结构优化设计： 最优准则法
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齿形法
齿形法的求解步骤（详细）
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
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齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法的求解步骤（程序实现）
满应力设计的概念
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
不应用数学的极值原理，直接从结构力学的原理出发， 使结构的各个杆件至少在一组确定的荷载（工况）下承 受极限容许应力或临界力，即所谓满应力设计。
满应力设计的特点
1.结构几何形状不变； 2.构件材料不变； 3.不约束结构变形； 4.通过调整截面大小，使其满足满应力准则； 5.目的在于使材料的拉（压）性能得到充分利用； 6.得到的设计接近最优解； 7.主要用于桁架结构的优化设计。
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
n
0.4 0.2 A2=(0.5946, 0.2666) O 0.2 0.4 0.6 0.8 An=(0.9900,0.0142) A1 1.0 A*=(0.7787,0.4082)
O
0.2
0.4
0.6
0.8
满应力法迭代路线(Beta=1.0)
满应力法迭代路线(Beta=1.5)
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齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
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修改齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法的求解步骤（程序实现）
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修改齿形法
修改齿形法搜索路径
Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
实例2 — 了解多工况下的满应力设计特点
求荷载P作用下受拉杆件的满应力设计截面面积，杆件的容许应力 为 cr 20MPa 。工况1：P=1000kN；工况1：P=2000kN。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法的求解步骤（总体）
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1.奇数步 应力比法。保证一根杆件的应力比为1。 2.偶数步 射线法。保证计算的解落在约束曲线上。 方法：将从奇数步中得到的各杆件应力比中选出最大值，修正所 有的杆件截面面积。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 0.4 0.2 A1 O 0.2 0.4 0.6 A3=(0.7071, 0.4142) A4=(0.7735,0.4531) A6=(0.8153,0.3377) 0.4 0.2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 A2=(0.7071, 0.5607)
n
n
A10=(0.8000,0.3772)
0.8
1.0
A1
齿形法迭代路线（步长=1.0）
齿形法迭代路线（步长=0.5）
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本章小结
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
结构优化设计
第二章 最优准则法
重庆交通大学桥梁系 2008.09
最优准则法
1. Hale Waihona Puke Baidu应力设计的概念和特点 2. 应力比法 3. 齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
4. 修正的齿形法
5. 本章小结
满应力设计的概念和特点
1.满应力设计并不是最轻设计。 2.满应力设计的结果并不是唯一。对于超静定结构，如果允许其中 某些杆件截面为零，则可以形成多种静定结构形式，因此解答不唯 一。 3.满应力设计可能使超静定结构退化为某种形式的静定结构。实际 设计中作为构造用，需要避免此情况，因此可以给各杆件指定一个 最小截面值。 4.超静定结构的杆件截面变化是，内力随之变化。当截面变化时， 内力变化迟缓，接近静定结构的表现，称为正常型，否则称为交感 型。一般而言，迭代过程中前几次，收敛性能好则能收敛，否则不 太可能得到满应力设计。 对于同一结构，不同的初始截面可能会造成正常型与交感性，或 不能收敛。 5.并非所有的超静定结构在任意工况下都能得到满应力设计。其收 敛条件尚无定论。
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
例2.4 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用
A2 目标函数 约束曲线
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 0.4 0.2 A1 A3=(0.7071, 0.4142) A4=(0.7735,0.4531) A6=(0.8153,0.3377)
n
O
0.2
0.4
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齿形法
例题讲解
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
例2.4 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用
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齿形法
齿形法搜索路径
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
n
A10=(0.8000,0.3772)
O
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
齿形法迭代路线（步长=0.5）
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修改齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法与修改齿形法搜索路径对比
A2 目标函数 约束曲线 A2 目标函数 约束曲线
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
例2.5 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用
A2 目标函数 约束曲线
