数学物理方程第二篇分离变量法

第二章 分离变量法

分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.

§2⋅1 特征值问题

2． 矩阵特征值问题

在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程：

,n Ax x x R λ=∈， （）

的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型.

若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得

1T AT D -=， （） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（）可写为如下形式

1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，

或

, 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （）

上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.

定理 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题

,n Ax x x R λ=∈，

则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）.

特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.

为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤.

例 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =.

解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此组基分别展开为11

,n n i i i i i i x x T b bT ====∑∑，则Ax b =等价于

11 n n

i i i i

i i x AT bT ===∑∑， 或

11 n n

i i i i i

i i x T bT λ===∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得

1, 1i i i x b i n λ-=≤≤，

12( ... )n x x x x T =便是原问题的解.

例 设0n x R ∈,12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>. 求解非齐次常微分方程组

0(), (0)dx Ax f t x x dt

=+=， （）

其中 '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dt

T =>. 解 类似于上例，将0,,()x x f t 按基{1}i T i n ≤≤分别展开为

00

111 , , ()()n n n

i i i i i i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑.

则（）等价于

0111() () +(), (0), 1n

n n i i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑， 或

011

() (()()), (0),1n

n i i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得

0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dt

λ=+=≤≤. （） （）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解(),1i x t i n ≤≤的具体表达式.

2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题

在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间n R 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间[0,]C l 的某个子空间H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取

2{()[0,]()H X x C l X x =∈在0,x l =满足齐次边界条件}. （） 下面我们讨论二阶线性微分算子2

2d A dx

=-的特征值问题. 先取边界条件为(0)0,()0X X l ==，设()X x H ∈是A 的特征函数，即()0X x ≠且满足

()()AX x X x λ=.

此问题等价于()X x 是下面问题的非零解

"()()0, 0 (0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩

（） （）便是二阶线性微分算子2

2d A dx

=-的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（）.

首先证明要使（）具有非零解，λ必须非负.

设)(x X 是相应于λ的一个非零解，用)(x X 乘（）中的方程，并在[]l ,0上积