常见分布二项分布和正态分布(学习课资)

• 为随机变量X的数学期望、期望或平均值、
均值，也记作M(X)
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• E(X)是描述X取值的平均情况的。关于此 定义的合理性，我们举例说明如下。
• 例4 设随机变量X的概率分布表为
•
X 100 200
•
P 0.01 0.99
• 由于X仅取100与200两个值，可能有人认 为，X的平均值为100与200的算术平均值
第三节 二项分布与正态分布
• 一 二项分布 • 1 二项分布的定义 • 定义 在一定条件下做试验，若对该试
验中的每一个试验结果（即样本点或基
• 本事件） ，都唯一地对应着一个确定
• 的实数 X (), 则称 X () 为随机变量，简
• 记为 X • 简言之，随机变量公即开课资为试验结果的函数。1
• 例1 设有产品100件，其中有10件次品， 现从中任取5件，问：抽得的次品数是多 少？
• 由概率的统计定义，假设进行了1000次（独
立重复）试验，则大约有10次使X取100为值，
而大约有990次使X取200为值。我们认为X的
平均值应为这10个“100”与这990个“200”的
算术平均值：
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10个
990个
100 100 100 200 200 200
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• 例6 设随机变量X服从二项分布， 且E(X)=30，D(X)=20。试求出这 个二项分布的具体形式。
维长度， ）是多少，这个质量指标就
可以看作是一个随机变量。我们要学会
把随机变量概念与实际工作中的具体问 题自然地联系起来。
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• 定义 若随机变量X仅取有限多个或可数 无穷多个值，则称X为离散型随机变量。
• 显然，例1、例2中的随机变量X均为离散 型的。
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• 定义 设离散型随机变量X的取值为
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• 例3 设在单次试验中，事件A发生的概 率为p(0<p<1)，则在n次独立重复试验中， 事件A发生的次数X满足
P( X k) Cnk pk qnk (k 0,1,2, , n)
• 其中wenku.baidu.comq 1 p
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• 例3中所述的概率模型称为独立试验序列概型， 也称为贝努里概型，其中的X~B(n,p)。由此可解 决一些实际问题。
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• 标准差的概率意义与方差是类似的，只 不过大小不一定相等而已。
• 显然，方差（标准差）越大，波动就越 大（稳定性越差）；方差（标准差）越 小，波动就越小（稳定性越好）。
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• 可以证明：若X~B(n ,p)，则
•
D(X)=npq，
npq
• 不难得知，二项分布可由其期望与方差完全 刻划。
• 动程度 E( X E(X ) ) （注意：X E(X ) 也是
• 随机变量）。这样做原则上是可以的，但绝对 值参与运算往往不方便。为了理论上的合理和
• 运算上的方便，通常用 [ X E( X )]2 来刻划随
• 机波动程度。这样，总的（平均）波动程度就
• 变成 E{[ X E( X )]2} ，这就是方差D(X)。
• 例如，设有n个电子元件，每个发生故障的概率 都是p，则发生故障的元件个数X~B(n,p)。等等。
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• 2 二项分布的平均值 • 定义 设X的概率分布为
pk P( X xk )(k 1,2,3, )
• 则称
E( X ) xk pk
k
x1 p1 x2 p2 xk pk
1000
100 0.01 200 0.99 199
• 这个199就是X的真正的平均值，而它恰是经 过“X的取值乘以相应的概率后再累加”后 而得到的（加权平均）。此即前述定义中的
E(X)
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• 例5 设X~B(n ,p)，则E(X)=np
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• 3 二项分布的标准差 • 定义 设X为随机变量，则称
•
x1, x2 , , xk ,
• （有限多个或可数无穷多个），则称
pk P( X xk )(k 1,2, ) • 为X的概率分布或分布列。
• 概率分布表：
X x1 x2 xk
P p1 p2 pk
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• 概率分布的性质：
• （1） pk 0(k 1,2, )
• （2） pk 1
D( X ) E{[ X E( X )]2}
• 为X的方差，称 D(X )
• 为X的标准差。
• 解释：D(X)是刻划随机变量取值的分散
程度的一个数量指标。
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• 为什么呢？容易想象：既然E(X)为X的平均值，
• 则可以E(X)为基准，而用 X E(X ) 刻划随机波
• 动（分散）程度。为了消除随机性在人们头脑 中形成的不太确切的印象，可考虑所谓平均波
k
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• 不难计算出例1、例2中的概率分布： • 对例1中的X，有
P( X k ) C1k0C950k / C1500 (k 0,1,2,3,4,5).
• 对例2中的X，有
P( X k) 0.2k10.8(k 1,2,3, ).
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• 定义 若随机变量X的概率分布为
P( X k) Cnk pk qnk (k 0,1,2, , n),
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• 例2 某射手每次射击打中目标的概率都 是0.8，现连续向一个目标射击，直到第 一次射中为止，则射击次数X是一个随机
变量，且X=1,2,3, 。
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• 随机变量的概念在概率统计中既基本又 重要，在实际问题中随机变量比比皆是。
如在工业生产中，随便取一产品，问它
的质量指标（强度、硬度、光洁度、纤
• 则称X服从参数为n,p的二项分布，记作
X~B(n,p)。其中，0<p<1, q=1 p 。
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• 显然，若X~B(n,p)，则X取n+1个值：
•
0,1,2, , n
• 由二项式定理
n
(a b)n Cnk akbnk k 0
• 不难得知，二项分布满足前述概率分布 的两条性质。
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1 (100 200) 150 2
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• 但另一方面，从直觉看来，这个150并不真正
体现X取值的平均，它是将100与200一视同
仁的结果。从概率的角度分析，X几乎只取
200为值（因0.99 1），而取100为值的可能
性微乎其微（0.01 0）。因此我们断言，
• 这个平均值应该非常接近200，而不是150。 究竟怎样算呢？