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 0.4 0.2 A1 A2=(0.7071, 0.5607)
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齿形法
满应力法的搜索路径
A2 目标函数 约束曲线 A2
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
目标函数
约束曲线
1.0 0.8 0.6
A1=(1.0,1.0)
1.0 0.8 0.6
A1=(1.0,1.0)
n
0.4 0.2 An=(0.9899,0.0142) A1 1.0 A2=(0.7071, 0.4142) A*=(0.7787,0.4082)
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
例题讲解
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
0.6
0.8
1.0
齿形法迭代路线（步长=1.0）
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修改齿形法
相对于齿形法的特点
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1. 齿形法可以避免收敛到非最优解，但有时会因为应力比步长过 大，造成所得的解与精确解偏离较大。 2. 通过缩短应力比步长，使相邻两射线步的解更为靠近，从而提 高解的精度，极为修改的齿形法。
例2.1 — 静定桁架承受多个工况荷载作用 例2.2 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用 例2.3 — 超静定桁架承受多个工况荷载作用
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齿形法
相对于满应力法的特点
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1.满应力法采用超松弛因子时，解在非可行域与可行域之间来回搜 索，最后在某些约束条件的交点上得到最优解； 满应力法的解通常不是位于某些约束条件的交点上，而是位于某 一个约束曲线上； 2.为使得搜索点落在主约束曲线上，建立齿形法。
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修改齿形法
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修改齿形法的求解步骤（总体）
1.奇数步 应力比法。保证一根杆件的应力比为1。 2.偶数步 射线法。在此修改（减小）应力比步长。
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修改齿形法
齿形法的求解步骤（详细）
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应力比法
实例1— 从这里开始
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求荷载P=1000kN作用下受拉杆件的满应力设计截面面积，杆件的容 许应力为 cr 20MPa 。
P
A
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应力比法
PDr. Xiaosong WANG A
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齿形法
齿形法的求解步骤（详细）
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
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齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法的求解步骤（程序实现）
满应力设计的概念
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
不应用数学的极值原理，直接从结构力学的原理出发， 使结构的各个杆件至少在一组确定的荷载（工况）下承 受极限容许应力或临界力，即所谓满应力设计。
满应力设计的特点
1.结构几何形状不变； 2.构件材料不变； 3.不约束结构变形； 4.通过调整截面大小，使其满足满应力准则； 5.目的在于使材料的拉（压）性能得到充分利用； 6.得到的设计接近最优解； 7.主要用于桁架结构的优化设计。
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
n
0.4 0.2 A2=(0.5946, 0.2666) O 0.2 0.4 0.6 0.8 An=(0.9900,0.0142) A1 1.0 A*=(0.7787,0.4082)
O
0.2
0.4
0.6
0.8
满应力法迭代路线(Beta=1.0)
满应力法迭代路线(Beta=1.5)
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齿形法
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修改齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法的求解步骤（程序实现）
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修改齿形法
修改齿形法搜索路径
Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
实例2 — 了解多工况下的满应力设计特点
求荷载P作用下受拉杆件的满应力设计截面面积，杆件的容许应力 为 cr 20MPa 。工况1：P=1000kN；工况1：P=2000kN。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
齿形法的求解步骤（总体）
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1.奇数步 应力比法。保证一根杆件的应力比为1。 2.偶数步 射线法。保证计算的解落在约束曲线上。 方法：将从奇数步中得到的各杆件应力比中选出最大值，修正所 有的杆件截面面积。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
求解步骤
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 0.4 0.2 A1 O 0.2 0.4 0.6 A3=(0.7071, 0.4142) A4=(0.7735,0.4531) A6=(0.8153,0.3377) 0.4 0.2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 A2=(0.7071, 0.5607)
n
n
A10=(0.8000,0.3772)
0.8
1.0
A1
齿形法迭代路线（步长=1.0）
齿形法迭代路线（步长=0.5）
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本章小结
