒ ） Ｕｒ 、 （ 一Ｉ ） ） ， ｆ 广 ２ （ Ｒ ＜ ＜ ｏ ｏ）
单 位球 ．
记 Ｌ ：＝ ｖ Ｇ （ ，则 有 如 下 引 理 ２ ｖ ＝ ＝Ａ ＋ Ｕ） ： 引理 ２ Ｅ 算 子 Ｌ 的 核 空 间 可 以 表 示 为
存在．
关 键 词 ： 动 方 法 ； 圆 型方 程 ； 解 扰 椭 弱 中 图 分 类 号 ： ７． Ｏ１ ５ ２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
本 文 研 究 如 Ｆ类 型 的 椭 圆 型 方 程
显 然 问 题 （ ）可 以 看 作 问 题 （ ）的 一 个 扰 动 ， １ ２ 问 题 （ ）的 方 程 中不 显 含 ｚ， 而 可 以 在 球 对 称 空 ２ 从
ｆ（ ｏ ）一 Ｉ
ｕ－ １
ｌ ｇｚ ｉ （ ）一 ０ 则 存在 正数 ￡ ， ￡Ｅ （ ， ） ， ｍ ， 。当 ０ ￡ 时 问 。
题 （ ）至 少 存 在 一 个 弱 解 ． １
ｄ ｚ一
引理 １ 问题 （ ）的 所 有 能量 最 小 解 都 是 球 Ｅ ２
对 称 的 且 仅 唯 一 的一 个 是 关 于 坐 标 原 点 对 称 的 ， 可 以 表 示 为
ｆ △ 一 “一 （ ＋ ｃ ｚ ） 一 １ 旱， １ ｇ（ ） （ ）
｛ １ ＋， Ｒ ＜ ＜ ∈ Ｎ２ ， ｚ
【 Ｄ２ ） ， 』。 １Ｒ ， 一ｏｆ 一 。 ∈ ， ）（ （ ．
． ￡一 ０时 ， 问 题 可 写 成 如 下 问题 ： 当 该
（ 对 称 空 间 中 （２）式 的 相 应 的 变 分 泛 函 具 有 紧 性 ，这 １ ）
间 中研究 相应 变分 泛 函的 临界点 的存 在性 ， 且在球
这 是一 类具 有特 殊 非线性 项 的半 线性 椭 圆型方 程 ， 有 很 强 的应 用 价 值 ， 期 受 到 国 内 外 学 者 的 关 长
注
』 △一 １ ＜ ＜Ｎ ２ ∈ Ｎ 可 参看 文献 ［ — ］ 本 文运 用 扰 动 方 法克 服 了 问题 一 （ １ ｐ － ， Ｒ， 一 ｚ ４ ６．
文 章 编 号 ：１ ０ — １ ０ ２ １ ） ４ ０ ８ — ３ ０ ０ １ ９ （ ０ ２ ０ — ３ ９０
Leabharlann Baidu
一
类特 殊 椭 圆 型 方 程 的 弱 解存 在 性
蒙 诗 得 ，张 正 杰 孙 ，张 春 晓 ，余 小 玲 。
（． 西 玉 林 师 范 学 院 数 学 与计 算 机 系 ， 西 玉林 ５ ７ ０ ； ． 中师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 学 院 ，武汉 ４ ０ ７ ） １广 广 ３００ ２华 ３ ０ ９
类 问 题 已 有 不 少 研 究 ． （ ）式 中 显 含 ｇ ｚ 而 １ （ ）则 一 般 情 况 下 不 能 在 球 对 称 空 间 中 研 究 ， （ ）式 的 变 且 １ 分泛 函在 一般情 况 下 不 具有 紧性 ， 而为 问题 （） 从 １ 的 研 究 带 来 了 困 难 和 研 究 意 义 ， 服 不 具 有 紧 性 所 克
其中， “是 如 下 问题 的 唯 一 正 解 ，
３Ｏ ９
华 中师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ４ ６卷