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第二章 最优准则法
重庆交通大学桥梁系 2008.09
最优准则法
1. Hale Waihona Puke Baidu应力设计的概念和特点 2. 应力比法 3. 齿形法
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
4. 修正的齿形法
5. 本章小结
满应力设计的概念和特点
1.满应力设计并不是最轻设计。 2.满应力设计的结果并不是唯一。对于超静定结构，如果允许其中 某些杆件截面为零，则可以形成多种静定结构形式，因此解答不唯 一。 3.满应力设计可能使超静定结构退化为某种形式的静定结构。实际 设计中作为构造用，需要避免此情况，因此可以给各杆件指定一个 最小截面值。 4.超静定结构的杆件截面变化是，内力随之变化。当截面变化时， 内力变化迟缓，接近静定结构的表现，称为正常型，否则称为交感 型。一般而言，迭代过程中前几次，收敛性能好则能收敛，否则不 太可能得到满应力设计。 对于同一结构，不同的初始截面可能会造成正常型与交感性，或 不能收敛。 5.并非所有的超静定结构在任意工况下都能得到满应力设计。其收 敛条件尚无定论。
桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
求解步骤
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桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
例2.4 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用
A2 目标函数 约束曲线
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 0.4 0.2 A1 A3=(0.7071, 0.4142) A4=(0.7735,0.4531) A6=(0.8153,0.3377)
n
O
0.2
0.4
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齿形法
例题讲解
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例2.4 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用
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齿形法
齿形法搜索路径
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n
A10=(0.8000,0.3772)
O
0.2
0.4
0.6
0.8
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齿形法迭代路线（步长=0.5）
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齿形法与修改齿形法搜索路径对比
A2 目标函数 约束曲线 A2 目标函数 约束曲线
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例2.5 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用
A2 目标函数 约束曲线
1.0 0.8
A1=(1.0,1.0)
A2=(0.7071,0.7071) 0.6 0.4 0.2 A1 A2=(0.7071, 0.5607)
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齿形法
满应力法的搜索路径
A2 目标函数 约束曲线 A2
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目标函数
约束曲线
1.0 0.8 0.6
A1=(1.0,1.0)
1.0 0.8 0.6
A1=(1.0,1.0)
n
0.4 0.2 An=(0.9899,0.0142) A1 1.0 A2=(0.7071, 0.4142) A*=(0.7787,0.4082)
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应力比法
求解步骤
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桁架共有n根杆件，承受L个工况荷载作用。杆件受拉容许应力为 ，受压容许应力为 。
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应力比法
例题讲解
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
0.6
0.8
1.0
齿形法迭代路线（步长=1.0）
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修改齿形法
相对于齿形法的特点
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1. 齿形法可以避免收敛到非最优解，但有时会因为应力比步长过 大，造成所得的解与精确解偏离较大。 2. 通过缩短应力比步长，使相邻两射线步的解更为靠近，从而提 高解的精度，极为修改的齿形法。
例2.1 — 静定桁架承受多个工况荷载作用 例2.2 — 超静定桁架承受单个工况荷载作用 例2.3 — 超静定桁架承受多个工况荷载作用
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齿形法
相对于满应力法的特点
Dr. Xiaosong WANG Bridge Eng., Chongqing Jiaotong Univ.
1.满应力法采用超松弛因子时，解在非可行域与可行域之间来回搜 索，最后在某些约束条件的交点上得到最优解； 满应力法的解通常不是位于某些约束条件的交点上，而是位于某 一个约束曲线上； 2.为使得搜索点落在主约束曲线上，建立齿形法。
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修改齿形法
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修改齿形法的求解步骤（总体）
1.奇数步 应力比法。保证一根杆件的应力比为1。 2.偶数步 射线法。在此修改（减小）应力比步长。
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齿形法的求解步骤（详细）
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应力比法
实例1— 从这里开始
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求荷载P=1000kN作用下受拉杆件的满应力设计截面面积，杆件的容 许应力为 cr 20MPa 。
P
A
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应力比法
PDr. Xiaosong WANG A