（ ｕ＋ ｕ Ａ ｐ一 ０ 在 Ｂ ， 中 ，
ｌ ｕ＞ ０ ，
ｌ — ｏ ｕ ，
在Ｂ 中 ，
在 ａ Ｂ 上 ．
（） ４
Ｒ一（ ） Ｂ 示 心 坐 原 的 ， 表 球 在 标 点
，
（） ３
其 ， ） ｇ）一） － 中 （一 ・Ｊ （（ １ ｚ Ｇ ｛’ ｚ ｄ ．
收 稿 日期 ：２ １ － １２ ． ０ １１－２ 基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 项 目 （ １ ７ ０ ５ １０ １ ９ ） ＊通讯 联 系 人 ． ｍａｌ ｊ＠ ｍａｌｃｎ ． ｄ ． ｒ Ｅ ｉ：ｚｚ ｉ ｃ ｕ ｅ ｕ ｃｌ ．
般 来说 ， 究这 两 类 问 题 弱解 的存 在 性 ， 研 通
常 运 用 变 分 方 法 考 虑 问 题 的 相 应 变 分 泛 函 临 界 点
定理 １ 假 设 ｇ － （ ）∈ Ｌ Ｒ ） 且 ｇ ｚ ｚ （ ， （ ）≥ ０ ，
的存在 性 ， 问题 （ ） 应 的变分 泛 函为 ２ 对
第 ４ ６卷 第 ４ 期 ２１ Ｏ ２年 ８月
华 中师 范 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＡＺＨ０ＮＧ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ（ ｔ ｃ． Ｉ Ｎａ ．Ｓ ｉ ）
Ｖｏ１ ６ Ｎ ｏ ．４ ．４ Ａｕ ｇ． ２０ １２
ｌ∈Ｄ Ｒ） （） ，ｚ一。 “ （ ，ｚ一０ 。 Ｎ Ｉ ．
（ ）的变分 泛 函在 不 具 有 紧 性 的 情 况 下 相 应 的 临 １
（） ２
一
带 来 困难是 近年来 的热 门研 究 工作 ， 其代表 性文 章
界 点 的 存 在 性 结 果 ， 到 了 问 题 （ ）的 弱 解 存 得 １
摘 要 ： 用 扰 动 方法 证 明 了如 下 一 类 具 有 特 殊 非 线 性 项 的 椭 圆 型方 程 运
＜
￣Ａ ＋ （ “１ 户 －ｕ ｃ ＿¨＜＜ ｇ （ ）
ｌ ∈ Ｄ 。 ＲＮ） “（ 一 Ｏ，ｚｉ 。 “ ’（ ， ） ｝ 一 。．
在 ｇ ｚ ∈Ｌ Ｒ ， ｇ ｚ ≥ ｏ ｌ ｇ ｚ 一 ０ 则 存 在 正 数 ￡， ｅ （ ， ） ， 少 有 一 个 弱 解 （ ） （ ）且 （ ） ， ｉ （ ） ｍ ， 。 当 Ｅ ０￡ 时 至 。
问 题 （ ）对 应 的 变 分 泛 函 为 １
厂） 寺 『 一 （一 ｊ Ｉ 。 ｄ ｚ
｛Ｊ（ ￡－（ １ ｚ 二Ｒ１ ｇ） －） — ￣＋ （） ｄ ’ ｚｕ
ｆ（ ｏ ）一 ｅ （ ， － ） Ｇ
ｆ Ｒ （ ）（ ≤ ｚ ，ｏ Ｒ ｌ ＋ ｒ ≤ｒ ） Ｕｒ 、 （ 一Ｉ ） ） ， ｆ 广 ２ （ Ｒ ＜ ＜ ｏ ｏ）
单 位球 ．
记 Ｌ ：＝ ｖ Ｇ （ ，则 有 如 下 引 理 ２ ｖ ＝ ＝Ａ ＋ Ｕ） ： 引理 ２ Ｅ 算 子 Ｌ 的 核 空 间 可 以 表 示 为
存在．
关 键 词 ： 动 方 法 ； 圆 型方 程 ； 解 扰 椭 弱 中 图 分 类 号 ： ７． Ｏ１ ５ ２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
本 文 研 究 如 Ｆ类 型 的 椭 圆 型 方 程
显 然 问 题 （ ）可 以 看 作 问 题 （ ）的 一 个 扰 动 ， １ ２ 问 题 （ ）的 方 程 中不 显 含 ｚ， 而 可 以 在 球 对 称 空 ２ 从
ｆ（ ｏ ）一 Ｉ
ｕ－ １
ｌ ｇｚ ｉ （ ）一 ０ 则 存在 正数 ￡ ， ￡Ｅ （ ， ） ， ｍ ， 。当 ０ ￡ 时 问 。
题 （ ）至 少 存 在 一 个 弱 解 ． １
ｄ ｚ一
引理 １ 问题 （ ）的 所 有 能量 最 小 解 都 是 球 Ｅ ２
对 称 的 且 仅 唯 一 的一 个 是 关 于 坐 标 原 点 对 称 的 ， 可 以 表 示 为
ｆ △ 一 “一 （ ＋ ｃ ｚ ） 一 １ 旱， １ ｇ（ ） （ ）
｛ １ ＋， Ｒ ＜ ＜ ∈ Ｎ２ ， ｚ
【 Ｄ２ ） ， 』。 １Ｒ ， 一ｏｆ 一 。 ∈ ， ）（ （ ．
． ￡一 ０时 ， 问 题 可 写 成 如 下 问题 ： 当 该
（ 对 称 空 间 中 （２）式 的 相 应 的 变 分 泛 函 具 有 紧 性 ，这 １ ）
间 中研究 相应 变分 泛 函的 临界点 的存 在性 ， 且在球
这 是一 类具 有特 殊 非线性 项 的半 线性 椭 圆型方 程 ， 有 很 强 的应 用 价 值 ， 期 受 到 国 内 外 学 者 的 关 长
注
』 △一 １ ＜ ＜Ｎ ２ ∈ Ｎ 可 参看 文献 ［ — ］ 本 文运 用 扰 动 方 法克 服 了 问题 一 （ １ ｐ － ， Ｒ， 一 ｚ ４ ６．
文 章 编 号 ：１ ０ — １ ０ ２ １ ） ４ ０ ８ — ３ ０ ０ １ ９ （ ０ ２ ０ — ３ ９０
Leabharlann Baidu
一
类特 殊 椭 圆 型 方 程 的 弱 解存 在 性
蒙 诗 得 ，张 正 杰 孙 ，张 春 晓 ，余 小 玲 。
（． 西 玉 林 师 范 学 院 数 学 与计 算 机 系 ， 西 玉林 ５ ７ ０ ； ． 中师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 学 院 ，武汉 ４ ０ ７ ） １广 广 ３００ ２华 ３ ０ ９
类 问 题 已 有 不 少 研 究 ． （ ）式 中 显 含 ｇ ｚ 而 １ （ ）则 一 般 情 况 下 不 能 在 球 对 称 空 间 中 研 究 ， （ ）式 的 变 且 １ 分泛 函在 一般情 况 下 不 具有 紧性 ， 而为 问题 （） 从 １ 的 研 究 带 来 了 困 难 和 研 究 意 义 ， 服 不 具 有 紧 性 所 克
其中， “是 如 下 问题 的 唯 一 正 解 ，
３Ｏ ９
华 中师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ４ ６卷
（ ｕ＋ ｕ Ａ ｐ一 ０ 在 Ｂ ， 中 ，
ｌ ｕ＞ ０ ，
ｌ — ｏ ｕ ，
在Ｂ 中 ，
在 ａ Ｂ 上 ．
（） ４
Ｒ一（ ） Ｂ 示 心 坐 原 的 ， 表 球 在 标 点
，
（） ３
其 ， ） ｇ）一） － 中 （一 ・Ｊ （（ １ ｚ Ｇ ｛’ ｚ ｄ ．
收 稿 日期 ：２ １ － １２ ． ０ １１－２ 基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 项 目 （ １ ７ ０ ５ １０ １ ９ ） ＊通讯 联 系 人 ． ｍａｌ ｊ＠ ｍａｌｃｎ ． ｄ ． ｒ Ｅ ｉ：ｚｚ ｉ ｃ ｕ ｅ ｕ ｃｌ ．